（通用版）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第8練 正弦定理、余弦定理及應(yīng)用精準(zhǔn)提分練習(xí) 文.docx

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第8練　正弦定理、余弦定理及應(yīng)用 [明晰考情]　1.命題角度：考查正弦定理、余弦定理和三角形面積公式，常與三角恒等變換相結(jié)合.2.題目難度：?jiǎn)为?dú)考查正弦、余弦定理時(shí)，難度中檔偏下；和三角恒等變換交匯考查時(shí)，中檔難度. 考點(diǎn)一　正弦定理、余弦定理 方法技巧　(1)分析已知的邊角關(guān)系，合理設(shè)計(jì)邊角互化. (2)結(jié)合三角函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理，大邊對(duì)大角等求出三角形的基本量. 1.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知a＝，c＝2，cosA＝，則b等于(　　) A.B.C.2D.3 答案　D 解析　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA， 即5＝b2＋22－2b2， 解得b＝3，故選D. 2.(2018全國(guó)Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，則AB等于(　　) A.4 B. C. D.2 答案　A 解析　∵cos＝， ∴cosC＝2cos2－1＝22－1＝－. 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcosC＝52＋12－251＝32， ∴AB＝＝4. 故選A. 3.(2017全國(guó)Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，則B＝________. 答案　 解析　方法一　由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA. ∴2sinBcosB＝sin(A＋C). 又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B. ∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB. 又sinB≠0，∴cosB＝. 又∵B∈(0，π)，∴B＝. 方法二　在△ABC中，由余弦定理，得acosC＋ccosA＝a＋c＝b， ∴條件等式變?yōu)?bcosB＝b，∴cosB＝. 又0＜B＜π，∴B＝. 4.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a2＝3b2＋3c2－2bcsinA，則C＝________. 答案　 解析　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA， 所以b2＋c2－2bccosA＝3b2＋3c2－2bcsinA， sinA－cosA＝，b，c>0， 2sin＝＝＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)，等號(hào)成立， 因此b＝c，A－＝，所以A＝， 所以C＝＝. 考點(diǎn)二　與三角形的面積有關(guān)的問(wèn)題 要點(diǎn)重組　三角形的面積公式 (1)S＝aha＝bhb＝chc(ha，hb，hc分別表示a，b，c邊上的高). (2)S＝absinC＝bcsinA＝casinB. (3)S＝r(a＋b＋c)(r為△ABC內(nèi)切圓的半徑). 5.(2018全國(guó)Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若△ABC的面積為，則C等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵S＝absinC＝＝ ＝abcosC， ∴sinC＝cosC，即tanC＝1. 又∵C∈(0，π)，∴C＝. 6.鈍角三角形ABC的面積是，AB＝1，BC＝，則AC等于(　　) A.5 B. C.2 D.1 答案　B 解析　∵S＝ABBCsinB＝1sinB＝， ∴sinB＝，∴B＝或. 當(dāng)B＝時(shí)，根據(jù)余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcosB＝1＋2＋2＝5，∴AC＝，此時(shí)△ABC為鈍角三角形，符合題意； 當(dāng)B＝時(shí)，根據(jù)余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcosB＝1＋2－2＝1， ∴AC＝1，此時(shí)AB2＋AC2＝BC2，△ABC為直角三角形，不符合題意.故AC＝. 7.(2018全國(guó)Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為_(kāi)_______. 答案　 解析　∵bsinC＋csinB＝4asinBsinC， ∴由正弦定理得 sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC. 又sinBsinC＞0，∴sinA＝. 由余弦定理得cosA＝＝＝＞0， ∴cosA＝，bc＝＝， ∴S△ABC＝bcsinA＝＝. 8.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為3，b－c＝2，cosA＝－，則a的值為_(kāi)_______. 答案　8 解析　∵cosA＝－，＜A＜π，∴sinA＝， S△ABC＝bcsinA＝bc＝3，∴bc＝24， 又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，∴b2＋c2＝52. 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA ＝52－224＝64， ∴a＝8. 考點(diǎn)三　解三角形中的最值(范圍)問(wèn)題 方法技巧　由余弦定理中含兩邊和的平方(如a2＋b2－2abcosC＝c2)且a2＋b2≥2ab，因此在解三角形中，若涉及已知條件中含邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，且與面積有關(guān)的最值問(wèn)題，一般利用S＝absinC型面積公式及基本不等式求解，有時(shí)也用到三角函數(shù)的有界性. 9.在△ABC中，＝|－|＝3，則△ABC的面積的最大值為(　　) A. B. C. D.3 答案　B 解析　設(shè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c， ∵＝|－|＝3，即bccosA＝3，a＝3， ∴cosA＝≥1－＝1－， ∴cosA≥，∴0＜sinA≤，∴0＜tanA≤. ∴△ABC的面積 S＝bcsinA＝tanA≤＝， 故△ABC面積的最大值為. 10.已知a，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，其面積滿足S△ABC＝a2，則的最大值為(　　) A.－1 B. C.＋1 D.＋2 答案　C 解析　根據(jù)題意，有S△ABC＝a2＝bcsinA，即a2＝2bcsinA.應(yīng)用余弦定理，可得b2＋c2－2bccosA＝a2＝2bcsinA，令t＝，于是t2＋1－2tcosA＝2tsinA.于是2tsinA＋2tcosA＝t2＋1，所以2sin＝t＋，從而t＋≤2，解得t的最大值為＋1. 11.已知a，b，c分別是△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，滿足cosAsinBsinC＋cosBsinAsinC＝2cosCsinAsinB，則C的最大值為_(kāi)_____. 答案　 解析　由正弦定理，得bccosA＋accosB＝2abcosC， 由余弦定理，得 bc＋ac＝2ab， ∴a2＋b2＝2c2， ∴cosC＝ ＝ ＝≥＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，取等號(hào). ∵00，tanB>0. 所以tan(A－B)＝＝＝≤＝， 當(dāng)且僅當(dāng)＝3tanB，即tanB＝時(shí)，tan(A－B)取得最大值，所以B＝. 1.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且a＞b＞c，a2＜b2＋c2，則角A的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因?yàn)閍2＜b2＋c2， 所以cosA＝＞0，所以A為銳角. 又因?yàn)閍＞b＞c，所以A為最大角， 所以角A的取值范圍是. 2.在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為S，若S＋a2＝(b＋c)2，則cosA等于(　　) A. B.－ C. D.－ 答案　D 解析　由S＋a2＝(b＋c)2，得a2＝b2＋c2－2bc.由余弦定理，可得sinA－1＝cosA，結(jié)合sin2A＋cos2A＝1，可得cosA＝－. 3.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，記S為△ABC的面積，若A＝60，b＝1，S＝，則c＝________，cosB＝________. 答案　3　 解析　因?yàn)锳＝60，b＝1，S＝＝bcsinA＝1c，解得c＝3. 由余弦定理，可得 a＝＝＝， 所以cosB＝＝＝. 解題秘籍　(1)解三角形時(shí)要依據(jù)三角形的形狀及邊角大小正確處理多解問(wèn)題. (2)對(duì)已知關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)，一定要等價(jià)變形，尤其注意式子兩邊不可隨意同除以同一個(gè)式子. 1.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝，b＝，B＝45，則角A等于(　　) A.60 B.120 C.90 D.60或120 答案　D 解析　由正弦定理可知＝，即＝＝2，所以sinA＝，因?yàn)閍>b，所以A>45，所以A＝60或A＝120.故選D. 2.在△ABC中，若＝3，b2－a2＝ac，則cosB的值為(　　) A.B.C.D. 答案　D 解析　由題意知，c＝3a，b2－a2＝ac＝c2－2accosB， 所以cosB＝＝＝. 3.已知在△ABC中，(a＋b＋c)(sinA＋sinB－sinC)＝asinB，其中A，B，C為△ABC的內(nèi)角，a，b，c分別為A，B，C的對(duì)邊，則C等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因?yàn)?a＋b＋c)(sinA＋sinB－sinC)＝asinB， 所以由正弦定理，可得(a＋b＋c)(a＋b－c)＝ab， 整理得c2＝a2＋b2＋ab，所以cosC＝－， 因?yàn)镃∈(0，π)， 所以C＝.故選B. 4.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝1，2b－c＝2acosC，sinC＝，則△ABC的面積為(　　) A. B. C.或 D.或 答案　C 解析　因?yàn)?b－c＝2acosC， 所以由正弦定理可得2sinB－sinC＝2sinAcosC， 所以2sin(A＋C)－sinC＝2sinAcosC. 所以2cosAsinC＝sinC，又sinC≠0， 所以cosA＝，因?yàn)锳∈(0，180)，所以A＝30， 因?yàn)閟inC＝，所以C＝60或120. 當(dāng)C＝60時(shí)，A＝30，所以B＝90，又a＝1， 所以△ABC的面積為12＝； 當(dāng)C＝120時(shí)，A＝30，所以B＝30，又a＝1， 所以△ABC的面積為11＝，故選C. 5.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且tanB＝，＝，則tanB等于(　　) A. B.－1 C.2 D.2－ 答案　D 解析　由余弦定理，得a2＋c2－b2＝2accosB， 再由＝，得accosB＝， 所以tanB＝＝＝2－.故選D. 6.(2017山東)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若△ABC為銳角三角形，且滿足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，則下列等式成立的是(　　) A.a＝2b B.b＝2a C.A＝2B D.B＝2A 答案　A 解析　∵等式右邊＝sinAcosC＋(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAcosC＋sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinB， 等式左邊＝sinB＋2sinBcosC， ∴sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sinB. 由cosC＞0，得sinA＝2sinB. 根據(jù)正弦定理，得a＝2b. 7.如圖所示，一學(xué)生在河岸緊靠河邊筆直行走，在A處時(shí)，經(jīng)觀察，在河對(duì)岸有一參照物C與學(xué)生前進(jìn)方向成30角，學(xué)生前進(jìn)200m后，測(cè)得該參照物與前進(jìn)方向成75角，則河的寬度為(　　) A.50(＋1)m B.100(＋1)m C.50m D.100m 答案　A 解析　在△ABC中，∠BAC＝30，∠ACB＝75－30＝45，AB＝200，由正弦定理得BC＝＝100(m)， 所以河的寬度為BCsin75＝100＝50(＋1)(m). 8.如圖所示，某電力公司為保護(hù)一墻角處的電塔，計(jì)劃利用墻OA，OB，再修建一長(zhǎng)度為AB的圍欄，圍欄的造價(jià)與AB的長(zhǎng)度成正比.現(xiàn)已知墻角∠AOB＝120，當(dāng)△AOB的面積為時(shí)，就可起到保護(hù)作用.則當(dāng)圍欄的造價(jià)最低時(shí)，∠ABO等于(　　) A.30 B.45 C.60 D.90 答案　A 解析　只要AB的長(zhǎng)度最小，圍欄的造價(jià)就最低.設(shè)OA＝a，OB＝b，則由余弦定理得AB2＝a2＋b2－2abcos120＝a2＋b2＋ab≥2ab＋ab＝3ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào))，又S△AOB＝absin120＝，所以ab＝4.故AB2≥12，即AB的最小值為2.由a＝b及3ab＝12，得a＝b＝2.所以∠ABO＝∠BAO，故∠ABO＝30，故選A. 9.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c， 若c＝1，B＝45，cosA＝，則b＝________. 答案　 解析　因?yàn)閏osA＝， 所以sinA＝＝＝， 所以sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B) ＝sinAcosB＋cosAsinB＝cos45＋sin45＝. 由正弦定理＝， 得b＝＝sin45＝. 10.已知a，b，c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，則△ABC面積的最大值為_(kāi)_______. 答案　 解析　由正弦定理得(2＋b)(a－b)＝c(c－b)，即(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝＝， 因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝. 又b2＋c2－a2＝bc≥2bc－4，即bc≤4，故S△ABC＝bcsinA≤4＝， 當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝2時(shí)，等號(hào)成立，則△ABC面積的最大值為. 11.在△ABC中，B＝C＝30，AB＝AC＝1，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，CE的中垂線交線段AC于點(diǎn)D，則AD＝________. 答案　 解析　如圖，設(shè)AD＝t，∵CE的中垂線交線段AC于點(diǎn)D，∴DE＝CD＝1－t. ∵B＝C＝30，∴A＝120，又AE＝， ∴在△ADE中，由余弦定理，得 DE2＝AE2＋AD2－2AEADcosA， 即(1－t)2＝＋t2－2t， 化簡(jiǎn)得t＝， ∴t＝. 12.在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且c＝1，acosB＋bcosA＝2ccosC，設(shè)h是邊AB上的高，則h的最大值為_(kāi)_______. 答案　 解析　由正弦定理及題意，得sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosC，即sinC＝2sinCcosC， 又sinC≠0，∴cosC＝，可解得sinC＝. 又cosC＝＝， ∴ab＝a2＋b2－1≥2ab－1， 即ab≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立， ∴S△ABC＝absinC≤. 又h是邊AB上的高，S△ABC＝ch＝h≤， ∴h≤，則h的最大值為.