（江蘇專用）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 模塊綜合測(cè)評(píng)1 蘇教版選修1 -1.doc

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模塊綜合測(cè)評(píng)(一) (時(shí)間120分鐘，滿分160分) 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分．請(qǐng)把答案填寫在題中橫線上．) 1．命題“?x∈R，x2＋1≥0”的否定為__________． 【解析】　全稱命題“?x∈R，x2＋1≥0”的否定是存在性命題“?x∈R，x2＋1＜0”． 【答案】　?x∈R，x2＋1＜0 2．下列求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算： ①＝1＋；②(log2x)′＝；③(3x)′＝3xlog3x；④(x2cos x)′＝－2xsin x；⑤＝. 其中正確的是________(填序號(hào))． 【解析】?、伲?－，故錯(cuò)誤；②符合對(duì)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式，故正確； ③(3x)′＝3xln 3，故錯(cuò)誤；④(x2cos x)′＝2xcos x－x2sin x，故錯(cuò)誤； ⑤＝＝， 正確． 【答案】?、冖? 3．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程是x－2y＋1＝0，則f(1)＋2f′(1)的值是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902269】 【解析】　∵函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程是x－2y＋1＝0， ∴f(1)＝1，f′(1)＝，∴f(1)＋2f′(1)＝2. 【答案】　2 4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C：－＝1(a＞0)的一條漸近線與直線x－y＋1＝0平行，則雙曲線C的焦距為__________． 【解析】　∵雙曲線方程為－＝1， ∴漸近線方程為y＝x，∴＝1， ∵a＞0，∴a＝4，∴c＝＝4，雙曲線C的焦距為8. 【答案】　8 5．“a＞1”是“＜1”的________條件． 【解析】　由＜1得：當(dāng)a＞0時(shí)，有1＜a，即a＞1；當(dāng)a＜0時(shí)，不等式恒成立． 所以＜1?a＞1或a＜0，從而a＞1是＜1的充分不必要條件． 【答案】　充分不必要 6．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程是y＝x，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝16x的焦點(diǎn)相同．則雙曲線的方程為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902270】 【解析】　由雙曲線漸近線方程可知＝， ① 因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為(4,0)，所以c＝4， ② 又c2＝a2＋b2③，聯(lián)立①②③，解得a2＝4，b2＝12，所以雙曲線的方程為－＝1. 【答案】?。? 7．設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)y＝(1－x)f′(x)的圖象如圖1所示，則函數(shù)f(x)的極大值是________，極小值是________． 圖1 【解析】　由圖可知，當(dāng)x＜－2時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)－2＜x＜1時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x＞2時(shí)，f′(x)＞0.由此可以得到函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極大值，在x＝2處取得極小值． 【答案】　f(－2)　f(2) 8．函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖2所示，則導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象大致是________(填序號(hào))． 圖2 【解析】　由f(x)的圖象及f′(x)的意義知，在x＞0時(shí)，f′(x)為單調(diào)遞增函數(shù)且f′(x)＜0；在x＜0時(shí)，f′(x)為單調(diào)遞減函數(shù)且f′(x)＜0.故選④ 【答案】　④ 9．函數(shù)y＝xlnx，x∈(0,1)的單調(diào)增區(qū)間是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902271】 【解析】　函數(shù)y＝xln x的導(dǎo)數(shù)為 y′＝(x)′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1，(x＞0) 由ln x＋1＞0，得x＞，故函數(shù)y＝xln x 的增區(qū)間為. 【答案】　 10．從邊長(zhǎng)為10 cm16 cm的矩形紙板的四角截去四個(gè)相同的小正方形，作成一個(gè)無(wú)蓋的盒子，則盒子容積的最大值為________． 【解析】　設(shè)盒子容積為y cm3，盒子的高為x cm，則y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x3－52x2＋160x(0＜x＜5)， ∴y′＝12x2－104x＋160. 令y′＝0，得x＝2或x＝(舍去)， ∴ymax＝6122＝144(cm3)． 【答案】　144 cm3 11．若函數(shù)f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)內(nèi)只有極小值，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________． 【解析】　∵f′(x)＝3x2－6b，由題意知，函數(shù)f′(x)圖象如下． ∴，即，得0＜b＜. 【答案】　 12．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)，P是橢圓C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，若PF1＝2PF2，則橢圓C的離心率的取值范圍是__________． 【解析】　設(shè)橢圓C的焦距為2c，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，P(x，y)是橢圓右準(zhǔn)線上一點(diǎn)．由PF1＝2PF2及兩點(diǎn)間距離公式，得 ＝2整理得＋y2＝c2，此方程表示圓心為M，半徑r＝c的圓．由題意知，此圓要與橢圓C的右準(zhǔn)線有公共點(diǎn)，所以≤c，于是－≤c－≤c，整理得c2≤3a2≤9c2，同除以a2得≤≤3，即≤e2≤3，所以≤e≤，又e∈(0,1)，∴≤e＜1. 【答案】　 13．設(shè)AB為過(guò)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)的弦，則AB的最小值為________． 【解析】　焦點(diǎn)F坐標(biāo)，設(shè)直線L過(guò)F，則直線L方程為y＝k， 聯(lián)立y2＝2px得k2x2－(pk2＋2p)x＋＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝p＋. AB＝x1＋x2＋p＝2p＋＝2p， 因?yàn)閗＝tan a，所以1＋＝1＋＝. 所以AB＝，當(dāng)a＝90時(shí)，即AB垂直于x軸時(shí)，AB取得最小值，最小值是AB＝2p. 【答案】　2p 14．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f′(x)＞1－f(x)，f(0)＝6，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式exf(x)＞ex＋5(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的解集為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902272】 【解析】　設(shè)g(x)＝exf(x)－ex，(x∈R)， 則g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]， ∵f′(x)＞1－f(x)，∴f(x)＋f′(x)－1＞0，∴g′(x)＞0，∴y＝g(x)在定義域上單調(diào)遞增，∵exf(x)＞ex＋5，∴g(x)＞5，又∵g(0)＝e0f(0)－e0＝6－1＝5， ∴g(x)＞g(0)，∴x＞0，∴不等式的解集為(0，＋∞) 【答案】　(0，＋∞) 二、解答題(本大題共6小題，共90分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．) 15．(本小題滿分14分)已知p：x2－3x＋2＞0，q：|x－m|≤1. (1)當(dāng)m＝1時(shí)，若p與q同為真，求x的取值范圍； (2)若﹁p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 【解】　(1)由p，得x＞2或x＜1， 當(dāng)m＝1時(shí)，由q，得0≤x≤2， 因?yàn)槿魀與q同為真，所以，0≤x＜1； (2)﹁p為x∈， q為x∈[m－1，m＋1]， 因?yàn)?，若﹁p是q的充分不必要件，所以，， 所以m∈[1,2]． 16．(本小題滿分14分)過(guò)橢圓＋＝1內(nèi)一點(diǎn)M(2,1)引一條弦，使弦被M點(diǎn)平分，求這條弦所在直線的方程． 【解】　設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)、B(x2，y2)，∵M(jìn)(2，1)為AB的中點(diǎn) ∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，∵又A、B兩點(diǎn)在橢圓上，則x＋4y＝16，x＋4y＝16, 兩式相減得(x－x)＋4(y－y)＝0， 于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0， ∴＝－＝－＝－，即kAB＝－， 故所求直線的方程為y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0. 17．(本小題滿分14分)已知a＜2，函數(shù)f(x)＝(x2＋ax＋a)ex (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)若f(x)的極大值是6e－2，求a的值． 【解】　(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝(x2＋x＋1)ex，∴f′(x)＝(x2＋3x＋2)ex， 由f′(x)≥0，得x≤－2或x≥－1，∴f(x)的增區(qū)間為(－∞，－2]，[－1，＋∞)． (2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋2a]ex，由f′(x)＝0，得x＝－2或x＝－a， 列表討論，得： x (－∞，－2) －2 (－2，－a) －a (－a，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ ∴x＝－2時(shí)，f(x)取得極大值，又f(－2)＝(4－a)e－2，f(x)的極大值是6e－2， ∴(4－a)e－2＝6e－2，解得a＝－2. ∴a的值為－2. 18．(本小題滿分16分)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線l與E相交于A、B兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列． (1)求|AB|； (2)若直線l的斜率為1，求b的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902273】 【解】　(1)由橢圓定義知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝. (2)l的方程式為y＝x＋c，其中c＝ 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組 化簡(jiǎn)得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0. 則x1＋x2＝，x1x2＝. 因?yàn)橹本€AB的斜率為1，所以|AB|＝|x2－x1|，即＝|x2－x1|. 則＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝. 解得b＝. 19．(本小題滿分16分)設(shè)函數(shù)f(x)＝2ln x－x2. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)若關(guān)于x的方程f(x)＋x2－x－2－a＝0在區(qū)間[1,3]內(nèi)恰有兩個(gè)相異實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 【解】　(1)f′(x)＝，∵x＞0，x∈(0,1)時(shí)，f′(x)＞0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1)． (2)將f(x)代入方程f(x)＋x2－x－2－a＝0得2ln x－x－2－a＝0， 令g(x)＝2ln x－x－2－a則g′(x)＝；∴當(dāng)2≤x≤3時(shí)，g′(x)＜0； ∴g(2)是g(x)的極大值，也是g(x)在上的最大值； ∵關(guān)于x的方程f(x)＋x2－x－2－a＝0在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)相異實(shí)根； ∴函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,3]內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)；則有：g(2)＞0，g(1)＜0，g(3)＜0， 所以有：解得：2ln 3－5＜a＜2ln 2－4， 所以a的取值范圍是(2ln 3－5,2ln 2－4)． 20．(本小題滿分16分)已知橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓E：＋y2＝1有相同的焦點(diǎn)． (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若動(dòng)直線l：y＝kx＋m與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x＝4交于點(diǎn)Q，問(wèn)：以線段PQ為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)M？若存在，求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【解】　(1)橢圓E的焦點(diǎn)為(1,0)，設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a＞b＞0)， 則解得所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)聯(lián)立消去y，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， 所以Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，即m2＝3＋4k2. 設(shè)P(xp，yp)，則xp＝－＝－，yp＝kxp＋m＝－＋m＝，即P. 假設(shè)存在定點(diǎn)M(s，t)滿足題意，因?yàn)镼(4,4k＋m)， 則＝，＝(4－s,4k＋m－t)， 所以＝(4－s)＋(4k＋m－t)＝(s－1)－t＋(s2－4s＋3＋t2)＝0恒成立，故 解得所以存在點(diǎn)M(1,0)符合題意．