（江蘇專用）2019高考數(shù)學二輪復習 第三篇 第32練 矩陣與變換、坐標系與參數(shù)方程試題 理.docx

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第32練　矩陣與變換、坐標系與參數(shù)方程 [明晰考情]　1.命題角度：常見的平面變換與矩陣的乘法運算，二階矩陣的逆矩陣及其求法，矩陣的特征值與特征向量的求法；極坐標和參數(shù)方程的簡單綜合運用.2.題目難度：中檔難度. 考點一　線性變換、二階矩陣及其求法 方法技巧　線性變換問題一般是設變換T：→，求出原曲線在T的變換下得到的曲線，再根據(jù)條件求相應的系數(shù)值. 1.已知變換矩陣A：平面上的點P(2，－1)，Q(－1,2)分別變換成點P1(3，－4)，Q1(0,5)，求變換矩陣A. 解　設所求的變換矩陣A＝，依題意，可得 ＝，＝， 即解得 所以所求的變換矩陣A＝. 2.已知M＝，N＝，求二階矩陣X，使得MX＝N. 解　設X＝， 由題意有＝， 根據(jù)矩陣乘法法則有 解得 ∴X＝. 3.已知曲線C1：x2＋y2＝1，對它先作矩陣A＝對應的變換，再作矩陣B＝對應的變換，得到曲線C2：＋y2＝1，求實數(shù)m的值. 解　BA＝＝，設P(x0，y0)是曲線C1上的任一點，它在矩陣BA變換作用下變成點P′(x′，y′)則＝＝，則即又點P在曲線C1上，則y′2＋＝1，所以m2＝1，所以m＝1. 4.(2017江蘇)已知矩陣A＝，B＝. (1)求AB； (2)若曲線C1：＋＝1在矩陣AB對應的變換作用下得到另一曲線C2，求C2的方程. 解　(1)因為A＝，B＝， 所以AB＝＝. (2)設Q(x0，y0)為曲線C1上任意一點，它在矩陣AB對應的變換作用下變?yōu)辄cP(x，y)， 則＝， 即所以 因為點Q(x0，y0)在曲線上C1上，所以＋＝1， 從而＋＝1，即x2＋y2＝8. 因此曲線C1在矩陣AB對應的變換作用下得到曲線 C2：x2＋y2＝8. 考點二　逆變換與逆矩陣、矩陣的特征值與特征向量 方法技巧　1.由二階矩陣與向量的乘法及向量相等建立方程組，常用于求二階矩陣，要注意變換的前后順序.2.求矩陣M＝就是要求待定的字母，利用條件建立方程組，確立待定的字母的值，從而求出矩陣，待定系數(shù)法是求這類問題的通用方法. 5.已知矩陣A＝. (1)求A的逆矩陣A－1； (2)若點P在矩陣A對應的變換作用下得到點P′(3,1)，求點P的坐標. 解　(1)因為A＝，又22－13＝1≠0， 所以A可逆，從而A－1＝. (2)設P(x，y)，則＝， 所以＝A－1＝， 因此，點P的坐標為(3，－1). 6.求矩陣A＝的特征值與屬于每個特征值的一個特征向量. 解　矩陣A的特征多項式為f(λ)＝， 令f(λ)＝0，得λ2－5λ－24＝0， 所以λ1＝8，λ2＝－3為矩陣A的兩個特征值. ①當λ1＝8時，解相應線性方程組可任取一解，得λ＝8的一個特征向量α1＝. ②當λ2＝－3時，解相應線性方程組可任取一解，得λ＝－3的一個特征向量α2＝. 7.(2018無錫調(diào)研)已知二階矩陣A對應的變換將點M(1,1)變換成M′(3,3)，將點N(－1,2)變換成N′(3,0). (1)求矩陣A的逆矩陣A－1； (2)若向量β＝，計算A3β. 解　(1)設A＝，則 ＝＝? ＝＝? 解得a＝1，b＝2，c＝2，d＝1， 所以A＝， 所以A－1＝. (2)矩陣A的特征多項式為f(λ)＝＝(λ－1)2－4＝λ2－2λ－3， 令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1， 從而求得對應的一個特征向量分別為α1＝，α2＝. 令β＝mα1＋nα2，求得m＝3，n＝－2， 所以A3β＝A3(3α1－2α2)＝3(A3α1)－2(A3α2) ＝3(λα1)－2(λα2)＝333－2(－1)3＝. 8.(2018如皋調(diào)研)已知矩陣A＝屬于特征值λ的一個特征向量為α＝. (1)求實數(shù)b，λ的值； (2)若曲線C在矩陣A對應的變換作用下，得到的曲線為C′：x2＋2y2＝2，求曲線C的方程. 解　(1)由題意得Aα＝λα， 即＝λ， 解得b＝0，λ＝2. (2)由(1)知，矩陣A＝.設曲線C上的一點P，在矩陣A的作用下得到點P′(x′，y′). ＝＝， 所以 將上式代入方程x′2＋2y′2＝2， 得(2x)2＋2(x＋3y)2＝2， 整理得3x2＋9y2＋6xy－1＝0. 所以曲線C的方程為3x2＋9y2＋6xy－1＝0. 考點三　曲線的極坐標方程 方法技巧　曲線極坐標方程的應用一般有兩種思路：一是將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；二是將曲線的極坐標方程聯(lián)立，根據(jù)極坐標的意義求解.要注意題目所給的限制條件及隱含條件. 9.在極坐標系中，設直線θ＝與曲線ρ2－10ρcosθ＋4＝0相交于A，B兩點，求線段AB中點的極坐標. 解　方法一　將直線θ＝化為直角坐標方程，得y＝x， 將曲線ρ2－10ρcos θ＋4＝0化為直角坐標方程，得x2＋y2－10x＋4＝0， 聯(lián)立并消去y，得2x2－5x＋2＝0， 解得x1＝，x2＝2， 所以AB中點的橫坐標為＝，縱坐標為， 化為極坐標為. 方法二　聯(lián)立直線l與曲線C的極坐標方程， 得 消去θ，得ρ2－5ρ＋4＝0，解得ρ1＝1，ρ2＝4， 所以線段AB中點的極坐標為，即. 10.(2018宿遷質(zhì)檢)已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點O重合，極軸與x軸的正半軸重合，若直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的極坐標方程為ρ2－2ρsinθ－3＝0. (1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程； (2)求直線l被曲線C截得線段的長. 解　(1)直線l的普通方程為y＝x－1，曲線C的直角坐標方程為x2＋(y－1)2＝4. (2)曲線C表示以為圓心，2為半徑的圓， 圓心到直線l的距離d＝1， 故直線l被曲線C截得的線段長為2＝2. 11.在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ2＋2ρcosθ－2ρsinθ－1＝0. (1)求曲線C的直角坐標方程； (2)求曲線C上的點到直線ρcos＋＝0距離最大的點P的直角坐標. 解　(1)因為ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)， 所以曲線C的直角坐標方程為x2＋y2＋2x－2y－1＝0，θ∈[0,2π). (2)直線方程為x－y＋＝0，圓C的標準方程為(x＋1)2＋(y－)2＝4， 所以設圓上點P的坐標為(－1＋2cos θ，＋2sin θ)，θ∈[0,2π)， 則d＝ ＝， 所以當cos＝－1，即θ＝時距離最大，此時點P的坐標為(－2，＋). 12.在極坐標系中，直線C1的極坐標方程為ρsinθ＝2，M是C1上任意一點，點P在射線OM上(O為極點)，且滿足OPOM＝4，記點P的軌跡為C2，求曲線C2上的點到直線C3：(t為參數(shù))的距離的最大值. 解　設點P(ρ′，θ′)，M(ρ1，θ′)， 依題意得ρ1sin θ′＝2，ρ′ρ1＝4， 消去ρ1，得ρ′＝2sin θ′，故曲線C2的極坐標方程為ρ＝2sin θ(ρ≠0). 化為直角坐標方程，得C2：x2＋(y－1)2＝1，是以點(0,1)為圓心，1為半徑的圓. 又直線C3的普通方程為x－y＝2， 故圓心到直線C3的距離d＝， 故曲線C2上的點到直線C3的距離的最大值為1＋. 考點四　參數(shù)方程 方法技巧　過定點P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線參數(shù)方程的標準形式為(t為參數(shù))，t的幾何意義是有向線段P0P的數(shù)量，即|t|表示P0到P的距離，t有正負之分.使用該式時直線上任意兩點P1，P2對應的參數(shù)分別為t1，t2，則P1P2＝|t1－t2|，P1P2的中點對應的參數(shù)為(t1＋t2). 13.(2018蘇州調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(其中t為參數(shù)).在以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，圓C的方程為ρ＝4cosθ. (1)分別寫出直線l的普通方程和圓C的直角坐標方程； (2)若直線l與圓C相切，求實數(shù)a的值. 解　(1)直線l的普通方程是2x＋y－a－2＝0， 圓C的直角坐標方程是(x－2)2＋y2＝4. (2)由(1)知圓心為C(2,0)，半徑r＝2， 設圓心到直線的距離為d，因為直線與圓相切， 所以d＝＝＝2， 解得a＝22. 14.(2018江蘇省南京外國語學校質(zhì)檢)在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)，m為常數(shù)).以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為ρcos＝.若直線l與圓C有兩個公共點，求實數(shù)m的取值范圍. 解　圓C的普通方程為(x－m)2＋y2＝4. 直線l的極坐標方程化為ρ＝， 即x＋y＝，化簡得x＋y－2＝0. 因為圓C的圓心為C(m,0)，半徑為2，圓心C到直線l的距離d＝， 所以d＝＜2， 解得2－2＜m＜2＋2. 15.在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，φ∈[0，π)，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ＝4cosθ. (1)若直線l與圓C相切，求φ的值； (2)已知直線l與圓C交于A，B兩點，記點A，B相應的參數(shù)分別為t1，t2，當t1＝2t2時，求AB的長. 解　(1)圓C的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4， 將直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程得(tcos φ－4)2＋(tsin φ)2＝4， 即t2－8tcos φ＋12＝0， 因為直線l與圓C相切， 所以Δ＝(8cos φ)2－412＝0， 所以cos φ＝或cos φ＝－，φ∈[0，π)， 所以φ＝或. (2)將代入圓C的直角坐標方程(x－2)2＋y2＝4， 得t2－8tcos φ＋12＝0， 因為t1,2＝， 所以 又t1＝2t2，所以?64cos2φ＝54， 所以AB＝＝＝. 16.(2018如皋調(diào)研)已知在平面直角坐標系xOy中，圓M的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，以Ox軸為極軸，O為極點建立極坐標系，在該極坐標系下，圓N是以點為圓心，且過點的圓. (1)求圓M的普通方程及圓N的直角坐標方程； (2)求圓M上任一點P與圓N上任一點之間距離的最小值. 解　(1)將方程消去參數(shù)θ，可得2＋2＝4， 所以圓M的方程為2＋2＝4. 點和點的直角坐標分別為，， 所以圓N的圓心為， 半徑為r＝＝1， 故圓N的直角坐標方程為2＋2＝1. (2)由(1)得圓M，N的圓心距為 MN＝＝4， 所以圓M上任一點P與圓N上任一點之間距離的最小值為dmin＝MN－3＝4－3＝1. 1.已知矩陣M＝，其中a∈R，若點P(1，－2)在矩陣M的變換下得到點P′(－4,0). (1)求實數(shù)a的值； (2)求矩陣M的特征值及其對應的特征向量. 解　(1)由＝， 得2－2a＝－4?a＝3. (2)由(1)知M＝，則矩陣M的特征多項式為f(λ)＝＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4. 令f(λ)＝0，得矩陣M的特征值為－1與4. 當λ＝－1時，?x＋y＝0， ∴矩陣M的屬于特征值－1的一個特征向量為；當λ＝4時，?2x－3y＝0. ∴矩陣M的屬于特征值4的一個特征向量為. 2.已知矩陣A＝(a為實數(shù)). (1)若矩陣A存在逆矩陣，求實數(shù)a的取值范圍； (2)若直線l：x－y＋4＝0在矩陣A對應的變換作用下變?yōu)橹本€l′：x－y＋2a＝0，求實數(shù)a的值； (3)在(2)的條件下，求A5. 解　(1)∵＝a2－1≠0， ∴a≠1. (2)設l上任一點在A的變換作用下變?yōu)辄c， 則＝＝， 所以 所以x′－y′＋2a＝ax＋y－x－ay＋2a＝x＋y＋2a＝0，所以a＝2. (3)A2＝＝， A4＝＝， A5＝＝. 3.平面直角坐標系xOy中，已知直線(l為參數(shù))與曲線(t為參數(shù))相交于A，B兩點，求線段AB的長. 解　直線的普通方程為2x－2y＋3＝0，曲線的普通方程為y2＝8x. 解方程組 得或 取A，B，得AB＝4. 4.(2018江蘇邗江中學調(diào)研)在直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系. (1)寫出圓C的極坐標方程及圓心C的極坐標； (2)直線l的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)與圓C交于M，N兩點，求△CMN的面積. 解　(1)極坐標(ρ，θ)與直角坐標(x，y)的對應關(guān)系為 所以 根據(jù)sin2α＋cos2α＝1，消元得 (ρcos θ－)2＋(ρsin θ－1)2＝4， 故得圓C的極坐標方程為ρ＝4sin. 因為圓心C的直角坐標為(，1)，所以極坐標為. (2)聯(lián)立得交點極坐標M(0,0)，N， 所以MN＝2，MC＝2， 所以△CMN的面積S＝22sin ＝.