（通用版）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第31練 不等式選講精準(zhǔn)提分練習(xí) 文.docx

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第31練　不等式選講 [明晰考情]　1.命題角度：絕對(duì)值不等式的解法、求含絕對(duì)值的函數(shù)的最值及求含參數(shù)的絕對(duì)值不等式中的參數(shù)的取值范圍，不等式的應(yīng)用和證明是命題的熱點(diǎn).2.題目難度：中檔難度. 考點(diǎn)一　絕對(duì)值不等式的解法 方法技巧　|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 (1)利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想. (2)利用“零點(diǎn)分區(qū)間法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想. (3)通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想. 1.(2018全國(guó)Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|. (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)≥0的解集； (2)若f(x)≤1，求a的取值范圍. 解　(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝5－|x＋1|－|x－2|＝ 可得f(x)≥0的解集為{x|－2≤x≤3}. (2)f(x)≤1等價(jià)于|x＋a|＋|x－2|≥4. 而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，當(dāng)且僅當(dāng)x＋a與2－x同號(hào)時(shí)等號(hào)成立. 故f(x)≤1等價(jià)于|a＋2|≥4. 由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2. 所以a的取值范圍是(－∞，－6]∪[2，＋∞). 2.(2018大慶質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|x－2|. (1)求不等式f(x)≥5的解集； (2)當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，不等式f(x)≥x2－x－a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解　(1)由題意知，需解不等式|x＋1|＋|x－2|≥5. 當(dāng)x<－1時(shí)，上式化為－2x＋1≥5，解得x≤－2； 當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，上式化為3≥5，無(wú)解； 當(dāng)x>2時(shí)，上式化為2x－1≥5，解得x≥3. ∴f(x)≥5的解集為{x|x≤－2或x≥3}. (2)當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)＝3， 則當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，x2－x－a≤3恒成立. 設(shè)g(x)＝x2－x－a，則g(x)在[0,2]上的最大值為g(2)＝2－a. ∴g(2)≤3，即2－a≤3，得a≥－1. ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－1，＋∞). 3.已知函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2. (1)解不等式|g(x)|＜5； (2)若對(duì)任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解　(1)由||x－1|＋2|＜5，得－5＜|x－1|＋2＜5， 所以－7＜|x－1|＜3，又|x－1|≥0，可得不等式的解集為(－2,4). (2)因?yàn)閷?duì)任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立， 所以{y|y＝f(x)}?{y|y＝g(x)}. 又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|(2x－a)－(2x＋3)|＝|a＋3|， g(x)＝|x－1|＋2≥2， 所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5， 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，－5]∪[－1，＋∞). 考點(diǎn)二　不等式的證明 要點(diǎn)重組　(1)絕對(duì)值三角不等式 ||a|－|b||≤|ab|≤|a|＋|b|. (2)算術(shù)—幾何平均不等式 如果a1，a2，…，an為n個(gè)正數(shù)，則≥，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an時(shí)，等號(hào)成立. 方法技巧　證明不等式的基本方法有比較法、綜合法、分析法和反證法，其中比較法和綜合法是基礎(chǔ)，綜合法證明的關(guān)鍵是找到證明的切入點(diǎn). 4.(2017全國(guó)Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2，證明： (1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2. 證明　(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4) ＝4＋ab(a2－b2)2≥4. (2)因?yàn)?a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 ＝2＋3ab(a＋b)≤2＋(a＋b) ＝2＋(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立)， 所以(a＋b)3≤8， 所以a＋b≤2. 5.(2018咸陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)＝|x|－|x－3|(x∈R). (1)求f(x)的最大值m； (2)設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，且2a＋3b＋4c＝m，求證：＋＋≥3. (1)解　方法一　由f(x)＝ 知f(x)∈[－3,3]，即m＝3. 方法二　由絕對(duì)值不等式f(x)＝|x|－|x－3|≤|x－x＋3|＝3，得m＝3. 方法三　由絕對(duì)值不等式的幾何意義知f(x)＝|x|－|x－3|∈[－3,3](x∈R)，即m＝3. (2)證明　∵2a＋3b＋4c＝3(a，b，c>0)， ∴＋＋＝ ＝≥3. 當(dāng)且僅當(dāng)2a＝3b＝4c， 即a＝，b＝，c＝時(shí)取等號(hào)， 即＋＋≥3. 6.已知函數(shù)f(x)＝＋，M為不等式f(x)<2的解集. (1)求M； (2)證明：當(dāng)a，b∈M時(shí)，|a＋b|<|1＋ab|. (1)解　f(x)＝ 當(dāng)x≤－時(shí)，由f(x)<2，得－2x<2， 解得x>－1，所以－10)， 所以2a－1≤x＋a≤1－2a，所以a－1≤x≤1－3a. 因?yàn)椴坏仁絝(x)≤1的解集為{x|－2≤x≤4}， 所以解得a＝－1，滿足1－2a>0，故a＝－1. (2)由(1)得f(x)＝|x－1|－2，不等式f(x)≥k2－k－4恒成立， 只需f(x)min≥k2－k－4， 所以－2≥k2－k－4，即k2－k－2≤0， 所以k的取值范圍是[－1,2]. 8.已知函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x＋1|. (1)解不等式f(x)＞1； (2)當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g(x)＝(a＞0)的最小值大于函數(shù)f(x)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解　(1)當(dāng)x＞2時(shí)，原不等式可化為x－2－x－1＞1，此時(shí)不成立； 當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，原不等式可化為2－x－x－1＞1，解得－1≤x＜0； 當(dāng)x＜－1時(shí)，原不等式可化為2－x＋x＋1＞1，解得x＜－1. 綜上，原不等式的解集是{x|x＜0}. (2)因?yàn)間(x)＝ax＋－1≥2－1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)等號(hào)成立， 所以g(x)min＝g＝2－1. 當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝ 所以f(x)∈[－3,1). 所以2－1≥1，解得a≥1. 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，＋∞). 9.已知函數(shù)f(x)＝|2x＋1|－|x－a|，g(x)＝3x－2. (1)當(dāng)a＝2時(shí)，求不等式f(x)＞g(x)的解集； (2)設(shè)a＜－，存在x∈使f(x)≥g(x)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解　(1)當(dāng)a＝2時(shí)，不等式f(x)＞g(x)可化為|2x＋1|－|x－2|－3x＋2＞0， 設(shè)y＝|2x＋1|－|x－2|－3x＋2， 則y＝ 由y＞0，解得x＜， 所以原不等式的解集為. (2)當(dāng)x∈時(shí)，f(x)＝－2x－1－x＋a＝－3x－ 1＋a，不等式f(x)≥g(x)可化為a≥6x－1. 設(shè)h(x)＝6x－1， 則h(x)min＝h(a)＝6a－1， 由題意知a≥h(x)min＝6a－1，解得a≤. 又a＜－， 所以a的取值范圍是.  典例　(10分)已知函數(shù)f(x)＝|3x＋2|. (1)解不等式f(x)＜4－|x－1|； (2)已知m＋n＝1(m，n＞0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a＞0)對(duì)任意的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 審題路線圖 (1)―→ (2)? ―→ 規(guī)范解答評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 解　(1)不等式f(x)＜4－|x－1|， 即|3x＋2|＋|x－1|＜4， 當(dāng)x＜－時(shí)，不等式可化為－3x－2－x＋1＜4， 解得－＜x＜－；1分 當(dāng)－≤x≤1時(shí)，不等式可化為3x＋2－x＋1＜4， 解得－≤x＜；2分 當(dāng)x＞1時(shí)，不等式可化為3x＋2＋x－1＜4，無(wú)解.3分 綜上所述，不等式的解集為.4分 (2)＋＝(m＋n)＝1＋1＋＋≥4， 當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝時(shí)，等號(hào)成立.5分 令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|＝ ∴當(dāng)x＝－時(shí)，g(x)max＝＋a.8分 要使不等式|x－a|－f(x)≤＋對(duì)任意的x∈R恒成立，只需g(x)max＝＋a≤4， 即0＜a≤.10分 構(gòu)建答題模板 [第一步]　解不等式； [第二步]　轉(zhuǎn)化：將恒成立問(wèn)題或有解問(wèn)題轉(zhuǎn)化成最值問(wèn)題； [第三步]　求解：利用求得的最值求解取值范圍. 1.(2018全國(guó)Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|. (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)＞1的解集； (2)若x∈(0,1)時(shí)不等式f(x)＞x成立，求a的取值范圍. 解　(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝|x＋1|－|x－1|， 即f(x)＝ 故不等式f(x)＞1的解集為. (2)當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，|x＋1|－|ax－1|＞x成立等價(jià)于當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，|ax－1|＜1成立. 若a≤0，則當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，|ax－1|≥1； 若a＞0，則|ax－1|＜1的解集為， 所以≥1，故0＜a≤2. 綜上，a的取值范圍為(0,2]. 2.已知關(guān)于x的不等式m－|x－2|≥1的解集為[0,4]. (1)求m的值； (2)若a，b均為正整數(shù)，且a＋b＝m，求a2＋b2的最小值. 解　(1)不等式m－|x－2|≥1可化為|x－2|≤m－1(m－1>0)， ∴1－m≤x－2≤m－1， 即3－m≤x≤m＋1. ∵其解集為[0,4]， ∴解得m＝3，滿足m－1>0，故m＝3. (2)由(1)知a＋b＝3. ∵(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤(a2＋b2)＋(a2＋b2)＝2(a2＋b2)， ∴a2＋b2≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)取等號(hào)， ∴a2＋b2的最小值為. 3.已知函數(shù)f(x)＝，a∈R. (1)若不等式f(x)≥2－恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)當(dāng)a＝1時(shí)，直線y＝m與函數(shù)f(x)的圖象圍成三角形，求m的取值范圍. 解　(1)因?yàn)閒(x)≥2－恒成立， 即＋|x－1|≥1恒成立， 所以min≥1成立， 由＋|x－1|≥＝， 得≥1， 解得a≤0或a≥4， 所以a的取值范圍為(－∞，0]∪[4，＋∞). (2)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝ ＝ 作出f(x)的圖象，如圖所示. 由圖象可知，當(dāng)＜m≤1時(shí)，直線y＝m與函數(shù)f(x)的圖象圍成三角形， 故所求m的取值范圍為. 4.(2018全國(guó)Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|. (1)畫出y＝f(x)的圖象； (2)當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)≤ax＋b恒成立，求a＋b的最小值. 解　(1)f(x)＝ y＝f(x)的圖象如圖所示. (2)由(1)知，y＝f(x)的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，且各部分所在直線斜率的最大值為3，故當(dāng)且僅當(dāng)a≥3且b≥2時(shí)，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)上恒成立，因此a＋b的最小值為5.