（浙江專版）2018年高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.3.3 函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)學案 新人教A版選修2-2.doc

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1．3.3　函數(shù)的最大(小)值與導數(shù) 預習課本P29～31，思考并完成下列問題 (1)什么是函數(shù)的最值？函數(shù)在閉區(qū)間上取得最值的條件是什么？ 　 (2)函數(shù)的最值與極值有什么關(guān)系？ 　 (3)求函數(shù)最值的方法和步驟是什么？ 　 　 　　　　 1．函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上取得最值的條件 如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值． [點睛]　對函數(shù)最值的三點說明 (1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值，開區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)不一定有最值. 若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值． (2)函數(shù)的最大值和最小值是一個整體性概念． (3)函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上連續(xù)，是函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分而非必要條件． 2．求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟 (1)求函數(shù)y＝f(x)在(a,_b)內(nèi)的極值． (2)將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值． [點睛]　函數(shù)極值與最值的關(guān)系 (1)函數(shù)的極值是函數(shù)在某一點附近的局部概念，函數(shù)的最大值和最小值是一個整體性概念． (2)函數(shù)的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值是比較極值點附近的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值可以有多個，但最值只能有一個． (3)極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點處取得．有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值不在端點處取得時必定是極值． 1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)函數(shù)的最大值一定是函數(shù)的極大值．(　　) (2)開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值．(　　) (3)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值一定在兩個端點處取得．(　　) 答案：(1)　(2)√　(3) 2．若函數(shù)f(x)＝－x4＋2x2＋3，則f(x)(　　) A．最大值為4，最小值為－4 B．最大值為4，無最小值 C．最小值為－4，無最大值 D．既無最大值，也無最小值 答案：B 3．函數(shù)f(x)＝3x＋sin x在x∈[0，π]上的最小值為________． 答案：1 4．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在區(qū)間[－2，－1]上的最大值就是函數(shù)f(x)的極大值，則m的取值范圍是________． 答案：(－4，－2)  求函數(shù)的極值 [典例]　求函數(shù)f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5在區(qū)間[－2，＋∞)上的最值． [解]　f′(x)＝12x2＋6x－36，令f′(x)＝0， 得x1＝－2，x2＝. 當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x －2 f′(x) 0 － 0 ＋ f(x) 57  －  由于當x＞時，f′(x)＞0， 所以f(x)在上為增函數(shù)． 因此，函數(shù)f(x)在[－2，＋∞)上只有最小值－，無最大值． 求函數(shù)最值的四個步驟 第一步求函數(shù)的定義域． 第二步求f′(x)，解方程f′(x)＝0. 第三步列出關(guān)于x，f(x)，f′(x)的變化表． 第四步求極值、端點值，確定最值．　　　　 [活學活用] 函數(shù)y＝x＋2cos x在上取最大值時，x的值為(　　) A．0　　　　　　　　　　 　B. C. D. 解析：選B　y′＝1－2sin x，令y′＝0，得sin x＝， ∵x∈，∴x＝. 由y′>0得sin x<， ∴0≤x<；由y′<0得sin x>，∴2>，∴當x＝時取最大值，故應選B. 由函數(shù)的最值求參數(shù)的取值范圍 [典例]　 (1)函數(shù)f(x)＝x3－x2－x＋a在區(qū)間[0,2]上的最大值是3，則a等于(　　) A．3　　B．1　　　C．2　　　D．－1 (2)已知函數(shù)f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值，并求f(x)在[－2，2]上的最大值． [解析]　(1)f′(x)＝3x2－2x－1， 令f′(x)＝0，解得x＝－(舍去)或x＝1， 又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2， 則f(2)最大，即a＋2＝3， 所以a＝1. 答案：B (2)解：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)， 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. 又f(0)＝a，f(2)＝a－8，f(－2)＝a－40. f(0)>f(2)>f(－2)， 所以當x＝－2時，f(x)min＝a－40＝－37，得a＝3. 所以當x＝0時，f(x)max＝3. 已知函數(shù)最值求參數(shù)的步驟 (1)求出函數(shù)在給定區(qū)間上的極值及函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值． (2)通過比較它們的大小，判斷出哪個是最大值，哪個是最小值． (3)結(jié)合已知求出參數(shù)，進而使問題得以解決．　　　　　　 [活學活用] 已知函數(shù)f(x)＝ax3－6ax2＋b，問是否存在實數(shù)a，b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29，若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由． 解：存在．顯然a≠0. f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)． 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)． (1)當a>0，x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如表： x [－1,0) 0 (0,2] f′(x) ＋ 0 － f(x) 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 所以當x＝0時，f(x)取得最大值，所以f(0)＝b＝3. 又f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(－1)>f(2)． 所以當x＝2時，f(x)取得最小值， 即－16a＋3＝－29，解得a＝2. (2)當a<0，x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如表： x [－1,0) 0 (0,2] f′(x) － 0 ＋ f(x) 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 所以當x＝0時，f(x)取得最小值，所以b＝－29. 又f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29， f(2)>f(－1)． 所以當x＝2時，f(x)取得最大值， ∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2， 綜上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29. 與最值有關(guān)的恒成立問題 [典例]　已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－與x＝1處都取得極值． (1)求a，b的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間． (2)若對x∈[－1,2]，不等式f(x)f(2)＝2＋c， 解得c<－1或c>2. 故c的取值范圍為(－∞，－1)∪(2，＋∞)． [一題多變] 1．[變設問]若本例中條件不變，“把(2)中對x∈[－1,2]，不等式f(x)c－， 所以f(1)＝c－為最小值． 因為存在x∈[－1,2]，不等式f(x)f(1)＝c－，即2c2－2c＋3＞0， 解得c∈R. 2．[變條件，變設問]已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax＋b(a，b∈R)在x＝2處取得極小值－. (1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間． (2)若f(x)≤m2＋m＋在[－4,3]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍． 解：(1)f′(x)＝x2＋a，由f′(2)＝0，得a＝－4； 再由f(2)＝－，得b＝4. 所以f(x)＝x3－4x＋4，f′(x)＝x2－4. 令f′(x)＝x2－4>0，得x>2或x<－2. 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－2)，(2，＋∞)． (2)因為f(－4)＝－，f(－2)＝，f(2)＝－， f(3)＝1， 所以函數(shù)f(x)在[－4,3]上的最大值為. 要使f(x)≤m2＋m＋在[－4,3]上恒成立， 只需m2＋m＋≥， 解得m≥2或m≤－3.所以實數(shù)m的取值范圍是(－∞，－3]∪[2，＋∞)． 恒成立問題向最值轉(zhuǎn)化的方法 (1)要使不等式f(x)f(x)max，則上面的不等式恒成立． (2)要使不等式f(x)>h在區(qū)間[m，n]上恒成立，可先在區(qū)間[m，n]上求出函數(shù)f(x)的最小值f(x)min，只要f(x)min>h，則不等式f(x)>h恒成立．　　　　 層級一　學業(yè)水平達標 1．設M，m分別是函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，則f′(x)(　　) A．等于0　　　　　　　　 　B．小于0 C．等于1 D．不確定 解析： 選A　因為M＝m，所以f(x)為常數(shù)函數(shù)，故f′(x)＝0，故選A. 2．函數(shù)y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分別是(　　) A．12，－8 B．1，－8 C．12，－15 D．5，－16 解析：選A　y′＝6x2－6x－12， 由y′＝0?x＝－1或x＝2(舍去)． x＝－2時，y＝1；x＝－1時，y＝12；x＝1時，y＝－8. ∴ymax＝12，ymin＝－8.故選A. 3．函數(shù)f(x)＝x4－4x(|x|<1)(　　) A．有最大值，無最小值 B．有最大值，也有最小值 C．無最大值，有最小值 D．既無最大值，也無最小值 解析：選D　f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)． 令f′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1)且1?(－1,1)， ∴該方程無解，故函數(shù)f(x)在(－1,1)上既無極值也無最值．故選D. 4．函數(shù)f(x)＝2＋，x∈(0,5]的最小值為(　　) A．2 B．3 C. D．2＋ 解析：選B　由f′(x)＝－＝＝0，得x＝1， 且x∈(0,1)時，f′(x)＜0，x∈(1,5]時，f′(x)＞0， ∴x＝1時，f(x)最小，最小值為f(1)＝3. 5．函數(shù)y＝的最大值為(　　) A．e－1 B．e C．e2 D．10 解析：選A　令y′＝＝＝0?x＝e.當x＞e時，y′＜0；當0＜x＜e時，y′＞0，所以y極大值＝f(e)＝e－1，在定義域內(nèi)只有一個極值，所以ymax＝e－1. 6．函數(shù)y＝－x(x≥0)的最大值為__________． 解析：y′＝－1＝，令y′＝0得x＝. ∵0＜x＜時，y′＞0；x＞時，y′＜0. ∴x＝時，ymax＝－＝. 答案： 7．函數(shù)f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最小值為________． 解析：f′(x)＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)． 令f′(x)＝0，得x＝1(e－x＞0)， ∴f(1)＝＞0，f(0)＝0，f(4)＝＞0， 所以f(x)的最小值為0. 答案：0 8．若函數(shù)f(x)＝x3－3x－a在區(qū)間[0,3]上的最大值、最小值分別為m，n，則m－n＝________. 解析：∵f′(x)＝3x2－3， ∴當x＞1或x＜－1時，f′(x)＞0； 當－1＜x＜1時，f′(x)＜0. ∴f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，在[1,3]上單調(diào)遞增． ∴f(x)min＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n. 又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0)＜f(3)． ∴f(x)max＝f(3)＝18－a＝m， ∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20. 答案：20 9．設函數(shù)f(x)＝ex－x2－x. (1)若k＝0，求f(x)的最小值； (2)若k＝1，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性． 解：(1)k＝0時，f(x)＝ex－x，f′(x)＝ex－1. 當x∈(－∞，0)時，f′(x)<0；當x∈(0，＋∞)時，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)的最小值為f(0)＝1. (2)若k＝1，則f(x)＝ex－x2－x，定義域為R. ∴f′(x)＝ex－x－1，令g(x)＝ex－x－1， 則g′(x)＝ex－1， 由g′(x)≥0得x≥0，所以g(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增， 由g′(x)<0得x<0，所以g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減， ∴g(x)min＝g(0)＝0，即f′(x)min＝0，故f′(x)≥0. 所以f(x)在R上單調(diào)遞增． 10．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲線y＝f(x)在點P(1，f(1))處的切線方程為y＝3x＋1. (1)求a，b的值； (2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值． 解：(1)依題意可知點P(1，f(1))為切點，代入切線方程y＝3x＋1可得，f(1)＝31＋1＝4， ∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2， 又由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得， 又f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 而由切線y＝3x＋1的斜率可知f′(1)＝3， ∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0， 由解得 ∴a＝2，b＝－4. (2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5， f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)， 令f′(x)＝0，得x＝或x＝－2. 當x變化時，f(x)，f′(x)的變化情況如下表： x －3 (－3，－2) －2 1 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 8  極大值  極小值  4 ∴f(x)的極大值為f(－2)＝13，極小值為f＝， 又f(－3)＝8，f(1)＝4， ∴f(x)在[－3,1]上的最大值為13. 層級二　應試能力達標 1．函數(shù)f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)內(nèi)有最小值，則a的取值范圍為(　　) A．[0,1)　　　　　　　 　B．(0,1) C．(－1,1) D. 解析：選B　∵f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2，又∵x∈(0,1)，∴0＜a＜1，故選B. 2．若函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x＋k在區(qū)間[－4,4]上的最大值為10，則其最小值為(　　) A．－10 B．－71 C．－15 D．－22 解析：選B　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．由f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71. 3．設直線x＝t與函數(shù)f(x)＝x2，g(x)＝ln x的圖象分別交于點M，N，則當|MN|達到最小值時t的值為(　　) A．1 B. C. D. 解析：選D　因為f(x)的圖象始終在g(x)的上方，所以|MN|＝f(x)－g(x)＝x2－ln x，設h(x)＝x2－ln x，則h′(x)＝2x－＝，令h′(x)＝＝0，得x＝，所以h(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當x＝時有最小值，故t＝. 4．函數(shù)f(x)＝x3＋ax－2在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞) C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3) 解析：選B　∵f(x)＝x3＋ax－2在[1，＋∞)上是增函數(shù)，∴f′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立，又∵在[1，＋∞)上(－3x2)max＝－3，∴a≥－3. 5．已知函數(shù)f(x)＝ax－ln x，若f(x)＞1在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)恒成立，實數(shù)a的取值范圍為________． 解析：由題意知a＞在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)恒成立． 設g(x)＝，則g′(x)＝－＜0(x＞1)， ∴g(x)＝在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減， ∴g(x)＜g(1)， ∵g(1)＝1， ∴＜1在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)恒成立， ∴a≥1. 答案：[1，＋∞) 6．已知函數(shù)y＝－x2－2x＋3在區(qū)間[a,2]上的最大值為，則a＝________. 解析：y′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1，∴函數(shù)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增，在(－1，＋∞)上單調(diào)遞減．若a＞－1，則最大值為f(a)＝－a2－2a＋3＝，解之得a＝－；若a≤－1，則最大值為f(－1)＝－1＋2＋3＝4≠.綜上知，a＝－. 答案：－ 7．已知a∈R，函數(shù)f(x)＝x2(x－a)． (1)當a＝3時，求f(x)的零點； (2)求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值． 解：(1)當a＝3時，f(x)＝x2(x－3)， 令f(x)＝0，解得x＝0或x＝3. (2)設此最小值為m， 而f′(x)＝3x2－2ax＝3x，x∈(1,2)， ①當a≤0時，在1＜x＜2時，f′(x)＞0， 則f(x)是區(qū)間[1,2]上的增函數(shù)，所以m＝f(1)＝1－a； ②當a＞0時， 在x＜0或x＞時，f′(x)＞0， 從而f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)； 在0＜x＜時，f′(x)＜0， 從而f(x)在區(qū)間上是減函數(shù)． ⅰ當a≥2，即a≥3時，m＝f(2)＝8－4a； ⅱ當1＜a＜2，即＜a＜3時，m＝f＝－. ⅲ當0＜a≤1，即0＜a≤時，m＝f(1)＝1－a. 綜上所述，所求函數(shù)的最小值m＝ 8．已知函數(shù)f(x)＝ln x＋. (1)當a<0時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若函數(shù)f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值． 解：函數(shù)f(x)＝ln x＋的定義域為(0，＋∞)， f′(x)＝－＝， (1)∵a<0，∴f′(x)>0， 故函數(shù)在其定義域(0，＋∞)上單調(diào)遞增． (2)x∈[1，e]時，分如下情況討論： ①當a<1時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，其最小值為f(1)＝a<1，這與函數(shù)在[1，e]上的最小值是相矛盾； ②當a＝1時，函數(shù)f(x)在[1，e]上單調(diào)遞增，其最小值為f(1)＝1，同樣與最小值是相矛盾； ③當10，f(x)單調(diào)遞增， 所以，函數(shù)f(x)的最小值為f(a)＝ln a＋1，由ln a＋1＝，得a＝. ④當a＝e時，函數(shù)f(x)在[1，e]上有f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，其最小值為f(e)＝2，這與最小值是相矛盾； ⑤當a>e時，顯然函數(shù)f(x)在[1，e]上單調(diào)遞減，其最小值為f(e)＝1＋>2，仍與最小值是相矛盾； 綜上所述，a的值為.