概率論第三章習題解答.doc

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第三章習題解 1　在一箱子中裝有12只開關，其中2　只是次品，在其中任取兩次，每次任取一只，考慮兩種試驗：（1）放回抽樣；（2）不放回抽樣。定義隨機變量，如下： 　　　　 　　　　 試分別就（1），（2）兩種情況寫出，的聯(lián)合分布律。 解?。?）放回抽樣 　　　 由于每次抽取時都是12只開關，第一次取到正品有10種可能，即第一次取到正品的概率為　　　， 第一次取出的是次品的概率為　　 同理，第二次取到正品的概率 　　　第二次取到次品的概率為 由乘法公式得，的聯(lián)合分布率為 ，，。 具體地有 ，， 　　， 用表格的形式表示為 　　 0　　　　　1 　 　0 　1 　　　　 　　　　 （2）不放回抽樣 　　， 因為第二次抽取時，箱子里只有11只開關，當?shù)谝淮纬槿〉氖钦罚瑒t箱子中有9只正品）。所以 　　，　　 　　，　　 則　， 　　， 用表格表示為 　　　 0　　　　　1 　 　0 　1 　　　　 　　　　 2?。?）盒子里裝有3只黑球，2只紅球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到紅球的只數(shù)，求X和Y的聯(lián)合分布律。 　（2）在（1）中求，，，。 解　X可能的取值為0，1，2，3；Y的可能取值為0，1，2。 　?。ㄒ驗楹凶永锟偣仓挥?只球，每次取4只球，而紅球2只，故不可能白球和黑球同時都取不到） 　，　　 　　　　。 。　　 ，　 ， ，　　 ， 其聯(lián)合分布律為 　　 0　　　　1　　　　2　　　　3 　　0 　 1 　 2 0　　　　　0　　　　　　 0　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　0 （2） 　　　　　　　 　　　　　　　 　??； 　　 　　　　　　　　。 　　　　　　。 3　設隨機變量的概率密度為 　　　　　 （1）確定常數(shù)； （2）求； （3）求； （4）。 解　由得 令，　　得。 （2） 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　 （積分區(qū)域為，） 　　　　　　 　　　　　　。 4 設，是非負的連續(xù)型隨機變量，它們相互獨立。 （1）證明　，其中是的分布函數(shù)，是的概率密度。 （2）設，相互獨立，其概率密度分別為 　　　　　，　　 求。 解?。?）因為，是非負的連續(xù)型隨機變量，且相互獨立，所以，在區(qū)域內(nèi) 　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　?。ǚ植糠e分） 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 （2）　　　 　　　　　　　　　 5　設隨機變量具有分布函數(shù) 　　　　， 求邊緣分布函數(shù)。 解　當時 其它情形　，即 。 同理　當時 其它情形　，即 　　。 6　將一枚硬幣擲三次，以X表示前兩次中出現(xiàn)H的次數(shù)，以Y表示3次中出現(xiàn)H的次數(shù)，求X，Y的聯(lián)合分布律以及的概率密度。 解　將一枚硬幣擲三次，其H和T出現(xiàn)的情況為 ｛HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT｝ X的取值為0,1，2，Y的取值為0，1,2，3則 （TTT），　　　?。═TH） ，　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　（HTT，THT） 　（HHT，THH）　 　　　　　　　　　　 　?。℉HT）　　　　　　?。℉HH）　 0　　　　1　　　　2 　　0 　　 　　1　　 2 3 　　　　0　　　0 　　　　　　0 0　　　　　　 0　　　　0　　　 　　　　　　　　　　　　 7　設二維隨機變量的概率密度為 　　　 　求邊緣概率密度。 解　當　時 　　 當　時 　　 8　設二維隨機變量的概率密度為 　　　　　　 求邊緣概率密度 解　當時， 　　　　　　于是　　 　　當時 　　　　　于是　 9設二維隨機變量的概率密度為 　　　 （1）確定常數(shù)； （2）求邊緣概率密度 解?。?）　因為　 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 令　，得。即 （2）　　當時 于是　　 當時 　　　　 于是　　 　　10　某一醫(yī)藥公司8月份和9月份收到的青霉素針劑的訂貨單數(shù)分別記為X和Y。據(jù)以往積累的資料知X，Y的聯(lián)合分布律為 　　　 51　　52　　53　　54　　55 51 52 53 54 55 0.66　0.05　0.05　0.01　0.01 0.07　0.05　0.01　0.01　0.01 0.05　0.10　0.10　0.05　0.05 0.05　0.02　0.01　0.01　0.03 0.05　0.06　0.05　0.01　0.03 （1）求邊緣分布律； （2）求8月份的訂單數(shù)為51時，9月份訂單數(shù)的條件概率。 解（1）邊緣概率　 　　　 　　　 51　　52　　53　　54　　55 51 52 53 54 55 0.06　0.05　0.05　0.01　0.01 0.07　0.05　0.01　0.01　0.01 0.05　0.10　0.10　0.05　0.05 0.05　0.02　0.01　0.01　0.03 0.05　0.06　0.05　0.01　0.03 0.18 0.15 0.35 0.12 0.20 0.28　0.28　0.22　0.09　0.13 （2）由條件概率計算公式，得 　　　　 　　 51　　　52　　　53　　　54　　　55 　　 　　　　　　　　　　　 11　以X記某醫(yī)院一天出生的嬰兒的個數(shù)，Y記其中男嬰的個數(shù)。設X和Y的聯(lián)合分布律為 　　　　　， （1）求邊緣分布律； （2）求條件分布律； （3）寫出時的條件分布律。 解　因為Y記錄的是男嬰的個數(shù)，他是當天出生全體嬰兒的一個子集，故 　　　　 　　　　 ，。 　　 　?。睿? 　　　（） 　　，。 （2）求條件概率 　　 　　　　　　　　　　 　。 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 （3），。 12　求1例1中的條件分布律。 解　1例1設隨機變量在1,2，3,4四個整數(shù)中等可能的取一值，另一個隨機變量在中等可能的取一個整數(shù)值，則的分布律為 　　　 　1　　2　　3　　4 1　 2　 3 4 　　　　 0　　　　　 0　　0　　　 0　　0　　0　　 其對應的邊緣分布 　　　 　　　　　　　 　1　　2　　3　　4 　 1　 2　 3 4 　　　　 0　　　　　 0　　0　　　 0　　0　　0　　 　　　　　 其對應的條件分布律為 由得： ，，，　，，即 1 1 同理，由得： 　　　 　　　， 　　　， 　　　， 　　，即 1　　　　2 　　　 由得： 　　 　　， 　　， 　，即 1　　　　2　　　3 　　　　　　 由得 　　， 　　， 　　， 　　，即 1　　　　2　　　3　　　　4 　　　　　　　　　 13　在第9題中 　?。?）求條件概率密度，特別，寫出當時的條件概率密度； （2）求條件概率密度，特別，寫出當，時的條件概率密度。 解　因為　　　， 　　　　　　　 （1）　　 　　　　　　　。 特別地，時的條件概率密度 　　　 （2） 　　特別地，當時的條件概率密度 　　　　　　， 　　　　　　當時的條件概率密度 14　設隨機變量的概率密度為 　　　　 求條件概率密度。 解?。á。‘敃r，， 　　　 　　　　　　　　　　　 當時，于是對應的邊緣概率密度為 　　　　　　 （ⅱ）當時， 　　　　　　 當時，對應的邊緣分布概率密度　 15設隨機變量，當給定時，隨機變量的條件概率密度為 　　　　　 求（1）和的聯(lián)合概率密度； 　（2）求邊緣概率密度； ?。?）求 解　由乘法公式知 　　　 又因為隨機變量，即 　　　　　　，所以　 （2）　。 （3） 16?。?）問第1題中的兩個隨機變量和是否相互獨立。 　?。?）問第14題中的兩個隨機變量和是否相互獨立。 解　?。?）第1題的兩個隨機變量為（放回抽樣和不放回抽樣） 　， 對于放回抽樣來說，由于樣本空間的樣本沒有變化，所以第一次抽取的結果并不影響第二次抽取的結果，所以兩個隨機變量和是相互獨立的。 對于不放回抽樣來說，由于樣本空間的樣本發(fā)生了變化，所以第一次抽取的結果對第二次抽取的結果有影響，，所以兩個隨機變量和不是相互獨立的。 （2）因為兩個邊緣密度分別為 　　　當時，　 　　　當時， 而　　， 所以和不是相互獨立的。 17　（1）設隨機變量具有分布函數(shù) 　　　　，。 證明和相互獨立。 　　?。?）設隨機變量具有分布律 　　　　　　，，和均為正整數(shù)。 問和是否相互獨立。 解　因為（只有時才有，此時的表達式不含）； 　 所以　　，即和相互獨立。 (2)　因為， 　　　　， , 所以　即和相互獨立。 具體地，其聯(lián)合分布律（列表）如下： 1 2 3 … n … 1 2 3 n … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 　　　　； 　　　　 　　　　　 　　　　　 　　　　　 　　　　　 一般地　 1　　2　　　　　3　　　　 　　 1　　2　　　　　3　　　　 　　 由此可知和是相互獨立的。 18 設和是兩個相互獨立的，在區(qū)間上服從均勻分布，的概率密度為 　　　　　　　　， （1）求和的聯(lián)合概率密度； （2）設有有二次方程，試求有實根的概率。 解?。?）因為在區(qū)間上服從均勻分布，所以 　　　　　　 又和是兩個相互獨立的，故其聯(lián)合分布概率密度為 （2）方程有?的充分必要條件是，即 　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　。 　　　　　　　 19　進行打靶，設彈著點的坐標和相互獨立，且都服從分布， 規(guī)定：點落在區(qū)域得2分； 點落在區(qū)域得1分 點落在區(qū)域得0分； 以記打靶的得分，寫出，的聯(lián)合概率密度，并求的分布律。 解?。?）因為和相互獨立，且都服從分布，所以，的聯(lián)合概率密 　　　　　　 　　　（2）以記打靶的得分，求的分布律 　　　　因為的取值為0，1，2 　　　　　　 用極坐標計算：令，則，， ，，代入上式，得 　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　??； 　　　　　 　　　　 　　　　　　　　　　　 　即 0 1 2 20　設和相互獨立的隨機變量，其概率密度分別為 　　　　， 其中，是常數(shù)，引入隨機變量　 　　　　 　（1）求條件概率密度； ?。?）求的分布律和分布函數(shù)。 解?。?）和相互獨立的隨機變量，所以 　　　 （2）和相互獨立的隨機變量因為，所以其聯(lián)合分布密度為 　　　　 　　 　　　　　　 　　　　 　　　　　。 即 0 1 21　設隨機變量的概率密度為 　　　　　　 分別求（1），（2）的概率密度。 解　設所求的概率密度為，因為 （1） 　　　　　　（?。? 顯然只有當時，。而使的與的變化范圍：當，即時，中的被積函數(shù)不等于0 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 即　　　 也可以用分布函數(shù)求 設的分布函數(shù)為，則 當時，；　 當時， 　　　　　　　　　其中 　　　　　　 當時，因為只在矩形區(qū)域上不等于0，故 　　　　　 　　　　　　　　 　其中（位于矩形區(qū)域的右上的三角形區(qū)域） 　當時， 所以　　　　 由此知　的概率密度為 　　　　　。 (2)　 　　　由教材之（5.8）知當時其概率密度為 又僅當，即時，上述積分的被積函數(shù)不。由此可得 　　　 　　　即　　　。 22設和是相互獨立的隨機變量，其概率密度分別為 　　　　， 求隨機變量的概率密度。 解　由卷積公式知的概率密度為 　　　　 當時，； 當時， 當時，由知。 即　 23某種商品一周的需求是一個隨機變量，其概率密度為 　　　　　　　 設各周的量是相互獨立的，求（1）兩周，（2）三周的需求量的概率密度。 解　設第一周的需求量為，第二周的需求量為，則 　　　，。 兩周的需求量， 當時， 　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　故　　 　　?。?）設三周的需求量為，則由（1）知當時　 　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　故　　　。 　　24　設隨機變量的概率密度為 　　　　　　　 　　　?。?）問和是否相互獨立？ 　　　?。?）求的概率密度。 解　　因為　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　故的概率密度為 　　　　　　　　　　 　　　　同理的概率密度為 　　　　　　　　　　 所以　　不等于。 即　　　　　和不是相互獨立的。 （2）由教材3.5公式（5.1）知 　　　　　 而上述被積函數(shù)只有當 　　　　　，即　時才不等于0。所以 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　。 25　設隨機變量，相互獨立，且具有的分布，它們的概率密度均為 　　　　　 求的概率密度。 解　因為，相互獨，所以，由卷積公式得 　　　　 　　　而， 僅當，即時，上述卷積不為0 　　　于是　　 　　　　　　　　　。 26　設隨機變量，是相互獨立的，它們的概率密度均為 　　　　　求的概率密度。 解　由教材公式（5.7）知的概率密度為 　　　　 而， 　　　所以 又僅當，即時，上述積分不等于0， 于是當時有 　　 　　　　　 　　　　　 于是　。 27　設隨機變量和相互獨立，它們都在區(qū)間服從均勻分布。是以和為邊長的矩形的面積，求的分布概率密度。 解　由于面積是隨機變量和的乘積，即，所以也是隨機變量。問題實際上就是要求在和的邊緣分布概率密度時的概率密度。 因為　　， 由于隨機變量和相互獨立，所以 　　　 又只有當，即時上述積分才不等于0。 　　時 　　　　　　 于是　　　。 28　設隨機變量和相互獨立，它們都服從正態(tài)分布，試驗證隨機變量　　　　具有概率密度（稱為服從參數(shù)為的瑞利（Rayleigh）分布） 　　　　　　 解　由于隨機變量和獨立同分布，有 　　　　 　　　　　　　 當時，是不可能事件，，； 當時， 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　，其中。 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 所以　當時， 　　　　　　 即隨機變量服從參數(shù)為的瑞利（Rayleigh）分布。 29　設隨機變量的概率密度為 　　　　　　 　?。?）試確定常數(shù)； 　?。?）求邊緣概率密度， 　?。?）求函數(shù)的分布函數(shù)。 解　?。?）確定常數(shù) 　因為　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　所以　 　　?。?）求邊緣概率密度， 　　　　因為 　　　　所以　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　，。 　　　　同理　　 　　　　　　　　　　　　?。ǎ? 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　。 即　　　　　?。? 　　　　　　。 　　　（3）求函數(shù)的分布函數(shù) 　　　　　由于，故與相互獨立。 　　　　　。 　　　　。 于是 　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　。 30　設某種型號的電子管的壽命（以小時計）近似地服從分布，隨機地抽取4只，求其中沒有只壽命小于180的概率。 　　　　 解　隨機地取4只，其壽命記作，，，，由題設知，它們是獨立同分布的，且 ，。 記，事件“隨機地抽取4只沒有只壽命小于180”即 　　　 　　　　　　　　　　?。ㄓ山滩墓剑?.14）） 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 31　對某種電子裝置的輸出測量了5次，得到的結果為，，，，，設它們是相互獨立的隨機變量且都服從參數(shù)為的瑞利分布， （1）求的分布函數(shù)； （2）求； 解?。?）　因為，，，，是相互獨立且都服從參數(shù)為的瑞利分布　　　　即　　　　　　 　 　　所以　　　　 　　　　 　　　　　　 ?。?）　 　　　　　　　　　　 （注：，，）。 　　　　32　設隨機變量和相互獨立且服從同一分布，試證明： 　　　　　　　　　，（）。 　　　　　證明　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　（和相互獨立） 　　　　　　　　　　　　?。ê屯植迹? 　　　　　　　　　　 33　設隨機變量和相互獨立，其分布律為 　　　　　　　　 　　　　　　　　 證明隨機變量的分布律為 　　　　　　　 證明　因為隨機變量和相互獨立，則 　　　　　　　　， 　　　所以 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　，。 34　設和相互獨立的隨機變量，，，證明 證明　因為和相互獨立的隨機變量，故 所以　 　　　　 　　　　　?。ㄊ桥ｎD二項式的一般項。） 　　　， 即（服從參數(shù)為的泊松分布。） 35　設，證明 　 證明　因為和相互獨立的隨機變量，且 　　　　，，則 　　　　　　　　 　　　　　　　　　。 即。 36設隨機變量的分布律 　　　 　　 　 　　0　　　　1　　　　2　　　　3　　　　4　　　　　5 0 1 2　 3 0.00　　　0.01　　　0.01　　0.05　　　0.07　　　0.09 0.01　　　0.02　　　0.04　　0.05　　　0.06　　　0.08 0.01　　　0.03　　　0.05　　0.05　　　0.05　　　0.06 0.01　　　0.02　　　0.04　　0.06　　　0.06　　　0.05 （1） 求，； （2） 求的分布律； （3） 求的分布律； （4） 求的分布律。 解　由所給分布律可得對應的邊緣分布律： 　　 　 　　0　　　　1　　　　2　　　　3　　　　4　　　　　5 0 1 2　 3 0.00　　　0.01　　　0.03　　0.05　　　0.07　　　0.09 0.01　　　0.02　　　0.04　　0.05　　　0.06　　　0.08 0.01　　　0.03　　　0.05　　0.05　　　0.05　　　0.06 0.01　　　0.02　　　0.04　　0.06　　　0.06　　　0.05 0.25 0.26 0.25 0.24 　　　 　 0.03　　　0.08　　　0.16　　0.21　　　0.24　　　0.28 （1） 。 （2） 　　　　　　　 　　　　　　　　 由此得 　　　 　　　 　　　　　　　??； 　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　 　　 　 　　 　 　　　　　　 　 　　　　　 0　　　　1　　　　2　　　　3　　　　4　　　　5 　　0　　　　0.03　　0.16　　　0.28　　0.24　　0.29 （3）　　　　　　　　 　　 　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　 　　　　　 　　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　 　 　　　　 即　 0　　　　1　　　　2　　　　3　　　　 　　0.28　　0.30　　0.25　　　0.17　 （3）求的分布律 　　　因為，所以 　　　　 　　　　 　　　 　　　　　 　　　　 　 　　　　　　 　　 　　 　　 即　 0　　1　　　　2　　　3　　　4　　　5　　　6　　　7　　　8　　　　 0　　0.02　　0.06　　0.13　0.19　0.24　　0.19　　0.12　0.05　　 　 　　　　注2012年2月2日晚23：05分完成本章全部習題解答。