《信號與系統(tǒng)》第三次作業(yè).doc

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《信號與系統(tǒng)》第三次作業(yè) 姓名： 學號： 1. 試由s域求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，零狀態(tài)響應，零輸入響應及完全響應。 （1） ，， 將式中②兩邊求導后代入式①，隨即求得系統(tǒng)的數(shù)學模型為 將式③進行拉氏變換，得 由于在零狀態(tài)下，故有 則得Y(s)=H(s)X(s)⑥ 可見，在系統(tǒng)初始不儲能的零狀態(tài)下，系統(tǒng)輸出的拉氏變換等于輸入的拉氏變換乘以H(s)，即 從式⑤、⑥可見，H(s)取決于系統(tǒng)的構(gòu)成和有關參數(shù)（系數(shù)），而與輸入信號無關，它反映了輸入信號通過系統(tǒng)以后所產(chǎn)生的變化，如系統(tǒng)的輸入x(t)=u(t)，是有 （2） ，， 當系統(tǒng)的輸入是單位沖激信號，即，則從式⑥求得 Y(s)=H(s), y(t)=h(t) 上式表明系統(tǒng)在單位沖激激勵下，其輸出就等于系統(tǒng)的單位沖激響應h(t)，如圖所示，它恰好等于系統(tǒng)函數(shù)的拉氏反變換。所以系統(tǒng)函數(shù)又可定義為單位沖激響應的拉氏變換，即 一旦測得系統(tǒng)的沖激響應，隨即求得系統(tǒng)函數(shù)。同理，己知系統(tǒng)函數(shù)，隨即求得相應的沖激響應。 系統(tǒng)函數(shù)H(S)在S域表征連續(xù)系統(tǒng)的傳輸特性，而單位沖激響應h(t)是在時域描述連續(xù)系統(tǒng)的時間特性，因此它是時域分析最基本和最重要的特性參數(shù)。 2. 求離散時間LTI系統(tǒng)的零輸入響應、零狀態(tài)響應和完全響應。 （1），， 通過以上分析，若己知一個連續(xù)系統(tǒng)在作用下的零狀態(tài)響應h(t)，則利用系統(tǒng)的疊加性和非時變性，不難求得在任一信號作用下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，從第三章式（3.1）得知，一個非周期信號可以分解為一系列沖激信號的線性組合。 按非時變性質(zhì)，系統(tǒng)在作用下零狀態(tài)響應為，故對的響應應為。利用線性系統(tǒng)疊加性質(zhì)，求得系統(tǒng)對激勵信號x(t)的零狀態(tài)響應為 上式說明，LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應等于激勵信號x(t)與系統(tǒng)單位沖激響應h(t)的卷積積分，簡稱卷積如圖所示。該式反映了系統(tǒng)輸入與輸出之間的關系，所以也是LTI系統(tǒng)的一種數(shù)學模型。在積分式中是積分變量，t是參變量，所以卷積結(jié)構(gòu)是t的函數(shù)。當信號有不連續(xù)點或為有限長時限信號時，定義式①的積分上下限要發(fā)生變化。如果信號x(t)在t=0時接入，在t<0時等于零，則式①中的積分下限取零。此外，對于物理可實現(xiàn)的因果系統(tǒng)，由于t＜0時h（t）=0，所以在即時，式①中的，于是該式中的積分上限應改寫為t，即 （a）s域表示 （b）時域表示 LTI系統(tǒng)的方塊圖 利用卷積法求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，無論對系統(tǒng)的分析還是綜合都要重要意義。因為在實際中對系統(tǒng)設計，初始狀態(tài)均為零，不存在零輸入響應，即使對系統(tǒng)分析，通過4.3節(jié)討論將會知道，零輸入響應也可以轉(zhuǎn)化為零狀態(tài)響應來求解。 （2），， 交換律 x(t)*h(t)=h(t)*x(t)表明卷積積分的次序可以任意交換。 分配率 表明LTI系統(tǒng)對n個輸入相加信號的零狀態(tài)響應與每人輸入信號零狀態(tài)響應的疊加。 結(jié)合律 表明沖激響應分別為與的兩個LT1系統(tǒng)相級聯(lián)，等效于沖激響應的一個LTI系統(tǒng)。 利用這些性質(zhì)可以簡化卷積運算。如圖所示系統(tǒng)，由于 所欲把兩個卷積運算簡化為一個卷積運算。同時表明，并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應等于各并聯(lián)子系統(tǒng)沖激響應之和。同理可以證明，一個級聯(lián)的因果系統(tǒng)，其沖激響應等于各級聯(lián)子系統(tǒng)沖激響應的卷積，即 4