八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 17 勾股定理課件 （新版）新人教版.ppt

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第十七章勾股定理 1 斯學(xué)派 他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理 因此 在國(guó)外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯 年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念票 定理 為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派 1955 兩千多年前 古希臘有個(gè)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派 他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理 因此在國(guó)外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理 為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派 1955年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念郵票 相傳 畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)這一定理時(shí) 曾宰牛百頭 廣設(shè)盛宴 表示慶賀 對(duì)這個(gè)定理的重視可想而知 勾股定理的歷史 2 相傳 一次畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客 發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系 勾股定理的歷史 3 我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一 早在三千多年前 周朝數(shù)學(xué)家商高就提出 將一根直尺折成一個(gè)直角 如果勾等于三 股等于四 那么弦就等于五 即 勾三 股四 弦五 它被記載于我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作 周髀算經(jīng) 中 弦 4 勾股定理 直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 如果直角三角形兩直角邊分別為a b 斜邊為c 那么 即 5 那么勾股定理是如何證明的呢 6 4 4 8 SA SB SC C 圖甲 1 觀察圖甲 小方格的邊長(zhǎng)為1 正方形A B C的面積各為多少 正方形A B C的面積有什么關(guān)系 7 C 圖乙 2 觀察圖乙 小方格的邊長(zhǎng)為1 正方形A B C的面積各為多少 9 16 25 SA SB SC 正方形A B C的面積有什么關(guān)系 4 4 8 SA SB SC 圖甲 8 圖乙 2 觀察圖乙 小方格的邊長(zhǎng)為1 9 16 25 SA SB SC 正方形A B C的面積有什么關(guān)系 4 4 8 SA SB SC 圖甲 a b c a b c 9 3 猜想a b c之間的關(guān)系 a2 b2 c2 10 11 12 a a a a b b b b c c c c 用拼圖法證明 13 用拼圖法證明 14 用拼圖法證明 S大正方形 4 S直角三角形 S小正方形 a2 b2 c2 15 勾股定理 如果直角三角形兩直角邊分別為a b 斜邊為c 那么 即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 a c 勾 弦 b 股 16 勾股定理的其它證法 勾股定理是幾何中一個(gè)非常重要的定理 自古以來(lái)人們進(jìn)行了大量的長(zhǎng)期的研究 目前世界上可查到的證明方法有三百多種 17 我國(guó)有記載的最早勾股定理的證明 是三國(guó)時(shí) 我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在他所著的 勾股圓方圖注 中 用四個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)中空的正方形來(lái)證明的 每個(gè)直角三角形的面積叫朱實(shí) 中間的正方形面積叫黃實(shí) 大正方形面積叫弦實(shí) 這個(gè)圖也叫弦圖 18 大正方形面積怎么求 趙爽弦圖 結(jié)論 19 20 美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀 簡(jiǎn)捷 易懂 明了的證明 就把這一證法稱為 總統(tǒng) 證法 有趣的總統(tǒng)證法 21 結(jié)論變形 c2 a2 b2 直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 22 結(jié)論 在直角三角形中 已知兩邊可以求第三邊 例1在Rt ABC中 BC 24 AC 7 求AB的長(zhǎng) B 24 A C 7 如果將題目變?yōu)?在Rt ABC中 AB 41 BC 40 求AC的長(zhǎng)呢 24 Rt ABC中 C是直角 AC2 BC2 AB2 八年級(jí)下冊(cè) 勾股定理 理解 例題分析 23 1 在Rt ABC中 90 1 已知 a 6 8 求c 2 已知 a 40 c 41 求b 3 已知 c 13 b 5 求a 4 已知 a b 3 4 c 15 求a b 1 在直角三角形中 已知兩邊 可求第三邊 2 可用勾股定理建立方程 常見勾股數(shù) 試一試 24 2 已知 Rt BC中 AB AC 則BC的長(zhǎng)為 25 3 如圖 折疊長(zhǎng)方形的一邊 使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處 若AB 8 AD 10 求 EC的長(zhǎng) 10 4 6 8 10 x E F D C B A 8 x 8 x 26 利用勾股定理證明 4 如圖 ABC中 CD AB于D求證 AC2 BC2 AB AD BD 27 18 1勾股定理2 28 1 在Rt ABC中 C 90 1 已知a 3 b 4 則c 2 已知a 6 c 10 則b 3 已知a 2 b 4 則c 2 直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為5 12 則第三邊長(zhǎng)為 測(cè)驗(yàn) 29 3 如圖 折疊長(zhǎng)方形的一邊 使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處 若AB 8 AD 10 求 EC的長(zhǎng) 10 4 6 8 10 x E F D C B A 8 x 8 x 30 4 如圖 在 ABC中 AB AC D點(diǎn)在CB延長(zhǎng)線上 求證 AD2 AB2 BD CD 31 如圖 在 ABC中 AB AC D點(diǎn)在CB延長(zhǎng)線上 求證 AD2 AB2 BD CD 證明 過A作AE BC于E E AB AC BE CE 在Rt ADE中 AD2 AE2 DE2 在Rt ABE中 AB2 AE2 BE2 AD2 AB2 AE2 DE2 AE2 BE2 DE2 BE2 DE BE DE BE DE CE DE BE BD CD 32 勾股定理 如果直角三角形兩直角邊分別為a b 斜邊為c 那么 即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 a c 勾 弦 b 股 33 探究1 求下列各邊長(zhǎng) 1 1 2 45 等腰直角三角形三邊的比為1 1 45 34 探究2 求下列各邊長(zhǎng) 1 4 30 30 30 含有30 的直角三角形三邊的比為1 2 35 練習(xí)1 在Rt ABC中 90 AB 10 1 A 30 求 BC AC 2 A 45 求 BC AC 36 A C O B D 練習(xí)2 一個(gè)3m長(zhǎng)的梯子AB 斜靠在一豎直的墻AO上 這時(shí)AO的距離為2 5m 如果梯子的頂端A沿墻下滑0 5m 那么梯子底端B也外移0 5m嗎 37 探究3 在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn) 38 擴(kuò)展 利用勾股定理作出長(zhǎng)為的線段 1 1 39 18 1勾股定理3 40 如圖 一圓柱高8cm 底面半徑2cm 一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食 要爬行的最短路程是 的值取3 B B 8 O A 2 蛋糕 A C 探究 41 如圖 正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為5cm 側(cè)棱長(zhǎng)為8cm 一只螞蟻欲從正四棱柱的底面上的點(diǎn)A沿棱柱側(cè)面到點(diǎn)C1處吃食物 那么它需要爬行的最短路徑是多少 B C A B1 C1 D1 A1 D 5 8 5 42 將四棱柱的側(cè)面展開 連結(jié)AC1 B A B1 D1 A1 D 5 5 8 43 直角三角形兩直角邊分別為5厘米 12厘米 那么斜邊上的高是多少 a b c h 44 如圖 在 ABC中 ACB 90 CD是高 若AB 13cm AC 5cm 求CD的長(zhǎng) A B C D C 90 AC2 BC2 AB2 八年級(jí)下冊(cè) 勾股定理 運(yùn)用 45 18 1勾股定理逆定理 46 勾股定理 互逆命題 如果直角三角形兩直角邊分別為a b 斜邊為c 那么 勾股定理的逆定理 47 互逆命題 兩個(gè)命題中 如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論 而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的題設(shè) 那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題 如果把其中一個(gè)叫做原命題 那么另一個(gè)叫做它的逆命題 48 互逆定理 如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題 那么它也是一個(gè)定理 這兩個(gè)定理叫做互逆定理 其中一個(gè)叫做另一個(gè)的逆定理 49 定理與逆定理 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過哪些互逆的定理 1 任何一個(gè)命題都有逆命題 原命題與逆命題的關(guān)系是題設(shè)和結(jié)論相互轉(zhuǎn)換 2 原命題正確 逆命題不一定正確 原命題不正確 逆命題可能正確 3 一個(gè)定理未必有逆定理 50 1 等腰三角形的兩底角相等 原命題 如果一個(gè)三角形是等腰三角形 那么這個(gè)三角形的兩底角相等 逆命題 如果一個(gè)三角形的兩底角相等 那么這個(gè)三角形是等腰三角形 寫出下列命題的逆命題并判斷它們是否成立 51 2 兩直線平行 同位角相等 原命題 如果兩條直線平行 那么同位角相等 逆命題 如果同位角相等 那么兩直線平行 52 3 三內(nèi)角之比為1 2 3的三角形為直角三角形 原命題 如果一個(gè)三角形三內(nèi)角之比為1 2 3 那么這個(gè)三角形是直角三角形 逆命題 如果一個(gè)三角形是直角三角形 那么這個(gè)三角形三內(nèi)角之比為1 2 3 53 練習(xí) 說出下列命題的逆命題 并說明這些命題的逆命題成立嗎 1 兩條直線平行 內(nèi)錯(cuò)角相等 2 如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等 那么它們的絕對(duì)值相等 3 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 4 到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上 54 例1判斷由a b c組成的三角形是不是直角三角形 1 a 15 b 8 c 17 2 a 13 b 15 c 14 解 152 82 225 64 289172 289 152 82 172 這個(gè)三角形是直角三角形 55 下面以a b c為邊長(zhǎng)的三角形是不是直角三角形 如果是那么哪一個(gè)角是直角 1 a 25b 20c 15 2 a 13b 14c 15 4 a b c 3 4 5 是 是 不是 是 A 900 B 900 C 900 3 a 1b 2c 像25 20 15 能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù) 稱為勾股數(shù) 56 B A 銳角三角形B 直角三角形C 鈍角三角形D 等邊三角形 1 57 已知 如圖 四邊形ABCD中 B 900 AB 3 BC 4 CD 12 AD 13 求四邊形ABCD的面積 3 4 12 13 58 分析 先來(lái)判斷a b c三邊哪條最長(zhǎng) 可以代m n為滿足條件的特殊值來(lái)試 m 5 n 4 則a 9 b 40 c 41 c最大 ABC是直角三角形 59 自主評(píng)價(jià) 1 勾股定理的逆定理 2 什么叫做互逆命題 原命題與逆命題 3 什么稱為互為逆定理 60 勾股定理練習(xí)課 61 勾股定理 如果直角三角形兩直角邊分別為a b 斜邊為c 那么 即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 a c 勾 弦 b 股 等腰直角三角形三邊的比為1 1 含有30 的直角三角形三邊的比為1 2 小結(jié) 62 1 運(yùn)用勾股定理計(jì)算 知兩邊長(zhǎng)直接求一邊 只知一邊長(zhǎng) 可運(yùn)用方程求另兩邊 對(duì)于含45度和30度的直角三角形 可用比例求邊長(zhǎng) 2 運(yùn)用勾股定理證明 構(gòu)造直角三角形 63 1 直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為3 4 則斜邊長(zhǎng)為 2 等腰直角三角形的腰長(zhǎng)是1 則底邊長(zhǎng)為 3 直角三角形中 30度的角所對(duì)的邊為5 則另兩邊長(zhǎng)為 測(cè)驗(yàn) 64 4 等腰三角形底邊上的高為8 周長(zhǎng)為32 求 這個(gè)三角形的面積 65 5 在平面直角坐標(biāo)系中 點(diǎn) 3 4 與原點(diǎn)之間的距離是 點(diǎn) 3 4 與點(diǎn) 2 1 之間的距離是 66 7 若正方形的面積為3cm2 則它的對(duì)角線長(zhǎng)是 8 一個(gè)直角三角形的三邊為三個(gè)連續(xù)偶數(shù) 則它的三邊長(zhǎng)分別為 6 在 ABC中 C 90 1 若c 10 a b 3 4 a b 2 若a 8 b 15 則c 67 9 已知 如圖 在Rt ABC中 C 90 1 2 CD 1 5 BD 2 5 求AC的長(zhǎng) 68 10 如圖 一塊直角三角形的紙片 兩直角邊AC 6 BC 8 現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊 使它落在斜邊AB上 且與AE重合 求CD的長(zhǎng) A C D B E 第8題圖 69 11 如圖 在Rt ABC中 C 90 A 15 BC 1 求 ABC的面積 B C A D 70 12 ABC中 A 45 B 30 BC 8 求AC的邊長(zhǎng) A B C 71 13 如圖 小潁同學(xué)折疊一個(gè)直角三角形的紙片 使A與B重合 折痕為DE 若已知AC 10cm BC 6cm 你能求出CE的長(zhǎng)嗎 C 72 14 如圖 ACB ABD 90 CA CB DAB 30 AD 8 求 AC的長(zhǎng) 73 15 如圖 在四邊形ABCD中 BAD 900 DBC 900 AD 3 AB 4 BC 12 求CD 74 16 直角三角形兩直角邊分別為5厘米 12厘米 那么斜邊上的高是多少 75 8 ABC中 周長(zhǎng)是24 C 90 且b 6 則三角形的面積是多少 A B C a b c 解 周長(zhǎng)是24 且b 6 a c 24 6 18 設(shè)a x 則c 18 x C 90 a2 b2 c2 x2 62 18 x 2 解得 x 8 八年級(jí)下冊(cè) 勾股定理 運(yùn)用 76 已知三角形ABC中 AB 10 BC 21 AC 17 求BC邊上的高線AD A B C D 解 設(shè)BD X 則DC 21 X AD BC AD2 AB2 BD2 102 X2 AD2 AC2 CD2 172 21 X 2 解 得X 6 102 X2 172 21 X 2 AD2 102 62 64 AD 8 77 8 ABC中 周長(zhǎng)是 C 90 且c 2 則三角形的面積是多少 A B C a b c 八年級(jí)下冊(cè) 勾股定理 勾股定理 運(yùn)用 9 直角三角形中 斜邊長(zhǎng)是 面積為2 則三角形的周長(zhǎng)是多少 78 如圖 在Rt ABC中 C 90 AC BC 且BC 5 求三角形ABC的面積和底邊上的高 如圖 在Rt ABC中 C 90 A 30 且AC 3 求BC的長(zhǎng)和三角形ABC的面積 79 12 如圖 ABC中 A 45 B 30 BC 8 求AC的長(zhǎng) A B C D 8 4 4 4 2 八年級(jí)下冊(cè) 勾股定理 運(yùn)用 80 6 如圖 四邊形ABCD中 B D 90 C 45 AD 1 BC 2 求CD的長(zhǎng) A B C D E 1 2 450 450 1 2 1 B 90 C 45 BC 2 2 B 90 C 45 則 E 45 ADE 90 C 45 AD 1 DE AD 1 則BE BC 2 八年級(jí)下冊(cè) 勾股定理 勾股定理 運(yùn)用 81 10 如圖 在四邊形ABCD中 BAD 900 DBC 900 AD 3 AB 4 BC 12 求CD和四邊形ABCD的面積 D A B C 八年級(jí)下冊(cè) 勾股定理 勾股定理 運(yùn)用 82 9 在等腰 ABC中 AB AC 13cm BC 10cm 求 ABC的面積 A B C D 13 13 10 H AB AC AD BC 作AD BC于D 八年級(jí)下冊(cè) 勾股定理 勾股定理 運(yùn)用 83 2 等腰三角形底邊上的高為8 周長(zhǎng)為32 求這個(gè)三角形的面積 8 D A B C 解 設(shè)這個(gè)三角形為ABC 高為AD 設(shè)BD為X 則AB為 16 X 由勾股定理得 X2 82 16 X 2 即X2 64 256 32X X2 X 6 S ABC BC AD 2 2 6 8 2 48 84 2 三角形ABC中 AB 10 AC 17 BC邊上的高線AD 8 求 1 BD 2 CD 3 BC 25 或7 85 例4 在下圖中 BC長(zhǎng)為3厘米 AB長(zhǎng)為4厘米 AF長(zhǎng)為12厘米 求正方形CDEF的面積 AC2 32 42 52 SCDEF FC2 AF2 AC2 122 52 132 169厘米2 例5 如圖 直角三角形三邊上的半圓面積之間有什么關(guān)系 S1 S2 S3 即 兩直角邊上的半圓面積之和等于斜邊上半圓的面積 86 1 小明從家出發(fā)向正北方向走了150米 接著向正東方向走到離家250米遠(yuǎn)的地方 小明向正東方向走了多遠(yuǎn) 2 一架云梯長(zhǎng)25米 斜靠在一面墻上 梯子底端離墻7米 1 這個(gè)梯子的頂端距地面有多高 2 如果梯子的頂端下滑了4米 那么梯子的底部在水平方向也滑動(dòng)了4米嗎 87 鄭凱想知道學(xué)校旗桿的高 他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米 當(dāng)他把繩子的下端拉開5米后 發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面 你能幫他算出旗桿的高嗎 A B C 5米 X 1 米 x米 88 如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階 它的每一級(jí)的長(zhǎng)寬和高分別為20dm 3dm 2dm A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn) A點(diǎn)有一只螞蟻 想到B點(diǎn)去吃可口的食物 則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)最短路程是多少 3 2 3 2 3 89 已知 在Rt ABC中 C 900 A B C的對(duì)邊分別為a b c 設(shè) ABC的面積為S 周長(zhǎng)為P 1 填表 2 如果a b c m 觀察上表猜想 用含有m的代數(shù)式表示 3 證明 2 中的結(jié)論 90 如圖 長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15cm 寬為10cm 高為20cm 點(diǎn)B離點(diǎn)C5cm 一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B 需要爬行的最短距離是多少 10 20 E A E C B 20 15 10 F D E F 91 10 20 B 5 10 20 A C E A E C B 20 15 10 F D E F 15 92 葭生池中今有方池一丈 葭生其中央 出水一尺 引葭赴岸 適與岸齊 問 水深 葭長(zhǎng)各幾何 X 1 X 1尺 解 可設(shè)葭長(zhǎng)為x尺 則水深為 x 1 尺 則有 x 1 2 52 x2 解得 x 13 所以 葭長(zhǎng)13尺 水深12尺 葭 ji 八年級(jí)下冊(cè) 勾股定理 勾股定理 運(yùn)用 93 我怎么走會(huì)最近呢 7 有一個(gè)圓柱 它的高等于12厘米 底面半徑等于3厘米 在圓柱下底面上的A點(diǎn)有一只螞蟻 它想從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B 螞蟻沿著圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少 的值取3 高12cm B A 長(zhǎng)18cm 的值取3 AB2 92 122 81 144 225 AB 15 cm 螞蟻爬行的最短路程是15厘米 152 94 再見 95 教學(xué)反思 教會(huì)學(xué)生找勾股數(shù)能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù) 稱為勾股數(shù) 96