高中數(shù)學 第三章 數(shù)學歸納法與貝努利不等式 3.1 數(shù)學歸納法原理課件 新人教B版選修4-5.ppt

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第三章數(shù)學歸納法與貝努利不等式 3 1數(shù)學歸納法原理 1 了解數(shù)學歸納法的原理 2 了解數(shù)學歸納法的應用范圍 3 會用數(shù)學歸納法證明一些簡單問題 1 歸納法由有限多個個別的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法 通常稱為歸納法 名師點撥根據(jù)推理過程中考察的對象是涉及事物的一部分還是全部 歸納法分為不完全歸納法和完全歸納法 1 不完全歸納法是根據(jù)事物的部分 而不是全部 特例得到一般結(jié)論的推理方法 不完全歸納法所得到的命題不一定是成立的 但它是一種重要的思考問題的方法 是研究數(shù)學問題的一把鑰匙 是發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律的一種重要手段 用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)規(guī)律 用數(shù)學歸納法證明是解決問題的一種重要途徑 2 完全歸納法是一種在研究了事物的所有 有限種 特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法 又叫枚舉法 與不完全歸納法不同 用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的 通常在事物包括的特殊情況不多時 采用完全歸納法 做一做1 2 從1 1 1 4 1 2 1 4 9 1 2 3 猜想第n個式子為 2 數(shù)學歸納法一般地 當要證明一個命題對于不小于某正數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時 可以用以下兩個步驟 1 證明當n n0時命題成立 2 假設當n k k N 且k n0 時命題成立 證明當n k 1時命題也成立 完成兩個步驟后 就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立 這種證明方法稱為數(shù)學歸納法 名師點撥1 這兩個步驟缺一不可 只完成步驟 1 而缺少步驟 2 就作出判斷可能得出不正確的結(jié)論 因為單靠步驟 1 無法遞推下去 即n取n0以后的數(shù)時命題是否正確 我們無法判定 同樣 只有步驟 2 而缺少步驟 1 也可能得出不正確的結(jié)論 缺少步驟 1 這個基礎 假設就失去了成立的前提 步驟 2 也就沒有意義了 2 用數(shù)學歸納法證明有關(guān)問題的關(guān)鍵在第二步 即n k 1時為什么成立 n k 1時成立是利用假設n k時成立 根據(jù)有關(guān)的定理 定義 公式 性質(zhì)等數(shù)學結(jié)論推證出n k 1時命題成立 而不是直接代入 否則n k 1時也成假設了 命題并沒有得到證明 3 用數(shù)學歸納法可證明有關(guān)的正整數(shù)問題 但并不是所有的正整數(shù)問題都用數(shù)學歸納法證明 學習時要具體問題具體分析 做一做2 1 下列說法中不正確的是 A 數(shù)學歸納法中的兩個步驟相互依存 缺一不可B 數(shù)學歸納法證明的是與正整數(shù)有關(guān)的命題C 數(shù)學歸納法證明的第一步是遞推的基礎 第二步是遞推的依據(jù)D 數(shù)學歸納法中第一步必須從n 1開始答案 D 故當n k 1時 不等式成立 上述的證明過程中 不正確的一步的序號為 解析 在 2 中 由n k到n k 1的證明 沒有用上歸納假設 故 2 錯誤 答案 2 1 為什么數(shù)學歸納法能夠證明無限多正整數(shù)都成立的問題呢 剖析 這是因為第一步首先驗證了n取第一個值n0時命題成立 這樣假設就有了存在的基礎 假設當n k時命題成立 根據(jù)假設和合理推證 證明出當n k 1時命題也成立 這實質(zhì)上是證明了一種循環(huán) 如驗證了當n0 1時命題成立 又證明了當n k 1時命題也成立 這就一定有當n 2時命題成立 當n 2時命題成立 則當n 3時命題也成立 當n 3時命題成立 則當n 4時命題也成立 如此反復 以至無窮 對所有n n0的正整數(shù)命題就都成立了 數(shù)學歸納法非常巧妙地解決了一種無限多的正整數(shù)問題 這就是數(shù)學方法的神奇 2 什么時候可以運用數(shù)學歸納法證明 證明時n0是否一定要為1 剖析 數(shù)學歸納法一般被用于證明某些涉及正整數(shù)n的命題 n可取無限多值 但不能簡單地說所有涉及正整數(shù)n的命題都可以用數(shù)學歸納法證明 例如用數(shù)學歸納法證明 n N 的單調(diào)性就難以實現(xiàn) 一般說來 從n k到n k 1時 若問題中存在可利用的遞推關(guān)系 則使用數(shù)學歸納法就較簡單 否則使用數(shù)學歸納法就有困難 在運用數(shù)學歸納法時 要注意起點n并非一定取1 也可能取2等值 要看清題目 比如證明凸n邊形的內(nèi)角和f n n 2 180 這里面的n應不小于3 即n 3 第一個值n0 3 題型一 題型二 題型三 題型四 用數(shù)學歸納法證明恒等式 例1 用數(shù)學歸納法證明 分析 用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題的關(guān)鍵是第二步 要注意當n k 1時等式兩邊的式子與n k時等式兩邊的式子的聯(lián)系 增加了哪些項 減少了哪些項 問題就會順利解決 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型四 題型三 用數(shù)學歸納法證明整除性問題 例2 求證 an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 n N 分析 對于多項式A B 如果A BC C也是多項式 那么A能被B整除 若A B都能被C整除 則A B A B也能被C整除 證明 1 當n 1時 a1 1 a 1 2 1 1 a2 a 1 命題顯然成立 2 假設當n k k N 且k 1 時 ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 則當n k 1時 ak 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a 1 2 a 1 2k 1 a a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a2 a 1 a 1 2k 1 由歸納假設 得上式中的兩項均能被a2 a 1整除 故當n k 1時命題成立 根據(jù) 1 2 可知 對一切n N 命題成立 題型一 題型二 題型四 題型三 反思證明整除性問題的關(guān)鍵是 湊項 采用增項 減項 拆項 因式分解等手段 湊出當n k時的情形 從而利用歸納假設使問題得證 題型一 題型二 題型三 題型四 用數(shù)學歸納法證明幾何問題 例3 平面內(nèi)有n個圓 任意兩個圓都相交于兩點 任意三個圓不相交于同一點 求證 這n個圓將平面分成f n n2 n 2個部分 n N 分析 因為f n 為n個圓把平面分割成的區(qū)域數(shù) 那么再有一個圓和這n個圓相交 就有2n個交點 這些交點將增加的這個圓分成2n段弧 且每一段弧又將原來的平面區(qū)域一分為二 所以增加一個圓后 平面分成的區(qū)域數(shù)增加2n 即f n 1 f n 2n 有了上述關(guān)系 數(shù)學歸納法的第二步證明可迎刃而解 題型一 題型二 題型三 題型四 證明 1 當n 1時 一個圓將平面分成兩個部分 且f 1 1 1 2 2 所以n 1時命題成立 2 假設n k k N 且k 1 時命題成立 即k個圓把平面分成f k k2 k 2個部分 則當n k 1時 在k 1個圓中任取一個圓O 剩下的k個圓將平面分成f k 個部分 而圓O與k個圓有2k個交點 這2k個點將圓O分成2k段弧 每段弧將原平面一分為二 故得f k 1 f k 2k k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2 故當n k 1時 命題成立 根據(jù) 1 2 可知 對一切n N 命題成立 題型一 題型二 題型三 題型四 反思對于用數(shù)學歸納法證明幾何問題 可以先從有限情形中歸納出一個變化的過程 或者說體會出是怎樣變化的 再去證明 也可以用 遞推 的辦法 比如本題 當n k 1時的結(jié)果已知道 f k 1 k 1 2 k 1 2 用f k 1 f k 就可得到增加的部分 然后從有限的情況來理解如何增加的 也就好理解了 題型一 題型二 題型三 題型四 易錯辨析易錯點 在應用數(shù)學歸納法證明有關(guān)問題時 兩步缺一不可 且最易出錯的地方是在第二步證明中未用歸納假設 例4 已知在數(shù)列 an 中 a1 3 其前n項和Sn滿足Sn 6 2an 1 計算a2 a3 a4 然后猜想出an的表達式 并用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論 錯解 當n 2時 an Sn Sn 1 6 2an 1 6 2an 題型一 題型二 題型三 題型四 錯因分析 本題在證明時出現(xiàn)的主要錯誤是未用歸納假設 題型一 題型二 題型三 題型四 12345 1下列代數(shù)式中 n N 則可能被13整除的是 A n3 5nB 34n 1 52n 1C 62n 1 1D 42n 1 3n 2解析 當n 1時 只有D項能被13整除 答案 D 12345 2若凸n邊形有f n 條對角線 則凸 n 1 邊形的對角線的條數(shù)f n 1 為 A f n n 1B f n nC f n n 1D f n n 2解析 從凸n邊形到凸 n 1 邊形 對角線增加了 n 1 條 答案 C 12345 3下列四個判斷中 正確的是 A 式子1 k k2 kn n N 當n 1時為1B 式子1 k k2 kn 1 n N 當n 1時為1 k 解析 對于選項A n 1時 式子應為1 k 選項B中 n 1時 式子應為1 答案 C 12345 4已知在數(shù)列 an 中 a1 1 a2 2 an 1 2an an 1 n N 用數(shù)學歸納法證明a4n能被4整除 假設a4k能被4整除 則下一步證明 答案 a4k 4能被4整除 12345 5某同學用數(shù)學歸納法證明等式1 2 22 2n 1 2n 1的過程如下 1 當n 1時 左邊 1 右邊 1 等式成立 2 假設當n k k N 且k 1 時 等式成立 即1 2 22 2k 1 2k 1 即當n k 1時等式成立 根據(jù) 1 2 可知 對任意正整數(shù)n等式成立 以上證明過程的錯誤是 答案 第 2 步未用歸納假設