太原理工大學 第二章 流體靜力學JPG.ppt

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DepartmentofEngineeringMechanicsTaiyuanUniversityofTechnology FLUIDMECHANICS Email casjeon Email illtlx PassWord 123456Tel 13700500252 Q YZhang 3 1描述流體運動的方法 LagrangianMethod 研究組成整個運動流體的每一個流體質(zhì)點的運動情況 認為流體的整個運動是每一個流體質(zhì)點運動的綜合 EulerianMethod 在流體所占據(jù)的空間中 對每一個固定點 研究流體質(zhì)點經(jīng)過該點時其力學量的變化情況 整個流體的運動可認為是空間各點流動參量變化情況的綜合 第三章流體運動的描述 TrafficFlow 1 LagrangianMethod t0初始時刻流體質(zhì)點在空間坐標中所對應(yīng)的位置坐標 a b c 作為標認該流體質(zhì)點的參量 a b c 稱為Lagrange坐標或隨體坐標 a b c 將代表不同的流體質(zhì)點 a b c t 稱為Lagrange變量 若f以表示流體質(zhì)點的某一物理量 其描述的數(shù)學表達式是 t時刻流體質(zhì)點的失徑以r表示 或 當a b c恒定時 表示某一特定流體質(zhì)點在不同時刻所對應(yīng)的運動情況 當t恒定時 表示不同流體質(zhì)點在某一個特定的時刻所對應(yīng)的分布情況及運動情況 同樣 壓強的Lagrange描述是p p a b c t 2 EulerianMethod 用空間點位置坐標 x y z 來表示某一確定點 稱 x y z 為Euler坐標或空間坐標 通常稱 x y z t 為Euler變量 若以f表示流體的某一個物理量 其Euler描述的數(shù)學表達式是 任意t時刻 空間任意一點 x y z 的V p T r將是 x y z t 的函數(shù) 即 若x y z為常量 上式表示在空間某一特定點上 V p T r隨時間的變化情況 若t恒定 則上式表示空間各個點在某一個特定時刻有關(guān)力學量的數(shù)值分布 V p r等有關(guān)力學量都是空間點坐標x y z的函數(shù) 流場分類 場內(nèi)函數(shù)依不依賴于空間位置x y z分為均勻場和非均勻場 場內(nèi)函數(shù)依不依賴于t 分為定常場和非定常場 3 Lagrange描述與Euler描述之間的關(guān)系 設(shè)表達式f a b c t 表示流體質(zhì)點在t時刻的物理量 如果設(shè)想流體質(zhì)點 a b c 恰好在t時刻運動到空間點 x y z 上 則應(yīng)有 設(shè)Euler表達式u u x y z t 及f F x y z t 常微分方程的解為 由t t0時 r a b c 將此代入f F x y z t 即得到Lagrange描述 3 隨體導(dǎo)數(shù) 隨體導(dǎo)數(shù) 流體質(zhì)點物理量隨時間的變化率稱隨體導(dǎo)數(shù) 或物質(zhì)導(dǎo)數(shù) 質(zhì)點導(dǎo)數(shù) Lagrange描述中的隨體導(dǎo)數(shù)就是物理量函數(shù)f f x y z t 本身對時間的導(dǎo)數(shù) 即Euler描述中 f F x y z t 的變化以連鎖法則處理 f F x y z t 的隨體導(dǎo)數(shù)為 說明 F t是時變導(dǎo)數(shù) 表示x y z不變時 在該空間點上的物理量的時間變化率 它是由物理量非定常性造成的 u F是位變導(dǎo)數(shù) 表示在非均勻場 梯度 F 空間位置變化引起 特例 1 u 0 流體靜止 2 F是均勻場 F 0 3 u沿等F面方向 即流體質(zhì)點沿等F面運動 u F u F 0 對于Euler描述而言 任何流體質(zhì)點物理量 不管是標量還是矢量其隨體導(dǎo)數(shù)都類似于 對于速度 壓強和密度場 已知Euler描述的速度場u u x y z t 利用隨體導(dǎo)數(shù)求Euler描述下的加速度a a x y z t 注 已知采用Euler描述下的流體質(zhì)點速度場 其加速度的計算即速度的隨體導(dǎo)數(shù)可采用此公式計算 EXAMPLE3 1 1已知速度場ux 4x2 2y xy uy 3x y2 z 試問 1 點 1 1 2 的加速度是多少 2 流動是幾元流 3 流動是恒定流還是非恒定流 解 代入點 1 1 2 得 EXAMPLE3 1 2流場的速度分布為 ux 6xy 5xt uy 3y2 uz 7xy2 5zt 求流體在點 2 1 4 和時間t 3時的速度 加速度 解 代入點 2 1 4 和時間t 3 得速度值為 由速度表達式可得加速度表達式為 代入點 2 1 4 和時間t 3 得速度值為ax 856 ay 18 az 880 3 2跡線 流線 流管和流束 跡線 流體質(zhì)點在不同時刻的運動位置的聯(lián)線 跡線的概念直接與Lagrange描述聯(lián)系 對于Euler描述求跡線較為復(fù)雜 流線 描述流場中各點流動方向的曲線 線上任一點的切線方向與該點在該時刻的速度矢量方向一致 注意 a 流線是指某一時刻的 而跡線是某一流體質(zhì)點的 b 定常流中流線與跡線完全重合 c 非定常流中一般不重合 流線的性質(zhì) 1 過一點只能有一條流線 2 流線不能轉(zhuǎn)折 EXAMPLE3 2 1已知ux x t uy y t uz 0 求t 0時經(jīng)點M 1 1 的流線和跡線 解 流線微分方程為其中t為參數(shù) 積分得 再求跡線 當t 0 x y 1 1 所以c 1 經(jīng)點M 1 1 的流線為xy 1 當t 0 x y 1 1 所以c1 c2 0 消去t得 流管 某瞬時t 在流場的空間中畫出任一不是流線的封閉曲線c 過該封閉曲線上每一點作流線 則這些流線組成的面稱為流管 流束 流管內(nèi)的流線組成一束 流面 由通過一條非流線的不封閉或封閉的曲線上每一點所作的那些流線所組成的曲面 流管的兩個重要特性 1 流體不能穿越流管2 當封閉曲線的面積 A很小時 流管斷面可認為物理量均勻分布 管狀流動 流體朝一個方向流動即流道的軸線方向流動 這樣可以把空間近似看成一個流管 在數(shù)學上變成一維問題 用斷面上平均物理量來代替斷面上的物理量的實際分布 流量 單位時間內(nèi)流體通過一定截面積的量 u 斷面上一點的流速 u 斷面上的平均流速 過流斷面 流道上與流線族成正交的面 其面積用A來表示 則斷面上的平均速度定義為 剪切流動 ux ay uy 0 uz 0 3 3速度分解定理 剛體運動 平移運動和旋轉(zhuǎn)運動流體微團 平移運動 旋轉(zhuǎn)運動和變形運動 Taylor公式 其中余項為 當x0 0時為Maclaurin公式 以二維流動為例 a 流體微團的平移運動平移運動速度 ux uy uz A C點速度差 線變形速度 推廣到三維 單位體積膨脹率 b 流體微團的線變形速度 c 流體微團的旋轉(zhuǎn)運動 B點具有轉(zhuǎn)動效果的速度 C點具有轉(zhuǎn)動效果的速度 規(guī)定 逆時針旋轉(zhuǎn)為正 B點相對于M點的旋轉(zhuǎn)角速度 C點相對于M點的旋轉(zhuǎn)角速度 對角線MF相對于M點的旋轉(zhuǎn)角速度為BM和CM這兩條邊旋轉(zhuǎn)角速度的平均值 推廣到三維 旋轉(zhuǎn)角速度的矢量 旋轉(zhuǎn)角速度的矢量按右手定則確定 d 流體微團的角變形運動 角變形速度 定義 對角線MF與直角邊MC的夾角變形速度為流體微團的角變形速度 記為ez 推廣到三維 柱坐標形式如下 旋轉(zhuǎn)角速度 線變形速度 角變形速度 EXAMPLE3 3 1已知二維流速場為 ux x2y uy xy2 求 1 經(jīng)點 3 2 的流線方程 2 流體微團在點 3 2 旋轉(zhuǎn)角速度 3 流體微團在點 3 2 的線變形速度和角變形速度 解 由流線方程得 積分得 lnxy 0 xy C 有已知條件過點 3 2 得 C 6所以過點 3 2 的流線方程為 xy 6 流體微團在點 3 2 旋轉(zhuǎn)角速度為 點 3 2 線變形速度為 點 3 2 角變形速度為 EXAMPLE3 3 2速度場 ux 2y 3z uy 2z 3x uz 2x 3y 試分析點 1 1 1 處的運動狀態(tài) 1 線變形速度 2 體積膨脹率 3 角變形速度 4 旋轉(zhuǎn)角速度 點 1 1 1 處的體積膨脹率為 解 點 1 1 1 處的線變形速度為 點 1 1 1 處轉(zhuǎn)動角速度為 點 1 1 1 處角變形速度為 3 4Helmholtz速度分解定理 t時刻流場中取一點M0 x y z 鄰域中任一點M x dx y dy z dz 的速度分量為 ux uy uz 由泰勒級數(shù)展開 當 d r 為小量時 鄰點M的速度為 因此M點的速度可表示為 由此可見 流體微團的運動可分為平移運動 旋轉(zhuǎn)運動 變形運動和角變形運動 3 5流體運動的分類 a 按運動形式分類 剪切流動 ux ay uy 0 uz 0 點渦運動 ur 0 u b r剪切流動點渦運動當r 0時 無旋有旋 b 按流場與時間的關(guān)系分類 c 按流場與空間坐標的關(guān)系分類 一維 元 二維 元 三維 元 定常流動非定常流動