河北保定易縣中學(xué)2017屆高三上學(xué)期周考數(shù)學(xué)(理)試卷(三)解析版.doc
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河北保定易縣中學(xué)2017屆高三上學(xué)期周考數(shù)學(xué)(理)試卷(三)解析版 一、選擇題(共12小題,每小題5分,滿分60分) 1.已知集合U=R,集合A={x|1<2x<4},B={x|x2﹣1≥0}則A∩(?UB)=( ?。? A.{x|1<x<2} B.{x|0<x<1|} C.{x|1≤x<2} D.{x|0<x≤1} 2.設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為,若z=1﹣i(i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)+z2+|z|在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足:Sn=An2+Bn,且a1=1,a2=3,則a2017=( ?。? A.4031 B.4032 C.4033 D.4034 4.在正三角形△ABC內(nèi)任取一點P,則點P到A,B,C的距離都大于該三角形邊長一半的概率為( ?。? A.1﹣ B.1﹣ C.1﹣ D.1﹣ 5.已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(﹣|x|)的圖象為( ?。? A. B. C. D. 6.某幾何體三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( ) A.2 B.4 C.6 D.12 7.已知雙曲線C的焦點為F1,F(xiàn)2,點P為雙曲線上一點,若|PF2|=2|PF1|,∠PF1F2=60,則雙曲線的離心率為( ) A. B.2 C. D. 8.已知向量=(1,x﹣1),=(y,2),若向量,同向,則x+y的最小值為( ) A. B.2 C.2 D.2+1 9.程序框圖如圖所示,則該程序運行后輸出n的值是( ?。? A.4 B.2 C.1 D.2017 10.三棱柱ABC﹣A1B1C1中,△ABC為等邊三角形,AA1⊥平面ABC,AA1=AB,M,N分別是A1B1,A1C1的中點,則BM與AN所成角的余弦值為( ?。? A. B. C. D. 11.設(shè)橢圓+=1(a>b>0)與直線y=x相交于M,N兩點,若在橢圓上存在點P,使得直線MP,NP斜率之積為﹣,則橢圓離心率為( ) A. B. C. D. 12.已知ω>0,在函數(shù)y=4sinωx與y=4cosωx的圖象的交點中,距離最近的兩個交點的距離為6,則ω的值為( ?。? A. B. C. D. 二、填空題(共4小題,每小題5分,滿分20分) 13.若向量=(0,1),||=||, ?=,則||= . 14.(x﹣)4(x﹣2)的展開式中,x2的系數(shù)為 ?。? 15.設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列,公比q=2,Sn為{an}的前n項和,記Tn=(n∈N*),則數(shù)列{Tn}最大項的值為 ?。? 16.函數(shù)f(x)=ax2+bx﹣1,且0≤f(1)≤1,﹣2≤f(﹣1)≤0,則z=的取值范圍是 ?。? 三、解答題(共5小題,滿分60分) 17.已知函數(shù)f(x)=(m+2cos2x)?cos(2x+θ)為奇函數(shù),且f()=0,其中m∈R,θ∈(0,π) (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的圖象的對稱中心和單調(diào)遞增區(qū)間 (Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且f(+)=﹣,c=1,ab=2,求△ABC的周長. 18.如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD,AE⊥PC于點E,EF∥CD,交PD于點F (Ⅰ)證明:平面ADE⊥平面PBC (Ⅱ)求二面角D﹣AE﹣F的余弦值. 19.在某校組織的“共筑中國夢”競賽活動中,甲、乙兩班各有6名選手參賽,在第一輪筆試環(huán)節(jié)中,評委將他們的筆試成績作為樣本數(shù)據(jù),繪制成如圖所示的莖葉圖,為了增加結(jié)果的神秘感,主持人故意沒有給出甲、乙兩班最后一位選手的成績,只是告訴大家,如果某位選手的成績高于90分(不含90分),則直接“晉級”(Ⅰ)求乙班總分超過甲班的概率 (Ⅱ)主持人最后宣布:甲班第六位選手的得分是90分,乙班第六位選手的得分是97分 ①請你從平均分光和方差的角度來分析兩個班的選手的情況; ②主持人從甲乙兩班所有選手成績中分別隨機抽取2個,記抽取到“晉級”選手的總?cè)藬?shù)為ξ,求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望. 20.已知M是直線l:x=﹣1上的動點,點F的坐標(biāo)是(1,0),過M的直線l′與l垂直,并且l′與線段MF的垂直平分線相交于點N (Ⅰ)求點N的軌跡C的方程 (Ⅱ)設(shè)曲線C上的動點A關(guān)于x軸的對稱點為A′,點P的坐標(biāo)為(2,0),直線AP與曲線C的另一個交點為B(B與A′不重合),直線P′H⊥A′B,垂足為H,是否存在一個定點Q,使得|QH|為定值?若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 21.已知函數(shù)f(x)=+lnx﹣3有兩個零點x1,x2(x1<x2) (Ⅰ)求證:0<a<e2 (Ⅱ)求證:x1+x2>2a. [選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 22.已知曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=2cosθ,直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)). (Ⅰ)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程; (Ⅱ)設(shè)直線l與y軸的交點是M,N是曲線C上一動點,求|MN|的最大值. [選修4-5:不等式選講] 23.已知函數(shù)f(x)=|x﹣m|(m>0),g(x)=2f(x)﹣f(x+m),g(x)的最小值為﹣1. (Ⅰ)求m的值; (Ⅱ)若|a|<m,|b|<m,且a≠0.求證:f(ab)>|a|f(). 參考答案 一、選擇題(共12小題,每小題5分,滿分60分) 1.已知集合U=R,集合A={x|1<2x<4},B={x|x2﹣1≥0}則A∩(?UB)=( ?。? A.{x|1<x<2} B.{x|0<x<1|} C.{x|1≤x<2} D.{x|0<x≤1} 【考點】交、并、補集的混合運算. 【分析】求出A與B中不等式的解集分別確定出A與B,找出A與B補集的交集即可. 【解答】解:由A中不等式變形得:20=1<2x<4=22, 解得:0<x<2,即A={x|0<x<2}, 由B中不等式變形得:(x+1)(x﹣1)≥0, 解得:x≤﹣1或x≥1,即B={x|x≤﹣1或x≥1}, ∴?UB={x|﹣1<x<1}, 則A∩(?UB)={x|0<x<1}, 故選:B. 2.設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為,若z=1﹣i(i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)+z2+|z|在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于( ?。? A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算. 【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出. 【解答】解:復(fù)數(shù)+z2+|z|=+(1﹣i)2+|1﹣i|=﹣2i+=﹣i+.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限. 故選:D. 3.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足:Sn=An2+Bn,且a1=1,a2=3,則a2017=( ?。? A.4031 B.4032 C.4033 D.4034 【考點】等差數(shù)列的前n項和. 【分析】數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足:Sn=An2+Bn,數(shù)列{an}是等差數(shù)列.再利用通項公式即可得出. 【解答】解:∵數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足:Sn=An2+Bn,∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列. ∵a1=1,a2=3,則公差d=3﹣1=2. a2017=1+2=4033. 故選:C. 4.在正三角形△ABC內(nèi)任取一點P,則點P到A,B,C的距離都大于該三角形邊長一半的概率為( ) A.1﹣ B.1﹣ C.1﹣ D.1﹣ 【考點】幾何概型. 【分析】先求出滿足條件的正三角形ABC的面積,再求出滿足條件正三角形ABC內(nèi)的點到三角形的頂點A、B、C的距離均不小于1的圖形的面積,然后代入幾何概型公式即可得到答案. 【解答】解:滿足條件的正三角形ABC如下圖所示:設(shè)邊長為2, 其中正三角形ABC的面積S三角形=4=. 滿足到正三角形ABC的頂點A、B、C的距離至少有一個小于1的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,其加起來是一個半徑為1的半圓, 則S陰影=π, 則使取到的點到三個頂點A、B、C的距離都大于1的概率是:P=1﹣. 故選:A. 5.已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(﹣|x|)的圖象為( ?。? A. B. C. D. 【考點】函數(shù)的圖象. 【分析】判斷函數(shù)的奇偶性,然后利用已知條件轉(zhuǎn)化判斷即可. 【解答】解:函數(shù)y=f(﹣|x|)是偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱,排除選項B,D; 當(dāng)x>0時,函數(shù)y=f(﹣|x|)=f(﹣x)與原函數(shù)關(guān)于y軸對稱,是x<0對稱的函數(shù)的圖象, 排除C,圖象A滿足題意. 故選A. 6.某幾何體三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( ?。? A.2 B.4 C.6 D.12 【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積. 【分析】由已知中的三視圖可得:該幾何體是以俯視圖為底面的四棱錐,代入棱錐體積公式,可得答案. 【解答】解:由已知中的三視圖可得:該幾何體是以俯視圖為底面的四棱錐, 其底面面積S=(1+2)2=3, 高h(yuǎn)=2, 故體積V==2, 故選:A 7.已知雙曲線C的焦點為F1,F(xiàn)2,點P為雙曲線上一點,若|PF2|=2|PF1|,∠PF1F2=60,則雙曲線的離心率為( ?。? A. B.2 C. D. 【考點】雙曲線的簡單性質(zhì). 【分析】根據(jù)題設(shè)條件,利用余弦定理能夠求出|PF1|=c,再由雙曲線定義可以推導(dǎo)出2a=c,從而求出該雙曲線的離心率. 【解答】解:設(shè)|PF1|=x,|PF2|=2x,|F1F2|=2c, ∵∠PF1F2=60, ∴cos60==?x=c, ∵|PF2|﹣|PF1|=2a, ∴x=2a=c, ∴e==. 故選:D. 8.已知向量=(1,x﹣1),=(y,2),若向量,同向,則x+y的最小值為( ?。? A. B.2 C.2 D.2+1 【考點】平面向量共線(平行)的坐標(biāo)表示. 【分析】由已知得xy﹣y﹣2=0,y≥0,x﹣1≥0,從而得到(x+y)2≥4y+8≥8,由此能求出x+y的最小值. 【解答】解:∵向量=(1,x﹣1),=(y,2),向量,同向, ∴,整理得:xy﹣y﹣2=0, ∵向量,同向,∴y≥0,x﹣1≥0, ∴y+2=xy≤, ∴(x+y)2≥4y+8≥8, ∴x+y≥. 故選:C. 9.程序框圖如圖所示,則該程序運行后輸出n的值是( ?。? A.4 B.2 C.1 D.2017 【考點】程序框圖. 【分析】根據(jù)所給數(shù)值判定是否滿足判斷框中的條件,然后執(zhí)行循環(huán)語句,一旦不滿足條件就退出循環(huán),執(zhí)行語句輸出n,從而到結(jié)論. 【解答】解:第1步:n=1,k=0,n=4,k=1, 第2步:n=4,n=2,k=2, 第3步:n=2,n=1,k=3, 第4步:n=1,n=4,k=4, 第5步:n=4,n=2,k=5, 第6步:n=2,n=1,k=6, …, 由20183=672+2, 同第2步,此時n=4,n=2,k=2018>2017, 輸出n=2, 故選:B. 10.三棱柱ABC﹣A1B1C1中,△ABC為等邊三角形,AA1⊥平面ABC,AA1=AB,M,N分別是A1B1,A1C1的中點,則BM與AN所成角的余弦值為( ?。? A. B. C. D. 【考點】異面直線及其所成的角. 【分析】如圖所示,取AC的中點D,A1C1的中點D1,建立空間直角坐標(biāo)系.利用=,即可得出. 【解答】解:如圖所示,取AC的中點D,A1C1的中點D1,建立空間直角坐標(biāo)系. 不妨設(shè)AC=2.則A(0,﹣1,0),M(0,0,2),B(﹣,0,0), N. =(0,1,2),=. ∴===. 故選:C. 11.設(shè)橢圓+=1(a>b>0)與直線y=x相交于M,N兩點,若在橢圓上存在點P,使得直線MP,NP斜率之積為﹣,則橢圓離心率為( ) A. B. C. D. 【考點】橢圓的簡單性質(zhì). 【分析】求得直線直線MP,NP的斜率分別為,,則則=﹣,M,P是橢圓C上的點,則+=1,,兩式相減可得=﹣, =,利用離心率公式可知:e==. 【解答】解:橢圓+=1(a>b>0)焦點在x軸上,設(shè)P(x,y),M(m,m),N(﹣m,﹣m), 則直線MP,NP的斜率分別為,, ∵直線MP,NP斜率之積為﹣,即?=﹣,則=﹣, ∵M(jìn),P是橢圓C上的點, ∴+=1,, 兩式相減可得=﹣, ∴=﹣, ∴=, ∴橢圓離心率e====, 故選B. 12.已知ω>0,在函數(shù)y=4sinωx與y=4cosωx的圖象的交點中,距離最近的兩個交點的距離為6,則ω的值為( ?。? A. B. C. D. 【考點】正弦函數(shù)的圖象. 【分析】根據(jù)正弦線,余弦線得出交點((k1π+,2),((k2π+,﹣2),k1,k2都為整數(shù),兩個交點在同一個周期內(nèi),距離最近,即可得出方程求解即可. 【解答】解:∵函數(shù)y=4sinωx與y=4cosωx的圖象的交點, ∴根據(jù)三角函數(shù)線可得出交點((k1π+,2),((k2π+,﹣2),k1,k2都為整數(shù), ∵距離最短的兩個交點的距離為6, ∴這兩個交點在同一個周期內(nèi), ∴36=(﹣)2+(﹣2﹣2)2,ω=, 故選:D. 二、填空題(共4小題,每小題5分,滿分20分) 13.若向量=(0,1),||=||, ?=,則||= . 【考點】平面向量數(shù)量積的運算. 【分析】設(shè)出的坐標(biāo),由已知列式求得的坐標(biāo),可得的坐標(biāo),則可求. 【解答】解:設(shè), 由=(0,1),||=||, ?=0, 得,∴x=1. 則或, ∴或. 則. 故答案為:. 14.(x﹣)4(x﹣2)的展開式中,x2的系數(shù)為 16 . 【考點】二項式系數(shù)的性質(zhì). 【分析】(x﹣)4展開式的通項公式:Tr+1==x4﹣2r,分別令4﹣2r=2,4﹣2r=1,解得r,進(jìn)而得出. 【解答】解:(x﹣)4展開式的通項公式:Tr+1==x4﹣2r, 令4﹣2r=2,解得r=1;令4﹣2r=1,解得r=舍去. ∴(x﹣)4(x﹣2)的展開式中,x2的系數(shù)為=16. 故答案為:16. 15.設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列,公比q=2,Sn為{an}的前n項和,記Tn=(n∈N*),則數(shù)列{Tn}最大項的值為 3?。? 【考點】等比數(shù)列的前n項和. 【分析】由等比數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)出Tn=9﹣2n﹣,由此能示出數(shù)列{Tn}最大項的值. 【解答】解:∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列,公比q=2,Sn為{an}的前n項和,Tn=(n∈N*), ∴Tn==9﹣2n﹣, ∵=4, 當(dāng)且僅當(dāng)時取等號, 又n∈N*,n=1或2時,Tn取最大值T1=9﹣2﹣4=3. ∴數(shù)列{Tn}最大項的值為3. 故答案為:3. 16.函數(shù)f(x)=ax2+bx﹣1,且0≤f(1)≤1,﹣2≤f(﹣1)≤0,則z=的取值范圍是 [,2]?。? 【考點】簡單線性規(guī)劃;二次函數(shù)的性質(zhì). 【分析】利用已知條件得到a,b的不等式組,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,轉(zhuǎn)化求解函數(shù)的范圍即可. 【解答】解:函數(shù)f(x)=ax2+bx﹣1,且0≤f(1)≤1,﹣2≤f(﹣1)≤0, 可得0≤a+b﹣1≤1,﹣2≤a﹣b﹣1≤0, 即,表示的可行域如圖: , 則z==,令t=,可得z==+.t≥0. ,又b=1,a=0成立,此時z=, 可得z∈[,2] 故答案為:[,2]. 三、解答題(共5小題,滿分60分) 17.已知函數(shù)f(x)=(m+2cos2x)?cos(2x+θ)為奇函數(shù),且f()=0,其中m∈R,θ∈(0,π) (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的圖象的對稱中心和單調(diào)遞增區(qū)間 (Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且f(+)=﹣,c=1,ab=2,求△ABC的周長. 【考點】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性;三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用;正弦函數(shù)的圖象;余弦定理. 【分析】(Ⅰ)把x=代入函數(shù)解析式可求得m的值,進(jìn)而根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)推斷出f(0)=0,進(jìn)而求得cosθ,則θ的值可得函數(shù)解析式,進(jìn)而可得函數(shù)f(x)的圖象的對稱中心和單調(diào)遞增區(qū)間 (Ⅱ)由f(+)=﹣可得C角,結(jié)合余弦定理及c=1,ab=2,可得△ABC的周長. 【解答】解:(Ⅰ)f()=﹣(m+1)sinθ=0, ∵θ∈(0,π). ∴sinθ≠0, ∴m+1=0,即m=﹣1, ∵f(x)為奇函數(shù), ∴f(0)=(m+2)cosθ=0, ∴cosθ=0,θ=.故f(x)=(﹣1+2cos2x)cos(2x+)=cos2x?(﹣sin2x)=﹣sin4x, 由4x=kπ,k∈Z得:x=kπ,k∈Z, 故函數(shù)f(x)的圖象的對稱中心坐標(biāo)為:(kπ,0),k∈Z, 由4x∈[+2kπ, +2kπ],k∈Z得:x∈[+kπ, +kπ],k∈Z, 即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[+kπ, +kπ],k∈Z, (Ⅱ)∵f(+)=﹣sin(2C+)﹣,C為三角形內(nèi)角, 故C=, ∴c2=a2+b2﹣2abcosC==, ∵c=1,ab=2, ∴a+b=2+, ∴a+b+c=3+, 即△ABC的周長為3+. 18.如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD,AE⊥PC于點E,EF∥CD,交PD于點F (Ⅰ)證明:平面ADE⊥平面PBC (Ⅱ)求二面角D﹣AE﹣F的余弦值. 【考點】二面角的平面角及求法;平面與平面垂直的判定. 【分析】(Ⅰ)推導(dǎo)出PD⊥AD,AD⊥PC,AE⊥PC,從而PC⊥平面ADE,由此能證明平面ADE⊥平面PBC. (Ⅱ)以DA,DC,DP為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣F的余弦值. 【解答】證明:(Ⅰ)∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD, ∵AD⊥DC,∴AD⊥平面PDC,∴AD⊥PC, ∵AE⊥PC,∴PC⊥平面ADE, ∵PC?平面PBC,∴平面ADE⊥平面PBC. 解:(Ⅱ)設(shè)AB=1,則PD=,PC=PA=2,由(Ⅰ)知PC⊥平面ADE, ∴DE⊥PC,CE=,PE=, 以DA,DC,DP為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系, 則D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,), E(0,,),F(xiàn)(0,0,), 設(shè)平面AEF的法向量為=(x,y,z), 則,取x=,得=(), ∵PC⊥平面ADE,∴平面ADE的一個法向量是=(0,1,﹣), 設(shè)二面角D﹣AE﹣F的平面角為θ, cosθ==, ∴二面角D﹣AE﹣F的余弦值為. 19.在某校組織的“共筑中國夢”競賽活動中,甲、乙兩班各有6名選手參賽,在第一輪筆試環(huán)節(jié)中,評委將他們的筆試成績作為樣本數(shù)據(jù),繪制成如圖所示的莖葉圖,為了增加結(jié)果的神秘感,主持人故意沒有給出甲、乙兩班最后一位選手的成績,只是告訴大家,如果某位選手的成績高于90分(不含90分),則直接“晉級” (Ⅰ)求乙班總分超過甲班的概率 (Ⅱ)主持人最后宣布:甲班第六位選手的得分是90分,乙班第六位選手的得分是97分 ①請你從平均分光和方差的角度來分析兩個班的選手的情況; ②主持人從甲乙兩班所有選手成績中分別隨機抽取2個,記抽取到“晉級”選手的總?cè)藬?shù)為ξ,求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望. 【考點】離散型隨機變量的期望與方差;頻率分布直方圖. 【分析】(Ⅰ)先分別求出甲班前5位選手的總分和乙班前5位選手的總分,由此利用列舉法能求出乙班總分超過甲班的概率. (Ⅱ)①分別求出甲、乙兩班平均分和方差,由此能求出甲班選手間的實力相當(dāng),相差不大,乙班選手間實力懸殊,差距較大. ②ξ的可能取值為0,1,2,3,4,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出ξ的分布列和E(ξ). 【解答】解:(Ⅰ)甲班前5位選手的總分為88+89+90+91+92=450, 乙班前5位選手的總分為82+84+92+91+94=443, 若乙班總分超過甲班,則甲、乙兩班第六位選手的成績可分別為: (90,98),(90,99),(91,99),共三個, ∴乙班總分超過甲班的概率為p==. (Ⅱ)①甲班平均分為=(88+89+90+91+92+90)=90, 乙班平均數(shù)為=(82+84+92+91+94+97)=90, 甲班方差為S2甲=(22+12+12+22)=, 乙班方差為S2乙=(82+62+22+12+42+72)=, 兩班的平均分相同,但甲班選手的方差小于乙班, 故甲班選手間的實力相當(dāng),相差不大,乙班選手間實力懸殊,差距較大. ②ξ的可能取值為0,1,2,3,4, P(ξ=0)==, P(ξ=1)==, P(ξ=2)==, P(ξ=3)==, P(ξ=4)==, ∴ξ的分布列為: ξ 0 1 2 3 4 P ∴E(ξ)==2. 20.已知M是直線l:x=﹣1上的動點,點F的坐標(biāo)是(1,0),過M的直線l′與l垂直,并且l′與線段MF的垂直平分線相交于點N (Ⅰ)求點N的軌跡C的方程 (Ⅱ)設(shè)曲線C上的動點A關(guān)于x軸的對稱點為A′,點P的坐標(biāo)為(2,0),直線AP與曲線C的另一個交點為B(B與A′不重合),直線P′H⊥A′B,垂足為H,是否存在一個定點Q,使得|QH|為定值?若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 【考點】拋物線的簡單性質(zhì);軌跡方程. 【分析】(Ⅰ)由題意可知:丨NM丨=丨NF丨,即曲線C為拋物線,焦點坐標(biāo)為F(1,0),點N的軌跡C的方程y2=4x; (Ⅱ)設(shè)A(,a),則A′(,﹣a),直線AB的方程y=(x﹣2),代入拋物線方程,求得B的坐標(biāo),A′B的方程為y+a=﹣(x﹣),則令y=0,則x=﹣2,直線A′B與x軸交于定點T(﹣2,0),即可求得存在一個定點T(﹣2,0),使得T,A′,B三點共線,△PHT為直角三角形,并且丨OP丨=丨OT丨,丨OH丨=丨TP丨=2,即存在點O(0,0),使得丨OH丨為定值2,則O即為點Q(0,0). 【解答】解:(Ⅰ)由題意可知:丨NM丨=丨NF丨,即曲線C為拋物線,焦點坐標(biāo)為F(1,0), 準(zhǔn)線方程為l:x=﹣1, ∴點N的軌跡C的方程y2=4x; (Ⅱ)設(shè)A(,a),則A′(,﹣a), 直線AP的斜率kAP==, 直線AB的方程y=(x﹣2), 由,整理得:ay2﹣(a2﹣8)y﹣8a=0, 設(shè)B(x2,y2),則ay2=﹣8,則y2=﹣,x2=, 則B(,﹣), 又A′(,﹣a), ∴A′B的方程為y+a=﹣(x﹣), 令y=0,則x=﹣2, 直線A′B與x軸交于定點T(﹣2,0), △PHT為直角三角形,并且丨OP丨=丨OT丨, ∴丨OH丨=丨TP丨=2, 即存在點O(0,0),使得丨OH丨為定值2,則O即為點Q(0,0). 21.已知函數(shù)f(x)=+lnx﹣3有兩個零點x1,x2(x1<x2) (Ⅰ)求證:0<a<e2 (Ⅱ)求證:x1+x2>2a. 【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性. 【分析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的最小值,求出a的范圍即可; (Ⅱ)問題轉(zhuǎn)化為證明f(x2)>f(2a﹣x1),設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)﹣f(2a﹣x),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可. 【解答】證明:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞), f′(x)=, ①a≤0時,f′(x)≥0, ∴f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù), 不可能有2個零點; ②a>0時,在區(qū)間(0,a)上,f′(x)<0,在區(qū)間(a,+∞)上,f′(x)>0, ∴f(x)在區(qū)間(0,a)遞減,在區(qū)間(a,+∞)遞增; f(x)的最小值是f(a)=lna﹣2, 由題意得:有f(a)<0,則0<a<e2; (Ⅱ)要證x1+x2>2a,只要證x2>2a﹣x1, 易知x2>a,2a﹣x1>a, 而f(x)在區(qū)間(a,+∞)遞增, ∴只要證明f(x2)>f(2a﹣x1), 即證f(x2)>f(2a﹣x1), 設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)﹣f(2a﹣x), 則g(a)=0,且區(qū)間(0,a)上, g′(x)=f′(x)+f′(2a﹣x)=<0, 即g(x)在(0,a)遞減, ∴g(x1)>g(a)=0, 而g(x1)=f(x1)﹣f(2a﹣x1)>0, ∴f(x2)>f(2a﹣x1)成立, ∴x1+x2>2a. [選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 22.已知曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=2cosθ,直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)).(Ⅰ)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程; (Ⅱ)設(shè)直線l與y軸的交點是M,N是曲線C上一動點,求|MN|的最大值. 【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義;參數(shù)方程化成普通方程. 【分析】(Ⅰ)曲線C的極坐標(biāo)方程可化為ρ2=2ρcosθ,利用x2+y2=ρ2,x=ρcosθ,即可得出; (Ⅱ)求出點M與圓心的距離d,即可得出最小值. 【解答】解:(Ⅰ)曲線C的極坐標(biāo)方程可化為ρ2=2ρcosθ, 又x2+y2=ρ2,x=ρcosθ, ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣2x=0. (Ⅱ)將直線l的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程,得y=2x+2, 令x=0得y=2,即M點的坐標(biāo)為(0,2). 又曲線C為圓,圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0),半徑r=1, 則|MC|=, |MN|≤|MC|+r=+1. ∴MN的最大值為+1. [選修4-5:不等式選講] 23.已知函數(shù)f(x)=|x﹣m|(m>0),g(x)=2f(x)﹣f(x+m),g(x)的最小值為﹣1. (Ⅰ)求m的值; (Ⅱ)若|a|<m,|b|<m,且a≠0.求證:f(ab)>|a|f(). 【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用. 【分析】(Ⅰ)根據(jù)函數(shù)f(x)=|x﹣m|(m>0),可得函數(shù)g(x)的解析式,進(jìn)而構(gòu)造方程,可得m的值; (Ⅱ)若|a|<m,|b|<m,要證f(ab)>|a|f().即證|ab﹣1|>|a﹣b|平方可得結(jié)論. 【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=|x﹣m|(m>0), ∴g(x)=2f(x)﹣f(x+m)=, 故當(dāng)x=m時,函數(shù)取最小值﹣m=﹣1, 解得:m=1; (Ⅱ)證明:要證f(ab)>|a|f(). 即證|ab﹣1|>|a﹣b|, ∵|a|<1,|b|<1, ∴(ab﹣1)2﹣(a﹣b)2=(a2b2﹣2ab+1)﹣(a2﹣2ab+b2)=(a2﹣1)(b2﹣1)>0, 即(ab﹣1)2>(a﹣b)2, ∴|ab﹣1|>|a﹣b|, ∴f(ab)>|a|f()- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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