河北保定易縣中學2017屆高三上學期周考數學(理)試卷(四)解析版.doc
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河北保定易縣中學2017屆高三上學期周考數學(理)試卷(四) 一.選擇題(12小題,每題5分,共60分) 1.已知集合A={x∈N|1<x<log2k},集合A中至少有3個元素,則( ?。? A.k>8 B.k≥8 C.k>16 D.k≥16 2.復數的共軛復數的虛部是( ?。? A. B. C.﹣1 D.1 3.已知f(x)=x﹣sinx,命題p:?x∈(0,),f(x)<0,則( ?。? A.p是假命題,¬p:?x∈(0,),f(x)≥0 B.p是假命題,¬p:?x∈(0,),f(x)≥0 C.p是真命題,¬p:?x∈(0,),f(x)≥0 D.p是真命題,¬p:?x∈(0,),f(x)≥0 4.《算法通宗》是我國古代內容豐富的數學名書,書中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅燈向下倍加增,共燈三百八十一,請問塔頂幾盞燈?”其意思為“一座塔共七層,從塔頂至塔底,每層燈的數目都是上一層的2倍,已知這座塔共有381盞燈,請問塔頂有幾盞燈?” A.3 B.4 C.5 D.6 5.設函數f(x)=sin(2x﹣)的圖象為C,下面結論中正確的是( ?。? A.函數f(x)的最小正周期是2π B.函數f(x)在區(qū)間(﹣,)上是增函數 C.圖象C可由函數g(x)=sin2x的圖象向右平移個單位得到 D.圖象C關于點(,0)對稱 6.程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”,執(zhí)行該程序框圖,若輸入的a,b分別為14,18,則輸出的a=( ?。? A.0 B.2 C.4 D.14 7.若不等式組表示的區(qū)域Ω,不等式(x﹣)2+y2表示的區(qū)域為Γ,向Ω區(qū)域均勻隨機撒360顆芝麻,則落在區(qū)域Γ中芝麻數約為( ) A.114 B.10 C.150 D.50 8.2015年4月22日,亞非領導人會議在印尼雅加達舉行,某五國領導人A,B,C,D,E,除B與E、D與E不單獨會晤外,其他領導人兩兩之間都要單獨會晤,現安排他們在兩天的上午、下午單獨會晤(每人每個半天最多只進行一次會晤),那么安排他們單獨會晤的不同方法共有( ?。? A.48種 B.36種 C.24種 D.8種 9.實數x,y滿足,則xy的最小值為( ?。? A.2 B. C. D.1 10.如圖,在△OMN中,A,B分別是OM,ON的中點,若=x+y(x,y∈R),且點P落在四邊形ABNM內(含邊界),則的取值范圍是( ) A.[,] B.[,] C.[,] D.[,] 11.F1,F2分別是雙曲線﹣=1(a,b>0)的左右焦點,點P在雙曲線上,滿足=0,若△PF1F2的內切圓半徑與外接圓半徑之比為,則該雙曲線的離心率為( ?。? A. B. C. +1 D. +1 12.如圖所示,正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長為1,E,F分別是棱AA′,CC′的中點,過直線E,F的平面分別與棱BB′、DD′交于M,N,設BM=x,x∈[0,1],給出以下四個命題: ①平面MENF⊥平面BDD′B′; ②當且僅當x=時,四邊形MENF的面積最??; ③四邊形MENF周長L=f(x),x∈[0,1]是單調函數; ④四棱錐C′﹣MENF的體積V=h(x)為常函數; 以上命題中假命題的序號為( ) A.①④ B.② C.③ D.③④ 二.填空題(4小題,每小題5分,共20分) 13.雙曲線﹣y2=1的焦距是 ,漸近線方程是 . 14.已知三棱錐A﹣BCD中,AB⊥面BCD,△BCD為邊長為2的正三角形,AB=2,則三棱錐的外接球體積為 ?。? 15.已知a=cosxdx,則x(x﹣)7的展開式中的常數項是 ?。ㄓ脭底肿鞔穑? 16.(填空題壓軸題:考查函數的性質,字母運算等) 設函數f(x)的定義域為D,如果存在正實數k,使對任意x∈D,都有x+k∈D,且f(x+k)>f(x)恒成立,則稱函數f(x)為D上的“k型增函數”.已知f(x)是定義在R上的奇函數,且當x>0時,f(x)=|x﹣a|﹣2a,若f(x)為R上的“2011型增函數”,則實數a的取值范圍是 ?。? 三.解答題 17.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bcos2+acos2=c. (Ⅰ)求證:a,c,b成等差數列; (Ⅱ)若C=,△ABC的面積為2,求c. 18.某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時間為T,T只與道路通暢狀況有關,對其容量為100的樣本進行統(tǒng)計,結果如下: T(分鐘) 25 30 35 40 頻數(次) 20 30 40 10 (Ⅰ)求T的分布列與數學期望ET; (Ⅱ)劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā),前往新校區(qū)做一個50分鐘的講座,結束后立即返回老校區(qū),求劉教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時間不超過120分鐘的概率. 19.如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,PE=2BE. (I)求證:平面EAC⊥平面PBC; (Ⅱ)若二面角P﹣AC﹣E的余弦值為,求直線PA與平面EAC所成角的正弦值. 20.已知橢圓的離心率為,且過點.若點M(x0,y0)在橢圓C上,則點稱為點M的一個“橢點”. (I)求橢圓C的標準方程; (Ⅱ)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A,B兩點,且A,B兩點的“橢點”分別為P,Q,以PQ為直徑的圓經過坐標原點,試判斷△AOB的面積是否為定值?若為定值,求出定值;若不為定值,說明理由. 21.已知函數f(x)=lnx﹣x2+ax,(1)當x∈(1,+∞)時,函數f(x)為遞減函數,求a的取值范圍; (2)設f(x)是函數f(x)的導函數,x1,x2是函數f(x)的兩個零點,且x1<x2,求證 (3)證明當n≥2時,. [坐標系與參數方程] 22.在直角坐標系中,以坐標原點O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,已知點M的極坐標為(2,),曲線C的參數方程為(α為參數). (1)直線l過M且與曲線C相切,求直線l的極坐標方程; (2)點N與點M關于y軸對稱,求曲線C上的點到點N的距離的取值范圍. [不等式選講] 23.已知?x0∈R使得關于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立. (Ⅰ)求滿足條件的實數t集合T; (Ⅱ)若m>1,n>1,且對于?t∈T,不等式log3m?log3n≥t恒成立,試求m+n的最小值. 答案 一.選擇題(12小題,每題5分,共60分) 1.已知集合A={x∈N|1<x<log2k},集合A中至少有3個元素,則( ?。? A.k>8 B.k≥8 C.k>16 D.k≥16 【考點】集合的表示法. 【分析】首先確定集合A,由此得到log2k>4,由此求得k的取值范圍. 【解答】解:∵集合A={x∈N|1<x<log2k},集合A中至少有3個元素,∴A={2,3,4}, ∴l(xiāng)og2k>4, ∴k>16. 故選:C. 2.復數的共軛復數的虛部是( ?。? A. B. C.﹣1 D.1 【考點】復數代數形式的乘除運算. 【分析】利用復數代數形式的乘除運算化簡,求出原復數的共軛復數得答案. 【解答】解:∵=, ∴復數的共軛復數為﹣i,虛部為﹣1. 故選:C. 3.已知f(x)=x﹣sinx,命題p:?x∈(0,),f(x)<0,則( ?。? A.p是假命題,¬p:?x∈(0,),f(x)≥0 B.p是假命題,¬p:?x∈(0,),f(x)≥0 C.p是真命題,¬p:?x∈(0,),f(x)≥0 D.p是真命題,¬p:?x∈(0,),f(x)≥0 【考點】命題的否定. 【分析】利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結果即可. 【解答】解:f(x)=x﹣sinx,x∈(0,),f′(x)=1﹣cosx>0,∴f(x)是(0,)上是增函數, ∵f(0)=0, ∴f(x)>0, ∴命題p:?x∈(0,),f(x)<0是假命題, ¬p:?x∈(0,),f(x)≥0, 故選:A. 4.《算法通宗》是我國古代內容豐富的數學名書,書中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅燈向下倍加增,共燈三百八十一,請問塔頂幾盞燈?”其意思為“一座塔共七層,從塔頂至塔底,每層燈的數目都是上一層的2倍,已知這座塔共有381盞燈,請問塔頂有幾盞燈?” A.3 B.4 C.5 D.6 【考點】等差數列的前n項和. 【分析】設出塔頂燈的盞數,由題意可知燈的盞數自上而下構成等比數列,且公比為2,然后由等比數列的前7項和等于381列式計算即可. 【解答】解:由題意設塔頂有a盞燈, 由題意由上往下數第n層就有2n﹣1?a盞燈, ∴共有(1+2+4+8+16+32+64)a=381盞燈, 即. 解得:a=3. 故選:A. 5.設函數f(x)=sin(2x﹣)的圖象為C,下面結論中正確的是( ?。? A.函數f(x)的最小正周期是2π B.函數f(x)在區(qū)間(﹣,)上是增函數 C.圖象C可由函數g(x)=sin2x的圖象向右平移個單位得到 D.圖象C關于點(,0)對稱 【考點】正弦函數的圖象. 【分析】由條件利用正弦函數的周期性、單調性、以及圖象的對稱性,y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,得出結論 【解答】解:根據函數f(x)=sin(2x﹣)的周期為=π,可得A錯誤; 在區(qū)間(﹣,)上,2x﹣∈(﹣,),故f(x)沒有單調性,故B錯誤; 把函數g(x)=sin2x的圖象向右平移個單位,可得y=sin(2x﹣)的圖象,故C錯誤; 令x=,可得f(x)=sin(2x﹣)=0,圖象C關于點(,0)對稱,故D正確, 故選:D. 6.程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”,執(zhí)行該程序框圖,若輸入的a,b分別為14,18,則輸出的a=( ?。? A.0 B.2 C.4 D.14 【考點】程序框圖. 【分析】由循環(huán)結構的特點,先判斷,再執(zhí)行,分別計算出當前的a,b的值,即可得到結論. 【解答】解:由a=14,b=18,a<b, 則b變?yōu)?8﹣14=4, 由a>b,則a變?yōu)?4﹣4=10, 由a>b,則a變?yōu)?0﹣4=6, 由a>b,則a變?yōu)?﹣4=2, 由a<b,則b變?yōu)?﹣2=2, 由a=b=2, 則輸出的a=2. 故選:B. 7.若不等式組表示的區(qū)域Ω,不等式(x﹣)2+y2表示的區(qū)域為Γ,向Ω區(qū)域均勻隨機撒360顆芝麻,則落在區(qū)域Γ中芝麻數約為( ?。? A.114 B.10 C.150 D.50 【考點】幾何概型;簡單線性規(guī)劃. 【分析】作出兩平面區(qū)域,計算兩區(qū)域的公共面積,得出芝麻落在區(qū)域Γ內的概率. 【解答】解:作出平面區(qū)域Ω如圖:則區(qū)域Ω的面積為S△ABC==. 區(qū)域Γ表示以D()為圓心,以為半徑的圓, 則區(qū)域Ω和Γ的公共面積為S′=+=. ∴芝麻落入區(qū)域Γ的概率為=. ∴落在區(qū)域Γ中芝麻數約為360=30π+20≈114. 故選A. 8.2015年4月22日,亞非領導人會議在印尼雅加達舉行,某五國領導人A,B,C,D,E,除B與E、D與E不單獨會晤外,其他領導人兩兩之間都要單獨會晤,現安排他們在兩天的上午、下午單獨會晤(每人每個半天最多只進行一次會晤),那么安排他們單獨會晤的不同方法共有( ) A.48種 B.36種 C.24種 D.8種 【考點】排列、組合及簡單計數問題. 【分析】單獨會晤,共有AB,AC,AD,AE,BC,BD,CD,CE共8種情況,再分步,即可得出結論. 【解答】解:單獨會晤,共有AB,AC,AD,AE,BC,BD,CD,CE共8種情況,設為第n次,分成四個時段,每個時段[即某個上午或下午]有兩次,各個時段沒有關系.設第一次會晤有E,則有兩種方法(不防設為AE),則第二次會晤在BCD內任選(設為BC),有三種方法,第三次設再有E則有一種方法(CE),第四次在ABD內任選則有兩種方法(設為AD),則剩下的排序只有4種,則有23124=48種.故選:A. 9.實數x,y滿足,則xy的最小值為( ?。? A.2 B. C. D.1 【考點】函數的最值及其幾何意義;基本不等式在最值問題中的應用;三角函數的化簡求值. 【分析】配方可得2cos2(x+y﹣1)==(x﹣y+1)+x﹣y+1,由基本不等式可得(x﹣y+1)+x﹣y+1≤2,或(x﹣y+1)+x﹣y+1≤﹣2,進而可得cos(x+y﹣1)=1,x=y=,由此可得xy的表達式,取k=0可得最值. 【解答】解:∵, ∴2cos2(x+y﹣1)= ∴2cos2(x+y﹣1)=, 故2cos2(x+y﹣1)=x﹣y+1+, 由基本不等式可得(x﹣y+1)+≥2,或(x﹣y+1)+≤﹣2, ∴2cos2(x+y﹣1)≥2,由三角函數的有界性可得2cos2(x+y﹣1)=2, 故cos2(x+y﹣1)=1,即cos(x+y﹣1)=1,此時x﹣y+1=1, 即x=y, ∴x+y﹣1=kπ,k∈Z,故x+y=2x=kπ+1,解得x=, 故xy=x?x=()2, 當k=0時,xy的最小值, 故選:B 10.如圖,在△OMN中,A,B分別是OM,ON的中點,若=x+y(x,y∈R),且點P落在四邊形ABNM內(含邊界),則的取值范圍是( ?。? A.[,] B.[,] C.[,] D.[,] 【考點】平面向量的基本定理及其意義. 【分析】若P在線段AB上,設=λ,則有=,由于=x+y,則有x+y=1, 由于在△OMN中,A,B分別是OM,ON的中點,P落在線段MN上,則x+y=2.即可得到取值范圍. 【解答】解:若P在線段AB上,設=λ, 則有==, ∴=, 由于=x+y(x,y∈R), 則x=,y=,故有x+y=1, 若P在線段MN上,設=λ,則有=,故x=1,y=0時,最小值為,當x=0,y=1時,最大值為 故范圍為[] 由于在△OMN中,A,B分別是OM,ON的中點, 則=x+y=x+y(x,y∈R), 則x=, y=,故有x+y=2,當x=2,y=0時有最小值,當x=0,y=2時,有最大值 故范圍為[] 若P在陰影部分內(含邊界), 則∈. 故選:C. 11.F1,F2分別是雙曲線﹣=1(a,b>0)的左右焦點,點P在雙曲線上,滿足=0,若△PF1F2的內切圓半徑與外接圓半徑之比為,則該雙曲線的離心率為( ) A. B. C. +1 D. +1 【考點】雙曲線的簡單性質. 【分析】設P為雙曲線的右支上一點,由向量垂直的條件,運用勾股定理和雙曲線的定義,可得|PF1|+|PF2|,|PF1|?|PF2|,再由三角形的面積公式,可得內切圓的半徑,再由直角三角形的外接圓的半徑即為斜邊的一半,由條件結合離心率公式,計算即可得到所求值. 【解答】解:設P為雙曲線的右支上一點, =0,即為⊥, 由勾股定理可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,① 由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|=2a,② ①﹣②2,可得|PF1|?|PF2|=2(c2﹣a2), 可得|PF1|+|PF2|=, 由題意可得△PF1F2的外接圓的半徑為|F1F2|=c, 設△PF1F2的內切圓的半徑為r,可得 |PF1|?|PF2|=r(|PF1|+|PF2|+|F1F2|), 解得r=(﹣2c), 即有=, 化簡可得8c2﹣4a2=(4+2)c2, 即有c2=a2, 則e===+1. 故選:D. 12.如圖所示,正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長為1,E,F分別是棱AA′,CC′的中點,過直線E,F的平面分別與棱BB′、DD′交于M,N,設BM=x,x∈[0,1],給出以下四個命題: ①平面MENF⊥平面BDD′B′; ②當且僅當x=時,四邊形MENF的面積最小; ③四邊形MENF周長L=f(x),x∈[0,1]是單調函數; ④四棱錐C′﹣MENF的體積V=h(x)為常函數; 以上命題中假命題的序號為( ?。? A.①④ B.② C.③ D.③④ 【考點】命題的真假判斷與應用. 【分析】①利用面面垂直的判定定理去證明EF⊥平面BDDB.②四邊形MENF的對角線EF是固定的,所以要使面積最小,則只需MN的長度最小即可.③判斷周長的變化情況.④求出四棱錐的體積,進行判斷. 【解答】解:①連結BD,BD,則由正方體的性質可知,EF⊥平面BDDB,所以平面MENF⊥平面BDDB,所以①正確. ②連結MN,因為EF⊥平面BDDB,所以EF⊥MN,四邊形MENF的對角線EF是固定的,所以要使面積最小,則只需MN的長度最小即可,此時當M為棱的中點時,即x=時,此時MN長度最小,對應四邊形MENF的面積最小.所以②正確. ③因為EF⊥MN,所以四邊形MENF是菱形.當x∈[0,]時,EM的長度由大變?。攛∈[,1]時,EM的長度由小變大.所以函數L=f(x)不單調.所以③錯誤. ④連結CE,CM,CN,則四棱錐則分割為兩個小三棱錐,它們以CEF為底,以M,N分別為頂點的兩個小棱錐.因為三角形CEF的面積是個常數.M,N到平面CEF的距離是個常數,所以四棱錐C﹣MENF的體積V=h(x)為常函數,所以④正確. 所以四個命題中③假命題. 所以選C. 二.填空題(4小題,每小題5分,共20分) 13.雙曲線﹣y2=1的焦距是 2 ,漸近線方程是 y=x?。? 【考點】雙曲線的簡單性質. 【分析】確定雙曲線中的幾何量,即可求出焦距、漸近線方程. 【解答】解:雙曲線=1中,a=,b=1,c=, ∴焦距是2c=2,漸近線方程是y=x. 故答案為:2;y=x. 14.已知三棱錐A﹣BCD中,AB⊥面BCD,△BCD為邊長為2的正三角形,AB=2,則三棱錐的外接球體積為 π . 【考點】球的體積和表面積;球內接多面體. 【分析】由已知結合三棱錐和正三棱柱的幾何特征,可得此三棱錐外接球,即為以△BCD為底面以AB為高的正三棱柱的外接球,分別求出棱錐底面半徑r,和球心距d,可得球的半徑R,即可求出三棱錐的外接球體積. 【解答】解:根據已知中底面△BCD是邊長為2的正三角形,AB⊥面BCD, 可得此三棱錐外接球,即為以△BCD為底面以AB為高的正三棱柱的外接球 ∵△BCD是邊長為2的正三角形, ∴△BCD的外接圓半徑r=,球心到△BCD的外接圓圓心的距離d=1 故球的半徑R==, ∴三棱錐的外接球體積為=π. 故答案為:π. 15.已知a=cosxdx,則x(x﹣)7的展開式中的常數項是 ﹣128?。ㄓ脭底肿鞔穑? 【考點】二項式系數的性質. 【分析】利用微積分基本定理可得a,再利用二項式定理的通項公式即可得出. 【解答】解:a=cosxdx==, 則x的展開式中的通項公式:Tr+1=x=(﹣2)rx7﹣r, 令7﹣r=0,解得r=7. ∴常數項=﹣=﹣128. 故答案為:﹣128. 16.(填空題壓軸題:考查函數的性質,字母運算等) 設函數f(x)的定義域為D,如果存在正實數k,使對任意x∈D,都有x+k∈D,且f(x+k)>f(x)恒成立,則稱函數f(x)為D上的“k型增函數”.已知f(x)是定義在R上的奇函數,且當x>0時,f(x)=|x﹣a|﹣2a,若f(x)為R上的“2011型增函數”,則實數a的取值范圍是 . 【考點】奇偶性與單調性的綜合. 【分析】由題意可以得到再由定義存在正實數k,使對任意x∈D,都有x+k∈D,且f(x+k)>f(x)恒成立,則稱函數f(x)為D上的“k型增函數”.對所給的問題分自變量全為正,全為負,一正一負三類討論,求出參數所滿足的共同范圍即可. 【解答】解:∵f(x)是定義在R上的奇函數,且當x>0時,f(x)=|x﹣a|﹣2a, ∴ 又f(x)為R上的“2011型增函數”, 當x>0時,由定義有|x+2011﹣a|﹣2a>|x﹣a|﹣2a,即|x+2011﹣a|>|x﹣a|,其幾何意義為到點a小于到點a﹣2011的距離,由于x>0故可知a+a﹣2011<0得a<當x<0時,分兩類研究,若x+2011<0,則有﹣|x+2011+a|+2a>﹣|x+a|+2a,即|x+a|>|x+2011+a|,其幾何意義表示到點﹣a的距離小于到點﹣a﹣2011的距離,由于x<0,故可得﹣a﹣a﹣2011>0,得a<;若x+2011>0,則有|x+2011﹣a|﹣2a>﹣|x+a|+2a,即|x+a|+|x+2011﹣a|>4a,其幾何意義表示到到點﹣a的距離與到點a﹣2011的距離的和大于4a,當a≤0時,顯然成立,當a>0時,由于|x+a|+|x+2011+a|≥|﹣a﹣a+2011|=|2a﹣2011|,故有|2a﹣2011|>4a,必有2011﹣2a>4a,解得 綜上,對x∈R都成立的實數a的取值范圍是 故答案為:. 三.解答題 17.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bcos2+acos2=c. (Ⅰ)求證:a,c,b成等差數列; (Ⅱ)若C=,△ABC的面積為2,求c. 【考點】數列與三角函數的綜合;正弦定理;余弦定理的應用. 【分析】(Ⅰ)利用正弦定理以及兩角和與差的三角函數,三角形的內角和,化簡求解即可. (Ⅱ)利用三角形的面積以及余弦定理化簡求解即可. 【解答】解:(Ⅰ)證明:由正弦定理得: 即, ∴sinB+sinA+sinBcosA+cosBsinA=3sinC… ∴sinB+sinA+sin(A+B)=3sinC ∴sinB+sinA+sinC=3sinC… ∴sinB+sinA=2sinC ∴a+b=2c… ∴a,c,b成等差數列.… (Ⅱ) ∴ab=8…c2=a2+b2﹣2abcosC =a2+b2﹣ab =(a+b)2﹣3ab =4c2﹣24.… ∴c2=8得… 18.某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時間為T,T只與道路通暢狀況有關,對其容量為100的樣本進行統(tǒng)計,結果如下: T(分鐘) 25 30 35 40 頻數(次) 20 30 40 10 (Ⅰ)求T的分布列與數學期望ET; (Ⅱ)劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā),前往新校區(qū)做一個50分鐘的講座,結束后立即返回老校區(qū),求劉教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時間不超過120分鐘的概率. 【考點】離散型隨機變量的期望與方差;離散型隨機變量及其分布列. 【分析】(Ⅰ)求T的分布列即求出相應時間的頻率,頻率=頻數樣本容量,數學期望ET=250.2+300.3+350.4+400.1=32(分鐘); (Ⅱ)設T1,T2分別表示往、返所需時間,事件A對應于“劉教授在路途中的時間不超過70分鐘”,先求出P()=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.09,即P(A)=1﹣P()=0.91.【解答】解(Ⅰ)由統(tǒng)計結果可得T的頻率分布為 T(分鐘) 25 30 35 40 頻率 0.2 0.3 0.4 0.1 以頻率估計概率得T的分布列為 T 25 30 35 40 P 0.2 0.3 0.4 0.1 從而數學期望ET=250.2+300.3+350.4+400.1=32(分鐘) (Ⅱ)設T1,T2分別表示往、返所需時間,T1,T2的取值相互獨立,且與T的分布列相同,設事件A表示“劉教授共用時間不超過120分鐘”,由于講座時間為50分鐘,所以事件A對應于“劉教授在路途中的時間不超過70分鐘” P()=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.40.1+0.10.4+0.10.1=0.09 故P(A)=1﹣P()=0.91 故答案為:(Ⅰ)分布列如上表,數學期望ET=32(分鐘)(Ⅱ)0.91 19.如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,PE=2BE. (I)求證:平面EAC⊥平面PBC; (Ⅱ)若二面角P﹣AC﹣E的余弦值為,求直線PA與平面EAC所成角的正弦值. 【考點】二面角的平面角及求法;平面與平面垂直的判定. 【分析】(I)由PC⊥底面ABCD,可得PC⊥AC.由AB=2,AD=CD=1,利用勾股定理的逆定理可得:AC⊥BC,因此AC⊥平面PBC,即可證明平面EAC⊥平面PBC. (II)取AB的中點F,兩角CF,則CF⊥AB,以點C為原點,建立空間直角坐標系,可得設P(0,0,a)(a>0),可取=(1,﹣1,0),利用向量垂直與數量積的關系可得:為平面PAC的法向量.設=(x,y,z)為平面EAC的法向量,則,可得,由于二面角P﹣AC﹣E的余弦值為,可得==,解得a=4.設直線PA與平面EAC所成角為θ,則sinθ=||=即可得出. 【解答】(I)證明:∵PC⊥底面ABCD,AC?平面ABCD, ∴PC⊥AC. ∵AB=2,AD=CD=1,∴AC=BC=,∴AC2+BC2=AB2, ∴AC⊥BC,又BC∩PC=C, ∴AC⊥平面PBC,又AC?平面EAC, ∴平面EAC⊥平面PBC. (II)解:取AB的中點F,兩角CF,則CF⊥AB,以點C為原點,建立空間直角坐標系, 可得:C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,﹣1,0), 設P(0,0,a)(a>0),則E, =(1,1,0),=(0,0,a),=, 取=(1,﹣1,0),則=0, ∴為平面PAC的法向量. 設=(x,y,z)為平面EAC的法向量,則,即, 取=(a,﹣a,﹣4), ∵二面角P﹣AC﹣E的余弦值為, ∴===,解得a=4, ∴=(4,﹣4,﹣4),=(1,1,﹣4). 設直線PA與平面EAC所成角為θ,則sinθ=||===, ∴直線PA與平面EAC所成角的正弦值為. 20.已知橢圓的離心率為,且過點.若點M(x0,y0)在橢圓C上,則點稱為點M的一個“橢點”. (I)求橢圓C的標準方程; (Ⅱ)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A,B兩點,且A,B兩點的“橢點”分別為P,Q,以PQ為直徑的圓經過坐標原點,試判斷△AOB的面積是否為定值?若為定值,求出定值;若不為定值,說明理由. 【考點】橢圓的簡單性質. 【分析】(I)運用離心率公式和基本量a,b,c的關系,代入點,解方程可得a,b,即可得到橢圓方程; (II)設A(x1,y1),B(x2,y2),可得,由于以PQ為直徑的圓經過坐標原點,所以,運用數量積為0,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,運用判別式大于0,韋達定理和弦長公式,點到直線的距離公式,三角形的面積公式,化簡整理,即可得到定值. 【解答】解:(I)由題意知e==,a2﹣b2=c2, 即又, 可得a2=4,b2=3, 即有橢圓的方程為+=1; (II)設A(x1,y1),B(x2,y2), 則, 由于以PQ為直徑的圓經過坐標原點,所以,即, 由得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣3)=0, △=64m2k2﹣16(3+4k2)(m2﹣3)>0,化為3+4k2﹣m2>0. x1+x2=﹣,x1x2=, y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2 =k2?+km(﹣)+m2=, 代入,即, 得:,2m2﹣4k2=3,, O到直線l的距離為, △ABO的面積為, 把2m2﹣4k2=3代入上式得. 21.已知函數f(x)=lnx﹣x2+ax, (1)當x∈(1,+∞)時,函數f(x)為遞減函數,求a的取值范圍; (2)設f(x)是函數f(x)的導函數,x1,x2是函數f(x)的兩個零點,且x1<x2,求證 (3)證明當n≥2時,. 【考點】利用導數研究函數的單調性;利用導數求閉區(qū)間上函數的最值. 【分析】(1)求出函數的導數,問題轉化為即a≤2x﹣恒成立,求出a的范圍即可; (2)求出a,得到f′()=﹣,問題轉化為證明>ln,令t=,∵0<x1<x2,∴0<t<1,即證明u(t)=+lnt<0在0<t<1上恒成立,根據函數的單調性證明即可; (3)令a=1,得到lnx≤x2﹣x,得到x>1時,>,分別令x=2,3,4,5,…n,累加即可. 【解答】(1)解:∵x∈(1,+∞)時,函數f(x)為遞減函數, ∴f′(x)=﹣2x+a≤0在(1,+∞)恒成立, 即a≤2x﹣恒成立, 而y=2x﹣在(1,+∞)遞增, 故2x﹣>1, 故a≤1; (2)證明:∵f(x)的圖象與x軸交于兩個不同的點A(x1,0),B(x2,0), ∴方程lnx﹣x2+ax=0的兩個根為x1,x2, 則 lnx1﹣+ax1=0,①,lnx2﹣+ax2=0,②, 兩式相減得a=(x1+x2)﹣, 又f(x)=lnx﹣x2+ax,f′(x)=﹣2x+a, 則f′()=﹣(x1+x2)+a=﹣, 要證﹣<0, 即證明>ln, 令t=,∵0<x1<x2,∴0<t<1, 即證明u(t)=+lnt<0在0<t<1上恒成立, ∵u′(t)=, 又0<t<1,∴u(t)>0, ∴u(t)在(0,1)上是增函數,則u(t)<u(1)=0, 從而知﹣<0, 故f′()<0成立; (3)證明:令a=1,由(1)得:f(x)在(1,+∞)遞減, ∴f(x)=lnx﹣x2+x≤f(1)=0, 故lnx≤x2﹣x, x>1時,>, 分別令x=2,3,4,5,…n, 故++…+>++…+=1﹣, ∴++…+>1﹣, 即左邊>1﹣>1,得證. [坐標系與參數方程] 22.在直角坐標系中,以坐標原點O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,已知點M的極坐標為(2,),曲線C的參數方程為(α為參數). (1)直線l過M且與曲線C相切,求直線l的極坐標方程; (2)點N與點M關于y軸對稱,求曲線C上的點到點N的距離的取值范圍. 【考點】參數方程化成普通方程;簡單曲線的極坐標方程. 【分析】(1)設直線l的方程為y=k(x﹣2)+2,圓曲線C的普通方程聯(lián)立消元,令判別式等于0求出k,得出直角坐標方程,再轉化為極坐標方程; (2)求出N到圓心的距離,即可得出最值. 【解答】解:(1)M的直角坐標為(2,2),曲線C的普通方程為(x﹣1)2+y2=4. 設直線l的方程為y=k(x﹣2)+2, 聯(lián)立方程組得(1+k2)x2+(4k﹣4k2﹣2)x+4k2﹣8k+1=0, ∵直線l與曲線C相切,∴(4k﹣4k2﹣2)2﹣4(1+k2)(4k2﹣8k+1)=0, 解得k=0或k=﹣. ∴直線l的方程為y=2或y=﹣(x﹣2)+2,即4x+3y﹣8=0, ∴直線l的極坐標方程為ρsinθ=2或4ρcosθ+3ρsinθ﹣8=0. (2)點N的坐標為N(﹣2,2),C(1,0). CN==,圓C的半徑為2. ∴曲線C上的點到點N的距離最大值為+2,最小值為﹣2. 曲線C上的點到點N的距離的取值范圍是[﹣2, +2]. [不等式選講] 23.已知?x0∈R使得關于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立. (Ⅰ)求滿足條件的實數t集合T; (Ⅱ)若m>1,n>1,且對于?t∈T,不等式log3m?log3n≥t恒成立,試求m+n的最小值. 【考點】絕對值不等式的解法;絕對值三角不等式. 【分析】(Ⅰ)根據絕對值的幾何意義求出t的范圍即可;(Ⅱ)根據級別不等式的性質結合對數函數的性質求出m+n的最小值即可. 【解答】解:(I)令f(x)=|x﹣1|﹣|x﹣2|≥|x﹣1﹣x+2|=1≥t, ∴T=(﹣∞,1]; (Ⅱ)由(I)知,對于?t∈T, 不等式?≥t恒成立, 只需?≥tmax, 所以?≥1, 又因為m>1,n>1, 所以>0,>0, 又1≤?≤=(=時取“=”), 所以≥4, 所以≥2,mn≥9, 所以m+n≥2≥6, 即m+n的最小值為6(此時m=n=3).- 配套講稿:
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