2022年高考數(shù)學一輪復習 高考大題專項練
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高考大題專項練六 高考中的概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例
一、非選擇題
1.某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表:
工人編號
年齡
工人編號
年齡
工人編號
年齡
工人編號
年齡
1
40
10
36
19
27
28
34
2
44
11
31
20
43
29
39
3
40
12
38
21
41
30
43
4
41
13
39
22
37
31
38
5
33
14
43
23
34
32
42
6
40
15
45
24
42
33
53
7
45
16
39
25
37
34
37
8
42
17
38
26
44
35
49
9
43
18
36
27
42
36
39
(1)用系統(tǒng)抽樣的方法從36名工人中抽取容量為9的樣本,且在第一分段里用隨機抽樣的方法抽到的年齡數(shù)據(jù)為44,列出樣本的年齡數(shù)據(jù);
(2)計算(1)中樣本的平均值x和方差s2;
(3)求這36名工人中年齡在區(qū)間(x-s,x+s)內(nèi)的人數(shù)所占的百分比.
解:(1)把工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)分為9組,每組4人.
在第一分段里抽到的年齡數(shù)據(jù)44對應的編號為2,
故抽取的樣本編號依次為2,6,10,14,18,22,26,30,34,
對應樣本的年齡數(shù)據(jù)依次為44,40,36,43,36,37,44,43,37.
(2)由(1)得,x=44+40+36+43+36+37+44+43+379=40,
s2=19[(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2]=1009.
(3)由(2)得x=40,s=103,
則x-s=3623,x+s=4313.
由表可知,這36名工人中年齡在區(qū)間(x-s,x+s)內(nèi)共有23人,所占的百分比為2336×100%≈63.89%.
2.某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況,隨機調(diào)查了100個企業(yè),得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻數(shù)分布表.
y的分組
[-0.20,0)
[0,0.20)
[0.20,0.40)
[0.40,0.60)
[0.60,0.80)
企業(yè)數(shù)
2
24
53
14
7
(1)分別估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例;
(2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標準差的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).(精確到0.01)
附:74≈8.602.
解:(1)根據(jù)產(chǎn)值增長率頻數(shù)分布表得,所調(diào)查的100個企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)頻率為14+7100=0.21.
產(chǎn)值負增長的企業(yè)頻率為2100=0.02.
用樣本頻率分布估計總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例為21%,產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例為2%.
(2)y=1100(-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30,
s2=1100∑i=15ni(yi-y)2=1100[(-0.40)2×2+(-0.20)2×24+02×53+0.202×14+0.402×7]=0.0296,
s=0.0296=0.02×74≈0.17.
所以,這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標準差的估計值分別為30%,17%.
3.某公司計劃購買1臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖.
記x表示1臺機器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù),y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位:元),n表示購機的同時購買的易損零件數(shù).
(1)若n=19,求y與x的函數(shù)解析式;
(2)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5,求n的最小值;
(3)假設這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件,或每臺都購買20個易損零件,分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),購買1臺機器的同時應購買19個還是20個易損零件?
解:(1)當x≤19時,y=3800;
當x>19時,y=3800+500(x-19)=500x-5700.
所以y與x的函數(shù)解析式為y=3800,x≤19,500x-5700,x>19(x∈N).
(2)由柱狀圖知,需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0.46,不大于19的頻率為0.7,故n的最小值為19.
(3)若每臺機器在購機同時都購買19個易損零件,則這100臺機器中有70臺在購買易損零件上的費用為3800,20臺的費用為4300,10臺的費用為4800,因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為
1100×(3800×70+4300×20+4800×10)=4000.
若每臺機器在購機同時都購買20個易損零件,則這100臺機器中有90臺在購買易損零件上的費用為4000,10臺的費用為4500,因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為1100×(4000×90+4500×10)=4050.
比較兩個平均數(shù)可知,購買1臺機器的同時應購買19個易損零件.
4.某學生興趣小組隨機調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當天到某公園鍛煉的人次,整理數(shù)據(jù)得到下表(單位:天):
空氣質(zhì)量等級
鍛煉人次
[0,200]
(200,400]
(400,600]
1(優(yōu))
2
16
25
2(良)
5
10
12
3(輕度污染)
6
7
8
4(中度污染)
7
2
0
(1)分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1,2,3,4的概率;
(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表);
(3)若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”;若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4,則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的2×2列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表,判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關(guān)?
空氣質(zhì)量情況
人次
人次≤400
人次>400
空氣質(zhì)量好
空氣質(zhì)量不好
附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
解:(1)由所給數(shù)據(jù),該市一天的空氣質(zhì)量等級為1,2,3,4的概率的估計值如下表:
空氣質(zhì)量等級
1
2
3
4
概率的估計值
0.43
0.27
0.21
0.09
(2)一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值為1100(100×20+300×35+500×45)=350.
(3)根據(jù)所給數(shù)據(jù),可得2×2列聯(lián)表:
空氣質(zhì)量情況
人次
人次≤400
人次>400
空氣質(zhì)量好
33
37
空氣質(zhì)量不好
22
8
根據(jù)列聯(lián)表得K2=100×(33×8-22×37)255×45×70×30≈5.820.
由于5.820>3.841,故能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關(guān).
5.學業(yè)水平考試后,某校對高二學生的數(shù)學、英語成績進行了統(tǒng)計,結(jié)果如下(人數(shù)):
項 目
數(shù)學
優(yōu)秀
合格
不合格
英語
優(yōu)秀
70
30
20
合格
60
240
b
不合格
a
20
10
已知英語、數(shù)學的優(yōu)秀率分別為24%,30%(注:合格人數(shù)中不包含優(yōu)秀人數(shù)).
(1)求a,b的值;
(2)現(xiàn)按照英語成績的等級,采用分層抽樣的方法,從數(shù)學不合格的學生中選取6人,若再從這6人中任選2人,求這兩名學生的英語成績恰為一人優(yōu)秀一人合格的概率.
解:(1)設該校高二學生共有x人,
已知英語優(yōu)秀的有70+30+20=120(人),
依題意得120x=0.24,解得x=500.
故70+60+a500=0.3,解得a=20,
由學生總數(shù)為500人,得b=30.
(2)由題意得,在抽取的數(shù)學不合格的6人中,英語優(yōu)秀的應抽取2人,分別記為a1,a2;英語合格的應抽取3人,分別記為b1,b2,b3;英語不合格的應抽取1人,記為c,
從中任取2人的所有結(jié)果有15種,
這兩名學生的英語成績恰為一人優(yōu)秀一人合格的基本事件有
{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1},{a2,b2},{a2,b3},共6種,
因此這兩名學生的英語成績恰為一人優(yōu)秀一人合格的概率為615=25.
6.某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術(shù)創(chuàng)新活動,提出了完成某項生產(chǎn)任務的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務的工作時間(單位:min)繪制了如下莖葉圖:
(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說明理由;
(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:
生產(chǎn)方式
是否超過m
超過m
不超過m
第一種生產(chǎn)方式
第二種生產(chǎn)方式
(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?
附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
解:(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高.理由如下:
①由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務所需時間至少80分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務所需時間至多79分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
②由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
③由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務平均所需時間高于80分鐘;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務平均所需時間低于80分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
④由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布在莖8上的最多,關(guān)于莖8大致呈對稱分布;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布在莖7上的最多,關(guān)于莖7大致呈對稱分布.又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布的區(qū)間相同,故可以認為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務所需的時間更少.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.(以上給出了4種理由,寫出其中任意一種或其他合理理由均可)
(2)由莖葉圖知m=79+812=80.
列聯(lián)表如下:
生產(chǎn)方式
是否超過m
超過m
不超過m
第一種生產(chǎn)方式
15
5
第二種生產(chǎn)方式
5
15
(3)由于K2=40×(15×15-5×5)220×20×20×20=10>6.635,所以能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.
7
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