2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 第2講 概率、隨機(jī)變量及其分布列教案

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1、 第2講　概率、隨機(jī)變量及其分布列 自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引 真題感悟 1．(2012·北京)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是 A.　　　 B. C.　　　 D. 解析　如圖，平面區(qū)域D是面積為4的正方形，D內(nèi)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的點(diǎn)所組成的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分， 其面積為4－π，故此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率為，故選D. 答案　D 2．(2012·山東)現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶，某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為，每命中一次得2分，沒有命中得

2、0分．該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立．假設(shè)該射手完成以上三次射擊． (1)求該射手恰好命中一次的概率； (2)求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX. 解析　(1)記：“該射手恰好命中一次”為事件A，“該射手射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C，“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D. 由題意知P(B)＝，P(C)＝P(D)＝， 由于A＝B＋C＋D， 根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得 P(A)＝P(B＋C＋D) ＝P(B)＋P(C)＋P(D) ＝P(B)P()P()＋P()P(C)P()＋P()P()P(D) ＝××＋＋×＋××＝. (2)根據(jù)題意知X的所

3、有可能取值為0,1,2,3,4,5. 根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得 P(X＝0)＝P() ＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)] ＝××＝. P(X＝1)＝P(B)＝P(B)P()P() ＝××＝， P(X＝2)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D) ＝××＋××＝， P(X＝3)＝P(BC＋BD)＝P(BC)＋P(BD) ＝××＋××＝， P(X＝4)＝P(CD)＝××＝， P(X＝5)＝P(BCD)＝××＝. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 4 5 P 所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5× ＝. 考題

4、分析 本部分內(nèi)容的基礎(chǔ)是概率，高考試題中無論是以古典概型為背景的分布列，還是以獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)為背景的分布列，都要求計(jì)算概率．解此類問題的一個(gè)難點(diǎn)是正確的理解題意，需特別注意． 網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建 高頻考點(diǎn)突破 考點(diǎn)一：古典概型與幾何概型 【例1】(1)(2012·衡水模擬)盒子中裝有形狀、大小完全相同的3個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中隨機(jī)取出一個(gè)記下顏色后放回，當(dāng)紅球取到2次時(shí)停止取球．那么取球次數(shù)恰為3次的概率是 A.　　　 B. C.　　　 D. (2)(2012·海淀二模)在面積為1的正方形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)P，則△PAB的面積大于等于的概率是________

5、． [審題導(dǎo)引]　(1)解題的關(guān)鍵是理解題意，應(yīng)用計(jì)數(shù)原理與排列組合公式計(jì)算基本事件的個(gè)數(shù)； (2)首先找到使△PAB的面積等于的點(diǎn)P，然后據(jù)題意計(jì)算． [規(guī)范解答]　(1)設(shè)事件“取球次數(shù)恰為3次”為事件A，則P(A)＝＝. 2)如圖所示，設(shè)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)， 則當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上時(shí)，S△PAB＝， 要使S△PAB＞，需點(diǎn)P位于矩形EFCD內(nèi)， 故所求的概率為：P(A)＝＝＝. [答案]　(1)B　(2) 【規(guī)律總結(jié)】 解答幾何概型、古典概型問題時(shí)的注意事項(xiàng) (1)有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，這常用到計(jì)數(shù)

6、原理與排列、組合的相關(guān)知識(shí)． (2)在求基本事件的個(gè)數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確理解基本事件的構(gòu)成，這樣才能保證所求事件所包含的基本事件數(shù)的求法與基本事件總數(shù)的求法的一致性． (3)當(dāng)構(gòu)成試驗(yàn)的結(jié)果的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度、面積、體積、弧長(zhǎng)、夾角等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概型求解． (4)利用幾何概型求概率時(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)成試驗(yàn)的全部結(jié)果的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域． 【變式訓(xùn)練】 1．(1)(2012·石景山一模)如圖，圓O：x2＋y2＝π2內(nèi)的正弦曲線y＝sin x與x軸圍成的區(qū)域記為M(圖中陰影部分)，隨機(jī)往圓O內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)A，則點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率是________．

7、 解析　陰影部分的面積為S陰＝2sin xdx ＝－2cos x＝4， 故P＝＝ 答案　 2．(2012·廣州模擬)從3名男生和n名女生中，任選3人參加比賽，已知3人中至少有1名女生的概率為，則n＝________. 解析　據(jù)題意知，所選3人中都是男生的概率為， ∴至少有1名女生的概率為1－＝， ∴n＝4. 答案　4 考點(diǎn)二：相互獨(dú)立事件的概率與條件概率 【例2】(1)甲射擊命中目標(biāo)的概率為，乙射擊命中目標(biāo)的概率為，當(dāng)兩人同時(shí)射擊同一目標(biāo)時(shí)，該目標(biāo)被擊中的概率為 A. B．1 C. D. (2)從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件A

8、＝“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B＝“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)＝ A. B. C. D. [審題導(dǎo)引]　(1)把事件“目標(biāo)被擊中”分解為三個(gè)互斥事件求解； (2)據(jù)古典概型的概率分別求出P(A)與P(AB)，然后利用公式求P(B|A)． [規(guī)范解答]　(1)解法一　設(shè)甲、乙射擊命中目標(biāo)分別記作事件A、B， 則P(A)＝，P(B)＝， 則該目標(biāo)被擊中的概率為 P(A)＋P(B)＋P(AB) ＝×＋×＋×＝. 解法二　若采用間接法，則目標(biāo)未被擊中的概率為 P( )＝×＝， 則目標(biāo)被擊中的概率為1－P( )＝1－＝. (2)P(A)

9、＝＝＝， P(AB)＝＝. 由條件概率計(jì)算公式，得P(B|A)＝＝＝. 【規(guī)律總結(jié)】 (1)求復(fù)雜事件的概率，要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，看復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件，然后用概率公式求解． (2)一個(gè)復(fù)雜事件若正面情況比較多，反面情況較少，則一般利用對(duì)立事件進(jìn)行求解．對(duì)于“至少”“至多”等問題往往用這種方法求解． (3)注意辨別獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的基本特征：①在每次試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；②在每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同． (4)牢記公式Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，并深刻理解其

10、含義． 2．解答條件概率問題時(shí)應(yīng)注意的問題 (1)正確理解事件之間的關(guān)系是解答此類題目的關(guān)鍵． (2)在求P(AB)時(shí)，要判斷事件A與事件B之間的關(guān)系，以便采用不同的方法求P(AB)．其中，若B?A，則P(AB)＝P(B)，從而P(B|A)＝. 【變式訓(xùn)練】 3．(2012·宜賓模擬)設(shè)某氣象站天氣預(yù)報(bào)準(zhǔn)確率為0.9，則在4次預(yù)報(bào)中恰有3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率是 A．0.287 6 B．0.072 9 C．0.312 4 D．0.291 6 解析　據(jù)題意知在4次預(yù)報(bào)中恰有3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率為C·0.93·0.1＝0.291 6. 答案　D 4．(2012·棗莊模

11、擬)如圖，CDEF是以圓O為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形，將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在扇形OCFH內(nèi)”(點(diǎn)H將劣弧二等分)，B表示事件“豆子落在正方形CDEF內(nèi)”，則P(B|A)＝ A. B. C. D. 解析　∵圓的半徑為1，則正方形的邊長(zhǎng)為， ∴P(A)＝＝＝， P(AB)＝＝， 則P(B|A)＝＝＝. 答案　B 考點(diǎn)三：離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差 【例3】(2012·合肥模擬)某公司設(shè)有自行車租車點(diǎn)，租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每小時(shí)2元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)．甲、乙兩人各租一輛自行車，若甲、乙不超過

12、一小時(shí)還車的概率分別為、；一小時(shí)以上且不超過兩小時(shí)還車的概率分別為、；兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過三小時(shí)． (1)求甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率； (2)設(shè)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ. [審題導(dǎo)引]　(1)把事件“甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同”分解為三個(gè)互斥事件：租車費(fèi)用為2元、租車費(fèi)用為4元、租車費(fèi)用為6元，分別求其概率，然后求和； (2)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和可能為4元、6元、8元、10元、12元，分別求出ξ取上述各值的概率即可得到其概率分布列． [規(guī)范解答]　(1)甲、乙兩人所付費(fèi)用相同即為2,4,6元．都付2元的概率為P1＝×＝；

13、 都付4元的概率為P2＝×＝； 都付6元的概率為P3＝×＝； 故所付費(fèi)用相同的概率為P＝P1＋P2＋P3 ＝＋＋＝. (2)依題意，ξ的可能取值為4,6,8,10,12. P(ξ＝4)＝；P(ξ＝6)＝×＋×＝； P(ξ＝8)＝×＋×＋×＝； P(ξ＝10)＝×＋×＝； P(ξ＝12)＝×＝. 故ξ的分布列為 ξ 4 6 8 10 12 P 所求數(shù)學(xué)期望Eξ＝4×＋6×＋8×＋10×＋12×＝ 【規(guī)律總結(jié)】 解答離散型隨機(jī)變量的分布列及相關(guān)問題的一般思路 (1)明確隨機(jī)變量可能取哪些值． (2)結(jié)合事件特點(diǎn)選取恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法計(jì)算這些

14、可能取值的概率值． (3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解． 注意　解題中要善于透過問題的實(shí)際背景發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，以便使用我們掌握的離散型隨機(jī)變量及其分布列的知識(shí)來解決實(shí)際問題． 【變式訓(xùn)練】 5．(2012·西城二模)甲、乙兩人參加某種選拔測(cè)試．在備選的10道題中，甲答對(duì)其中每道題的概率都是，乙能答對(duì)其中的5道題．規(guī)定每次考試都從備選的10道題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測(cè)試，答對(duì)一題加10分，答錯(cuò)一題(不答視為答錯(cuò))減5分，至少得15分才能入選． (1)求乙得分的分布列和數(shù)學(xué)期望； (2)求甲、乙兩人中至少有一人入選的概率． 解析　(1)設(shè)乙答題所得分?jǐn)?shù)為X，則X的可能取值為－15

15、,0,15,30. P(X＝－15)＝＝；P(X＝0)＝＝； P(X＝15)＝＝；P(X＝30)＝＝. 乙得分的分布列如下： X －15 0 15 30 P EX＝×(－15)＋×0＋×15＋×30＝. (2)由已知甲、乙至少答對(duì)2題才能入選，記甲入選為事件A，乙入選為事件B. 則P(A)＝C2＋3＝，P(B)＝＋＝. 故甲乙兩人至少有一人入選的概率 P＝1－P(·)＝1－×＝. 名師押題高考 【押題1】在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)，點(diǎn)(x，y)落在x∈[1,2]區(qū)域內(nèi)的概率是________． 解析　如圖所示，不等式組所表示的平面區(qū)域的面

16、積是，在這個(gè)區(qū)域中，x∈[1,2]區(qū)域的面積是1，故所求的概率是. 答案　 [押題依據(jù)]　幾何概型與線性規(guī)劃問題都是高考的熱點(diǎn)，二者結(jié)合命題，立意新穎、內(nèi)涵豐富，能夠很好地考查基礎(chǔ)知識(shí)與基本能力，故押此題． 【押題2】乒乓球單打比賽在甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員間進(jìn)行，比賽采用7局4勝制(即先勝4局者獲勝，比賽結(jié)束)，假設(shè)兩人在每一局比賽中獲勝的可能性相同． (1)求甲以4比1獲勝的概率； (2)求乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于5局的概率； (3)求比賽局?jǐn)?shù)的分布列． 解析　(1)由已知，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在每一局比賽中獲勝的概率都是. 記“甲以4比1獲勝”為事件A， 則P(A)＝C34－3＝.

17、 (2)記“乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于5局”為事件B. 因?yàn)?，乙?比2獲勝的概率為 P1＝C35－3＝， 乙以4比3獲勝的概率為 P2＝C36－3＝， 所以P(B)＝P1＋P2＝. (3)設(shè)比賽的局?jǐn)?shù)為X，則X的可能取值為4,5,6,7. P(X＝4)＝2C4＝，P(X＝5)＝2C34－3＝， P(X＝6)＝2C35－2·＝， P(X＝7)＝2C36－3·＝. 比賽局?jǐn)?shù)的分布列為： X 4 5 6 7 P [押題依據(jù)]　獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)以相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的求解是高考的熱點(diǎn)，而且以比賽為模型的概率問題又是高考的經(jīng)典題型，故押此題． - 9 -