2021屆高三數學二輪復習 專題六 第2講 概率、隨機變量及其分布列教案

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1、 第2講　概率、隨機變量及其分布列 自主學習導引 真題感悟 1．(2012·北京)設不等式組表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是 A.　　　 B. C.　　　 D. 解析　如圖，平面區(qū)域D是面積為4的正方形，D內到坐標原點的距離大于2的點所組成的區(qū)域為圖中陰影部分， 其面積為4－π，故此點到坐標原點的距離大于2的概率為，故選D. 答案　D 2．(2012·山東)現有甲、乙兩個靶，某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為，每命中一次得2分，沒有命中得

2、0分．該射手每次射擊的結果相互獨立．假設該射手完成以上三次射擊． (1)求該射手恰好命中一次的概率； (2)求該射手的總得分X的分布列及數學期望EX. 解析　(1)記：“該射手恰好命中一次”為事件A，“該射手射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C，“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D. 由題意知P(B)＝，P(C)＝P(D)＝， 由于A＝B＋C＋D， 根據事件的獨立性和互斥性得 P(A)＝P(B＋C＋D) ＝P(B)＋P(C)＋P(D) ＝P(B)P()P()＋P()P(C)P()＋P()P()P(D) ＝××＋＋×＋××＝. (2)根據題意知X的所

3、有可能取值為0,1,2,3,4,5. 根據事件的獨立性和互斥性得 P(X＝0)＝P() ＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)] ＝××＝. P(X＝1)＝P(B)＝P(B)P()P() ＝××＝， P(X＝2)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D) ＝××＋××＝， P(X＝3)＝P(BC＋BD)＝P(BC)＋P(BD) ＝××＋××＝， P(X＝4)＝P(CD)＝××＝， P(X＝5)＝P(BCD)＝××＝. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 4 5 P 所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5× ＝. 考題

4、分析 本部分內容的基礎是概率，高考試題中無論是以古典概型為背景的分布列，還是以獨立重復試驗為背景的分布列，都要求計算概率．解此類問題的一個難點是正確的理解題意，需特別注意． 網絡構建 高頻考點突破 考點一：古典概型與幾何概型 【例1】(1)(2012·衡水模擬)盒子中裝有形狀、大小完全相同的3個紅球和2個白球，從中隨機取出一個記下顏色后放回，當紅球取到2次時停止取球．那么取球次數恰為3次的概率是 A.　　　 B. C.　　　 D. (2)(2012·海淀二模)在面積為1的正方形ABCD內部隨機取一點P，則△PAB的面積大于等于的概率是________

5、． [審題導引]　(1)解題的關鍵是理解題意，應用計數原理與排列組合公式計算基本事件的個數； (2)首先找到使△PAB的面積等于的點P，然后據題意計算． [規(guī)范解答]　(1)設事件“取球次數恰為3次”為事件A，則P(A)＝＝. 2)如圖所示，設E、F分別是AD、BC的中點， 則當點P在線段EF上時，S△PAB＝， 要使S△PAB＞，需點P位于矩形EFCD內， 故所求的概率為：P(A)＝＝＝. [答案]　(1)B　(2) 【規(guī)律總結】 解答幾何概型、古典概型問題時的注意事項 (1)有關古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數和所求事件包含的基本事件數，這常用到計數

6、原理與排列、組合的相關知識． (2)在求基本事件的個數時，要準確理解基本事件的構成，這樣才能保證所求事件所包含的基本事件數的求法與基本事件總數的求法的一致性． (3)當構成試驗的結果的區(qū)域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時，應考慮使用幾何概型求解． (4)利用幾何概型求概率時，關鍵是構成試驗的全部結果的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時需要設出變量，在坐標系中表示所需要的區(qū)域． 【變式訓練】 1．(1)(2012·石景山一模)如圖，圓O：x2＋y2＝π2內的正弦曲線y＝sin x與x軸圍成的區(qū)域記為M(圖中陰影部分)，隨機往圓O內投一個點A，則點A落在區(qū)域M內的概率是________．

7、 解析　陰影部分的面積為S陰＝2sin xdx ＝－2cos x＝4， 故P＝＝ 答案　 2．(2012·廣州模擬)從3名男生和n名女生中，任選3人參加比賽，已知3人中至少有1名女生的概率為，則n＝________. 解析　據題意知，所選3人中都是男生的概率為， ∴至少有1名女生的概率為1－＝， ∴n＝4. 答案　4 考點二：相互獨立事件的概率與條件概率 【例2】(1)甲射擊命中目標的概率為，乙射擊命中目標的概率為，當兩人同時射擊同一目標時，該目標被擊中的概率為 A. B．1 C. D. (2)從1,2,3,4,5中任取2個不同的數，事件A

8、＝“取到的2個數之和為偶數”，事件B＝“取到的2個數均為偶數”，則P(B|A)＝ A. B. C. D. [審題導引]　(1)把事件“目標被擊中”分解為三個互斥事件求解； (2)據古典概型的概率分別求出P(A)與P(AB)，然后利用公式求P(B|A)． [規(guī)范解答]　(1)解法一　設甲、乙射擊命中目標分別記作事件A、B， 則P(A)＝，P(B)＝， 則該目標被擊中的概率為 P(A)＋P(B)＋P(AB) ＝×＋×＋×＝. 解法二　若采用間接法，則目標未被擊中的概率為 P( )＝×＝， 則目標被擊中的概率為1－P( )＝1－＝. (2)P(A)

9、＝＝＝， P(AB)＝＝. 由條件概率計算公式，得P(B|A)＝＝＝. 【規(guī)律總結】 (1)求復雜事件的概率，要正確分析復雜事件的構成，看復雜事件能轉化為幾個彼此互斥的事件的和事件還是能轉化為幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件，然后用概率公式求解． (2)一個復雜事件若正面情況比較多，反面情況較少，則一般利用對立事件進行求解．對于“至少”“至多”等問題往往用這種方法求解． (3)注意辨別獨立重復試驗的基本特征：①在每次試驗中，試驗結果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；②在每次試驗中，事件發(fā)生的概率相同． (4)牢記公式Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，并深刻理解其

10、含義． 2．解答條件概率問題時應注意的問題 (1)正確理解事件之間的關系是解答此類題目的關鍵． (2)在求P(AB)時，要判斷事件A與事件B之間的關系，以便采用不同的方法求P(AB)．其中，若B?A，則P(AB)＝P(B)，從而P(B|A)＝. 【變式訓練】 3．(2012·宜賓模擬)設某氣象站天氣預報準確率為0.9，則在4次預報中恰有3次預報準確的概率是 A．0.287 6 B．0.072 9 C．0.312 4 D．0.291 6 解析　據題意知在4次預報中恰有3次預報準確的概率為C·0.93·0.1＝0.291 6. 答案　D 4．(2012·棗莊模

11、擬)如圖，CDEF是以圓O為圓心，半徑為1的圓的內接正方形，將一顆豆子隨機地扔到該圓內，用A表示事件“豆子落在扇形OCFH內”(點H將劣弧二等分)，B表示事件“豆子落在正方形CDEF內”，則P(B|A)＝ A. B. C. D. 解析　∵圓的半徑為1，則正方形的邊長為， ∴P(A)＝＝＝， P(AB)＝＝， 則P(B|A)＝＝＝. 答案　B 考點三：離散型隨機變量的分布列、期望、方差 【例3】(2012·合肥模擬)某公司設有自行車租車點，租車的收費標準是每小時2元(不足1小時的部分按1小時計算)．甲、乙兩人各租一輛自行車，若甲、乙不超過

12、一小時還車的概率分別為、；一小時以上且不超過兩小時還車的概率分別為、；兩人租車時間都不會超過三小時． (1)求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率； (2)設甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量ξ，求ξ的分布列與數學期望Eξ. [審題導引]　(1)把事件“甲、乙兩人所付租車費用相同”分解為三個互斥事件：租車費用為2元、租車費用為4元、租車費用為6元，分別求其概率，然后求和； (2)甲、乙兩人所付的租車費用之和可能為4元、6元、8元、10元、12元，分別求出ξ取上述各值的概率即可得到其概率分布列． [規(guī)范解答]　(1)甲、乙兩人所付費用相同即為2,4,6元．都付2元的概率為P1＝×＝；

13、 都付4元的概率為P2＝×＝； 都付6元的概率為P3＝×＝； 故所付費用相同的概率為P＝P1＋P2＋P3 ＝＋＋＝. (2)依題意，ξ的可能取值為4,6,8,10,12. P(ξ＝4)＝；P(ξ＝6)＝×＋×＝； P(ξ＝8)＝×＋×＋×＝； P(ξ＝10)＝×＋×＝； P(ξ＝12)＝×＝. 故ξ的分布列為 ξ 4 6 8 10 12 P 所求數學期望Eξ＝4×＋6×＋8×＋10×＋12×＝ 【規(guī)律總結】 解答離散型隨機變量的分布列及相關問題的一般思路 (1)明確隨機變量可能取哪些值． (2)結合事件特點選取恰當的計算方法計算這些

14、可能取值的概率值． (3)根據分布列和期望、方差公式求解． 注意　解題中要善于透過問題的實際背景發(fā)現其中的數學規(guī)律，以便使用我們掌握的離散型隨機變量及其分布列的知識來解決實際問題． 【變式訓練】 5．(2012·西城二模)甲、乙兩人參加某種選拔測試．在備選的10道題中，甲答對其中每道題的概率都是，乙能答對其中的5道題．規(guī)定每次考試都從備選的10道題中隨機抽出3道題進行測試，答對一題加10分，答錯一題(不答視為答錯)減5分，至少得15分才能入選． (1)求乙得分的分布列和數學期望； (2)求甲、乙兩人中至少有一人入選的概率． 解析　(1)設乙答題所得分數為X，則X的可能取值為－15

15、,0,15,30. P(X＝－15)＝＝；P(X＝0)＝＝； P(X＝15)＝＝；P(X＝30)＝＝. 乙得分的分布列如下： X －15 0 15 30 P EX＝×(－15)＋×0＋×15＋×30＝. (2)由已知甲、乙至少答對2題才能入選，記甲入選為事件A，乙入選為事件B. 則P(A)＝C2＋3＝，P(B)＝＋＝. 故甲乙兩人至少有一人入選的概率 P＝1－P(·)＝1－×＝. 名師押題高考 【押題1】在不等式組所表示的平面區(qū)域內，點(x，y)落在x∈[1,2]區(qū)域內的概率是________． 解析　如圖所示，不等式組所表示的平面區(qū)域的面

16、積是，在這個區(qū)域中，x∈[1,2]區(qū)域的面積是1，故所求的概率是. 答案　 [押題依據]　幾何概型與線性規(guī)劃問題都是高考的熱點，二者結合命題，立意新穎、內涵豐富，能夠很好地考查基礎知識與基本能力，故押此題． 【押題2】乒乓球單打比賽在甲、乙兩名運動員間進行，比賽采用7局4勝制(即先勝4局者獲勝，比賽結束)，假設兩人在每一局比賽中獲勝的可能性相同． (1)求甲以4比1獲勝的概率； (2)求乙獲勝且比賽局數多于5局的概率； (3)求比賽局數的分布列． 解析　(1)由已知，甲、乙兩名運動員在每一局比賽中獲勝的概率都是. 記“甲以4比1獲勝”為事件A， 則P(A)＝C34－3＝.

17、 (2)記“乙獲勝且比賽局數多于5局”為事件B. 因為，乙以4比2獲勝的概率為 P1＝C35－3＝， 乙以4比3獲勝的概率為 P2＝C36－3＝， 所以P(B)＝P1＋P2＝. (3)設比賽的局數為X，則X的可能取值為4,5,6,7. P(X＝4)＝2C4＝，P(X＝5)＝2C34－3＝， P(X＝6)＝2C35－2·＝， P(X＝7)＝2C36－3·＝. 比賽局數的分布列為： X 4 5 6 7 P [押題依據]　獨立重復試驗以相互獨立事件同時發(fā)生的概率的求解是高考的熱點，而且以比賽為模型的概率問題又是高考的經典題型，故押此題． - 9 -