2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)34 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 文 北師大版

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1、課后限時(shí)集訓(xùn)34 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 建議用時(shí)：45分鐘 一、選擇題 1．(2019·濟(jì)南模擬)已知等比數(shù)列{an}中，a3＝－2，a7＝－8，則a5＝(　　) A．－4　　　B．±4　　　C．4　　　D．16 A　[法一(求公比q)：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則 a7＝a3q4，即－8＝－2q4，所以q4＝4，q2＝2. 所以a5＝a3q2＝－2×2＝－4，故選A. 法二(利用性質(zhì))：由a＝a3·a7得a＝(－2)×(－8)＝16， 又等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)同號(hào)，所以a5＝－4，故選A.] 2．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a5a11＝4，a6a12＝8，則a8a9

2、＝(　　) A．12 B．4 C．6 D．32 B　[由題意可得a＝a5a11＝4，a＝a6a12＝8，又各項(xiàng)均為正數(shù)，∴a8＝2，a9＝2，∴a8a9＝4.故選B.] 3．(2019·德州模擬)記Sn是公比不為1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若2a2,3a3,4a4成等差數(shù)列，a1＝1，則S3＝(　　) A. B. C. D. B　[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠1)，由2a2,3a3,4a4成等差數(shù)列，a1＝1， 可得6a3＝2a2＋4a4， 即6q2＝2q＋4q3， 解得q＝1(舍去)或q＝， 則S3＝＝＝. 故選B.] 4．已知{an}，{bn}都

3、是等比數(shù)列，那么(　　) A．{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比數(shù)列 B．{an＋bn}一定是等比數(shù)列，但{an·bn}不一定是等比數(shù)列 C．{an＋bn}不一定是等比數(shù)列，但{an·bn}一定是等比數(shù)列 D．{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比數(shù)列 C　[兩個(gè)等比數(shù)列的和不一定是等比數(shù)列，但兩個(gè)等比數(shù)列的積一定是等比數(shù)列，故選C.] 5．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈(

4、　　) A．1盞 B．3盞 C．5盞 D．9盞 B　[設(shè)塔的頂層的燈數(shù)為a1，七層塔的總燈數(shù)為S7，公比為q，則由題意知S7＝381，q＝2， ∴S7＝＝＝381，解得a1＝3. 故選B.] 二、填空題 6．(2019·江蘇高考)已知數(shù)列{an}(n∈N*)是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，則S8的值是________． 16　[由題意可得： 解得 則S8＝8a1＋d＝－40＋28×2＝16.] 7．設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若＝4，則＝______. 　[根據(jù)題意得S4＝4S2，即S2＝S4，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)有(

5、S4－S2)2＝S2(S6－S4)，得4S6＝13S4，所以＝.] 8．(2019·臨沂模擬)已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a3＋S5＝18，a5＝7.若a3，a6，am成等比數(shù)列，則m＝________. 15　[設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 由題意得解得 ∵a3，a6，am成等比數(shù)列，∴a＝a3am， 即(a1＋5d)2＝(a1＋2d)[a1＋(m－1)d]， ∴81＝3(2m－3)，解得m＝15.] 三、解答題 9．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)已知{an}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn. (1)求{an}的通項(xiàng)

6、公式； (2)求{bn}的前n項(xiàng)和． [解](1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2. 所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an＝3n－1. (2)由(1)知anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝， 因此{(lán)bn}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列． 記{bn}的前n項(xiàng)和為Sn， 則Sn＝＝－. 10．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求Sn，并判斷Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差數(shù)列． [解](1)設(shè){an}的公比為q.由題設(shè)可得

7、解得q＝－2，a1＝－2. 故{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－2)n. (2)由(1)可得 Sn＝＝－＋(－1)n. 由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n ＝2＝2Sn， 故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列． 1．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a1a5a9＝27，a6與a7的等差中項(xiàng)為9，則a10＝(　　) A.　　　　B.　　　　C．96　　　　D．729 C　[由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a1a5a9＝a＝27，所以a5＝3.又因?yàn)閍6與a7的等差中項(xiàng)為9，所以a6＋a7＝18，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a6＋a7＝a5(q＋q2)＝18，所以q＋q2＝6，解得q＝2或

8、q＝－3.又因?yàn)閍n＞0，所以q＞0，故q＝2.故a10＝a5q5＝3×25＝96.故選C.] 2．(2019·鄭州模擬)已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(　　) A．16(1－4－n) B．16(1－2－n) C.(1－4－n) D.(1－2－n) C　[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q. 由a5＝a2·q3＝2·q3＝，解得q＝， 由a2＝a1×＝2，得a1＝4， 因?yàn)閿?shù)列{anan＋1}仍是等比數(shù)列，其首項(xiàng)是a1a2＝8，公比為， 所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－4－n)．] 3．在數(shù)列{an}中，已知a1

9、＝1，nSn＋1＝3(n＋1)Sn，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝________. (2n＋1)·3n－2　[因?yàn)閚Sn＋1＝3(n＋1)Sn，所以＝3×，所以數(shù)列是以＝1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以＝3n－1，所以Sn＝n·3n－1.當(dāng)n≥2且n∈N*時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n·3n－1－(n－1)·3n－2＝(2n＋1)·3n－2，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1符合上式，所以an＝(2n＋1)·3n－2.] 4．已知數(shù)列{an}滿足對(duì)任意的正整數(shù)n，均有an＋1＝5an－2·3n，且a1＝8. (1)證明：數(shù)列{an－3n}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)記bn＝，

10、求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. [解](1)證明：因?yàn)閍n＋1＝5an－2·3n， 所以an＋1－3n＋1＝5an－2·3n－3n＋1＝5(an－3n)． 又a1＝8，所以a1－3＝5≠0， 所以數(shù)列{an－3n}是首項(xiàng)為5，公比為5的等比數(shù)列， 所以an－3n＝5n，所以an＝3n＋5n. (2)由(1)知， bn＝＝＝1＋， 則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝1＋＋1＋＋…＋1＋＝n＋ ＝＋n－. 1．《九章算術(shù)》中有一題：今有牛、馬、羊食人苗．苗主責(zé)之粟五斗．羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問(wèn)各出幾何？其意思是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗

11、，禾苗主人要求賠償五斗粟．羊主人說(shuō)：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半．”馬主人說(shuō)：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例償還，問(wèn)牛、馬、羊的主人各應(yīng)賠償多少斗粟？設(shè)牛、馬、羊的主人分別應(yīng)償還x斗粟、y斗粟、z斗粟，則下列判斷正確的是(　　) A．y2＝xz且x＝　　　　 B．y2＝xz且x＝ C．2y＝x＋z且x＝ D．2y＝x＋z且x＝ B　[由題意可知x，y，z成公比為的等比數(shù)列， 則x＋y＋z＝x＋x＋x＝5，解得x＝. 由等比數(shù)列的性質(zhì)可得y2＝xz.故選B.] 2．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝2an－λ(λ＞0，n∈N*)． (1)證明：數(shù)列{an}為等比數(shù)列，并求an； (2)若λ＝4，bn＝(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n. [解](1)證明：由Sn＝2an－λ可得S1＝2a1－λ，即a1＝λ. 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2an－λ)－(2an－1－λ)＝2an－2an－1，即an＝2an－1. 又a1＝λ＞0，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為λ，公比為2的等比數(shù)列， 所以an＝λ×2n－1. (2)由(1)可知當(dāng)λ＝4時(shí)，an＝2n＋1. 從而bn＝ 所以T2n＝(22＋24＋26＋…＋22n)＋[3＋5＋7＋…＋(2n＋1)] ＝＋n2＋2n ＝＋n2＋2n. - 6 -