多元統(tǒng)計(jì)與分布（普）.ppt

1 引言,多元統(tǒng)計(jì)分析是研究多個(gè)隨機(jī)變量之間相互依賴關(guān)系以及內(nèi)在統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門統(tǒng)計(jì)學(xué)科；是討論多元隨機(jī)變量的理論和方法的總稱。 一 .發(fā)展 1928年,Wishart Fisher,Hotelling,Roy,許寶祿等 70年代初,在我國開始發(fā)展,多元統(tǒng)計(jì)分析(Multivariate Statistical Analysis),一、多元隨機(jī)變量,二、內(nèi)容（研究目標(biāo)）,（1）多元正態(tài)總體的統(tǒng)計(jì)推斷 參數(shù)估計(jì)；假設(shè)檢驗(yàn) 非參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷的發(fā)展？ （2）簡化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 主成分分析；因子分析；對(duì)應(yīng)分析 （3）分類與分組 聚類分析；判別分析 （4）變量間的相互關(guān)系 回歸分析；典型相關(guān)分析,三.應(yīng)用,教育學(xué)、醫(yī)學(xué)、氣象學(xué)、環(huán)境科學(xué)、地質(zhì)學(xué)、考古學(xué)、服裝工業(yè)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、農(nóng)業(yè)、社會(huì)科學(xué)、文學(xué)等各個(gè)自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域。,二、雷達(dá)圖,物理,2多元隨機(jī)變量的分布,1。多元正態(tài)分布 2。 Wishart分布 3。Hotelling T平方分布,其中元素,為第i個(gè)樣本中第j個(gè)分量的取值。,多元隨機(jī)變量,1、概率分布律、密度函數(shù)與分布函數(shù),（1） 離散型隨機(jī)向量在所有可能向量值上的概率為：,其中,時(shí)，,的分布遵從隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布,。,2多元隨機(jī)變量的分布,(2) 連續(xù)型隨機(jī)向量的概率分布,均勻分布 設(shè)維隨機(jī)向量的密度函數(shù)在某連續(xù)區(qū)域內(nèi)為一常數(shù)，在該區(qū)域外為零值，則稱遵從均勻分布，以，連續(xù)區(qū)域?yàn)殚L方形為例，密度函數(shù)為： （7.2） 可以得出： 均勻分布的密度常數(shù)為連續(xù)區(qū)域體積的倒數(shù)。,2多元隨機(jī)變量的分布,對(duì)于維的離散型，或連續(xù)型隨機(jī)向量，均可定義它的聯(lián)合分布函數(shù)（或稱維分布函數(shù)、累計(jì)概率函數(shù)）如下： 可由聯(lián)合分布函數(shù)計(jì)算概率，例如在時(shí)，有a=0;,例如在,時(shí)，有,可以證明聯(lián)合分布函數(shù)具有這樣一些性質(zhì)：對(duì)于每個(gè)單元單調(diào)上升；對(duì)于每個(gè)變?cè)筮B續(xù)；有,2多元隨機(jī)變量的分布,二、連續(xù)型的維隨機(jī)向量的聯(lián)合分布函數(shù),邊沿分布與條件分布,P維隨機(jī)向量,的聯(lián)合分布函數(shù)為,，當(dāng)它的部分變?cè)ú环猎O(shè)為后,個(gè)）于無窮，且有,，則其極限函數(shù),2多元隨機(jī)變量的分布,三、 隨機(jī)向量的獨(dú)立性,返 回,對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量上（3）式則等價(jià)于:,對(duì)于離散型隨機(jī)變量上（3）式等價(jià)于,可用，的聯(lián)合分布函數(shù)及它們各自的（邊沿）分布函數(shù)表為：,設(shè)隨機(jī)變量 、 ，對(duì)任意的 和 有 （3） 則稱隨機(jī)變量和相互獨(dú)立。,（4）,四、隨機(jī)向量的數(shù)字特征,四、隨機(jī)向量的數(shù)字特征,隨機(jī)向量的數(shù)字特征主要有數(shù)學(xué)期望和協(xié)方差矩陣。,。,設(shè)維隨機(jī)向量,，它的各隨機(jī)分量,的數(shù)學(xué)期望存在，即有,，則,的數(shù)學(xué)期望存在，它為：,可見它也是,維向量，常稱之為均向量，向量方差：,（4）,又若各隨機(jī)分量對(duì),之間的協(xié)方差,存在，,，則,的協(xié)方差矩陣存在，它為：,顯見其對(duì)角線元素,為,的方差,而非對(duì)角線元素,為,之間的協(xié)方差,對(duì)它標(biāo)準(zhǔn)化，得到,的相關(guān)系數(shù)：,均勻分布的數(shù)字特征,均值向量和協(xié)方差陣的性質(zhì),隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)期望和協(xié)方差矩陣性質(zhì)講解,這里的,是,各分量的線性組合,(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),五、多元正態(tài)分布的密度函數(shù)和數(shù)字特征 回憶一元,正態(tài)分布，其密度函數(shù)為：,它還可寫成如下形式：,并可推導(dǎo)隨機(jī)變量,X數(shù)學(xué)期望為,，方差為,對(duì)此進(jìn)行推廣，設(shè)隨機(jī)向量,P元正態(tài)分布，則其密度函數(shù)為：,多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì),多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì),二元正態(tài)分布，其密度函數(shù)為：,取,例子,例2.2 （二元正態(tài)密度曲線和等高線） title2 相關(guān)系數(shù)r=0,a1=a2=1; data normal1; a=1;b=1; r=0; a2=sqrt(a);b2=sqrt(b); p2=2*3.1415926; d=1-r*r;d2=sqrt(d)*a2*b2; do x=-3 to 3 by 0.1; do y=-3 to 3 by 0.1; z1=exp(-x*x/a-y*y/b+2*r*x*y/(a2*b2)/d); z=z1/(p2*d2); output; end; end; keep x y z; run;,proc g3d data=normal1; plot y*x=z / name=GB0309 rotate=-30 /* ctop=black cbottom=black */ xticknum=7 yticknum=7; run; proc gcontour data=normal1; plot y*x=z; run;,其中,為常數(shù)向量,為一對(duì)稱正定矩陣,可以證明,為隨機(jī)向量,的數(shù)學(xué)期望（均向量），,為它的協(xié)方差矩陣。,，,；,，,協(xié)方差矩陣,相關(guān)矩陣,定義1：若,獨(dú)立且服從,維中心化正態(tài)分布,，則隨機(jī)矩陣,所服從的分布稱為自由度為,的,維中心Wishart分布，記為,，其中,，,中心Wishart分布,定理1：設(shè),i.i.d,，記,，則,(1),與,相互獨(dú)立,(2),定義2：設(shè),i.i.d,，若,，,，,，,與,獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量,服從第一自由度為P,第二自由度為n的中心分布，記為,分布首先是Hotelling由一元統(tǒng)計(jì)推廣而來，故,分布又稱,Hotelling,分布。,Hotelling分布,推論1 ：設(shè) i.i.d,，當(dāng),已知時(shí)，,推論2 ：設(shè) i.i.d,，當(dāng),未知，記,，,則,事實(shí)上，因,根據(jù)定義3，取,，則,，,Hotelling分布,可以證明：,上公式等價(jià)于：,上兩公式給出了F分布統(tǒng)計(jì)量與 的關(guān)系。,對(duì)于給定的檢驗(yàn)水平,Hotelling分布與F分布的關(guān)系,3 隨機(jī)向量的估計(jì)與檢驗(yàn),1。參數(shù)簡單估計(jì) 2。均值的Hotelling檢驗(yàn) 3。多元方差分析,一、用樣本統(tǒng)計(jì)量對(duì)期望與方差作簡單估計(jì) 例1 用益壽寧治療五名高血脂病人，治療結(jié)果列于表1，試估計(jì)算多元統(tǒng)計(jì)量。,二、用樣本對(duì)協(xié)方差矩陣作估計(jì),三、用樣本對(duì)相關(guān)矩陣作估計(jì),簡單估計(jì) 在科研問題中，常?？梢栽O(shè)定其對(duì)象遵從多元正態(tài)分布。多元正態(tài)分布可由其均向量和協(xié)方差矩陣完全確定，但實(shí)際工作中，這兩個(gè)參數(shù)往往是未知的，需要通過樣本來估計(jì)。,3 兩個(gè)均數(shù)向量的比較 Hotelling T2檢驗(yàn),由推論1 知 i.i.d,1、當(dāng),已知時(shí)的均值檢驗(yàn)，,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,對(duì)于給定的檢驗(yàn)水平,其否定域?yàn)?由推論2 知 i.i.d,2、當(dāng),未知時(shí)的均值檢驗(yàn)，,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,對(duì)于給定的檢驗(yàn)水平,其否定域?yàn)?范例,試討論益壽寧有否降血脂效果？ 分析：若無效，意味著u=0,故假設(shè),即，益壽寧有降血脂效果,DATA HOTE; INPUT X1 X2 ; C=1; 【單一組指標(biāo)】 CARDS; 16 -4 21 46 57 -40 -20 107 17 86 ; PROC GLM; CLASS C; MODEL X1 X2=C/NOUNI; MANOVA H=INTERCEPT; LSMEANS C/STDERR PDIFF； PROC CORR COV OUTP=A; VAR X1 X2; PROC PRINT;RUN;,C X1 Std Err Pr |T| LSMEAN LSMEAN H0:LSMEAN=0 1 18.2000000 12.2040977 0.2101 C X2 Std Err Pr |T| LSMEAN LSMEAN H0:LSMEAN=0 1 39.0000000 27.3605555 0.2272,結(jié)果3（常用多元統(tǒng)計(jì)量）：,OBS _TYPE_ _NAME_ X1 X2 1 COV X1 744.70 -1401.25 2 COV X2 -1401.25 3743.00 3 MEAN 18.20 39.00 4 STD 27.29 61.18 5 N 5.00 5.00 6 CORR X1 1.00 -0.84 7 CORR X2 -0.84 1.00,DATA HOTE; INPUT X1 X2 ; X1=x1-20;x2=x2-40; C=1; CARDS; 16 -4 21 46 57 -40 -20 107 17 86 ; PROC GLM; CLASS C; MODEL X1 X2=C/NOUNI; MANOVA H=INTERCEPT; LSMEANS C/STDERR PDIFF； PROC CORR COV OUTP=A; VAR X1 X2; PROC PRINT;RUN,單向試驗(yàn),The GLM Procedure Multivariate Analysis of Variance Characteristic Roots and Vectors of: E Inverse * H, where H = Type III SSCP Matrix for Intercept E = Error SSCP Matrix Characteristic Characteristic Vector VEV=1 Root Percent X1 X2 0.02718214 100.00 0.03349311 0.01344453 0.00000000 0.00 0.00373545 -0.00672381 MANOVA Test Criteria and Exact F Statistics for the Hypothesis of No Overall Intercept Effect H = Type III SSCP Matrix for Intercept E = Error SSCP Matrix S=1 M=0 N=0.5 Statistic Value F Value Num DF Den DF Pr F Wilks Lambda 0.97353718 0.04 2 3 0.9606 Pillais Trace 0.02646282 0.04 2 3 0.9606 Hotelling-Lawley Trace 0.02718214 0.04 2 3 0.9606 Roys Greatest Root 0.02718214 0.04 2 3 0.9606,一 單向試驗(yàn),The GLM Procedure Least Squares Means Standard C X1 LSMEAN Error Pr |t| 1 -1.8000000 12.2040977 0.8899 Standard C X2 LSMEAN Error Pr |t| 1 -1.0000000 27.3605555 0.9726,一 單向試驗(yàn),計(jì)算分析過程,DATA HOTE; INPUT X1 X2 X3 ; x1=x1-90;x2=x2-58;x3=x3-16; C=1; CARDS; 78 60.6 16.5 76 58.1 12.5 92 63.2 14.5 81 59.0 14.0 81 60.8 15.5 84 59.5 14.0 ; PROC GLM; CLASS C; MODEL X1 X2 x3=C/NOUNI; MANOVA H=INTERCEPT; LSMEANS C/STDERR PDIFF； PROC CORR COV OUTP=A; VAR X1 X2 x3; run;,SAS程序：,The GLM Procedure Class Level Information Class Levels Values C 1 1 Number of observations 6 The SAS System 15:53 Thursday, November 4, 2004 2 The GLM Procedure Multivariate Analysis of Variance Characteristic Roots and Vectors of: E Inverse * H, where H = Type III SSCP Matrix for Intercept E = Error SSCP Matrix Characteristic Characteristic Vector VEV=1 Root Percent X1 X2 X3 84.0889324 100.00 0.18487526 -0.70321560 0.47837409 0.0000000 0.00 -0.03957508 0.04750485 0.28074086 0.0000000 0.00 0.03892251 0.14153640 0.00000000,MANOVA Test Criteria and Exact F Statistics for the Hypothesis of No Overall Intercept Effect H = Type III SSCP Matrix for Intercept E = Error SSCP Matrix S=1 M=0.5 N=0.5 Statistic Value F Value Num DF Den DF Pr F Wilks Lambda 0.01175241 84.09 3 3 0.0022 Pillais Trace 0.98824759 84.09 3 3 0.0022 Hotelling-Lawley Trace 84.08893238 84.09 3 3 0.0022 Roys Greatest Root 84.08893238 84.09 3 3 0.0022,The GLM Procedure Least Squares Means Standard C X1 LSMEAN Error Pr |t| 1 -8.00000000 2.29492193 0.0175 Standard C X2 LSMEAN Error Pr |t| 1 2.20000000 0.72709468 0.0292 Standard C X3 LSMEAN Error Pr |t| 1 -1.50000000 0.56273143 0.0446,The CORR Procedure 3 Variables: X1 X2 X3 Covariance Matrix, DF = 5 X1 X2 X3 X1 31.60000000 8.04000000 0.50000000 X2 8.04000000 3.17200000 1.31000000 X3 0.50000000 1.31000000 1.90000000 Simple Statistics Variable N Mean Std Dev Sum Minimum Maximum X1 6 -8.00000 5.62139 -48.00000 -14.00000 2.00000 X2 6 2.20000 1.78101 13.20000 0.10000 5.20000 X3 6 -1.50000 1.37840 -9.00000 -3.50000 0.50000,Pearson Correlation Coefficients, N = 6 Prob |r| under H0: Rho=0 X1 X2 X3 X1 1.00000 0.80306 0.06453 0.0544 0.9033 X2 0.80306 1.00000 0.53361 0.0544 0.2755 X3 0.06453 0.53361 1.00000 0.9033 0.2755,檢驗(yàn)兩家實(shí)驗(yàn)室污水化學(xué)分析結(jié)果是否一致,檢驗(yàn)例舉,令 d1J = X11J - Y11J , d2J = X12J-Y12J,某市為測(cè)定其河流污水處理的狀況,從河流中抽取11個(gè)樣品, 送(甲與乙)兩家實(shí)驗(yàn)室檢驗(yàn)指標(biāo)生化氧(BOD)與懸浮固體(SS)量得數(shù)據(jù)如下表:,成對(duì)數(shù)據(jù)檢驗(yàn),成對(duì)數(shù)據(jù)檢驗(yàn),以單向試驗(yàn)法作成對(duì)檢驗(yàn) data mogo; input x1 x2 y1 y2 ; c=1; d1=x1-y1; d2=x2-y2; cards; 6 37 25 25 6 23 28 13 18 64 36 22 8 44 35 29 11 36 15 31 34 75 44 64 23 26 42 30 71 124 55 64 43 54 34 56 33 30 29 20 20 14 39 21 ; proc glm; class c; MODEL d1 d2=C/NOUNI; MANOVA H=INTERCEPT; LSMEANS C/STDERR PDIFF; PROC CORR COV ; VAR d1 d2; run; PROC PRINT;RUN;,成對(duì)數(shù)據(jù)檢驗(yàn),H = Type III SSCP Matrix for Intercept E = Error SSCP Matrix S=1 M=0 N=3.5 Statistic Value F Value Num DF Den DF Pr F Wilks Lambda 0.38592221 7.16 2 9 0.0138 Pillais Trace 0.61407779 7.16 2 9 0.0138 Hotelling-Lawley Trace 1.59119577 7.16 2 9 0.0138 Roys Greatest Root 1.59119577 7.16 2 9 0.0138 The SAS System 16:57 Wednesday, March 31, 2008 3 The GLM Procedure Least Squares Means Standard c d1 LSMEAN Error Pr |t| 1 -9.90909091 4.27350090 0.0429 Standard c d2 LSMEAN Error Pr |t| 1 13.8181818 6.0660279 0.0459,成對(duì)數(shù)據(jù)檢驗(yàn),Covariance Matrix, DF = 10 d1 d2 d1 200.8909091 95.8181818 d2 95.8181818 404.7636364 Simple Statistics Variable N Mean Std Dev Sum Minimum Maximum d1 11 -9.90909 14.17360 -109.00000 -27.00000 16.00000 d2 11 13.81818 20.11874 152.00000 -7.00000 60.00000 Pearson Correlation Coefficients, N = 11 Prob |r| under H0: Rho=0 d1 d2 d1 1.00000 0.33602 0.3123 d2 0.33602 1.00000,成對(duì)數(shù)據(jù)檢驗(yàn),Obs x1 x2 y1 y2 c d1 d2 1 6 37 25 25 1 -19 12 2 6 23 28 13 1 -22 10 3 18 64 36 22 1 -18 42 4 8 44 35 29 1 -27 15 5 11 36 15 31 1 -4 5 6 34 75 44 64 1 -10 11 7 23 26 42 30 1 -19 -4 8 71 124 55 64 1 16 60 9 43 54 34 56 1 9 -2 10 33 30 29 20 1 4 10 11 20 14 39 21 1 -19 -7,設(shè),3、當(dāng)兩個(gè)正態(tài)總體方差已知,時(shí)，兩均值檢驗(yàn)，,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,對(duì)于給定的檢驗(yàn)水平,其否定域?yàn)?4、當(dāng)兩個(gè)正態(tài)總體方差未知，但方差相等,時(shí)，兩均值檢驗(yàn)，,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,對(duì)于給定的檢驗(yàn)水平,其否定域?yàn)?5、當(dāng)兩個(gè)正態(tài)總體方差不相等 ，但樣本容量相等，兩均值檢驗(yàn)。,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,對(duì)于給定的檢驗(yàn)水平,其否定域?yàn)?6、當(dāng)兩個(gè)正態(tài)總體方差不相等 ，但樣本容量不相等nm,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,對(duì)于給定的檢驗(yàn)水平,其否定域?yàn)?檢驗(yàn)兩家實(shí)驗(yàn)室污水化學(xué)分析結(jié)果是否一致,檢驗(yàn)例舉,某市為測(cè)定其河流污水處理的狀況,從河流中抽取11個(gè)樣品, 送(甲與乙)兩家實(shí)驗(yàn)室檢驗(yàn)指標(biāo)生化氧(BOD)與懸浮固體(SS)量得數(shù)據(jù)如下表:,data mogo; input g$ x1 x2 ; cards; a 6 37 b 25 25 a 6 23 b 28 13 a 18 64 b 36 22 a 8 44 b 35 29 a 11 36 b 15 31 a 34 75 b 44 64 a 23 26 b 42 30 a 71 124 b 55 64 a 43 54 b 34 56 a 33 30 b 29 20 a 20 14 b 39 21 ; proc glm; class g; MODEL d1 d2=C/NOUNI; MANOVA H=g/printe printh; LSMEANS g/STDERR PDIFF; Run;,以雙向試驗(yàn)法作成對(duì)檢驗(yàn),The GLM Procedure Class Level Information Class Levels Values g 2 a b Number of observations 22 The SAS System 15:53 Thursday, November 4, 2004 10 The GLM Procedure Multivariate Analysis of Variance E = Error SSCP Matrix x1 x2 x1 5001.8181818 5862.0909091 x2 5862.0909091 13031.818182 Partial Correlation Coefficients from the Error SSCP Matrix / Prob |r| DF = 20 x1 x2 x1 1.000000 0.726083 0.0002 x2 0.726083 1.000000 0.0002,The GLM Procedure Multivariate Analysis of Variance H = Type III SSCP Matrix for g x1 x2 x1 540.04545455 -753.0909091 x2 -753.0909091 1050.1818182 Characteristic Roots and Vectors of: E Inverse * H, where H = Type III SSCP Matrix for g E = Error SSCP Matrix Characteristic Characteristic Vector VEV=1 Root Percent x1 x2 0.68529770 100.00 -0.01931657 0.01169307 0.00000000 0.00 0.00705157 0.00505672,H = Type III SSCP Matrix for g E = Error SSCP Matrix S=1 M=0 N=8.5 Statistic Value F Value Num DF Den DF Pr F Wilks Lambda 0.59336697 6.51 2 19 0.0070 Pillais Trace 0.40663303 6.51 2 19 0.0070 Hotelling-Lawley Trace 0.68529770 6.51 2 19 0.0070 Roys Greatest Root 0.68529770 6.51 2 19 0.0070 The SAS System 15:53 Thursday, November 4, 2004 12 The GLM Procedure Least Squares Means H0:LSMean1= Standard H0:LSMEAN=0 LSMean2 g x1 LSMEAN Error Pr |t| Pr |t| a 24.8181818 4.7681797 |t| Pr |t| a 47.9090909 7.6964626 .0001 0.2188 b 34.0909091 7.6964626 0.0003,例： 調(diào)查某中學(xué)16歲男、女若干名，測(cè)量其身高、體重和胸圍，結(jié)果見SAS程序。試檢驗(yàn)該中學(xué)全體16歲男、女身體發(fā)育狀況的差別有無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。,data b; input sex$ h w b; cards; m 171 58.5 81 m 175 65 87 m 159 38 71 m 155.3 45 74 m 152 35 63 m 158.3 44.5 75 m 154.8 44.5 74 m 164 51 72 m 165.2 55 79 m 164.5 46 71 m 159.1 48 72.5 m 164.2 46.5 73 f 152 44.8 74 f 153 46.5 80 f 158 48.5 77.5 f 150 50.5 87 f 144 36.3 68 f 160.5 54.7 86 f 158 49 84 f 154 50.8 76 f 153 40 70 f 159.6 52 76 ; proc glm;class sex; model h w b=sex/nouni; manova h=sex/printe printh; lsmeans sex/stderr pdiff; proc sort;by sex; proc corr cov outp=b;var h w b; by sex;proc print;run;,二 雙向試驗(yàn),主要輸出結(jié)果如下：,結(jié)果1（多元方差分析結(jié)果）： Statistic Value F Num DF Den DF Pr F Wilks Lambda 0.38927219 9.4134 3 18 0.0006 Pillais Trace 0.61072781 9.4134 3 18 0.0006 Hotelling-Lawley Trace 1.56889660 9.4134 3 18 0.0006 Roys Greatest Root 1.56889660 9.4134 3 18 0.0006,二 雙向試驗(yàn),該中學(xué)全體16歲男、女身體發(fā)育狀況的差別有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。,SEX H Std Err Pr |T| Pr |T| H0: LSMEAN LSMEAN H0:LSMEAN=0 LSMEAN1=LSMEAN2 f 154.210000 1.910649 0.0001 0.0077 m 161.866667 1.744176 0.0001 SEX W Std Err Pr |T| Pr |T| H0: LSMEAN LSMEAN H0:LSMEAN=0 LSMEAN1=LSMEAN2 f 47.3100000 2.2921231 0.0001 0.8058 m 48.0833333 2.0924125 0.0001 SEX B Std Err Pr |T| Pr |T| H0: LSMEAN LSMEAN H0:LSMEAN=0 LSMEAN1=LSMEAN2 f 77.8500000 1.9513937 0.0001 0.2033 m 74.3750000 1.7813706 0.0001,結(jié)果2（單變量分析及其兩兩比較結(jié)果，由LSMEANS語句獲得）：,二 雙向試驗(yàn),7.4 多個(gè)均值向量的比較 多元方差分析,現(xiàn)從各個(gè)正態(tài)總體中抽取的樣本如下：,作均值檢驗(yàn)：,容易證明：,定義維爾克斯(Wilks)統(tǒng)計(jì)量,從各個(gè)總體協(xié)方差陣相同,記,定義維爾克斯(Wilks)統(tǒng)計(jì)量,對(duì)于給定的檢驗(yàn)水平,其否定域?yàn)?由于該分布的重要性，統(tǒng)計(jì)學(xué)家一直都在研究其與其它分布的關(guān)系，并找到許多其極限分布的關(guān)系，具體結(jié)果如下表,例： 調(diào)查某中學(xué)16歲男、女若干名，測(cè)量其身高、體重和胸圍，結(jié)果見SAS程序。試檢驗(yàn)該中學(xué)全體16歲男、女身體發(fā)育狀況的差別有無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。,data b; input sex$ h w b; cards; m 171 58.5 81 m 175 65 87 m 159 38 71 m 155.3 45 74 m 152 35 63 m 158.3 44.5 75 m 154.8 44.5 74 m 164 51 72 m 165.2 55 79 m 164.5 46 71 m 159.1 48 72.5 m 164.2 46.5 73 f 152 44.8 74 f 153 46.5 80 f 158 48.5 77.5 f 150 50.5 87 f 144 36.3 68 f 160.5 54.7 86 f 158 49 84 f 154 50.8 76 f 153 40 70 f 159.6 52 76 ; proc glm;class sex; model h w b=sex/nouni; manova h=sex/printe printh; lsmeans sex/stderr pdiff; proc sort;by sex; proc corr cov outp=b;var h w b; by sex;proc print;run;,主要輸出結(jié)果如下：,結(jié)果1（多元方差分析結(jié)果）： Statistic Value F Num DF Den DF Pr F Wilks Lambda 0.38927219 9.4134 3 18 0.0006 Pillais Trace 0.61072781 9.4134 3 18 0.0006 Hotelling-Lawley Trace 1.56889660 9.4134 3 18 0.0006 Roys Greatest Root 1.56889660 9.4134 3 18 0.0006,SEX H Std Err Pr |T| Pr |T| H0: LSMEAN LSMEAN H0:LSMEAN=0 LSMEAN1=LSMEAN2 f 154.210000 1.910649 0.0001 0.0077 m 161.866667 1.744176 0.0001 SEX W Std Err Pr |T| Pr |T| H0: LSMEAN LSMEAN H0:LSMEAN=0 LSMEAN1=LSMEAN2 f 47.3100000 2.2921231 0.0001 0.8058 m 48.0833333 2.0924125 0.0001 SEX B Std Err Pr |T| Pr |T| H0: LSMEAN LSMEAN H0:LSMEAN=0 LSMEAN1=LSMEAN2 f 77.8500000 1.9513937 0.0001 0.2033 m 74.3750000 1.7813706 0.0001,結(jié)果2（單變量分析及其兩兩比較結(jié)果，由LSMEANS語句獲得）：,結(jié)果3（常用多元統(tǒng)計(jì)量，由CORR過程獲得）：,謝謝！,