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1、規(guī)范解答集訓(xùn)(一) 三角函數(shù)和解三角形
(建議用時(shí)：40分鐘)
1．(2019·昆明模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c,2acos A－bcos C＝ccos B.
(1)求角A；
(2)若a＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長(zhǎng)．
[解](1)∵2acos A－bcos C＝ccos B，
∴2sin Acos A－sin Bcos C＝sin Ccos B.
∴2sin Acos A＝sin A，
∵0＜A＜π，sin A≠0，可得cos A＝.
∴A＝.
(2)由題意及(1)得，sin A＝，S＝bcsin A＝，∴bc＝3.
∵a2＝b2＋
2、c2－2bccos A，∴b2＋c2＝6，∴(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝6＋6＝12，∴b＋c＝2.
∴△ABC的周長(zhǎng)為a＋b＋c＝3.
2．(2019·鄭州三模)在△ABC中，AB＝2，AC＝，AD為△ABC的內(nèi)角平分線，AD＝2.
(1)求的值；
(2)求角A的大?。?
[解](1)在△ABD中，由正弦定理得：＝，在△ACD中，由正弦定理得：＝，
因?yàn)閟in∠ADB＝sin∠ADC，AC＝，AB＝2，
∴＝＝2.
(2)在△ABD中，
由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos ＝16－8cos .
在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2A
3、C·ADcos ＝7－4cos .
又＝4＝，解得cos ＝.
又∈，∴＝，A＝.
3.如圖，在平面四邊形中，AB＝14，cos A＝，cos∠ABD＝.
(1)求對(duì)角線BD的長(zhǎng)；
(2)若四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，求△BCD面積的最大值．
[解](1)在△ABD中，
sin∠ADB＝sin[π－(A＋∠ABD)]＝sin(A＋∠ABD)＝sin Acos∠ABD＋cos Asin∠ABD＝，
由正弦定理得＝，
即BD＝＝13.
(2)由已知得，C＝π－A，所以cos C＝－，
在△BCD中，由余弦定理可得BC2＋DC2－2BC·DCcos C＝BD2＝169，
4、
則169＝BC2＋DC2＋·BC·DC≥·BC·DC，
即BC·DC≤×169，
所以S△BCD＝·BC·CD·sin C≤××＝，當(dāng)且僅當(dāng)BC＝DC＝時(shí)取等號(hào)．
所以△BCD面積的最大值為.
4．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab.
(1)求角C的值；
(2)若c＝2，且△ABC為銳角三角形，求a＋b的取值范圍．
[解](1)由題意知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理可知，cos C＝＝，
又∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)由正弦定理可知，＝＝＝，
即a＝sin A，b＝sin B，
∴a＋b＝(sin A＋sin B)＝
＝2sin A＋2cos A＝4sin，
又∵△ABC為銳角三角形，∴
即＜A＋＜，所以，2＜4sin≤4，
綜上，a＋b的取值范圍為(2，4]．
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