高中數(shù)學 7《線性回歸方程》學案 北師大版必修3[1]

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1、線性回歸方程 【目的引領】 1． 學習目的： 理解非擬定性關系中兩個變量的記錄措施；掌握散點圖的畫法及在記錄中的作用，掌握 回歸直線方程的求解措施。 2． 學法指引： ①求回歸直線方程，一方面應注意到，只有在散點圖大體呈線性時，求出的回歸直線方程才有實標意義．否則，求出的回歸直線方程毫無意義．因此，對一組數(shù)據(jù)作線性回歸分析時，應先看其散點圖與否成線性． ②求回歸直線方程，核心在于對的地求出系數(shù)a、b，由于求a、b的計算量較大，計算時仔細謹慎、分層進行，避免因計算產(chǎn)生失誤． ③回歸直線方程在現(xiàn)實生活與生產(chǎn)中有廣泛的應用．應用回歸直線方程可以把非擬定性問題轉(zhuǎn)化成擬定性問題，把“無序

2、”變?yōu)椤坝行颉?，并對狀況進行估測、補充．因此，學過回歸直線方程后來，應增強學生應用回歸直線方程解決有關實際問題的意識． 【教師在線】 1． 解析視屏： 1．有關關系的概念 在實際問題中，變量之間的常用關系有兩類： 一類是擬定性函數(shù)關系，變量之間的關系可以用函數(shù)表達。例如正方形的面積S與其邊長之間的函數(shù)關系（擬定關系）； 一類是有關關系，變量之間有一定的聯(lián)系，但不能完全用函數(shù)來體現(xiàn)。例如一塊農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥量的關系（非擬定關系） 有關關系：自變量取值一定期，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系叫做有關關系。 有關關系與函數(shù)關系的異同點： 相似點：均是指兩個變量的關

3、系。 不同點：函數(shù)關系是一種擬定關系；而有關關系是一種非擬定關系；函數(shù)關系是自變量與因變量之間的關系，這種關系是兩個非隨機變量的關系；而有關關系是非隨機變量與隨機變量的關系。 2．求回歸直線方程的思想措施 觀測散點圖的特性，發(fā)現(xiàn)各點大體分布在一條直線的附近，思考：類似圖中的直線可畫幾條？ 引導學生分析，最能代表變量x與y之間關系的直線的特性：即n個偏差的平方和最小，其過程簡要分析如下： 設所求的直線方程為，其中a、b是待定系數(shù)。 則，于是得到各個偏差。 顯見，偏差的符號有正負，若將它們相加會導致互相抵消，因此它們的和不能代表幾種點與相應直線在整體上的接近限度，故采用n個偏差的

4、平方和 表達n個點與相應直線在整體上的接近限度。 記。 上述式子展開后，是一種有關a，b的二次多項式，應用配措施，可求出使Q為最小值時的a，b的值，即 其中 以上措施稱為最小二乘法。 2． 典型回放： 例1：下列各組變量哪個是函數(shù)關系，哪個是有關關系？ （1）電壓U與電流I （2）圓面積S與半徑R （3）自由落體運動中位移s與時間t （4）糧食產(chǎn)量與施肥量 （5）人的身高與體重 （6）廣告費支出與商品銷售額 分析：函數(shù)關系是一種擬定關系；而有關關系是一種非擬定關系；函數(shù)關系是自變量與因變量之間的關系，這種關系是兩個非隨機變量的關系；而有關關系是非隨機變量與隨

5、機變量的關系。 解：前三小題中一種變量的變化可以擬定另一種變量的變化，兩者之間是函數(shù)關系。 對于糧食與施肥量，兩者的確有非常密切的關系，實踐證明，在一定的范疇內(nèi)，施肥量越多，糧食產(chǎn)量就越高，但是，施肥量并不能完全擬定糧食產(chǎn)量，由于糧食產(chǎn)量還與其她因素的影響有關，如降雨量、田間管理水平等。因此，糧食與施肥量之間不存在擬定的函數(shù)關系。 人的身高與人的體重也密切有關，一般來說，一種人的身高越高，體重也越重，但同樣身高的人，其體重不一定相似，身高和體重這兩個變量之間并不是嚴格的函數(shù)關系。 廣告費支出與商品銷售額有密切的關系，但廣告費的支出不能完全決定商品的銷售額。由此可見，后三小題各對變量之

6、間的關系是有關關系。 點評：不要覺得兩個變量間除了函數(shù)關系，就是有關關系，事實是上，兩個變量間也許毫無關系。例如地球運營的速度與某個人的行走速度就可覺得沒有關系。 例2：已知10只狗的血球體積及紅血球的測量值如下： ｘ 45 42 46 48 42 35 58 40 39 50 y 6.53 6.30 9.25 7.50 6.99 5.90 9.49 6.20 6.55 7.72 ｘ（血球體積，ｍｍ），ｙ（血紅球數(shù)，百萬） (1)畫出上表的散點圖;(2)求出回歸直線并且畫出圖形。 解：（１）見下圖 （２） 設回歸直線為， 則，

7、 因此所求回歸直線的方程為，圖形如下: 點評：對一組數(shù)據(jù)進行線性回歸分析時，應先畫出其散點圖，看其與否呈直線形，再依系數(shù)a、b的計算公式，算出a、b．由于計算量較大，因此在計算時應借助技術手段，認真細致，謹防計算中產(chǎn)生錯誤．求線性回歸方程的環(huán)節(jié)：計算平均數(shù)；計算的積，求；計算；將成果代入公式求ａ；用 求ｂ；寫出回歸方程。 【同步訓練】 1 . 下列兩個變量之間的關系哪個不是函數(shù)關系（　　?。? A．角度和它的余弦值 B.正方形邊長和面積 C．正ｎ邊形的邊數(shù)和它的內(nèi)角和 D.人的年齡和身高 2．某市紡織工人的月工資（元）依勞動生產(chǎn)率（千元）變化的回歸方程為y=50+80x，

8、則下列說法中對的的是 （ ） A．勞動生產(chǎn)率為1000元時，月工資為130元 B．勞動生產(chǎn)率提高1000元時，月工資提高約為130元 C．勞動生產(chǎn)率提高1000元時，月工資提高約為80元 D．月工資為210元時，勞動生產(chǎn)率為元 3．設有一種回歸方程為y=2-1.5x，則變量x每增長一種單位時，y平均 （ ） A．增長1.5單位 B．增長2單位 C．減少1.5單位 D．減少2單位 4．正常狀況下，年齡在18歲到38歲的人們，體重y（kg）依身高x（cm）的

9、回歸方程為y=0.72x-58.5。張紅紅同窗不胖不瘦，身高1米78，她的體重應在 kg左右。 5.給出施化肥量對水稻產(chǎn)量影響的實驗數(shù)據(jù)： 施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 水稻產(chǎn)量y 330 345 365 405 445 450 455 (1)畫出上表的散點圖;(2)求出回歸直線并且畫出圖形 【拓展嘗新】 6．在某種產(chǎn)品表面進行腐蝕線實驗，得到腐蝕深度y與腐蝕時間x之間相應的一組數(shù)據(jù)： 時間t(s) 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 深度y(μm) 6

10、10 10 13 16 17 19 23 25 29 46 (1)畫出散點圖； (2)試求腐蝕深度y對時間t的回歸直線方程。 【解答】 1． D 2．C 3．C 4．69.66 5．解：(1)散點圖（略）． (2)表中的數(shù)據(jù)進行具體計算，列成如下表格 i 1 2 3 4 5 6 7 xi 15 20 25 30 35 40 45 yi 330 345 365 405 445 450 455 xiyi 4950 6900 9125 12150 15575 18000 20475 , 故可得到。 6．解：(1)散點圖略，呈直線形. (2)經(jīng)計算可得： 故所求的回歸直線方程為。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m