高中數(shù)學(xué) 7《線性回歸方程》學(xué)案 北師大版必修3[1]

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1、線性回歸方程 【目的引領(lǐng)】 1． 學(xué)習(xí)目的： 理解非擬定性關(guān)系中兩個(gè)變量的記錄措施；掌握散點(diǎn)圖的畫(huà)法及在記錄中的作用，掌握 回歸直線方程的求解措施。 2． 學(xué)法指引： ①求回歸直線方程，一方面應(yīng)注意到，只有在散點(diǎn)圖大體呈線性時(shí)，求出的回歸直線方程才有實(shí)標(biāo)意義．否則，求出的回歸直線方程毫無(wú)意義．因此，對(duì)一組數(shù)據(jù)作線性回歸分析時(shí)，應(yīng)先看其散點(diǎn)圖與否成線性． ②求回歸直線方程，核心在于對(duì)的地求出系數(shù)a、b，由于求a、b的計(jì)算量較大，計(jì)算時(shí)仔細(xì)謹(jǐn)慎、分層進(jìn)行，避免因計(jì)算產(chǎn)生失誤． ③回歸直線方程在現(xiàn)實(shí)生活與生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用．應(yīng)用回歸直線方程可以把非擬定性問(wèn)題轉(zhuǎn)化成擬定性問(wèn)題，把“無(wú)序

2、”變?yōu)椤坝行颉?，并?duì)狀況進(jìn)行估測(cè)、補(bǔ)充．因此，學(xué)過(guò)回歸直線方程后來(lái)，應(yīng)增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用回歸直線方程解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)． 【教師在線】 1． 解析視屏： 1．有關(guān)關(guān)系的概念 在實(shí)際問(wèn)題中，變量之間的常用關(guān)系有兩類： 一類是擬定性函數(shù)關(guān)系，變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)表達(dá)。例如正方形的面積S與其邊長(zhǎng)之間的函數(shù)關(guān)系（擬定關(guān)系）； 一類是有關(guān)關(guān)系，變量之間有一定的聯(lián)系，但不能完全用函數(shù)來(lái)體現(xiàn)。例如一塊農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥量的關(guān)系（非擬定關(guān)系） 有關(guān)關(guān)系：自變量取值一定期，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做有關(guān)關(guān)系。 有關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)： 相似點(diǎn)：均是指兩個(gè)變量的關(guān)

3、系。 不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種擬定關(guān)系；而有關(guān)關(guān)系是一種非擬定關(guān)系；函數(shù)關(guān)系是自變量與因變量之間的關(guān)系，這種關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系；而有關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系。 2．求回歸直線方程的思想措施 觀測(cè)散點(diǎn)圖的特性，發(fā)現(xiàn)各點(diǎn)大體分布在一條直線的附近，思考：類似圖中的直線可畫(huà)幾條？ 引導(dǎo)學(xué)生分析，最能代表變量x與y之間關(guān)系的直線的特性：即n個(gè)偏差的平方和最小，其過(guò)程簡(jiǎn)要分析如下： 設(shè)所求的直線方程為，其中a、b是待定系數(shù)。 則，于是得到各個(gè)偏差。 顯見(jiàn)，偏差的符號(hào)有正負(fù)，若將它們相加會(huì)導(dǎo)致互相抵消，因此它們的和不能代表幾種點(diǎn)與相應(yīng)直線在整體上的接近限度，故采用n個(gè)偏差的

4、平方和 表達(dá)n個(gè)點(diǎn)與相應(yīng)直線在整體上的接近限度。 記。 上述式子展開(kāi)后，是一種有關(guān)a，b的二次多項(xiàng)式，應(yīng)用配措施，可求出使Q為最小值時(shí)的a，b的值，即 其中 以上措施稱為最小二乘法。 2． 典型回放： 例1：下列各組變量哪個(gè)是函數(shù)關(guān)系，哪個(gè)是有關(guān)關(guān)系？ （1）電壓U與電流I （2）圓面積S與半徑R （3）自由落體運(yùn)動(dòng)中位移s與時(shí)間t （4）糧食產(chǎn)量與施肥量 （5）人的身高與體重 （6）廣告費(fèi)支出與商品銷(xiāo)售額 分析：函數(shù)關(guān)系是一種擬定關(guān)系；而有關(guān)關(guān)系是一種非擬定關(guān)系；函數(shù)關(guān)系是自變量與因變量之間的關(guān)系，這種關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系；而有關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨

5、機(jī)變量的關(guān)系。 解：前三小題中一種變量的變化可以擬定另一種變量的變化，兩者之間是函數(shù)關(guān)系。 對(duì)于糧食與施肥量，兩者的確有非常密切的關(guān)系，實(shí)踐證明，在一定的范疇內(nèi)，施肥量越多，糧食產(chǎn)量就越高，但是，施肥量并不能完全擬定糧食產(chǎn)量，由于糧食產(chǎn)量還與其她因素的影響有關(guān)，如降雨量、田間管理水平等。因此，糧食與施肥量之間不存在擬定的函數(shù)關(guān)系。 人的身高與人的體重也密切有關(guān)，一般來(lái)說(shuō)，一種人的身高越高，體重也越重，但同樣身高的人，其體重不一定相似，身高和體重這兩個(gè)變量之間并不是嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系。 廣告費(fèi)支出與商品銷(xiāo)售額有密切的關(guān)系，但廣告費(fèi)的支出不能完全決定商品的銷(xiāo)售額。由此可見(jiàn)，后三小題各對(duì)變量之

6、間的關(guān)系是有關(guān)關(guān)系。 點(diǎn)評(píng)：不要覺(jué)得兩個(gè)變量間除了函數(shù)關(guān)系，就是有關(guān)關(guān)系，事實(shí)是上，兩個(gè)變量間也許毫無(wú)關(guān)系。例如地球運(yùn)營(yíng)的速度與某個(gè)人的行走速度就可覺(jué)得沒(méi)有關(guān)系。 例2：已知10只狗的血球體積及紅血球的測(cè)量值如下： ｘ 45 42 46 48 42 35 58 40 39 50 y 6.53 6.30 9.25 7.50 6.99 5.90 9.49 6.20 6.55 7.72 ｘ（血球體積，ｍｍ），ｙ（血紅球數(shù)，百萬(wàn)） (1)畫(huà)出上表的散點(diǎn)圖;(2)求出回歸直線并且畫(huà)出圖形。 解：（１）見(jiàn)下圖 （２） 設(shè)回歸直線為， 則，

7、 因此所求回歸直線的方程為，圖形如下: 點(diǎn)評(píng)：對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸分析時(shí)，應(yīng)先畫(huà)出其散點(diǎn)圖，看其與否呈直線形，再依系數(shù)a、b的計(jì)算公式，算出a、b．由于計(jì)算量較大，因此在計(jì)算時(shí)應(yīng)借助技術(shù)手段，認(rèn)真細(xì)致，謹(jǐn)防計(jì)算中產(chǎn)生錯(cuò)誤．求線性回歸方程的環(huán)節(jié)：計(jì)算平均數(shù)；計(jì)算的積，求；計(jì)算；將成果代入公式求ａ；用 求ｂ；寫(xiě)出回歸方程。 【同步訓(xùn)練】 1 . 下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系哪個(gè)不是函數(shù)關(guān)系（　　?。? A．角度和它的余弦值 B.正方形邊長(zhǎng)和面積 C．正ｎ邊形的邊數(shù)和它的內(nèi)角和 D.人的年齡和身高 2．某市紡織工人的月工資（元）依勞動(dòng)生產(chǎn)率（千元）變化的回歸方程為y=50+80x，

8、則下列說(shuō)法中對(duì)的的是 （ ） A．勞動(dòng)生產(chǎn)率為1000元時(shí)，月工資為130元 B．勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，月工資提高約為130元 C．勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，月工資提高約為80元 D．月工資為210元時(shí)，勞動(dòng)生產(chǎn)率為元 3．設(shè)有一種回歸方程為y=2-1.5x，則變量x每增長(zhǎng)一種單位時(shí)，y平均 （ ） A．增長(zhǎng)1.5單位 B．增長(zhǎng)2單位 C．減少1.5單位 D．減少2單位 4．正常狀況下，年齡在18歲到38歲的人們，體重y（kg）依身高x（cm）的

9、回歸方程為y=0.72x-58.5。張紅紅同窗不胖不瘦，身高1米78，她的體重應(yīng)在 kg左右。 5.給出施化肥量對(duì)水稻產(chǎn)量影響的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)： 施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 水稻產(chǎn)量y 330 345 365 405 445 450 455 (1)畫(huà)出上表的散點(diǎn)圖;(2)求出回歸直線并且畫(huà)出圖形 【拓展嘗新】 6．在某種產(chǎn)品表面進(jìn)行腐蝕線實(shí)驗(yàn)，得到腐蝕深度y與腐蝕時(shí)間x之間相應(yīng)的一組數(shù)據(jù)： 時(shí)間t(s) 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 深度y(μm) 6

10、10 10 13 16 17 19 23 25 29 46 (1)畫(huà)出散點(diǎn)圖； (2)試求腐蝕深度y對(duì)時(shí)間t的回歸直線方程。 【解答】 1． D 2．C 3．C 4．69.66 5．解：(1)散點(diǎn)圖（略）． (2)表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行具體計(jì)算，列成如下表格 i 1 2 3 4 5 6 7 xi 15 20 25 30 35 40 45 yi 330 345 365 405 445 450 455 xiyi 4950 6900 9125 12150 15575 18000 20475 , 故可得到。 6．解：(1)散點(diǎn)圖略，呈直線形. (2)經(jīng)計(jì)算可得： 故所求的回歸直線方程為。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m