數(shù)學(xué)人教Ａ版必修5：求數(shù)列的通項(xiàng)公式的策略與常用方法 講義（Word版含答案）

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1、 求數(shù)列的通項(xiàng)公式的策略與常用方法 一、觀察法： 1．觀察下列等式: 照此規(guī)律, 第個(gè)等式可為_______. 二、公式法： （一）用等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式。 （二）若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式 求解。使用此公式須注意：①是正用還是逆用；②須分類討論；③如何求；④結(jié)論的書寫。 1.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 2．正項(xiàng)數(shù)列滿足:___ ___. 【答案】因?yàn)?所以數(shù)列是以為首項(xiàng),以為公差的等差數(shù)列,所以,所以,所以. 3．設(shè)等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為．已知，求的通項(xiàng)公式． 解：由題設(shè)知，則 ② 由

2、②得，，， 因?yàn)椋獾没颍? 當(dāng)時(shí)，代入①得，通項(xiàng)公式； 當(dāng)時(shí)，代入①得，通項(xiàng)公式． 4. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式. （2）設(shè)，是否存在使得,,成等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)說明理由. 略解：（1）由基本量可求得 （2）假設(shè)存在使得,,成等比數(shù)列，則， ，,, ，整理得 因?yàn)椋?，解? 又因，，所以，此時(shí) 所以存在，使得,,成等比數(shù)列 5．已知在正整數(shù)數(shù)列中，前項(xiàng)和滿足 （1）求證：是等差數(shù)列 （2）若，求的前項(xiàng)和的最小值 解：（1） ∴ 時(shí)， 整理得： ∵ 是正整數(shù)數(shù)列 ∴ ∴ ∴ 是首項(xiàng)為2，公差為4

3、的等差數(shù)列 ∴ （2）∴ 為等差數(shù)列 ∴ ∴ 當(dāng)時(shí)，的最小值為 6.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且為和的等差中項(xiàng)，則= 略解：（用公式法求通項(xiàng)公式）因?yàn)楹偷牡炔钪许?xiàng)，則有，消得，進(jìn)而得 7. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足， （且）． （Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列； （Ⅱ）求和. 解析：（１）證明：當(dāng)時(shí)，，① 由上式知若，則 ，由遞推關(guān)系知， ∴由①式可得：當(dāng)時(shí)， ∴是等差數(shù)列，其中首項(xiàng)為，公差為. （2）， . 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，不適合上式， ∴ . 【思路點(diǎn)撥】證明數(shù)列為等差數(shù)列通常利用其定義證明，一般遇到由數(shù)列的前n項(xiàng)和與項(xiàng)的遞推關(guān)

4、系通常先轉(zhuǎn)化為項(xiàng)的遞推關(guān)系或者和的遞推關(guān)系，再進(jìn)行解答. 8.已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0， ，. （1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列； （2）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式. 【分析】(1)可通過題意中的以及對(duì)兩式進(jìn)行相加和相減即可推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列以及數(shù)列是等差數(shù)列； (2)可通過(1)中的結(jié)果推導(dǎo)出數(shù)列以及數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)列以及數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出結(jié)果。 【詳解】(1)由題意可知，，，， 所以，即， 所以數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，， 因?yàn)椋? 所以，數(shù)列是首項(xiàng)、公差為等差數(shù)列，。 (2)由(1)可知，

5、，， 所以，。 【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了等差數(shù)列以及等比數(shù)列的相關(guān)證明，證明數(shù)列是等差數(shù)列或者等比數(shù)列一定要結(jié)合等差數(shù)列或者等比數(shù)列的定義，考查推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題。 三、疊加法：形如型 1.已知數(shù)列滿足，，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式. 答案： 2. 已知數(shù)列滿足， . 令，證明：是等比數(shù)列； (Ⅱ)求的通項(xiàng)公式。 解:（1）證 當(dāng)時(shí)， 所以是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。 （2）解由（1）知 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，。 所以。 3．在數(shù)列中，，，則（ A ） A． B． C． D． 評(píng)注：已知,，其中可以是關(guān)于的分式

6、函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)，求通項(xiàng). ①若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和。 ②若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和; ③若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和; ④若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和; 四．疊乘法：形如型 1．已知數(shù)列中,,前項(xiàng)和. (Ⅰ)求; (Ⅱ)求的通項(xiàng)公式. 解:(1)由與可得 , 故所求的值分別為. (2)當(dāng)時(shí),① ② ①-②可得即 故有 而,所以的通項(xiàng)公式為 五、作差法：已知（即）求，常用作差法。 1．?dāng)?shù)列{}滿足=1，=+2+3+…+（n-1） (),則{}的通項(xiàng)公

7、式=______________ 2．設(shè)數(shù)列滿足，． （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)； （Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和． 解：(I) 驗(yàn)證時(shí)也滿足上式， (II) ， ， 六、作商法：已知求，常用作商法：。 1.已知...…..=n 2,求 2.已知數(shù)列滿足，則=（ B ） A. B. C. D. 解析：,, ， 七、周期性： （三）類似周期函數(shù)型 1．若數(shù)列{an}滿足若，則的值為（ B ） A． B． C． D． 【講解】逐步計(jì)算，可得 , 這說明數(shù)列{an}

8、是周期數(shù)列，而, 所以．應(yīng)選B． 【點(diǎn)評(píng)】分段數(shù)列問題是一種新問題，又涉及到周期數(shù)列，顯示了以能力立意，題活而不難的特色． 2．?dāng)?shù)列滿足，，則= 3. 在數(shù)列中，，則　　　　. 【解析】由得，所以該數(shù)列的周期為6，故，由 4.已知數(shù)列滿足等于的個(gè)位數(shù)，則（ A ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【分析】根據(jù)條件算出幾項(xiàng)直到找出規(guī)律即可得出答案． 【詳解】∵已知等于的個(gè)位數(shù)， 則，…， 可以看出：從開始重復(fù)出現(xiàn)從到的值：8，4，2，8，6，8． 因此，∴.故選：A. 【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的遞推，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理能

9、力，由已知條件找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵． 八．構(gòu)造法： （Ⅰ）線性構(gòu)造： （一）．形如,其中)型 1．已知數(shù)列中，求通項(xiàng). 解：由得, 所以數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列 所以,即 . （二）形如型 1.在數(shù)列中，求通項(xiàng). 解：， ① 時(shí)，， 兩式相減得 .令,則 即 ② 再由累加法可得. 亦可聯(lián)立 ① ②解出. (三)若(其中q是常數(shù)，且n0,1) 1.數(shù)列滿足：，求的通項(xiàng)公式． 解：變形得，，設(shè)，則，再變形得： ，所以數(shù)列是等比數(shù)列，其中首項(xiàng)是公比為　　所以有，即． 于是，故 2.設(shè)為數(shù)

10、列的前項(xiàng)和，且，，則= -11 略解：用公式法消得，進(jìn)而得 3.已知數(shù)列中，，，，求的通項(xiàng)公式. 解析：由得 又，是以7為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列， ，即有 又是以為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列， ， （Ⅱ）非線性構(gòu)造： （一）倒數(shù)法：形如. 1. 已知數(shù)列中，，，求通項(xiàng)公式。 解：取倒數(shù)： , 點(diǎn)評(píng)：常用的化歸還有對(duì)數(shù)化歸，待定化歸，一般需轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或等差數(shù)列的問題。 2. 在數(shù)列中，已知 ，求通項(xiàng)公式。 解：兩邊取倒數(shù)遞推式化為： ，即 所以…, 將以上個(gè)式子相加，得： 即故 （二）利用等式性質(zhì)兩邊同除(形如型) 1.已知數(shù)列中，，，則的通項(xiàng)公式為 【詳解】由題意可知 兩邊同時(shí)除以，得，且， 故數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列， 所以，故； 2.已知數(shù)列中，，。 (1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 3.已知數(shù)列滿足，． (1)若，證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列的前項(xiàng)和． 解：(1)∵，∴，即 ∴是首項(xiàng)為１，公比為２ 的等比數(shù)列 ∴ ∴ (2) …………① …………② ① - ②可得 化簡(jiǎn)可得