2013年中考數(shù)學模擬試題匯編 二次函數(shù)

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1、 2013年中考數(shù)學模擬試題匯編 二次函數(shù) 一、選擇題 1、(2013年河北三摸)某公園有一個圓形噴水池，噴出的水流呈拋物線，一條水流的高度h（單位：m）與水流運動時間t（單位：s）之間的關系式為h＝30t－5t2，那么水流從拋出至回落到地面所需要的時間是 A.6s B.4s C.3s D.2s 答案：A 二、解答題 1、(2013年深圳育才二中一摸)如圖，拋物線的圖象與軸交于、兩點，與軸交于點，已知點坐標為（4，0）． （1）求拋物線的解析式； （2）試探究的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標

2、； （3）若點是線段下方的拋物線上一點，求的面積的最大值，并求出此時點的坐標． 解：（1）將B（4，0）代入拋物線的解析式中，得： 則 ∴拋物線的解析式為：…………………………2分 （2）由（1）的函數(shù)解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）； ∴OA=1，OC=2，OB=4 ∴又OC⊥AB， ∴△OAC∽△OCB …………………………3分 ∴∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90° …………………………4分 ∴△ABC為直角三角形，AB為△ABC外接

3、圓的直徑………………………5分 所以該外接圓的圓心為AB的中點，且坐標為……………………6分 （3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直線BC的解析式為： 設直線，則該直線的解析式可表示為：， 當直線與拋物線只有一個交點時，可列方程：，且△=0 則 ∴直線：．………………8分 由于，長度是定值，則當最大（即點M到直線BC的距離最遠）時，的面積最大 所以點M即直線和拋物線的唯一交點，則………………9分 解得： 即 M（2，﹣4）．………………10分 2、(2013年廣西南丹中學一摸)如圖，已知拋物線y＝x2＋bx＋c與坐標軸交于A、B、C三點， A點的坐

4、標為（－1，0），過點C的直線y＝x－3與x軸交于點Q，點P是線段BC上的一個動點，過P作PH⊥OB于點H．若PB＝5t，且0＜t＜1． （1）填空：點C的坐標是 ，b＝ ，c＝ ； （2）求線段QH的長（用含t的式子表示）； （3）依點P的變化，是否存在t的值，使以P、H、Q為頂點的三角形與△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由． 第26題圖 【解答】（1）（0，－3），b＝－，c＝－3． 3分 （2）由（1），得y＝x2－x－3，它與x軸交于A，B兩點，得B（4，0）． ∴OB＝4，又∵OC＝3，∴BC＝5．

5、 由題意，得△BHP∽△BOC， ∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5， ∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5， ∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t． ∴OH＝OB－HB＝4－4t． 由y＝x－3與x軸交于點Q，得Q（4t，0）． ∴OQ＝4t． 4分 ①當H在Q、B之間時， QH＝OH－OQ ＝（4－4t）－4t＝4－8t． 5分 ②當H在O、Q之間時， QH＝OQ－OH ＝4t－（4－4t）＝8t－4． 6分 綜合①，②得QH＝｜4－8t｜； 6分 （3）存在t的值，使以P、H、Q為頂點的三角形與△COQ相似． 7分 ①當H在Q、B之間時，QH＝4－8t， 若△QH

6、P∽△COQ，則QH∶CO＝HP∶OQ，得＝， ∴t＝． 8分 若△PHQ∽△COQ，則PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝， 即t2＋2t－1＝0． ∴t1＝－1，t2＝－－1（舍去）． 9分 ②當H在O、Q之間時，QH＝8t－4． 若△QHP∽△COQ，則QH∶CO＝HP∶OQ，得＝， ∴t＝． 10分 若△PHQ∽△COQ，則PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝， 即t2－2t＋1＝0． ∴t1＝t2＝1（舍去）． 11分 綜上所述，存在的值，t1＝－1，t2＝，t3＝． 12分 3、(2013年河北二摸)如圖，已知拋物線y＝x2＋bx＋c與坐標軸交于A、B、C三點，A點的坐標為

7、（－1，0），過點C的直線y＝x－3與x軸交于點Q，點P是線段BC上的一個動點，過P作PH⊥OB于點H．若PB＝5t，且0＜t＜1． （1）填空：點C的坐標是 ，b＝ ，c＝ ； （2）求線段QH的長（用含t的式子表示）； （3）依點P的變化，是否存在t的值，使以P、H、Q為頂點的三角形與△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由． 解：（1）（0，－3），b＝－，c＝－3．…………………………………………3分 （2）由（1），得y＝x2－x－3，它與x軸交于A，B兩點，得B（4，0）．…4分

8、 ∴OB＝4，又∵OC＝3，∴BC＝5． 由題意，得△BHP∽△BOC， ∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5，∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5， ∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t．………………………………………………5分 ∴OH＝OB－HB＝4－4t． 由y＝x－3與x軸交于點Q，得Q（4t，0）． ∴OQ＝4t．……………………………………………………………………6分 ①當H在Q、B之間時， QH＝OH－OQ＝（4－4t）－4t＝4－8t．……………………………………7分 ②當H在O、Q之間時， QH＝OQ－OH＝4t－（4－4t）＝8t－4．……………………………………

9、8分 綜合①，②得QH＝｜4－8t｜； （3）存在t的值，使以P、H、Q為頂點的三角形與△COQ相似． ①當H在Q、B之間時，QH＝4－8t， 若△QHP∽△COQ，則QH∶CO＝HP∶OQ，得＝， ∴t＝．……………………………………………………………………9分 若△PHQ∽△COQ，則PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝， 即t2＋2t－1＝0． ∴t1＝－1，t2＝－－1（舍去）．………………………………………10分 ②當H在O、Q之間時，QH＝8t－4． 若△QHP∽△COQ，則QH∶CO＝HP∶OQ，得＝， ∴t＝．………………………………………………………………………

10、…11分 若△PHQ∽△COQ，則PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝， 即t2－2t＋1＝0． ∴t1＝t2＝1（舍去）．………………………………………………………………12分 綜上所述，存在的值，t1＝－1，t2＝，t3＝． 4、(2013年河北三摸)已知：如圖1，拋物線的頂點為Q，與軸交于A（-1，0）、B(5，0) （圖1） x C y O A B 兩點，與軸交于C點. （1）求拋物線的解析式及其頂點Q的坐標； （2）在該拋物線的對稱軸上求一點,使得△的周長最小. 請在圖中畫出點的位置，并求點的坐標； （3）如圖2，若

11、點D是第一象限拋物線上的一個動點，過D作DE⊥ 軸，垂足為E． ①有一個同學說：“在第一象限拋物線上的所有點中，拋物線的頂點Q與軸相距最遠，所以當點D運動至點Q時，折線D-E-O的長度最長”。這個同學的說法正確嗎？請說明理由. （圖2） E D B A O C x y Q （備用圖） x C y O A B ②若與直線交于點.試探究：四邊形能否為平行四邊形？ 若能,請直接寫出點的坐標；若不能,請簡要說明理由； 答案：解：(1)將A（-1，0）、B(5，0)分別代入中， 得 ，得 ∴.………………2

12、分 圖1 E D B A O C y Q P ∵， ∴Q（2 ，9）.……3分 （2）如圖1，連接BC,交對稱軸于點P,連接AP、AC.……4分 ∵AC長為定值，∴要使△PAC的周長最小，只需PA+PC最小. ∵點A關于對稱軸=1的對稱點是點B（5，0），拋物線與y軸交點C的坐標為（0，5）. x ∴由幾何知識可知，PA+PC=PB+PC為最小. ………………5分 設直線BC的解析式為y=k+5,將B（5，0）代入5k+5=0，得k=-1， ∴=-+5，∴當=2時，y=3 ，∴點P的坐標為（2，3）. ….6分 (3) 這個同學的說法不正確. ……………7

13、分 ∵設，設折線D-E-O的長度為L，則 ， 圖2 D C y F E O A B x ∵，∴當時，. 而當點D與Q重合時，， ∴該該同學的說法不正確.…9分 （4）①四邊形不能為平行四邊形.……………10分 如圖2，若四邊形為平行四邊形,則EF=DF,CF=BF. ∵DE∥軸，∴,即OE=BE=2.5. 當=2.5時,,即； 當=2.5時, ,即. 圖3 D C y F E O A B ∴＞2.5. 即＞,這與EF=DF相矛盾， ∴四邊形不能為平行四邊形. ……………12分

14、 4、(2013年河北四摸) (本題9分)我市某鎮(zhèn)的一種特產(chǎn)由于運輸原因，長期只能在當?shù)劁N售．當?shù)卣畬υ撎禺a(chǎn)的銷售投資收益為：每投入x萬元，可獲得利潤（萬元）．當?shù)卣當M在“十二?五”規(guī)劃中加快開發(fā)該特產(chǎn)的銷售，其規(guī)劃方案為：在規(guī)劃前后對該項目每年最多可投入100萬元的銷售投資，在實施規(guī)劃5年的前兩年中，每年都從100萬元中撥出50萬元用于修建一條公路，兩年修成，通車前該特產(chǎn)只能在當?shù)劁N售；公路通車后的3年中，該特產(chǎn)既在本地銷售，也在外地銷售．在外地銷售的投資收益為：每投入x萬元，可獲利潤（萬元） ⑴若不進行開發(fā)，求5年所獲利潤的最大值是多少？ ⑵若按規(guī)劃實施，求5

15、年所獲利潤（扣除修路后）的最大值是多少？ ⑶根據(jù)⑴、⑵，該方案是否具有實施價值？ 解：⑴當x=60時，P最大且為41，故五年獲利最大值是41×5=205萬元． ⑵前兩年：0≤x≤50，此時因為P隨x增大而增大，所以x=50時，P值最大且為40萬元，所以這兩年獲利最大為40×2=80萬元． 后三年：設每年獲利為y，設當?shù)赝顿Y額為x,則外地投資額為100－x，所以y=P＋Q =+==，表明x=30時，y最大且為1065，那么三年獲利最大為1065×3=3495萬元， 故五年獲利最大值為80＋3495－50×2=3475萬元． ⑶有極大的實施價值． 5、(2013年河北四摸) (本題

16、12分) 已知,如圖11,二次函數(shù)圖象的頂點為,與軸交于
、
兩點(
在
點右側),點
、
關于直線:
對稱. (1)求
、
兩點坐標,并證明點
在直線上; (2)求二次函數(shù)解析式; (3)過點
作直線
∥
交直線于
點,
、
分別為直線
和直線上的兩個動點,連接
、
、
,求
和的最小值. 圖11 備用圖 解:(1)依題意,得

解得
,
∵
點在
點右側 ∴
點坐標為
,
點坐標為
∵直線:
當
時,
∴點
在直線上 (2)∵點
、
關于過
點的直線:
對稱 ∴
過

17、頂點
作
交
于
點 則
,
∴頂點
代入二次函數(shù)解析式,解得
∴二次函數(shù)解析式為
(3)直線
的解析式為
直線
的解析式為
由
解得
即
,則
∵點
、
關于直線
對稱 ∴
的最小值是
,
過點
作直線
的對稱點
,連接
,交直線
于
則
,
,
∴
的最小值是
,即
的長是
的最小值 ∵
∥
∴

18、由勾股定理得
∴
的最小值為 6、 (2013年河南西華縣王營中學一摸)（11分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（1，
），點B在x軸的負半軸上，且∠AB0=30°，拋物線經(jīng)過A，O，B三點． (1)求拋物線的解析式及對稱軸； (2)在拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△AOC的周長最?。咳舸嬖?，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由； (3)在x軸下方的拋物線上是否存在一點P，過點P作x軸的垂線，交直線AB于點D，線段OD把△AOB分成兩個三角形，使其中一個三角形面積與四邊形BPOD面積之比為2:3?若存在，求出點P的

19、坐標；若不存在，請說明理由．
解：(1)如圖，過點A作AF⊥x軸于點F， 在Rt△ABF中，．．．∠AB0=300，A的坐標為（1，
）， ∴OF=1,AF=
，BF =3．∴BO=BF－OF=2． B(－2,O). 設拋物線的解析式為y=ax(x+2)．將點A(l，
)代入，得

∴拋物線的解析式為
，對稱軸為直線x=－1 (2)存在點C 設拋物線的對稱軸x=－1交x軸于點E． ∵點B（一2，O）和點O(0,O)關于拋物線的對稱軸對稱，∴當點C位于對稱軸與線段AB的交點時，△AOC的周長最小．

7、（

20、2013年溫州一摸）在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y1=mx2-（2m+3）x+m+3與x軸交于點A、點 B(點A在點B的左側)，與y軸交于點C（其中m>0）。 （1）求：點A、點B的坐標（含m的式子表示）； （2）若OB=4·AO，點D是線段OC（不與點O、點C重合）上一動點，在線段OD的 右側作正方形ODEF,連接CE、BE，設線段OD=t，△CEB的面積為S，求S與t 的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍； 解： （1） A(1,0)、 （2）m=1(或解析式) 當0

21、

22、
與
之間的函數(shù)關系式．（圖②為備用圖） ②求
的最大值．
答案：28.（1）根據(jù)正方形的性質可知∠HAE=∠GCF，由于A、C運動的速度相同， 故AE=CF，易證△AEH≌△CFG，由平行線的判定定理可知HE∥GF， 所以，以E，F(xiàn)，G，H為頂點的四邊形是矩形． ∵正方形邊長為
， ∴AC=16．
∵AE=
，過B作BO⊥AC于O，則BO=8． ∴S2=4
（2分） ∵HE=
，EF=16﹣2
， ∴S1=
（16﹣2
）．（3

23、分） 當S1=S2時，
（16﹣2
）=4
． 解得
=0（舍去），x2=6． 9、(2013年上海市) A C B D E G N M （第21題圖） 某倉庫為了保持庫內(nèi)的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設施．該設施的下部ABCD是矩形，其中AB = 2米，BC = 1米，上部CDG是等邊三角形，固定點E為AB的中點．△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗（陰影部分均不通風），MN是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和AB平行的伸縮橫桿． （1）當MN與AB之間的距離為0.5米時，求△EMN的面積； （2）設MN與AB之間的距離為x米，△EMN的

24、面積為y（平方米），求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域； （3）請你探究△EMN的面積y（平方米）有無最大值，若有，請求出這個最大值；若沒有，請說明理由． 解：（1）當MN和AB之間的距離為0.5米時，MN位于DC下方，且△EMN中MN邊上的高為0.5米． ∴△EMN的面積
（平方米）．……………………………（2分） A C B D E G N M （第21題圖1） A C B D E G N M （第21題圖2） H F （2）（I）如圖1，當MN在矩形區(qū)域滑動時：

．…（2分） （II）如圖2

25、，當MN在三角形區(qū)域滑動：聯(lián)結EG，交CD于點F，交MN于點H，則F為CD中點，GF⊥CD，且
，∴
． ∵MN∥CD，∴
，∴
．…………………（1分） ∴

．………（2分） （3）（I）當MN在矩形區(qū)域滑動時：∵

，∴y的最大值是1．（1分） （II）當MN在三角形區(qū)域滑動時： ∵

， ∴當
時，y的最大值是
．………………………………（1分） ∵
，∴△EMN的面積有最大值
（平方米）．………（1分） 10、(2013·曲阜市實驗中學中考模擬)如圖1，在平面直角坐標系中，有一張矩形紙片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，點P是OA邊上的動點(與點

26、O、A不重合)．現(xiàn)將△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC邊上選取適當?shù)狞cE，將△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直線PD、PF重合． (1)設P(x，0)，E(0，y)，求y關于x的函數(shù)關系式，并求y的最大值； (2)如圖2，若翻折后點D落在BC邊上，求過點P、B、E的拋物線的函數(shù)關系式； (3)在(2)的情況下，在該拋物線上是否存在點Q，使△PEQ是以PE為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點Q的坐標． 圖1 圖2 解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，則∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠

27、ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA． ∴Rt△POE∽Rt△BPA．…………………………………………………………2分 ∴
．即
．∴y=
(0＜x＜4)． 且當x=2時，y有最大值
．…………………………………………………4分 (2)由已知，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)． 設過此三點的拋物線為y=ax2＋bx＋c，則
∴
………6分 y=
．…………………………………………………7分 (3)由(2)知∠EPB=90°，即點Q與點B重合時滿足條件． 直線PB為y=x－1，與y軸交于點(0，－1)．將PB向上平移2個單位則過點E(0，

28、1)， ∴該直線為y=x＋1. 由
得
∴Q(5，6)． 故該拋物線上存在兩點Q(4，3)、(5，6)滿足條件．…………………… 10分 11、（2013·溫州市中考模擬）如圖①，在邊長為8
cm正方形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩個動點，它們分別從點A，點C同時出發(fā)，沿對角線以1cm/s同速度運動，過E作EH垂直AC交的直角邊于H；過F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角邊于G，連接HG，EB．設HE，EF，F(xiàn)G，GH圍成的圖形面積為S1，AE，EB，BA圍成的圖形面積為S2（這里規(guī)定：線段的面積為0）．E到達C，F(xiàn)到達A停止．若E的運動時間為
s，解答下列問題： （1）當0＜

29、
＜8時，直接寫出以E，F(xiàn)，G，H為頂點的四邊形是什么四邊形，并求x為何值時，S1=S2． （2）①若
是S1與S2的和，求
與
之間的函數(shù)關系式．（圖②為備用圖） ②求
的最大值．
答案：（1）根據(jù)正方形的性質可知∠HAE=∠GCF，由于A、C運動的速度相同， 故AE=CF，易證△AEH≌△CFG，由平行線的判定定理可知HE∥GF， 所以，以E，F(xiàn)，G，H為頂點的四邊形是矩形． ∵正方形邊長為
， ∴AC=16．
∵AE=
，過B作

30、BO⊥AC于O，則BO=8． ∴S2=4
（2分） ∵HE=
，EF=16﹣2
， ∴S1=
（16﹣2
）．（3分） 當S1=S2時，
（16﹣2
）=4
． 解得
=0（舍去），x2=6． 12、（2013·湖州市中考模擬試卷8）我市某服裝廠主要做外貿(mào)服裝，由于技術改良，2011年全年每月的產(chǎn)量y（單位：萬件）與月份x之間可以用一次函數(shù)
表示，但由于“歐債危機”的影響，銷售受困，為了不使貨積壓，老板只能是降低利潤銷售，原來每件可賺10元，從1月開始每月每件降低0.5元。試求： （1）幾月份的單月利潤是108萬元？ （2）單月最大利潤是多少？是哪個月份？ 答案：每小題4分共

31、8分 (1)解：由題意得：（10－0.5x）(x+10)=108
答：2月份和8月份單月利潤都是108萬元。 （2）設利潤為w，則
答：5月份的單月利潤最大，最大利潤為112.5萬元. 13、（2013·湖州市中考模擬試卷10）某飲料經(jīng)營部每天的固定成本為200元，其銷售的飲料每瓶進價為5元.銷售單價與日平均銷售的關系如下： 銷售單價（元） 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 日平均銷售量（瓶） 480 460 440 420 400 380 360 （1）若記銷售單價比每瓶進價多
元，則銷售量為

32、 (用含
的代數(shù)式表示)； 求日均毛利潤（毛利潤=售價－進價－固定成本）
與
之間的函數(shù)關系式. （2）若要使日均毛利潤達到1400元，則銷售單價應定為多少元？ （3）若要使日均毛利潤達到最大，銷售單價應定為多少元？最大日均毛利潤為多少元？ 答案：解:（1）
2分 日均毛利潤
（
） （2）
時，即
得
滿足0﹤x﹤13 2分 此時銷售單價為10元或13元，日均毛利潤達到1400元. 2分 （3

33、）
2分 ∵
, ∴當
時,即銷售單價定為11.5元, 日均毛利潤達到最大值1490元. 2分 14、（2013吉林鎮(zhèn)賚縣一模）如圖，在梯形ABCD中，BC∥AD，∠A+∠D=90°，tanA=2，過點B作BH⊥AD于H，BC=BH=2，動點F從點D出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿DH運動到點H停止，在運動過程中，過點F作EF⊥AD交折線D C B于點E，將紙片沿直線EF折疊，點C、D的對應點分別是點C1、D1，設運動時間是
秒（
＞0）. （1）當點E和點C重合時，求運動時間
的值； （2）當
為何值時，△BCD1是等腰三角形； （3）在整個運動過程中，設△FED1或四邊形EFD1C1與梯形ABCD重疊部分的面積為S，求S與
的函數(shù)關系式.
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