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1、訓練21 數學思想在解題中的應用(一)
(時間：45分鐘 滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2012·北京東城模擬)已知向量a＝(3,2)，b＝(－6,1)，而(λa＋b)⊥(a－λb)，則實數λ等于
( )．
A．1或2 B．2或－
C．2 D．0
2．公差不為零的等差數列{an}的前n項和為Sn，若a4是a3與a7的等比中項，S8＝32，則S10等于
( )．
A．18 B．24 C．60 D．90
3．(2012·臨沂模擬)函數y＝的圖象大致是
( )．
4．已知集合A＝{(x，y)|x、y為實數，且x2＋y2＝1}
2、，B＝{(x，y)|x、y為實數，且x＋y＝1}，則A∩B的元素個數為
( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
5．若關于x的方程x2＋2kx－1＝0的兩根x1、x2滿足－1≤x1＜0＜x2＜2，則k的取值范圍是
( )．
A. B.
C. D.
二、填空題(每小題5分，共15分)
6．(2012·合肥模擬)AB是過橢圓b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)的中心弦，F(c,0)為它的右焦點，則△FAB面積的最大值是________．
7．長度都為2的向量，的夾角為，點C在以O為圓心的圓弧(劣弧)上，＝m＋n，則m＋n的最大值是________．
8
3、．(2012·廈門模擬)已知F是雙曲線－＝1的左焦點，定點A(1,4)，P是雙曲線右支上的動點，則|PF|＋|PA|的最小值為________．
三、解答題(本題共3小題，共35分)
9．(11分)(2012·天津)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)，點P在橢圓上．
(1)求橢圓的離心率；
(2)設A為橢圓的左頂點，O為坐標原點．若點Q在橢圓上且滿足|AQ|＝|AO|，求直線OQ的斜率的值．
10．(12分)已知函數f(x)＝x3＋ax2＋bx.
(1)若函數y＝f(x)在x＝2處有極值－6，求y＝f(x)的單調遞減區(qū)間；
(2)若y＝f(x)的導數f′(x)對x∈[－1,1]都有f′
4、(x)≤2，求的范圍．
11．(12分)已知函數f(x)＝ln(x＋1)－k(x－1)＋1.
(1)求函數f(x)的單調區(qū)間；
(2)若f(x)≤0恒成立，試確定實數k的取值范圍；
(3)證明：＋＋＋…＋＜(n∈N*且n＞1)．
參考答案
訓練21 數學思想在解題中的應用(一)
1．B [由(λa＋b)⊥(a－λb)得(λa＋b)·(a－λb)＝0，
∴(3λ－6,2λ＋1)·(3＋6λ，2－λ)＝0，
∴λ＝2或λ＝－，故選B.]
2．C [設數列{an}的公差為d.
則∴
解得：a1＝－3，d＝2，
∴S10＝10×(－3)＋×2＝60.]
3．A [易知函數y
5、＝是非奇非偶函數，由此可排除C，D項，對此A，B項，當x＞0時，x取值越大，y＝的波動幅度越小，由此排除B項，故選A.]
4．C [法一 由題得∴或
A∩B＝{(x，y)|(1,0)，(0,1)}，所以選C.
法二 直接作出單位圓x2＋y2＝1和直線x＋y＝1，觀察得兩曲線有兩個交點，故選C.]
5．B [構造函數f(x)＝x2＋2kx－1，∵關于x的方程x2＋2kx－1＝0的兩根x1、x2滿足－1≤x1＜0＜x2＜2，
∴即∴－＜k≤0.]
6．解析 如圖所示，F′為橢圓的左焦點，連接AF′，BF′，則四邊形AFBF′為平行四邊形，S△ABF＝S△ABF′＝·|FF′|·h≤bc
6、.當A與短軸端點重合時，(S△ABF)max＝bc.
答案 bc
7．解析 建立平面直角坐標系，設向量＝(2,0)，向量＝(1，)．設向量＝(2cos α，2sin α)，0≤α≤.由＝m＋n，得(2cos α，2sin α)＝(2m＋n，n)，
即2cos α＝2m＋n,2sin α＝n，解得m＝cos α－sin α，n＝sin α.
故m＋n＝cos α＋sin α＝sin≤.
答案
8．解析 設雙曲線的右焦點為E，則|PF|－|PE|＝4，|PF|＋|PA|＝4＋|PE|＋|PA|，當A、P、E共線時，(|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝＝5，|PF|＋|PA
7、|的最小值為9.
答案 9
9．解 (1)因為點P在橢圓上，故＋＝1，可得＝.
于是e2＝＝1－＝，所以橢圓的離心率e＝.
(2)設直線OQ的斜率為k，則其方程為y＝kx，設點Q的坐標為(x0，y0)．
由條件得消去y0并整理得x＝.①
由|AQ|＝|AO|，A(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x＝a2.整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0，而x0≠0，故x0＝，代入①，整理得(1＋k2)2＝4k2·＋4.
由(1)知＝，故(1＋k2)2＝k2＋4，
即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5.
所以直線OQ的斜率k＝±.
10．解 (1)f′(x)＝3x
8、2＋2ax＋b，
依題意有即
解得
∴f′(x)＝3x2－5x－2.由f′(x)＜0，得－＜x＜2.
∵y＝f(x)的單調遞減區(qū)間是.
(2)由得
不等式組確定的平面區(qū)域如圖陰影部分所示：
由得
∴Q點的坐標為(0，－1)．
設z＝，則z表示平面區(qū)域內的點(a，b)與點P(1,0)連線斜率．
∵kPQ＝1，由圖可知z≥1或z＜－2，
即∈(－∞，－2)∪[1，＋∞)．
11．解 (1)函數f(x)的定義域為(1，＋∞)，f′(x)＝－k.
當k≤0時，∵x－1＞0，∴＞0，f′(x)＞0.
則f(x)在(1，＋∞)上是增函數．
當k＞0時，令f′(x)＝0，即－k
9、＝0，得x＝1＋.
當x∈時，f′(x)＝－k＞－k＝0，
則f(x)在上是增函數．
當x∈時，f′(x)＝－k＜－k＝0，
∴f(x)在上是減函數．
綜上可知，當k≤0時，f(x)在(1，＋∞)上是增函數；
在上是減函數．
(2)由(1)知，當k≤0時，f(2)＝1－k＞0，不成立．
故只考慮k＞0的情況．
又由(1)知f(x)max＝f＝－ln k.
要使f(x)≤0恒成立，只要f(x)max≤0即可．
由－ln k≤0得k≥1.
(3)證明：由(2)知當k＝1時，有f(x)≤0在(1，＋∞)內恒成立，
又f(x)在[2，＋∞)內是減函數，f(2)＝0.
∴x∈(2，＋∞)時，恒有f(x)＜0成立，
即ln(x－1)＜x－2在(2，＋∞)內恒成立．
令x－1＝n2(n∈N*且n＞1)，則ln n2＜n2－1.
即2ln n＜(n－1)(n＋1)，
∴＜(n∈N*，且n＞1)．
∴＋＋＋…＋＜＋＋＋…＋＝，即＋＋＋…＋＜(n∈N*且n＞1)成立．
2013屆高三數學二輪復習專題能力提升訓練21 數學思想在解題中的應用（1） 理
