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1、5.1.2 關于穩(wěn)定性的一些提法,1、（李亞普諾夫）意義下的穩(wěn)定性 由上分析可知，對于定常性系統而言，系統由一定初態(tài)此起的響應隨著時間的推移只有三種：衰減到零；發(fā)散到無窮大；趨于等幅諧波振蕩。從而定義了系統是穩(wěn)定的；不穩(wěn)的；臨界穩(wěn)定的。 但對于非線性系統而言，這種響應隨著時間的推移不僅可能有上述三種情況，而且還可能趨于某一非零的常值或作非諧波的振蕩，同時還可能由初態(tài)不同，這種響應隨著時間推移的結果也不同。,俄國學者A.M.在統一考慮了線性與非線性系統穩(wěn)定性問題后，于1882年對系統穩(wěn)定性提出了嚴密的數學定義，這一定義可以表述如下 如圖5.1.4所示，若o為系統的平衡工作點，擾動使系統偏離此工
2、作點心起始偏差（即初態(tài)）不超過域 ，由擾動引起的輸出（這種初態(tài)引起的零輸入響應）及其終態(tài)不超過預先給定的某值，即不超出域 ，則系統稱為穩(wěn)定的，或稱為意義下穩(wěn)定。,,,這也就是說，若要求系統的輸出不能超出任意給定的正數，能在初態(tài)為 式中 則系統稱為在意義下穩(wěn)定；反之，若要求系統的輸出不能超出任意給定的正數 ，但卻不能找到不為零的正數 來滿足式(5.1.6)，則系統稱為在意義下不穩(wěn)定。,,(5.1.6),,,,2、漸近穩(wěn)定性 漸近穩(wěn)定性就是前面對線性系統定義的穩(wěn)定性，它要求由初態(tài)引起的響應最終衰減到零，一般所講的線性系統的穩(wěn)定性，也就是漸近穩(wěn)定性，當然，也是意義下的穩(wěn)定性；但對非線系統而言
3、，這兩種穩(wěn)定性是不同的。 比較漸近穩(wěn)定性與意義下的穩(wěn)定性可知，前者比后者對系統的穩(wěn)定性的要求高，系統若是漸近穩(wěn)定的則一定是意義下穩(wěn)定的，反之則不盡然。,3、“小偏差”穩(wěn)定性 “小偏差”穩(wěn)定性又稱“小穩(wěn)定”或“局部穩(wěn)定性”。 由于實際系統往往存在非線性，因此系統的動力學方程往往是建立在“小偏差”線性化的基礎之上的。在偏差較大時，線性化帶來的誤差太大，因此，用線性化方程來研究的穩(wěn)定性時，就只限于討論初始偏差（初態(tài)）不超出某一微小范圍時的穩(wěn)定性，稱之為“小偏差”穩(wěn)定性。初始偏差大時，就不能用來討論系統的穩(wěn)定性。,穩(wěn)定的基本概念和系統穩(wěn)定的充要條件,設一線性定常系統原處于某一平衡狀態(tài)，若它瞬間受到某一
4、擾動作用而偏離了原來的平衡狀態(tài)，當此擾動撤消后，系統仍能回到原有的平衡狀態(tài)，則稱該系統是穩(wěn)定的。反之，系統為不穩(wěn)定。,線形系統的穩(wěn)定性取決于系統的固有特征（結構、參數），與系統的輸入信號無關。,閉環(huán)特征方程式的根須都位于S的左半平面,,系統穩(wěn)定,充要條件,5.2勞斯穩(wěn)定判據(Rouths stability criterion),5.2.1勞斯表,線性系統穩(wěn)定,閉環(huán)特征方程式的根必須都位于S的左半平面。,,充要條件,,穩(wěn)定判據,令系統的閉環(huán)特征方程為,如果方程式的根都是負實部，或實部為負的復數根，則其特征方程式的各項系數均為正值，且無零系數。,證明,設,為實數根，,為復數根,不會有系數為零的項
5、,,線性系統穩(wěn)定,必要條件,將各項系數，按下面的格式排成老斯表,,,,,,,,,,,這樣可求得n+1行系數,,如果勞斯表中第一列的系數均為正值，則其特征方程式的根都在S的左半平面，相應的系統是穩(wěn)定的。,如果勞斯表中第一列系數的符號有變化，其變化的次數等于該特征方程式的根在S的右半平面上的個數，相應的系統為不穩(wěn)定。,勞斯穩(wěn)定判據,已知一調速系統的特征方程式為,例5-1,試用勞斯判據判別系統的穩(wěn)定性。,解：列勞斯表,結論： (1)該表第一列系數符號不全為正，因而系統是不穩(wěn)定的；(2) 且符號變化了兩次，所以該方程中有二個根在S的右半平面。,,,,,已知某調速系統的特征方程式為,例5-2,求該系統穩(wěn)
6、定的K值范圍。,解：列勞斯表,由勞斯判據可知，若系統穩(wěn)定，則勞斯表中第一列的系數必須全為正值。 可得：,,5.2.2 勞斯判據特殊情況,勞斯表某一行中的第一項等于零，而該行的其余各項不等于零或沒有其余項。,若勞斯表第一列中系數的符號有變化，其變化的次數就等于該方程在S右半平面上根的數目，相應的系統為不穩(wěn)定,如果第一列 上面的系數與下面的系數符號相同，則表示該方程中有一對共軛虛根存在，相應的系統也屬不穩(wěn)定,是以一個很小的正數,來代替為零的這項,1,解決的辦法,據此算出其余的各項，完成勞斯表的排列,請看例題,已知系統的特征方程式為,試判別相應系統的穩(wěn)定性。,例5-3,由于表中第一列,上面的符號與其
7、下面系數的符號相同，表示該方程中有一對共軛虛根存在，相應的系統為（臨界）不穩(wěn)定。,解：列勞斯表,勞斯表中出現全零行,用系數全為零行的上一行系數構造一個輔助多項式，并以這個輔助多項式導數的系數來代替表中系數為全零的行。完成勞斯表的排列。,,,,2,解決的辦法,這些大小相等、徑向位置相反的根可以通過求解這個輔助方程式得到，而且其根的數目總是偶數的。相應方程中含有一些大小相等符號相反的實根或共軛虛根。相應的系統為不穩(wěn)定,請看例題,例如，一個控制系統的特征方程為,列勞斯表,顯然這個系統處于臨界(不)穩(wěn)定狀態(tài)。,,,,,,5.2.3 勞斯判據的應用,實際系統希望S左半平面上的根距離虛軸有一定的距離。,為
8、變量的特征方程式，然后用勞斯判據去判別該方程中是否有根位于垂線,此法可以估計一個穩(wěn)定系統的各根中最靠近右側的根距離虛軸有多遠，從而了解系統穩(wěn)定的“程度”。,,代入原方程式中，得到以,,,穩(wěn)定判據能回答特征方程式的根在S平面上的分布情況，而不能確定根的具體數據。,1,2,解決的辦法,設,右側。,請看例題,5.2.3 勞斯判據的應用,用勞斯判據檢驗下列特征方程,是否有根在S的右半平面上，并檢驗有幾個根在垂線,的右方。,例5-4,,,,解：列勞斯表,第一列全為正，所有的根均位于左半平面，系統穩(wěn)定。,令,代入特征方程：,,式中有負號，顯然有根在,的右方。,列勞斯表,第一列的系數符號變化了一次，表示原方
9、程有一個根在垂直直線,的右方。,,,請看例題,已知一單位反饋控制系統如圖3-21所示，試回答,例5-5,,時，閉環(huán)系統是否穩(wěn)定？,圖3-21單位反饋控制系統方塊圖,,時，閉環(huán)系統的穩(wěn)定條件是什么？,,,,特征方程為,排勞斯表,第一列均為正值，S全部位于左半平面，故,時，閉環(huán)系統的,解：,系統穩(wěn)定,,,開環(huán)傳遞函數,閉環(huán)特征方程為,列勞斯表,,未完待續(xù),,,,,,,,,,利用勞斯穩(wěn)定判據可確定系統一個或兩個可調參數對系統穩(wěn)定性的影響。,欲使系統穩(wěn)定第一列的系數必須全為正值,,,,,,,,例題：P185 5.5 系統的傳遞函數方框圖如圖所示。試確定K和取何值時，系統將維持以角頻率 的持續(xù)振蕩。,,
10、解法：,由題意知 系統處于等幅振蕩狀態(tài)，這說明系統是臨界穩(wěn)定的，又振蕩頻率為2rad/s,即閉環(huán)系統必具有共軛虛根+-j2.,上述情況在與Routh計算表中出現S1行各元素均為零的現象對應，因為只有這樣才可能由S2行元素構成的輔助方程式解出一對共軛虛根。令此共軛虛根等于+-j2便可確定參數K和a的值。,勞斯表：,依據：,等幅振蕩狀態(tài)臨界穩(wěn)定有純虛根。 (1)P157最后一段話 (2)P164 第2點 (3)P165 5.2節(jié)最后一句話。,另解：將+-jW代入閉環(huán)特征方程式，得到關于實部和虛部的兩個方程。可求解出未知參數。 (簡便),補充題：,某系統閉環(huán)特征方程如下： 試判斷系統不在左半平面的極點數。,,勞斯表：,
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