《機(jī)械工程控制基礎(chǔ)》第五版配套PPT課件2Routh判據(jù).ppt

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1、5.1.2 關(guān)于穩(wěn)定性的一些提法,1、（李亞普諾夫）意義下的穩(wěn)定性 由上分析可知，對(duì)于定常性系統(tǒng)而言，系統(tǒng)由一定初態(tài)此起的響應(yīng)隨著時(shí)間的推移只有三種：衰減到零；發(fā)散到無(wú)窮大；趨于等幅諧波振蕩。從而定義了系統(tǒng)是穩(wěn)定的；不穩(wěn)的；臨界穩(wěn)定的。 但對(duì)于非線性系統(tǒng)而言，這種響應(yīng)隨著時(shí)間的推移不僅可能有上述三種情況，而且還可能趨于某一非零的常值或作非諧波的振蕩，同時(shí)還可能由初態(tài)不同，這種響應(yīng)隨著時(shí)間推移的結(jié)果也不同。,俄國(guó)學(xué)者A.M.在統(tǒng)一考慮了線性與非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題后，于1882年對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性提出了嚴(yán)密的數(shù)學(xué)定義，這一定義可以表述如下 如圖5.1.4所示，若o為系統(tǒng)的平衡工作點(diǎn)，擾動(dòng)使系統(tǒng)偏離此工

2、作點(diǎn)心起始偏差（即初態(tài)）不超過(guò)域 ，由擾動(dòng)引起的輸出（這種初態(tài)引起的零輸入響應(yīng)）及其終態(tài)不超過(guò)預(yù)先給定的某值，即不超出域 ，則系統(tǒng)稱(chēng)為穩(wěn)定的，或稱(chēng)為意義下穩(wěn)定。,,,這也就是說(shuō)，若要求系統(tǒng)的輸出不能超出任意給定的正數(shù)，能在初態(tài)為 式中 則系統(tǒng)稱(chēng)為在意義下穩(wěn)定；反之，若要求系統(tǒng)的輸出不能超出任意給定的正數(shù) ，但卻不能找到不為零的正數(shù) 來(lái)滿足式(5.1.6)，則系統(tǒng)稱(chēng)為在意義下不穩(wěn)定。,,(5.1.6),,,,2、漸近穩(wěn)定性 漸近穩(wěn)定性就是前面對(duì)線性系統(tǒng)定義的穩(wěn)定性，它要求由初態(tài)引起的響應(yīng)最終衰減到零，一般所講的線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也就是漸近穩(wěn)定性，當(dāng)然，也是意義下的穩(wěn)定性；但對(duì)非線系統(tǒng)而言

3、，這兩種穩(wěn)定性是不同的。 比較漸近穩(wěn)定性與意義下的穩(wěn)定性可知，前者比后者對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的要求高，系統(tǒng)若是漸近穩(wěn)定的則一定是意義下穩(wěn)定的，反之則不盡然。,3、“小偏差”穩(wěn)定性 “小偏差”穩(wěn)定性又稱(chēng)“小穩(wěn)定”或“局部穩(wěn)定性”。 由于實(shí)際系統(tǒng)往往存在非線性，因此系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程往往是建立在“小偏差”線性化的基礎(chǔ)之上的。在偏差較大時(shí)，線性化帶來(lái)的誤差太大，因此，用線性化方程來(lái)研究的穩(wěn)定性時(shí)，就只限于討論初始偏差（初態(tài)）不超出某一微小范圍時(shí)的穩(wěn)定性，稱(chēng)之為“小偏差”穩(wěn)定性。初始偏差大時(shí)，就不能用來(lái)討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,穩(wěn)定的基本概念和系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件,設(shè)一線性定常系統(tǒng)原處于某一平衡狀態(tài)，若它瞬間受到某一

4、擾動(dòng)作用而偏離了原來(lái)的平衡狀態(tài)，當(dāng)此擾動(dòng)撤消后，系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài)，則稱(chēng)該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，系統(tǒng)為不穩(wěn)定。,線形系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的固有特征（結(jié)構(gòu)、參數(shù)），與系統(tǒng)的輸入信號(hào)無(wú)關(guān)。,閉環(huán)特征方程式的根須都位于S的左半平面,,系統(tǒng)穩(wěn)定,充要條件,5.2勞斯穩(wěn)定判據(jù)(Rouths stability criterion),5.2.1勞斯表,線性系統(tǒng)穩(wěn)定,閉環(huán)特征方程式的根必須都位于S的左半平面。,,充要條件,,穩(wěn)定判據(jù),令系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為,如果方程式的根都是負(fù)實(shí)部，或?qū)嵅繛樨?fù)的復(fù)數(shù)根，則其特征方程式的各項(xiàng)系數(shù)均為正值，且無(wú)零系數(shù)。,證明,設(shè),為實(shí)數(shù)根，,為復(fù)數(shù)根,不會(huì)有系數(shù)為零的項(xiàng)

5、,,線性系統(tǒng)穩(wěn)定,必要條件,將各項(xiàng)系數(shù)，按下面的格式排成老斯表,,,,,,,,,,,這樣可求得n+1行系數(shù),,如果勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值，則其特征方程式的根都在S的左半平面，相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,如果勞斯表中第一列系數(shù)的符號(hào)有變化，其變化的次數(shù)等于該特征方程式的根在S的右半平面上的個(gè)數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。,勞斯穩(wěn)定判據(jù),已知一調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為,例5-1,試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：列勞斯表,結(jié)論： (1)該表第一列系數(shù)符號(hào)不全為正，因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；(2) 且符號(hào)變化了兩次，所以該方程中有二個(gè)根在S的右半平面。,,,,,已知某調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為,例5-2,求該系統(tǒng)穩(wěn)

6、定的K值范圍。,解：列勞斯表,由勞斯判據(jù)可知，若系統(tǒng)穩(wěn)定，則勞斯表中第一列的系數(shù)必須全為正值。 可得：,,5.2.2 勞斯判據(jù)特殊情況,勞斯表某一行中的第一項(xiàng)等于零，而該行的其余各項(xiàng)不等于零或沒(méi)有其余項(xiàng)。,若勞斯表第一列中系數(shù)的符號(hào)有變化，其變化的次數(shù)就等于該方程在S右半平面上根的數(shù)目，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定,如果第一列 上面的系數(shù)與下面的系數(shù)符號(hào)相同，則表示該方程中有一對(duì)共軛虛根存在，相應(yīng)的系統(tǒng)也屬不穩(wěn)定,是以一個(gè)很小的正數(shù),來(lái)代替為零的這項(xiàng),1,解決的辦法,據(jù)此算出其余的各項(xiàng)，完成勞斯表的排列,請(qǐng)看例題,已知系統(tǒng)的特征方程式為,試判別相應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,例5-3,由于表中第一列,上面的符號(hào)與其

7、下面系數(shù)的符號(hào)相同，表示該方程中有一對(duì)共軛虛根存在，相應(yīng)的系統(tǒng)為（臨界）不穩(wěn)定。,解：列勞斯表,勞斯表中出現(xiàn)全零行,用系數(shù)全為零行的上一行系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助多項(xiàng)式，并以這個(gè)輔助多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的系數(shù)來(lái)代替表中系數(shù)為全零的行。完成勞斯表的排列。,,,,2,解決的辦法,這些大小相等、徑向位置相反的根可以通過(guò)求解這個(gè)輔助方程式得到，而且其根的數(shù)目總是偶數(shù)的。相應(yīng)方程中含有一些大小相等符號(hào)相反的實(shí)根或共軛虛根。相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定,請(qǐng)看例題,例如，一個(gè)控制系統(tǒng)的特征方程為,列勞斯表,顯然這個(gè)系統(tǒng)處于臨界(不)穩(wěn)定狀態(tài)。,,,,,,5.2.3 勞斯判據(jù)的應(yīng)用,實(shí)際系統(tǒng)希望S左半平面上的根距離虛軸有一定的距離。,為

8、變量的特征方程式，然后用勞斯判據(jù)去判別該方程中是否有根位于垂線,此法可以估計(jì)一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)的各根中最靠近右側(cè)的根距離虛軸有多遠(yuǎn)，從而了解系統(tǒng)穩(wěn)定的“程度”。,,代入原方程式中，得到以,,,穩(wěn)定判據(jù)能回答特征方程式的根在S平面上的分布情況，而不能確定根的具體數(shù)據(jù)。,1,2,解決的辦法,設(shè),右側(cè)。,請(qǐng)看例題,5.2.3 勞斯判據(jù)的應(yīng)用,用勞斯判據(jù)檢驗(yàn)下列特征方程,是否有根在S的右半平面上，并檢驗(yàn)有幾個(gè)根在垂線,的右方。,例5-4,,,,解：列勞斯表,第一列全為正，所有的根均位于左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。,令,代入特征方程：,,式中有負(fù)號(hào)，顯然有根在,的右方。,列勞斯表,第一列的系數(shù)符號(hào)變化了一次，表示原方

9、程有一個(gè)根在垂直直線,的右方。,,,請(qǐng)看例題,已知一單位反饋控制系統(tǒng)如圖3-21所示，試回答,例5-5,,時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定？,圖3-21單位反饋控制系統(tǒng)方塊圖,,時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定條件是什么？,,,,特征方程為,排勞斯表,第一列均為正值，S全部位于左半平面，故,時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的,解：,系統(tǒng)穩(wěn)定,,,開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),閉環(huán)特征方程為,列勞斯表,,未完待續(xù),,,,,,,,,,利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)可確定系統(tǒng)一個(gè)或兩個(gè)可調(diào)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。,欲使系統(tǒng)穩(wěn)定第一列的系數(shù)必須全為正值,,,,,,,,例題：P185 5.5 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖如圖所示。試確定K和取何值時(shí)，系統(tǒng)將維持以角頻率 的持續(xù)振蕩。,,

10、解法：,由題意知 系統(tǒng)處于等幅振蕩狀態(tài)，這說(shuō)明系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，又振蕩頻率為2rad/s,即閉環(huán)系統(tǒng)必具有共軛虛根+-j2.,上述情況在與Routh計(jì)算表中出現(xiàn)S1行各元素均為零的現(xiàn)象對(duì)應(yīng)，因?yàn)橹挥羞@樣才可能由S2行元素構(gòu)成的輔助方程式解出一對(duì)共軛虛根。令此共軛虛根等于+-j2便可確定參數(shù)K和a的值。,勞斯表：,依據(jù)：,等幅振蕩狀態(tài)臨界穩(wěn)定有純虛根。 (1)P157最后一段話 (2)P164 第2點(diǎn) (3)P165 5.2節(jié)最后一句話。,另解：將+-jW代入閉環(huán)特征方程式，得到關(guān)于實(shí)部和虛部的兩個(gè)方程?？汕蠼獬鑫粗獏?shù)。 (簡(jiǎn)便),補(bǔ)充題：,某系統(tǒng)閉環(huán)特征方程如下： 試判斷系統(tǒng)不在左半平面的極點(diǎn)數(shù)。,,勞斯表：,