第三章冪級(jí)數(shù)展開(kāi)

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1、第三章 冪級(jí)數(shù)展開(kāi) 3.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)的級(jí)數(shù) 一． 復(fù)數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)可表示為： （1） 其中： 前n項(xiàng)和為： = 當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)：級(jí)數(shù)： 故 一個(gè)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)可分解為實(shí)部項(xiàng)級(jí)數(shù)可虛部項(xiàng)級(jí)數(shù)兩個(gè)級(jí)數(shù)的組合 收斂問(wèn)題是線性討論級(jí)數(shù)的一個(gè)重要方面，而復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題可以歸結(jié)為兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（實(shí)部和虛部）的收斂 1. 柯西收斂判據(jù)： 一個(gè)級(jí)數(shù)還可寫(xiě)為： （4） 其中是錢(qián)n項(xiàng)和 為余項(xiàng) 判據(jù)：任何一個(gè)小正數(shù) 若能找到一個(gè)N使得n>N時(shí)則稱收斂，其中p為任意整數(shù) 2. 絕

2、對(duì)收斂 若是收斂的，則絕對(duì)收斂 兩個(gè)斂的級(jí)數(shù)相乘后所得的級(jí)數(shù)耶是絕對(duì)收斂的，其和等于相乘級(jí)數(shù)和的乘積 二．復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)（復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)） 1．函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一般表示為： （5） 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題得涉及到z的取值域，若z在B上取值是（5）收斂，則稱 在B上收斂。B稱為的收斂域 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)也可表示為： （6） 2. 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂 如在B上，對(duì)于個(gè)點(diǎn) 任意給，若存在N使得n>N時(shí)有則稱級(jí)數(shù)在B上一致收斂 3.收斂級(jí)數(shù)性質(zhì) （1）在B上一致收

3、斂的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都是B上的連續(xù)函數(shù) （2）在B上一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都可積分逐項(xiàng)積分 (3) 若有，而是收斂的，則絕對(duì)且一致收斂 3.2 冪級(jí)數(shù) 最典型也最常見(jiàn)的級(jí)數(shù)——即級(jí)數(shù)的各項(xiàng)都是冪函數(shù) (1) 其中、、、 都是復(fù)常數(shù)，這一的級(jí)數(shù)叫做以為中心展開(kāi)的冪級(jí)數(shù) 一.級(jí)數(shù)收斂判別法 1. 比值判別法（達(dá)朗貝爾判別法）： 若： （3） 則（2）正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，亦即級(jí)數(shù)（1）絕對(duì)收斂 2. 根值判別法 若： （4） 則級(jí)

4、數(shù)（2）收斂，亦即級(jí)數(shù)（1）絕對(duì)收斂 3. 收斂域和收斂半徑 函數(shù)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題（從根本上）具體要涉及的是收斂u的問(wèn)題即，z在什么樣的范圍內(nèi)取值級(jí)數(shù)是收斂的，收斂判別法本身給出了z的取值范圍： 由判別法“1”： (5) 則 （6） 為級(jí)數(shù)（1）的收斂半徑 只要滿足 的所有點(diǎn)其級(jí)數(shù)（1）都收斂 則以 為中心R為半徑的區(qū)域是（1）的收斂區(qū)域，對(duì)應(yīng)圓稱（1）的收斂圓。

5、 由判別法“2”： 收斂圓： （7） 即有 （8） 這樣我們就有了兩種求收斂圓的方法 以上的收斂判別是從絕對(duì)收斂的角度考慮討論，因此得到的收斂域比“全收斂域”要小，記載收斂域外仍有收斂的可能性。 另外，由于（5）、（7）式是絕對(duì)不等號(hào)，故收斂的邊界上夠絕對(duì)收斂域，可作半徑為 的圓，使 （稍小于） 則稱 對(duì)應(yīng)圓的“收斂?jī)?nèi)圓” 級(jí)數(shù)在收斂?jī)?nèi)圓上是“一致收斂” 例1， 求級(jí)數(shù) 的收斂圓及在

6、收斂域內(nèi)的收斂性 解：利用此值判別法： 在域內(nèi)： 公比為t 推論：關(guān)于交錯(cuò)級(jí)數(shù)： 收斂半徑R=1 公比為-t 域內(nèi)： 例2 設(shè)： 其逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)求積的收斂半徑不變 解： 收斂半徑： 例3 求的收斂半徑 解：第k項(xiàng)小數(shù)： （） 解法1： 解法2：根值法 例4 已知和 的收斂半徑分別是和 求 和 的收斂半徑 解：（1）

7、 為兩個(gè)級(jí)數(shù)之和，由于兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)的和也收斂，收斂域顯然要取其中較小的一個(gè)： （1） 令 3.3 泰勒級(jí)數(shù)的展開(kāi) 冪級(jí)數(shù)的和在其收斂圓的內(nèi)部為解出函數(shù) 例： 反之：一個(gè)解析函數(shù)在其域內(nèi)可寫(xiě)為冪（泰勒）級(jí)數(shù) 定理：設(shè)在以為圓心的圓域內(nèi)解析則對(duì)圓內(nèi)任一點(diǎn)z , 可寫(xiě)為冪（泰勒）級(jí)數(shù)： （1） 其中 （2） 其中 是的內(nèi)圓 證明從略 結(jié)合（1）、（2）兩式，函數(shù)的泰勒展開(kāi)式（泰勒級(jí)數(shù)）

8、可寫(xiě)為： （3） 可以證明（略）由泰勒展開(kāi)得到級(jí)數(shù)具有唯一性 例1.將 在 附近展開(kāi)為冪級(jí)數(shù) 解： 由（3）得： 例2. 將和在的附近展開(kāi) 解： 可見(jiàn)每4階導(dǎo)數(shù)完成一個(gè)循環(huán)： 當(dāng)時(shí)： 級(jí)數(shù)只存在奇數(shù)項(xiàng)（偶數(shù)項(xiàng)為零） 且：

9、 （2）. 當(dāng) 時(shí)： 所以級(jí)數(shù)只存在偶數(shù)項(xiàng)而奇數(shù)項(xiàng)為零： 回顧：定義的,顯然：將的奇數(shù)項(xiàng)都消去， 而只留下了偶數(shù)項(xiàng) （消去偶數(shù)項(xiàng)，留奇數(shù)項(xiàng)） 例4. 求以上、、在展開(kāi)的級(jí)數(shù)的收斂域 解：

10、 （2） 此值判別： 即： （2） 同理： 復(fù)習(xí)：利用函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)的唯一性質(zhì)，很多級(jí)數(shù)不用直接一年泰勒展開(kāi)式做 例5. 的展開(kāi) 解：令 例6. 求 解：令 例7. 求 ， 例8 求和在處的展開(kāi) 解：是的原函數(shù)

11、 （級(jí)數(shù)經(jīng)求導(dǎo)和求和后，收斂圓不變） 3.4 解析延拓 將一個(gè)在一定區(qū)域b上解析的函數(shù) 延拓到；一個(gè)更大的區(qū)域B上，此時(shí)在B上可以找到 另一個(gè)函數(shù)，使得在b域上有 這就稱為解析的延拓 例： 在整個(gè)復(fù)平面解析 但 Z在處不解析 若定義： （利用 ，并非隨便找個(gè)函數(shù)來(lái)拼湊） 顯然在全復(fù)平面解析，可視為的延拓（延拓至） 3.5裸朗級(jí)數(shù)展開(kāi) 泰勒展開(kāi)是將函數(shù)在解析域的展開(kāi)，若在不解析域中（有奇點(diǎn)）時(shí)，就不能再將函數(shù)展為泰勒級(jí)數(shù)了 在有奇點(diǎn)時(shí)，需要考慮在挖去奇點(diǎn)的環(huán)域上展開(kāi)。（通常以奇點(diǎn)的心），此即為級(jí)數(shù)洛朗的展開(kāi)。 ?

12、一 雙邊冪級(jí)數(shù) 以前（1） 稱雙邊（向右）級(jí)數(shù) 若有： （2） 稱單邊（向左）級(jí)數(shù) 而： （3） 稱為雙邊級(jí)數(shù) 雙邊數(shù)的收斂域一般作一下判斷： 右單邊： 左單邊：可設(shè) 則左單邊級(jí)數(shù)： 設(shè)（4）的收斂半徑為 亦即（3左邊的收斂域） 合起來(lái)有： （5）稱為（3）的收斂域（一般奇點(diǎn)被圍在半徑環(huán)內(nèi)） 二 洛朗展開(kāi) 定理：設(shè)在環(huán)形區(qū)域的內(nèi)部單值解析，則對(duì)環(huán)域上任一點(diǎn)z , 可為冪級(jí)數(shù) 即： (6) 其中： (7) 積分路徑c 為環(huán)內(nèi)的逆時(shí)針?lè)较驁A（閉合） 定理的解讀： 域

13、： 環(huán)意味著環(huán)域上是而可能是奇點(diǎn) （6）式的展開(kāi)稱為洛朗展開(kāi)，洛朗展開(kāi)的意義是在挖去奇點(diǎn)的環(huán)心附近的展開(kāi)（與泰勒展開(kāi)不同） 正因?yàn)榭赡苁瞧纥c(diǎn), 在的導(dǎo)數(shù)一定不存在，所以 不滿足柯西公式 當(dāng)是解析點(diǎn)時(shí)且無(wú)別的奇點(diǎn) 此時(shí)羅朗級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù) 對(duì)應(yīng)收斂域 一般 小結(jié)以上思路 也可證明，羅朗級(jí)數(shù)的展開(kāi)也是唯一的 根據(jù)這一點(diǎn)在實(shí)際應(yīng)用中，很少直接由（6）、（7）展開(kāi)級(jí)數(shù)。常常利用已知級(jí)數(shù)作展開(kāi) 例1. 在的鄰域上把展開(kāi) 解： 例2 在的環(huán)域上將展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù) 解： 分析：展開(kāi)中心：O點(diǎn) 函數(shù)

14、的奇點(diǎn)： 且奇點(diǎn)在上 （在附近的導(dǎo)數(shù)存在點(diǎn)解析，然而若延C積分，時(shí)積分不存在，故不能展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)） 可對(duì)Z做變形 顯然 利用展開(kāi)式 比較以上兩例 例2中 在（展開(kāi)中心）處是解析的（奇點(diǎn)在處） 例1中， 在（展開(kāi)中心）是奇點(diǎn) 例3 在對(duì)于 若展開(kāi)中心為（某一奇點(diǎn)處），求其冪級(jí)數(shù) 解：由于要展為關(guān)于（z-1）的冪級(jí)數(shù) 于是理法解析 令 解得： 其中，第一項(xiàng)已經(jīng)是關(guān)于的冪函數(shù)，處理第二項(xiàng)： （2） 因?yàn)槭堑募狞c(diǎn)，若以為中心展開(kāi)，則在環(huán)域上是解析的 又

15、對(duì)于（2）式在時(shí)可將其展開(kāi)為級(jí)數(shù)： （2）中令 所以（2）式可展開(kāi)為： （1）式為： 這是一個(gè)典型的雙邊級(jí)數(shù) 例4. 在附近的展開(kāi) 略 （利用） 習(xí)題：（1）、（2）、（3） 提示： 奇點(diǎn)： 圖示本身就是， 問(wèn)題： 講義：34頁(yè)附 例：對(duì)于 （1） 其中： （2） 對(duì)于 有 利用已形成： （3） 代回（2）式

16、： （4） 代回（1）得： （5） 于是有 利用 故可求出 的開(kāi) 3.6孤立奇點(diǎn)的分類(lèi) — 孤立奇點(diǎn)： 設(shè)是的一個(gè)奇點(diǎn)， 若在的任意小鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)（除點(diǎn)） 則稱是孤立奇點(diǎn) 若總可找到一個(gè)的鄰域（無(wú)論多?。┦共豢蓪?dǎo)，則是的孤立奇點(diǎn)，以下我大多討論孤立奇點(diǎn) 二 孤立奇點(diǎn)的分類(lèi) 洛朗級(jí)數(shù)一般是雙邊級(jí)數(shù)，右單邊的正冪部分稱解析部分，而左單邊的

17、負(fù)冪部分稱主要部分（或無(wú)限部分） 通過(guò)以上例題，我們想到挖去奇點(diǎn)而形成的環(huán)形區(qū)域的解析函數(shù)的洛朗形式可分三種情況： （1） 沒(méi)有負(fù)冪項(xiàng)，只有解析部分 （2） 只有有限的冪項(xiàng)和解析 （3） 完整的雙邊級(jí)數(shù)（主要是解析或只有主要部分） 我們把對(duì)應(yīng)上述三種情況的奇點(diǎn)分別叫做（1）可去奇點(diǎn) （2）極點(diǎn) （3）本性奇點(diǎn)。 1 對(duì)于可去奇點(diǎn)的洛朗級(jí)數(shù)： （是一定值，有限） 此時(shí)，我們可以定義： 對(duì)于來(lái)說(shuō)，在全集平面上（復(fù)空間）解析，不再是奇點(diǎn) ，故稱是可去奇點(diǎn)（級(jí)數(shù) 即是的洛朗級(jí)數(shù)，又是的泰勒級(jí)數(shù)）好像對(duì)是不是奇點(diǎn)都我所謂。 故以后可將可去奇點(diǎn)作非奇點(diǎn)處理。 2 對(duì)于（2）情況——極點(diǎn)情況 設(shè)m是主要部分的最大項(xiàng)，則m 稱作極點(diǎn)的階。 m=1的極點(diǎn)叫一階極點(diǎn)，又稱單極點(diǎn) 一般地， 發(fā)散 且： 收斂 3 本性極點(diǎn)情況 的極限隨的方式會(huì)有不同，參P62頁(yè) 無(wú)極限