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1、第18講相似三角形 考 點 一 考 點 二 考 點 三考點一比例線段及比例的性質(zhì)1.定 義在四條線段中,如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比,那么這四條線段叫作成比例線段,簡稱比例線段.2.比 例 的 基 本 性 質(zhì) 考 點 一 考 點 二 考 點 三3.平 行 線 分 線 段 成 比 例(1)兩條直線被一組平行線所截,如果在其中一條直線上截得的線段相等,那么在另一條直線上截得的線段也相等.(2)基本事實:兩條直線被一組平行線所截,所得的對應(yīng)線段成比例.如圖(1),直線a b c,則 考 點 一 考 點 二 考 點 三(3)平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線),所得的對應(yīng)線段
2、成比例.如圖(2),在ABC中,DE BC,則4.黃 金 分 割 考 點 一 考 點 二 考 點 三考點二相似三角形(高頻)1.相 似 三 角 形 的 性 質(zhì) 及 判 定 考 點 一 考 點 二 考 點 三2.三 角 形 相 似 的 判 定 思 路 和 幾 種 常 見 的 圖 形 考 點 一 考 點 二 考 點 三 考 點 一 考 點 二 考 點 三考點三相似多邊形及其性質(zhì)1.定 義對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比.2.性 質(zhì)(1)相似多邊形的對應(yīng)邊成比例;(2)相似多邊形的對應(yīng)角相等;(3)相似多邊形的周長比等于相似比,相似多邊形的面積比等于
3、相似比的平方. 命 題 點命 題 點相 似 三 角 形 的 判 定 與 性 質(zhì)1.(2016安徽,8,4分)如圖,ABC中,AD是中線,BC=8, B= DAC,則線段AC的長為( B )解 析 由 B= DAC,又找到公共角 C,得出CADCBA, 命 題 點2.(2013安徽,13,5分)如圖,P為平行四邊形ABCD邊AD上一點,E,F分別為PB,PC的中點,PEF,PDC,PAB的面積分別為S,S1,S2,若S=2,則S1+S2=8. 命 題 點解 析 過P作PQ DC交BC于點Q,由DC AB,得到PQ AB,四邊形PQCD與四邊形APQB都為平行四邊形,PDCCQP,ABPQPB,
4、SPDC=SCQP,SABP=SQPB, EF為PCB的中位線, EF BC,EF= BC,PEFPBC,且相似比為1 2, S PEF SPBC=1 4, SPEF=2, SPBC=SCQP+SQPB=SPDC+SABP=S1+S2=8. 命 題 點3.(2015安徽,23,14分)如圖1,在四邊形ABCD中,點E,F分別是AB,CD的中點,過點E作AB的垂線,過點F作CD的垂線,兩垂線交于點G,連接AG,BG,CG,DG,且 AGD= BGC.(1)求證:AD=BC;(2)求證:AGDEGF;(3)如圖2,若AD,BC所在直線互相垂直,求 的值. 命 題 點(1)證 明 GF是CD的垂直平
5、分線, GD=GC.同理GA=GB.在AGD和BGC中, GA=GB, AGD= BGC,GD=GC,AGDBGC, AD=BC. 4分(2)證 明 AGD= BGC, AGB= DGC. AG=BG,DG=CG,且E,F分別為AB,CD的中點, 命 題 點(3)解 如圖,延長AD交BC的延長線于點M, AD,BC所在的直線互相垂直, DAB+ ABC=90,即 DAB+ ABG+ GBC=90.AGDBGC, GAD= GBC, DAB+ ABG+ GAD=90,即 GAB+ GBA=90.又 GAB= GBA, GAB=45. 考 法 1 考 法 2 考 法 3考法1比例線段及比例的性質(zhì)例
6、 1(2017黑龍江哈爾濱)如圖,在ABC中,D,E分別為AB,AC邊上的點,DE BC,點F為BC邊上一點,連接AF交DE于點G,則下列結(jié)論中一定正確的是() 考 法 1 考 法 2 考 法 3答 案 :C 解 析 : DE BC,ADEABC. 方 法 總 結(jié)應(yīng)用平行線分線段成比例定理時要注意“對應(yīng)”一詞的含義,為減少錯誤,應(yīng)用時可把在同一條直線上被截得的兩條線段安排在一個比例式中. 考 法 1 考 法 2 考 法 3對 應(yīng) 練 1(2018四川樂山)如圖,DE FG BC,若DB=4FB,則EG與GC的關(guān)系是( B)A.EG=4GCB.EG=3GCC.EG= GCD.EG=2GC EC=
7、4CG. EG=3GC,故選B. 考 法 1 考 法 2 考 法 3對 應(yīng) 練 2(2017黑龍江大慶)如圖,AD BC,AD AB,點A,B在y軸上,CD與x軸交于點E(2,0),且AD=DE,BC=2CE,則BD與x軸交點F的橫坐標為( A) 考 法 1 考 法 2 考 法 3解 析 :設(shè)AD=DE=a,BC=2CE=2b, 考 法 1 考 法 2 考 法 3對 應(yīng) 練 3(2018廣西梧州)如圖,AG GD=4 1,BD DC=2 3,則AE EC的值是( D)A.3 2 B.4 3 C.6 5 D.8 5 考 法 1 考 法 2 考 法 3解 析 :過點D作DF CA交BE于F,如圖.
8、 考 法 1 考 法 2 考 法 3考法2相似三角形的判定與性質(zhì)例 2(2017浙江杭州)如圖,在銳角三角形ABC中,點D,E分別在邊AC,AB上,AG BC于點G,AF DE于點F, EAF= GAC.(1)求證:ADEABC;(2)若AD=3,AB=5,求 的值.分 析 :(1)先根據(jù)AF DE,AG BC,進一步推出 AEF= C,利用兩角對應(yīng)相等,兩三角形相似,得出ADEABC;(2)由ADEABC可得出 ADE= B,從而AFDAGB,利用相 似三角形對應(yīng)邊成比例求得 的值. 考 法 1 考 法 2 考 法 3(1)證 明 : AF DE于點F,AG BC于點G, AFE=90, A
9、GC=90. AEF=90- EAF, C=90- GAC,又 EAF= GAC, AEF= C.又 DAE= BAC,ADEABC.(2)解 : ADEABC, ADE= B.又 AFD= AGB=90,AFDAGB. 考 法 1 考 法 2 考 法 3方 法 總 結(jié)利用相似三角形證明等積線段的基本思路:先把等積線段轉(zhuǎn)化為比例線段,再找出與比例線段中的線段有關(guān)的兩個三角形,然后再證明這兩個三角形相似,利用“相似三角形對應(yīng)邊成比例”即可推出結(jié)論.在此,尋找并證明兩個三角形相似是解題的關(guān)鍵,尋找相似三角形的基本方法是“三點定形法”,即由有關(guān)線段的三個不同的端點來確定三角形的方法.具體做法是:先看
10、比例式前項和后項所代表的兩條線段的三個不同的端點能否分別確定一個三角形,若能,則只要證明這兩個三角形相似就可以了,這叫做“橫定”;若不能,再看每個比的前后兩項的兩條線段的三個不同的端點能否分別確定一個三角形,若能,則只 要證明這兩個三角形相似就可以了,這叫做“豎定”. 考 法 1 考 法 2 考 法 3對 應(yīng) 練 4(2018廣西貴港)如圖,在ABC中,EF BC,AB=3AE,若S四邊形BCFE=16,則SABC=( B)A.16 B.18C.20 D.24解 析 :設(shè)AEF的面積為S,則ABC的面積為16+S,由于在ABC中, 所以SABC=16+2=18,故選B. 考 法 1 考 法 2
11、 考 法 3對 應(yīng) 練 5(2018湖南邵陽)如圖所示,點E是平行四邊形ABCD的邊BC延長線上一點,連接AE,交CD于點F,連接BF.寫出圖中任意一對相似三角形:ADFECF或EBAECF或ADFEBA(任意寫一對即可).解 析 :因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以AD BC,所以ADFECF;因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以AB CD,所以EBAECF;因為ADFECFEBA,所以ADFEBA. 考 法 1 考 法 2 考 法 3證 明 : (1) AB=AC, B= C. DEF+ CEF= B+ BDE, DEF= B, CEF= BDE.BDECEF. C= DEF,EDFCE
12、F. CFE= EFD,即FE平分 DFC.對 應(yīng) 練 6(2017江蘇宿遷)如圖,在ABC中,AB=AC,點E在邊BC上移動(點E不與點B,C重合),滿足 DEF= B,且點D,F分別在邊AB、AC上.(1)求證:BDECEF;(2)當點E移動到BC的中點時,求證:FE平分 DFC. 考 法 1 考 法 2 考 法 3考法3相似多邊形及其性質(zhì)例 3(2016重慶模擬)如圖,已知矩形ABCD中,AB=2,在BC上取一點E,沿AE將ABE向上折疊,使B點落在AD上的F點處,若四邊形EFDC與矩形ABCD相似,則AD=() 考 法 1 考 法 2 考 法 3答 案 B解 析 可設(shè)AD=x,根據(jù)四邊
13、形EFDC與矩形ABCD相似,可得比例式,求解即可.沿AE將ABE向上折疊,使B點落在AD上的F點,四邊形ABEF是正方形,設(shè)AD=x,則FD=x-2,FE=2,四邊形EFDC與矩形ABCD相似,方 法 總 結(jié)幾何圖形中線段長度的計算一般通過勾股定理或通過相似三角形對應(yīng)邊成比例建立方程,通過解方程求得線段的長度. 我們還常常把相似多邊形分成個數(shù)相等且對應(yīng)相似的三角形來解決問題,把多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想. 考 法 1對 應(yīng) 練 7(2017安徽名校調(diào)研卷)若兩個扇形滿足弧長的比等于它們半徑的比,則稱這兩個扇形相似.如圖,如果扇形AOB與扇形A1O1B1是相似扇形,且半徑
14、OA OA1=k(k為不等于0的常數(shù)),那么下面四個結(jié)論: AOB= A1O1B1;AOBA1O1B1; =k;扇形AOB與扇形A1O1B1的面積之比為k2.成立的個數(shù)為( D) A.1 B.2 C.3 D.4 考 法 2 考 法 3 考 法 1對 應(yīng) 練 8(2016安徽亳州模擬)如圖的兩個四邊形相似,則 的度數(shù)是( A)A.87 B.60 C.75D.120考 法 2 考 法 3 解 析 如圖,兩個四邊形相似, 1=138. 四邊形的內(nèi)角和等于360, =360-60-75-138=87. 考 法 1 考 法 2 考 法 3 9.(2016上海嘉定一模)將一個矩形沿著一條對稱軸翻折,如果所得到的矩形與這個矩形相似,那么我們就將這樣的矩形定義為“白銀矩形”.事實上,“白銀矩形”在日常生活中隨處可見.如我們常見的A4紙就是一個“白銀矩形”.請根據(jù)上述信息求A4紙的較長邊與較短邊的比值.這個比值是 .
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