2022-2023學(xué)年河南省南陽(yáng)市高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

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1、一、單選題 1．過(guò)點(diǎn)且與直線的夾角為的直線方程是（????） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】首先根據(jù)直線方程可得斜率為，對(duì)應(yīng)傾斜角，所以所求直線的傾斜角為或，又直線過(guò)點(diǎn)即可得解. 【詳解】根據(jù)一般方程可得， 所以斜率為，對(duì)應(yīng)傾斜角， 和該直線夾角為的直線的傾斜角為或， 根據(jù)直線過(guò)點(diǎn)， 所以該直線方程為或. 故選：D 2．已知數(shù)列是遞減的等比數(shù)列，的前項(xiàng)和為，若，，則（????） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式計(jì)算求出，進(jìn)而即可求出公比. 【詳解】因?yàn)闉檫f減的等比數(shù)列， 由， 解得或（舍去）， .

2、 故選：A 3．?dāng)?shù)列的前2022項(xiàng)和為（????） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根據(jù)裂項(xiàng)相消法求和即可. 【詳解】因?yàn)椋? 所以數(shù)列的前2022項(xiàng)的和為： . 故選：D 4．設(shè)直線與函數(shù)，的圖像分別交于點(diǎn)，，則的最小值為（????） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的最小值即可得． 【詳解】設(shè)，， 則， 當(dāng)時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增， 所以． 故選：D． 5．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（????） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由導(dǎo)數(shù)法求得函數(shù)最小值點(diǎn)，根據(jù)區(qū)間列不等式求解即可. 【詳解】由

3、得，則當(dāng)或，，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞減. 在區(qū)間內(nèi)存在最小值，故最小值為，又，故有，解得. 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 故選：C. 6．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，當(dāng)取得最小值時(shí)，（????） A．1 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【分析】由等差數(shù)列的基本量法求得和，得前項(xiàng)和，確定的單調(diào)性，找到中相鄰項(xiàng)是一正一負(fù)的兩項(xiàng)，比較絕對(duì)值大小可得結(jié)論． 【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為， 由已知得，解得， ， 由于，，即時(shí)，時(shí)，， 所以時(shí)，遞減，時(shí)，遞增，其中， 由的表達(dá)式得，，， 所時(shí)，最小． 故選：D． 7．若時(shí)，關(guān)于x的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（????）

4、A． B． C． D． 【答案】A 【分析】采用參變分離的方法可得恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，由此可得，進(jìn)而確定的范圍. 【詳解】由題意知：當(dāng)時(shí)，恒成立； 令，則， 令，則， 當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立， 在上單調(diào)遞增，， ，即實(shí)數(shù)的取值范圍為. 故選：A. 8．設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是（????） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】設(shè)，由，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出 ，分類討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可． 【詳解】設(shè)，由，因?yàn)?，，所以 ， 因?yàn)椋?dāng)，即 時(shí)，，即 ，符合題意，由可得，即 ；

5、當(dāng)，即時(shí)， ，即，化簡(jiǎn)得， ，顯然該不等式不成立． 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值． 二、多選題 9．（多選）已知直線與直線，則直線與直線的位置關(guān)系可能是（????） A．相交 B．重合 C．平行 D．垂直 【答案】ABC 【分析】利用直線與直線相交、平行、垂直、重合的性質(zhì)直接求解即可. 【詳解】直線的斜率為，過(guò)定點(diǎn)， 直線的斜率為，過(guò)點(diǎn)． 若直線與相交，則，而， 即可以成立，A正確； 若直線與重合，則，且，而， 可以有，B正確； 若直線與平行，則且，而，

6、 可以有，C正確； 若直線與垂直，則，則， 與矛盾，直線與不可能垂直，D錯(cuò)誤． 故選：ABC． 10．已知數(shù)列滿足，，則（????） A．為等比數(shù)列 B．的通項(xiàng)公式為 C．為遞增數(shù)列 D．的前n項(xiàng)和 【答案】AD 【分析】根據(jù)已知證明為定值即可判斷A；由A選項(xiàng)結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)即可判斷B；作差判斷的符號(hào)即可判斷C；利用分組求和法即可判斷D. 【詳解】因?yàn)椋? 所以+3，所以， 又因?yàn)椋? 所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故A正確； ，即，故B不正確； 因?yàn)椋? 因?yàn)?，所以? 所以，所以為遞減數(shù)列，故C錯(cuò)誤； ， 則，故D正確. 故選：AD. 11．已

7、知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（????） A．是的極小值點(diǎn) B．有三個(gè)零點(diǎn) C．曲線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn) D．函數(shù)為奇函數(shù) 【答案】ABC 【分析】對(duì)于A，利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合極小值點(diǎn)的定義，可得答案； 對(duì)于B，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理，可得答案； 對(duì)于C，根據(jù)切線的求解方程，利用導(dǎo)數(shù)檢測(cè)，可得直線為函數(shù)的切線，結(jié)合圖象，可得答案； 對(duì)于D，整理函數(shù)解析式，利用奇函數(shù)的定義，可得答案. 【詳解】由函數(shù)，則求導(dǎo)可得， 令，解得或，可得下表： 極大值 極小值 則是的極小值點(diǎn)，故A正確；

8、，， 由，， 顯然函數(shù)在分別存在一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)存在三個(gè)零點(diǎn)，故B正確； 聯(lián)立，消去可得，化簡(jiǎn)可得， 則該方程組存在唯一實(shí)根，故C正確； 令， ，故D錯(cuò)誤. 故選：ABC. 12．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，點(diǎn)在橢圓上，栯圓的離心率為，則以下說(shuō)法正確的是（????） A．離心率的取值范圍為 B．存在點(diǎn)，使得 C．當(dāng)時(shí)，的最大值為 D．的最小值為1 【答案】ACD 【分析】根據(jù)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，可得，即可求出離心率的范圍，判斷A項(xiàng)；易知，只有原點(diǎn)滿足條件，即可判斷B項(xiàng)；根據(jù)橢圓的定義，可得，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系結(jié)合圖象，即可判斷C項(xiàng)；根據(jù)橢圓的定義結(jié)

9、合“1”的代換，根據(jù)基本不等式即可求解，判斷D項(xiàng). 【詳解】對(duì)于A，由已知可得，，所以， 則，故A正確； 對(duì)于B，由可知，點(diǎn)為原點(diǎn)，顯然原點(diǎn)不在橢圓上，故B錯(cuò)誤； 對(duì)于C，由已知時(shí)，，所以，. 又，則. 根據(jù)橢圓的定義可得， 所以， 如圖，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得等號(hào). 的最大值為，故C正確； 對(duì)于D，因?yàn)? 所以， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立. 所以，的最小值為1，故D正確. 故選：ACD. 三、填空題 13．將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為________． 【答案】 【分析】首先判斷出數(shù)

10、列與項(xiàng)的特征，從而判斷出兩個(gè)數(shù)列公共項(xiàng)所構(gòu)成新數(shù)列的首項(xiàng)以及公差，利用等差數(shù)列的求和公式求得結(jié)果. 【詳解】因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列， 數(shù)列是以1首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列， 所以這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列， 所以的前項(xiàng)和為， 故答案為：. 【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列的特征，等差數(shù)列求和公式，屬于簡(jiǎn)單題目. 14．以為圓心，以r為半徑的圓A與圓B：內(nèi)含，則r的取值范圍為______． 【答案】 【分析】根據(jù)兩個(gè)圓的位置關(guān)系列不等式，由此求得的取值范圍. 【詳解】

11、圓的圓心為，半徑，所以圓心距，因?yàn)閮蓤A內(nèi)含，所以，所以或．所以r的取值范圍為． 故答案為： 15．若函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值范圍是______． 【答案】 【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)得，由條件列出不等式求解，即可得到結(jié)果. 【詳解】因?yàn)?，令? 由題意可知，在內(nèi)先減后增或先增后減， 結(jié)合函數(shù)的圖像特點(diǎn)可知，在內(nèi)先減后增，即，或，解得. 所以a的取值范圍是 故答案為： 16．已知，對(duì)，且，恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________. 【答案】 【分析】根據(jù)對(duì)條件 做出的解釋構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解. 【詳解】對(duì)，且，恒有，即 ，所以函數(shù) 是增函數(shù)， 設(shè)

12、 ，則在上單調(diào)遞增，故 恒成立， 即，設(shè) ， 當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞減； 故，即； 故答案為： . 四、解答題 17．已知數(shù)列,點(diǎn)在直線上. （1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列； （2）設(shè)，求數(shù)列的前20項(xiàng)和. 【答案】(1)見(jiàn)解析(2)330 【分析】（1）由已知： ，作差，即可證明；（2）由（1）知：公差，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，即可求出. 【詳解】解：（1）由已知：?????????? ????????因?yàn)椋ǎ? ????????所以數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列???? （2）由（1）知：公差， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，?? ????????所以

13、 = 【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的證明，及求等差數(shù)列的前和，屬基礎(chǔ)題. 18．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，． (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用求通項(xiàng)公式； （2）先根據(jù)求出，再把拆項(xiàng)為，然后求和． 【詳解】（1）∵，，當(dāng)時(shí)，，∴． 由，，兩式相減可得：． ∴，又． ∴是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列， ∴． （2）因?yàn)椋? ， 所以 . 19．已知. (1)討論的單調(diào)性； (2)當(dāng)有最大值，且最大值大于時(shí)，求的取值范圍. 【答案】(1) 時(shí) ,在是單調(diào)遞增；時(shí),在單調(diào)遞增，在

14、單調(diào)遞減.（2）. 【詳解】試題分析：（Ⅰ）由,可分,兩種情況來(lái)討論；（II）由（I）知當(dāng)時(shí)在無(wú)最大值,當(dāng)時(shí)最大值為因此.令,則在是增函數(shù),當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),因此a的取值范圍是. 試題解析： （Ⅰ）的定義域?yàn)?,若,則,在是單調(diào)遞增；若,則當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減. （Ⅱ）由（Ⅰ）知當(dāng)時(shí)在無(wú)最大值,當(dāng)時(shí)在取得最大值,最大值為因此.令,則在是增函數(shù),,于是,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),因此a的取值范圍是. 【解析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)方面的應(yīng)用及分類討論思想. 20．已知圓：． (1)求圓的圓心坐標(biāo)及半徑； (2)設(shè)直線： ①求證：直線與圓恒相交； ②若直線與圓交于

15、，兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么曲線． 【答案】(1)圓心坐標(biāo)為，半徑長(zhǎng)為2 (2)①證明見(jiàn)解析；②的軌跡方程為，它表示以為圓心，以為半徑的圓（去除與軸的交點(diǎn)） 【分析】（1）根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得解； （2）①易知直線恒過(guò)點(diǎn)，計(jì)算的長(zhǎng)，并與圓的半徑比較大小，即可得證； ②設(shè)，其中，由，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可得解． 【詳解】（1）由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑長(zhǎng)為2． （2）①證明：直線恒過(guò)點(diǎn)， 因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)部，即直線與圓恒相交． ②解：設(shè)，其中，則，， 由垂徑定理知，， ?? 所以，即，整理得， 所以點(diǎn)的軌跡方程為，

16、它表示以為圓心，以為半徑的圓（去除與軸的交點(diǎn)）． 21．已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為． (1)求橢圓E的方程； (2)過(guò)點(diǎn)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點(diǎn)M，N，當(dāng)時(shí)，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依題意可得，即可求出，從而求出橢圓方程； （2）首先表示出直線方程，設(shè)、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，由直線、的方程，表示出、，根據(jù)得到方程，解得即可； 【詳解】（1）解：依題意可得，，又， 所以，所以橢圓方程為； （2）解：依題意過(guò)點(diǎn)的直線為，設(shè)、，不妨令， 由，消去整理得， 所以，解得， 所以

17、，， 直線的方程為，令，解得， 直線的方程為，令，解得， 所以 ， 所以， 即 即 即 整理得，解得 22．已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為. （1）求的解析式； （2）若關(guān)于的方程在上有解，求的取值范圍. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）求，由條件可得，得出關(guān)于的方程組，求解可得； （2）令，注意，所以在具有單調(diào)性時(shí)，則方程無(wú)解，求，對(duì)分類討論，求出單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)值的變化趨勢(shì)，即可求得結(jié)論. 【詳解】解：（1）， 因?yàn)?，所以? 解得，，所以. （2）令， 則. 令，則在上單調(diào)遞增. 當(dāng)，即時(shí)，， 所以單調(diào)遞增，又，所以； 當(dāng)，即時(shí)，則存在，使得， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 又，則. 當(dāng)時(shí)，，所以在上有解. 綜上，的取值范圍為. 【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)，考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到單調(diào)區(qū)間、函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題，考查分類討論思想，屬于較難題.