大學(xué)物理下熱學(xué)02分解

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1、,8.4,能量均分定理 理想氣體的內(nèi)能,實(shí)際氣體分子具有一定 的大小和比較復(fù)雜的結(jié)構(gòu),不能看作質(zhì)點(diǎn)。因此，分子的運(yùn)動(dòng)不僅有平動(dòng),還有轉(zhuǎn)動(dòng),以及分子內(nèi)原子間的振動(dòng)。分子熱運(yùn)動(dòng)的能量應(yīng)把這些運(yùn)動(dòng)的能量都 包含在內(nèi)。為了說(shuō)明分子無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)的能量所遵從的統(tǒng)計(jì)規(guī)律,并在此基礎(chǔ)上計(jì)算理想氣體的內(nèi)能,下面將介紹力學(xué)中自由度的概念。,一、自由度,i,:,決定一個(gè)物體在空間的位置所需的,獨(dú)立坐標(biāo),的個(gè)數(shù)。,1.,自由質(zhì)點(diǎn)的自由度：,i,=3,（,x,、,y,、,z,）；,2.,自由剛體自由度：,i,=6,（,x,、,y,、,z,、,、,、,）。,o,Y,X,Z,P,(,x,y,z,),自由運(yùn)動(dòng)剛體位置的確定共需

2、要六個(gè)自由度！,確定剛體上某一點(diǎn)位置,:,確定剛體轉(zhuǎn)軸的方位,:,確定剛體繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度,需要一個(gè)自由度,(,);,需要二個(gè)自由度,(,);,需要三個(gè)自由度,(,x,y,z,);,自由度數(shù)目,3.,氣體分子模型自由度,單原子分子模型,:,質(zhì)心需要三個(gè)平動(dòng)自由度,;,兩原子連線方位需要二個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度,一共五個(gè)自由度,;,剛性雙原子分子模型,:,彈性雙原子分子模型,:,質(zhì)心需要三個(gè)平動(dòng)自由度,;,兩原子連線方位需要二個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度,一個(gè)沿連線方位的振動(dòng)自由度。,如氦原子,如氧氣分子,i=t+r=,3+2=5,三個(gè)平動(dòng)自由度,i=t=,3;,i=t+r+s=,3+2+1=6,剛性三原子以上分子模型,

3、:,i=t+r=,3+3=6,O,H,H,H,2,O,He,O,2,這說(shuō)明平動(dòng)自由度對(duì)能量而言是等價(jià)的。還可進(jìn)一步證明：,在溫度為,T,的平衡態(tài)下，氣體分子每一個(gè)自由度的平均動(dòng)能都相等，而且等于,kT,/2,。,這就是,能量均分定理,。,在經(jīng)典物理學(xué)中這一結(jié)論同樣適用于液體和固體分子熱運(yùn)動(dòng)。,二、能量均分定理,三、理想氣體的內(nèi)能,一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)所有分子的動(dòng)能（質(zhì)心系）和分子間相互作用勢(shì)能的總和稱(chēng)為系統(tǒng)的內(nèi)能。,對(duì)理想氣體而言，其分子間無(wú)相互作用，其內(nèi)能就是其所有分子動(dòng)能之和。設(shè),N,為理想氣體分子總數(shù)，則其內(nèi)能為：,單元子分子（,i,=3,）：,雙原子分子（,i,=5,）：,多原子分子（,i,=6

4、,）：,幾種分子結(jié)構(gòu)的平均總動(dòng)能：,說(shuō)明,：,（,1,）,內(nèi)能完全決定于分子的自由度和氣體的熱力學(xué)溫度。,（,2,）“不計(jì)分子間的相互作用力”是上述結(jié)論成立的條件。,（,3,）理想氣體再不同的狀態(tài)變化過(guò)程中，只要溫度變化量,相等，則它們的內(nèi)能變化也相等，即：內(nèi)能與過(guò)程無(wú)關(guān),1,摩爾氣體的內(nèi)能,(),。,分子的平均平動(dòng)動(dòng)能,();,分子的平均總動(dòng)能,();,分子的平均總能量,();,1,摩爾氣體分子的總轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,();,2.,寫(xiě)出下列各量的表達(dá)式：,某種剛性雙原子分子的理想氣體處于溫度為,T,的平衡態(tài)下,:,1.,三個(gè)容器內(nèi)分別儲(chǔ)有,1mol,氦氣,(He),1mol,氫氣,(H,2,),1mo

5、l,氨氣,(NH,3,)(,三種氣體均 視為剛性分子的理想氣體,),若它們的溫度都升高,1K,則三種氣體內(nèi)能的增加分別是多少？,思考題：,(,答案,:,12.5J,20.8J,24.9J,),(,答案,:1:8;1:1;5:24),（答案,:,不變,變,),（答案,:3/5,倍,),3.,有一個(gè)處于恒溫條件下的容器,其內(nèi)貯有,1mol,某種理想氣體,若容器發(fā)生緩慢漏氣,試問(wèn)容器內(nèi)氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能是否改變,?,氣體的內(nèi)能是否改變,?,4.,兩個(gè)容器中分別貯有理想氣體氦和氧，已知氦氣的壓強(qiáng)是氧氣的,1/2,氦氣的容積是氧氣的,2,倍。試問(wèn)氦氣的內(nèi)能是氧氣內(nèi)能的多少倍,?,5.,質(zhì)量相等的的理

6、想氣體氧和氦,分別裝 在兩個(gè)容積相等的容器內(nèi),在溫度相同的情況下,氧和氦的壓強(qiáng)之比為,;,氧分子和氦分子的平均平動(dòng)動(dòng)能之比為,;,氧和氦內(nèi)能之比為,_.,練習(xí),1,、一容器被中間的隔板分成相等的兩半,一半裝有氦氣,溫度為,250K;,另一半裝有氧氣,溫度為,310K,，二者壓,強(qiáng)相等。求：去掉隔板兩種氣體混合后的溫度。,混合前,對(duì)于氦,:,由于壓強(qiáng)相同,:,混合前,對(duì)于氧,:,解：,混 合前的總內(nèi)能,:,混 合后的總內(nèi)能,:,由于混合前后的總內(nèi)能不變,:,T=284K,練習(xí),2:,一個(gè)大熱氣球的容積為,2.110,4,m,3,氣球本身和負(fù)載質(zhì)量共,4.5 10,3,Kg,若外部空氣溫度為,20

7、C,要想使氣球上升,其內(nèi)部空氣最低要加熱到多少度,?,標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下空氣的密度,:,由于熱氣球內(nèi)外空氣壓強(qiáng)相同,(,均取一個(gè)大氣壓,):,設(shè)熱氣球外空氣的密度,:,溫度,:,設(shè)熱氣球內(nèi)空氣的密度,:,溫度,:,溫度,:,T,1,T,2,1,2,由熱氣球所受浮力與負(fù)載重量平衡可得,:,T,1,T,2,1,2,8.5,氣體分子的速率分布率,處于平衡態(tài)下的氣體，并非所有分子都以方均根速率運(yùn)動(dòng)，方均根速率只是分子速率的一種統(tǒng)計(jì)平均值，實(shí)際上個(gè)別分子的速度大小和方向是毫無(wú)規(guī)則的或是偶然的，因而分子熱運(yùn)動(dòng)速率是由,0,的連續(xù)隨機(jī)變量。但就大量分子整體來(lái)看，在平衡態(tài)下，它們的速率分布遵從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。,“,伽

8、爾頓板,”,統(tǒng)計(jì)規(guī)律實(shí)驗(yàn)圖,:,一、測(cè)定氣體分子速率分布的實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)裝置,金屬蒸汽,顯示屏,狹縫,接抽氣泵,1921,年畢業(yè)于南京高等師范工科，,1929,年自費(fèi)赴,美留學(xué)，在南加洲大學(xué)攻讀物理，,1930,年獲碩士學(xué)位,后，入舊金山柏克萊加洲大學(xué)研究院攻讀博士學(xué)位，,研究課題是“,用分子束方法證明麥克斯韋波爾茲,曼分子速率分布定律實(shí)驗(yàn),”,，,1933,年完成重要學(xué)術(shù)論,文,用分子束方法證明麥克斯韋波爾茲曼分子速,率分布定律，并測(cè)定雙原子的鉍分子的分解熱,獲物,理學(xué)博士及美國(guó)物理學(xué)會(huì)和數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)金鑰匙各一枚。,1933,年回國(guó)，先后在武漢大學(xué)解放軍第二軍醫(yī)大學(xué)任教，積極從事教學(xué)、科研工作指導(dǎo)制

9、成國(guó)內(nèi)第一架腦電波直流放大器，裝配成,50,萬(wàn)倍的場(chǎng)效應(yīng)發(fā)射電子顯微鏡并與一機(jī)部、上海照相器材廠等合作研制靜電復(fù)印機(jī)。,1984,年加入中國(guó)共產(chǎn)黨。,1988,年,3,月因病逝世。,分子速率分布圖,：,分子總數(shù),為速率在 區(qū)間的分子數(shù),.,表示速率在 區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比,.,二、分布函數(shù),表示速率在 區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比,.,歸一,化條件,表示在溫度為,T,的平衡狀態(tài)下，速率在,v,附近,單位速率區(qū)間 的分子數(shù)占總數(shù)的百分比,.,物理意義,:,速率位于 內(nèi)分子數(shù),速率位于 區(qū)間的分子數(shù),:,速率位于 區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比,麥?zhǔn)?分布函數(shù),:,三、麥克斯韋氣體速率分布定律

10、,反映理想氣體在熱動(dòng),平衡條件下，各速率區(qū)間,分子數(shù)占總分子數(shù)的百分,比的規(guī)律,.,四、三種統(tǒng)計(jì)速率,1,）,最概然速率,根據(jù)分布函數(shù)求得,:,氣體在一定溫度下分布在最概然速率 附近單位速率間隔內(nèi)的相對(duì)分子數(shù)最多,.,物理意義,2,）,平均速率,3,）,方均根速率,同一溫度下不同氣體的速率分布,N,2,分子在不同溫度下的速率分布,1.,氣體處于平衡態(tài)時(shí),分子速率分布曲線如圖,(1),所示,圖中,A,、,B,兩部分的面積之比為,1:2,則它們的物理意義是什么,?,3.,某氣體分子在溫度,T,1,時(shí)的方均根速率等于溫度為,T,2,時(shí)的平均速率,則該二溫度之比為,T,2,/T,1,=?,2.,在圖,

11、(2),中,兩條曲線分別表示相同溫度下,氫氣和氧氣分子的速率分布曲線,則,a,表示什么 氣體分子的速率分布曲線,;,b,表示什么 氣體分子的速率分布曲線,又氧氣分子和氫氣分子的最概然速率之比為,v,pO,2,:v,pH,2,=?,圖,(2),f,（,v,）,v,o,a,b,f,（,v,）,v,o,圖,(1),A,B,v,p,思考題：,(,答案,:3:8),(,答案,:,氧,;,氫,;1:4),練習(xí),1,、,N,個(gè)假象的氣體分子，其速率分布如圖所示,（當(dāng),v,2,v,0,時(shí)，粒子數(shù)為零）。,（,1,）由,N,和,v,0,求,a,=?,（,2,）求：速率在,1.5,v,0,到,2.0,v,0,之間

12、的分子數(shù)。,（,3,）求：分子的平均速率。,N,f,(,v,),v,0,2,v,0,a,0,v,解：,利用歸一條件：,練習(xí),2:,有,N,個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為,（,1,）作速率分布曲線,（,2,）由,v,o,求常 數(shù),C,（,3,）求粒子的平均速率,f,（,v,）,v,o,v,o,（,1,）速率分布曲線,（,2,）由歸一化條件,（,3,）粒子的平均速率,解：,8.6,氣體分子的平均自由程與平均碰撞次數(shù),每?jī)纱芜B續(xù)碰撞之間一個(gè)分子自由運(yùn)動(dòng)的平均路程。,一、平均自由程,：,單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)分子和其它分子碰撞的平均次數(shù)。,二、平均碰撞頻率,Z,：,設(shè)分子的平均速率為,v,d,d,d,圍繞分子的中心

13、,以,d,為半徑畫(huà)出的球叫做分子的作用球。,(1),假定每個(gè)分子都是直徑為,d,的剛性小球,;,(2),假定一個(gè),A,分子以相對(duì)速率,u,運(yùn)動(dòng),其它分子都靜止不動(dòng),;,當(dāng),A,分子與其它分子作一次彈性碰撞時(shí),兩個(gè)分子的中心相隔距離就是,d,。,圍繞分子的中心,以,d,為半徑畫(huà)出的截面叫做分子的碰撞截面。,以,A,分子中心的運(yùn)動(dòng)軌跡為軸線,以,d,為半徑做一曲折的圓柱體,d,d,2,d,A,u,d,2,d,A,u,在,t,時(shí)間內(nèi),分子,A,走過(guò)的路程為,:,t,時(shí)間內(nèi),以,A,分子中心的運(yùn)動(dòng)軌跡為軸線,以,d,為半徑的圓柱體體積,:,設(shè)單位體積內(nèi)的分子數(shù)為,n,則該體積內(nèi)的分子總數(shù)為,:,即在,t,時(shí)間內(nèi),分子,A,碰撞的次數(shù)為,:,平均碰撞頻率,Z,：,平均自由程,：,所以平均自由程與溫度成正比,與壓強(qiáng)成反比。,例、計(jì)算空氣分子在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的平均自由程和平均碰撞,頻率。,取分子的有效直徑為：,空氣的平均摩爾質(zhì)量：,解：對(duì)于空氣分子,在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下,:,氣體分子動(dòng)理論,能量均分定理,狀態(tài),