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1、單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,無窮級數(shù),無窮級數(shù),無窮級數(shù)是研究函數(shù)的工具,表示函數(shù),研究性質(zhì),數(shù)值計算,數(shù)項級數(shù),冪級數(shù),第九章,常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì),二、常數(shù)項級數(shù)的概念,三、無窮級數(shù)的基本性質(zhì),四、級數(shù)收斂的必要條件,第一節(jié),第九章,一、問題的提出,一、問題的提出,1.,計算圓的面積,正六邊形的面積,正十二邊形的面積,正 形的面積,二、級數(shù)的概念,1.,級數(shù)的定義,:,(,常數(shù)項,),無窮級數(shù),一般項,部分和數(shù)列,級數(shù)的部分和,2.,級數(shù)的收斂與發(fā)散,:,余項,解,收斂,發(fā)散,發(fā)散,發(fā)散,綜上,解,已知級數(shù)為等比級數(shù)，,解,例,
2、4.,判別級數(shù),的斂散性,.,解,:,故原級數(shù)收斂,其和為,三、基本性質(zhì),結論,:,級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù),斂散性不變,.,結論,:,收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減,.,解,性質(zhì),3.,在級數(shù)中去掉、加上或改變,有限項,不會,影響級數(shù)的斂散性,.,證,:,將級數(shù),的前,k,項去掉,的部分和為,數(shù)斂散性相同,.,當級數(shù)收斂時,其和的關系為,類似可證前面加上有限項的情況,.,極限狀況相同,故新舊兩級,所得新級數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,性質(zhì),4.,收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù),的和,.,證,:,設收斂級數(shù),若按某一規(guī)律加括弧,則新級數(shù)的部分和序列,為原級數(shù)部分和,
3、序列,的一個子序列,推論,:,若加括弧后的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)必發(fā)散,.,因此必有,例如,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,注意,收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂,.,收斂,發(fā)散,例,6.,判斷級數(shù)的斂散性,:,解,:,考慮加括號后的級數(shù),發(fā)散,從而原級數(shù)發(fā)散,.,四、級數(shù)收斂的必要條件,設收斂級數(shù),則必有,證,:,可見,:,若級數(shù)的一般項不趨于,0,則級數(shù)必發(fā)散,.,例如,其一般項為,不趨于,0,因此這個級數(shù)發(fā)散,.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,注意,:,并非級數(shù)收斂的充分條件,.,例如,調(diào)和級數(shù),雖然,但此級數(shù)發(fā)散,.,事實上,假設調(diào)和級數(shù)收斂于,S,則,但,矛盾,!,所以假設
4、不真,.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,五、小結,常數(shù)項級數(shù)的基本概念,基本審斂法,一、正項級數(shù)及其審斂法,1.,定義,:,這種級數(shù)稱為正項級數(shù),.,2.,正項級數(shù)收斂的充要條件,:,定理,部分和數(shù)列 為單調(diào)增加數(shù)列,.,證明,即部分和數(shù)列有界,3.,比較審斂法,不是有界數(shù)列,定理證畢,.,比較審斂法的不便,:,須有參考級數(shù),.,解,由圖可知,重要參考級數(shù),:,幾何級數(shù),P-,級數(shù),調(diào)和級數(shù),.,證明,4.,比較審斂法的極限形式,:,設,=,1,n,n,u,與,=,1,n,n,v,都是正項級數(shù),如果,則,(1),當,時,二級數(shù)有相同的斂散性,;,(2),當,時，若,收斂,則,收斂,;,(3),當,時,若,=,1,n,n,v,發(fā)散,則,=,1,n,n,u,發(fā)散,;,證明,由比較審斂法的推論,得證,.,解,原級數(shù)發(fā)散.,故原級數(shù)收斂.,證明,收斂,發(fā)散,比值審斂法的優(yōu)點,:,不必找參考級數(shù),.,兩點注意,:,解,比值審斂法失效,改用比較審斂法,級數(shù)收斂.,習慣塑造人生,從自己的經(jīng)歷談什么事先做起來,教育就是養(yǎng)成習慣,葉圣陶,.,一個人不想做某事，可以找出千萬條理由，下決心做一件事情時，有一條理由就足夠了。,同學們在日常學習、生活中習慣了給自己不做某事找借口、找托詞、找原因。其實就是為了,“,心安理得,”,，不妨換個角度想問題，找一條理由來做某件事情是多么容易。,
常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)
