江蘇省南通市高三第二次調(diào)研測(cè)試 數(shù)學(xué)試題及答案

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1、 南通市2015屆高三第二次調(diào)研測(cè)試 數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案及評(píng)分建議 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上． 1． 命題“，”的否定是“ ▲ ”． 【答案】， 2． 設(shè)(為虛數(shù)單位，，)，則的值為 ▲ ． 【答案】0 3． 設(shè)集合，，則 ▲ ． I ← 1 While I < 7 S ← 2 I + 1 I ← I + 2 End While Print S （第4題） 【答案】 4． 執(zhí)行如圖所示的偽代碼，則輸出的結(jié)果為 ▲ ． 【答案】11 5． 一種水稻試

2、驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量(單位：t/hm2) 如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，則該組數(shù)據(jù)的方差為 ▲ ． 【答案】0.02 6． 若函數(shù)的圖象與軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2，則實(shí)數(shù)的值 為 ▲ ． 【答案】 7． 在平面直角坐標(biāo)系中，若曲線在(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))處的切線與直線 垂直，則實(shí)數(shù)的值為 ▲ ． 【答案】 A A1 B不 C不 B1不 C1不 D1不 D不 （第8題） 8． 如圖，在長(zhǎng)方體中，3 cm，2 cm，1 cm，則三棱錐 的體積為 ▲ cm3． 【答案】1 9

3、． 已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為4，公差為2，前項(xiàng)和為． 若()，則的值為 ▲ ． 【答案】7 10．設(shè)()是上的單調(diào)增函數(shù)，則的值為 ▲ ． 【答案】6 11．在平行四邊形中，，則線段的長(zhǎng)為 ▲ ． B D C （第12題） A 【答案】 12．如圖，在△ABC中，，，，點(diǎn)在邊上， 45，則的值為 ▲ ． 【答案】 13．設(shè)，，均為大于1的實(shí)數(shù)，且為和的等比中項(xiàng)，則的最小值為 ▲ ． 【答案】 14．在平面直角坐標(biāo)系中，圓：，圓：． 若圓上存在一點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)可作一條射線與圓依次交于點(diǎn)，，滿足， 則半徑r的取值范圍是 ▲ ． 【答

4、案】 二、解答題：本大題共6小題，共90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答. 解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證 明過(guò)程或演算步驟． 15．（本小題滿分14分） A B C D M N Q （第15題） 如圖，在四面體中，平面平面，90．，，分別為棱， ，的中點(diǎn)． （1）求證：平面； （2）求證：平面平面． 證明：（1）因?yàn)?，分別為棱，的中點(diǎn)， 所以， …… 2分 又平面，平面， 故平面．

5、 …… 6分 （2）因?yàn)?，分別為棱，的中點(diǎn)，所以， 又，故． …… 8分 因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?且平面， 所以平面． …… 11分 又平面，

6、 平面平面． …… 14分 （注：若使用真命題“如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面”證明“平面”，扣1分．） 16．（本小題滿分14分） 體育測(cè)試成績(jī)分為四個(gè)等級(jí)：優(yōu)、良、中、不及格．某班50名學(xué)生參加測(cè)試的結(jié)果如下： 等級(jí) 優(yōu) 良 中 不及格 人數(shù) 5 19 23 3 （1）從該班任意抽取1名學(xué)生，求這名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)?yōu)椤傲肌被颉爸小钡母怕剩? （2）測(cè)試成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)”的3名男生記為，，，2名女生記為，．現(xiàn)從這5人中

7、 任選2人參加學(xué)校的某項(xiàng)體育比賽． ① 寫(xiě)出所有等可能的基本事件； ② 求參賽學(xué)生中恰有1名女生的概率． 解：（1）記“測(cè)試成績(jī)?yōu)榱蓟蛑小睘槭录?，“測(cè)試成績(jī)?yōu)榱肌睘槭录?，“測(cè)試成績(jī)?yōu)橹小? 為事件，事件，是互斥的.　　 　　　 　　 …… 2分 由已知，有．　　　　　　　 　　 　　　　　…… 4分 因?yàn)楫?dāng)事件，之一發(fā)生時(shí)，事件發(fā)生， 所以由互斥事件的概率公式，得 ．　　　　　　 　　…… 6分 （2）① 有

8、10個(gè)基本事件：，，，，，， ，，，． …… 9分 ② 記“參賽學(xué)生中恰好有1名女生”為事件．在上述等可能的10個(gè)基本事件中， 事件包含了，，，，，．　　　　　　　　 故所求的概率為．　　　　　　　 答：（1）這名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)?yōu)椤傲肌被颉爸小钡母怕蕿椋? （2）參賽學(xué)生中恰有1名女生的概率為．　　 　　　　　 　　　　　 ……14分 （注：不指明互斥事件扣1分；不記事件扣1分，不重復(fù)扣分；不答扣1分．事件包含的6種基本事件不枚舉、運(yùn)算結(jié)果未化簡(jiǎn)本次閱卷不扣分．

9、） 17．（本小題滿分14分） 在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量(1，0)，(0，2).設(shè)向量()， ，其中. （1）若，，求xy的值； （2）若xy，求實(shí)數(shù)的最大值，并求取最大值時(shí)的值. 解：（1）（方法1）當(dāng)，時(shí)，，()， …… 2分 則． …… 6分 （方法2）依題意，， …… 2分 則 ．

10、 …… 6分 （2）依題意，，， 因?yàn)閤y， 所以， 整理得，， …… 9分 令， 則 . …… 11分 令，得或， 又，故. 0 ↘ 極小值 ↗

11、 列表： 故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)實(shí)數(shù)取最大值. …… 14分 （注：第（2）小問(wèn)中，得到，，及與的等式，各1分．） 18．（本小題滿分16分） x y O P A F （第18題） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為 .為橢圓上一點(diǎn)，且. （1）若，，求的值； （2）若，求橢圓的離心率； （3）求證：以為圓心，為半徑的圓與橢圓的 右準(zhǔn)線相切. 解：（1）因?yàn)?，，所以，即? 由得，，即, …… 3分

12、 又， 所以，解得或(舍去) ． …… 5分 （2）當(dāng)時(shí),， 由得，，即，故， …… 8分 所以，解得（負(fù)值已舍）． …… 10分 （3）依題意，橢圓右焦點(diǎn)到直線的距離為，且，① 由得，,即, ② 由①②得，， 解得或(舍去). …… 13分

13、 所以 ， 所以以為圓心，為半徑的圓與右準(zhǔn)線相切. …… 16分 （注：第（2）小問(wèn)中，得到橢圓右焦點(diǎn)到直線的距離為，得1分；直接使用焦半 徑公式扣1分．） 19．（本小題滿分16分） 設(shè)，函數(shù)． （1）若為奇函數(shù)，求的值； （2）若對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍； （3）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 解：（1）若為奇函數(shù)，則， 令得，，即， 所以，此時(shí)為奇函數(shù)．

14、 …… 4分 （2）因?yàn)閷?duì)任意的，恒成立，所以． 當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，恒成立，所以； …… 6分 當(dāng)時(shí)，易得在上是單調(diào)增函數(shù)，在上 是單調(diào)減函數(shù)，在上是單調(diào)增函數(shù)， 當(dāng)時(shí)，，解得，所以； 當(dāng)時(shí)，，解得，所以a不存在； 當(dāng)時(shí)，，解得， 所以； 綜上得，或． …… 10分 （3）設(shè)， 令 則，， 第一步，令， 所以

15、，當(dāng)時(shí)，，判別式， 解得，； 當(dāng)時(shí)，由得，即， 解得； 第二步，易得，且， ① 若，其中， 當(dāng)時(shí)，，記，因?yàn)閷?duì)稱軸， ，且，所以方程有2個(gè)不同的實(shí)根； 當(dāng)時(shí)，，記，因?yàn)閷?duì)稱軸， ，且，所以方程有1個(gè)實(shí)根， 從而方程有3個(gè)不同的實(shí)根； ② 若，其中， 由①知，方程有3個(gè)不同的實(shí)根； ③ 若， 當(dāng)時(shí)，，

16、記，因?yàn)閷?duì)稱軸， ，且，所以方程有1個(gè)實(shí)根； 當(dāng)時(shí)，，記，因?yàn)閷?duì)稱軸， ，且， ， …… 14分 記，則， 故為上增函數(shù)，且，， 所以有唯一解，不妨記為，且， 若，即，方程有0個(gè)實(shí)根； 若，即，方程有1個(gè)實(shí)根； 若，即，方程有2個(gè)實(shí)根， 所以，當(dāng)時(shí)，方程有1個(gè)實(shí)根；

17、 當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)根； 當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)實(shí)根． 綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為8； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為9． …… 16分 （注：第（1）小問(wèn)中，求得后不驗(yàn)證為奇函數(shù)，不扣分；第（2）小問(wèn)中利用分離參數(shù)法參照參考答案給分；第（3）小問(wèn)中使用數(shù)形結(jié)合，但缺少代數(shù)過(guò)程的只給結(jié)果分．） 20．（本小題滿分16分） 設(shè)是公差為的等差數(shù)列，是公比為()的等比數(shù)

18、列．記． （1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列； （2）已知數(shù)列的前4項(xiàng)分別為4，10，19，34． ① 求數(shù)列和的通項(xiàng)公式； ② 是否存在元素均為正整數(shù)的集合，，…，(，)，使得數(shù)列 ，，…，為等差數(shù)列？證明你的結(jié)論． 解：（1）證明：依題意， ， …… 3分 從而，又， 所以是首項(xiàng)為，公比為的等

19、比數(shù)列． …… 5分 （2）① 法1：由（1）得，等比數(shù)列的前3項(xiàng)為，，， 則， 解得，從而， …… 7分 且 解得，， 所以，． …… 10分 法2：依題意，得 …… 7分

20、 消去，得 消去，得 消去，得， 從而可解得，，，， 所以，． …… 10分 ② 假設(shè)存在滿足題意的集合，不妨設(shè)，，，，且，， ，成等差數(shù)列， 則， 因?yàn)?，所以?① 若，則， 結(jié)合①得，， 化簡(jiǎn)得，， ② 因?yàn)椋?，不難知，這與②矛盾， 所以只能， 同理，， 所以，，為數(shù)列的連續(xù)三

21、項(xiàng)，從而， 即， 故，只能，這與矛盾， 所以假設(shè)不成立，從而不存在滿足題意的集合． …… 16分 （注：第（2）小問(wèn)②中，在正確解答①的基礎(chǔ)上，寫(xiě)出結(jié)論“不存在”，就給1分．） 南通市2015屆高三第二次調(diào)研測(cè)試 數(shù)學(xué)Ⅱ（附加題） A．[選修4-1：幾何證明選講]（本小題滿分10分） B A C P O （第21 - A題） 如圖，從圓外一點(diǎn)引圓的切線及割線，為切點(diǎn)． 求證：． 證明：因?yàn)镻C為圓的切線， 所以，

22、 …… 3分 又， 故△∽△， …… 7分 所以， 即． …… 10分 B．[選修4-2：矩陣與變換]（本小題滿分10分） 設(shè)是矩陣的一個(gè)特征向量，求實(shí)數(shù)的值． 解：設(shè)是矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量， 則，

23、 …… 5分 故解得 …… 10分 C．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分） 在極坐標(biāo)系中，設(shè)直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，求線段中點(diǎn) 的極坐標(biāo)． 解：（方法1）將直線化為普通方程得，， 將曲線化為普通方程得，, …… 4分 聯(lián)立并消去得，， 解得，， 所以AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為， …… 8分 化為極坐標(biāo)為．

24、 …… 10分 （方法2）聯(lián)立直線與曲線的方程組 …… 2分 消去，得， 解得，， …… 6分 所以線段中點(diǎn)的極坐標(biāo)為，即． …… 10分 （注：將線段中點(diǎn)的極坐標(biāo)寫(xiě)成的不扣分．） D．[選修4-5：不等式選講]（本小題滿分10分） 設(shè)實(shí)數(shù)，，滿足，求證：． 證明：由柯西不等式，

25、得， …… 6分 因?yàn)椋? 故， …… 8分 當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時(shí)取“”． …… 10分 【必做題】第22、23題，每小題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出 文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 22．（本小題滿分10分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，在拋物線上． （1）求，的值； （2）過(guò)點(diǎn)作垂直于軸，為垂足，直線與拋物線的另一交

26、點(diǎn)為，點(diǎn)在直線 B （第22題） y x O A C P M 上．若，，的斜率分別為，，，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)． 解：（1）將點(diǎn)代入， 得， …… 2分 將點(diǎn)代入，得， 因?yàn)椋裕? …… 4分 （2）依題意，的坐標(biāo)為， 直線的方程為， 聯(lián)立并解得， …… 6分

27、 所以， 代入得，， …… 8分 從而直線的方程為， 聯(lián)立并解得． …… 10分 23．（本小題滿分10分） 設(shè)A，B均為非空集合，且AB，AB，…，(3，)．記A， B中元素的個(gè)數(shù)分別為a，b，所有滿足“aB，且b”的集合對(duì)(A，B)的個(gè)數(shù)為． （1）求a3，a4的值； （2）求． 解：（1）當(dāng)3時(shí)，AB{1，2，3}，且AB， 若

28、a1，b2，則1，2，共種； 若a2，b1，則2，1，共種， 0 ↘ 極小值 ↗ 所以a3； …… 2分 當(dāng)4時(shí)，AB{1，2，3，4}，且AB， 若a1，b3，則1，3，共種； 若a2，b2，則2，2，這與AB矛盾； 若a3，b1，則3，1，共種， 所以a4．

29、 …… 4分 （2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，AB{1，2，3，…，n}，且AB， 若a1，b，則1，，共（考慮）種； 若a2，b，則2，，共（考慮）種； …… 若a，b，則，，共（考慮）種； 若a，b，則，，這與AB矛盾； 若a，b，則，，共（考慮）種； …… 若a，b，則，1，共（考慮）種， 所以an……； …… 8分 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，同理得，an…， 綜上得， …… 10分 23