人教版高中數(shù)學(xué)必修⑤《正、余弦定理的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)

《人教版高中數(shù)學(xué)必修⑤《正、余弦定理的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《人教版高中數(shù)學(xué)必修⑤《正、余弦定理的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 課題：必修⑤正、余弦定理的應(yīng)用 三維目標(biāo)： 1．知識(shí)與技能 （1）能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理以及相關(guān)的三角知識(shí)和方法解決一些有關(guān)測(cè)量距離、底部不可到達(dá)的物體高度測(cè)量、有關(guān)計(jì)算角度等實(shí)際問(wèn)題，并了解常用的測(cè)量相關(guān)術(shù)語(yǔ)； （2）能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法進(jìn)一步解決有關(guān)三角形的較為綜合的問(wèn)題, 掌握三角形的面積公式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)和應(yīng)用； （3）提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，并加強(qiáng)動(dòng)手操作能力。 2．過(guò)程與方法 （1）結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，充分運(yùn)用【合作探究、分層推進(jìn)教學(xué)法】 ，采用“提出問(wèn)題——引發(fā)思考——探索猜想——總結(jié)規(guī)律——反饋訓(xùn)練”的教學(xué)過(guò)程，根據(jù)大綱

2、要求以及教學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)系，鋪開(kāi)例題，設(shè)計(jì)變式，同時(shí)通過(guò)多媒體、圖形觀察等直觀演示，幫助學(xué)生掌握解法，能夠類比解決實(shí)際問(wèn)題。對(duì)于例1這樣的開(kāi)放性題目要鼓勵(lì)學(xué)生討論，開(kāi)放多種思路，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹更c(diǎn)和矯正。 （2）引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用運(yùn)用正、余弦定理、面積公式及相關(guān)的三角知識(shí)，通過(guò)合作探究、爭(zhēng)辯、交流，解決各類關(guān)于三角形的各類實(shí)際問(wèn)題，不但進(jìn)一步認(rèn)清剛學(xué)的兩個(gè)定理的本質(zhì)，還能復(fù)習(xí)鞏固前面所學(xué)習(xí)的三角知識(shí)和基本方法； （3）在體驗(yàn)知識(shí)的運(yùn)用過(guò)程和合作探究過(guò)程的同時(shí)，不斷認(rèn)識(shí)三角知識(shí)的工具性作用及所帶來(lái)的轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想，鍛煉抽象思維能力和推理論證能力； （4）培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題

3、、解決問(wèn)題的能力及鉆研精神，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣以及解題的規(guī)范性。 3．情態(tài)與價(jià)值觀 （1）通過(guò)三角知識(shí)的進(jìn)一步拓展和運(yùn)用，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)抽象性、概括性和廣泛性，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，形成學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的思維和意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，為遠(yuǎn)大的志向而不懈奮斗； （2）通過(guò)對(duì)三角知識(shí)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)及探索，不斷培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)、主動(dòng)探索、善于反思、勤于總結(jié)的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神，并提高參與意識(shí)和合作精神，并進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學(xué)生在探究中體驗(yàn)愉悅的成功體驗(yàn)。 教學(xué)重點(diǎn)： 運(yùn)用正、余弦定理及相關(guān)的三角知識(shí)解決關(guān)于各類關(guān)于三角形的實(shí)際問(wèn)題 教學(xué)難點(diǎn)： 怎樣

4、根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型以及運(yùn)用正、余弦定理及相關(guān)的三角知識(shí)解決關(guān)于三角形的較為綜合性的問(wèn)題。 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 教學(xué)方法：合作探究、分層推進(jìn)教學(xué)法 教學(xué)過(guò)程： 一、雙基回眸 科學(xué)導(dǎo)入： 眾所周知，數(shù)學(xué)與實(shí)際生活密切相關(guān)。 下面，我們就運(yùn)用前面學(xué)習(xí)的正弦定理、余弦定理及相關(guān)的三角知識(shí)來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題及綜合問(wèn)題。 ★請(qǐng)同學(xué)們回顧一下正弦定理、余弦定理所帶來(lái)的三角公式： 正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即 余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即

5、 ★再給出一些相關(guān)知識(shí)： 1、 基本概念 （1） 仰角、俯角 在視線和水平線所成的角中，視線在水平線 的角叫仰角，視線在水平線------- 的角稱為 。 （2）方位角----從正北方向按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，叫方位角 （3）方向角----從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的小于90的水平角。如 ：南偏西30，指以正南方向?yàn)槭歼?，順時(shí)針?lè)较蛳蛭餍D(zhuǎn)30 （4）視角-----指視線所夾的角 （5）坡角與坡度----坡面與水平面的夾角為坡角（坡面

6、的傾斜角），其正切值為坡度。 2、 應(yīng)用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟和一般思路 （1） 一般步驟 ① 分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖 ② 建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型； ③ 求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解； ④ 檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的三角形是否具有實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解 二、 創(chuàng)設(shè)情境 合作探究： “遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”在古代，天文學(xué)家沒(méi)有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個(gè)奧秘的呢？我們

7、知道，對(duì)于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測(cè)量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的真實(shí)背景下，某些方法會(huì)不能實(shí)施。如因?yàn)闆](méi)有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來(lái)測(cè)量，所以，有些方法會(huì)有局限性。今天我們開(kāi)始學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定理在科學(xué)實(shí)踐中的重要應(yīng)用，研究如何測(cè)量距離、高度等問(wèn)題……。 ●應(yīng)用之一：【距離測(cè)量問(wèn)題】 問(wèn)題.1如圖所示，為了測(cè)量河對(duì)岸A、B兩點(diǎn)間的距離（不可到達(dá)）。在這一岸定一基線CD，現(xiàn)已測(cè)出CD=a， ∠BCA=，∠ACD=，∠BDC=,∠ADB=。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種方案求AB的長(zhǎng)。 【分析】此題研究的是

8、兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離測(cè)量問(wèn)題。首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定C、D兩點(diǎn)。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計(jì)算出AB的距離。 【解析】 在ADC和BDC中，應(yīng)用正弦定理得 AC = = BC = = 在ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB兩點(diǎn)間的距離 AB = 分組討論：還沒(méi)有其它的方法呢？師生一起對(duì)不同方法進(jìn)行對(duì)比、分析。 【點(diǎn)評(píng)】實(shí)際問(wèn)題的轉(zhuǎn)換

9、。注意正弦余弦定理的應(yīng)用。可見(jiàn)，在研究三角形時(shí)，靈活根據(jù)兩個(gè)定理可以尋找到多種解決問(wèn)題的方案，但有些過(guò)程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來(lái)選擇最佳的計(jì)算方式。 【變式練習(xí)】如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離是55m，BAC=，ACB=。求A、B兩點(diǎn)的距離(精確到0.1m) 【分析】這是一道關(guān)于測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問(wèn)題，題目條件告訴了邊AB的對(duì)角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個(gè)已知角算出AC的對(duì)角，應(yīng)用正弦定理算出AB

10、邊。 【引領(lǐng)學(xué)生層層推進(jìn)】 啟發(fā)提問(wèn)1：ABC中，根據(jù)已知的邊和對(duì)應(yīng)角，運(yùn)用哪個(gè)定理比較適當(dāng)？ 啟發(fā)提問(wèn)2：運(yùn)用該定理解題還需要那些邊和角呢？請(qǐng)學(xué)生回答。 【解析】根據(jù)正弦定理，得 = AB = = = = ≈ 65.7(m) 答:A、B兩點(diǎn)間的距離為65.7米 【點(diǎn)評(píng)】解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟： （1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖 （2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型；

11、 （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解 （4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解. ●應(yīng)用之二:【高度測(cè)量問(wèn)題】 問(wèn)題.2AB是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法。 【分析】求AB長(zhǎng)的關(guān)鍵是先求AE，在ACE中，如能求出C點(diǎn)到建筑物頂部A的距離CA，再測(cè)出由C點(diǎn)觀察A的仰角，就可以計(jì)算出AE的長(zhǎng)。 【解析】選擇一條水平基線HG，使H、G、B三點(diǎn)在同一條直線上。由在H、G兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得A的仰角分別是、，CD = a，測(cè)角儀器的高是h，那么，在ACD中，根據(jù)正弦定理可得 AC

12、 = AB = AE + h = AC+ h = + h 【點(diǎn)評(píng)】要審清題意，有的同學(xué)可能會(huì)忘記加上h ，此題又進(jìn)一步體現(xiàn)了怎樣根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型…… 【變式練習(xí)】用同樣高度的兩個(gè)測(cè)角儀AB和CD同時(shí)望見(jiàn)氣球E在它們的正西方向的上空，分別測(cè)得氣球的仰角是，已知B、D間距離為a,測(cè)角儀的高度為b,求氣球的高度。 E A B C G H

13、 D 問(wèn)題.3如圖，在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角，在塔底C處測(cè)得A處的俯角。已知鐵塔BC部分的高為h，求山高CD 【分析】同學(xué)們可根據(jù)前面題目的解題思想設(shè)計(jì)出此題的解題方案：看先在那個(gè)三角形中，求那一條邊 學(xué)生可先嘗試一下…… 【解析】在ABC中, BCA=90+,ABC =90-,BAC=- ,BAD =.根據(jù)正弦定理, = 所以 AB == 解RtABD中,得 BD =AB

14、sinBAD= 將測(cè)量數(shù)據(jù)代入上式,得 BD = = ≈177 (m) CD =BD -BC≈177-27.3=150(m) 答:山的高度約為150米. 【點(diǎn)評(píng)】有沒(méi)有別的解法呢？若在ACD中求CD，可先求出AC。在ABC中，根據(jù)正弦定理求得。解決這種三角的實(shí)際問(wèn)題，可有多種方案。 問(wèn)題.4如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北15的方向上，行

15、駛5km后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北25的方向上，仰角為8，求此山的高度CD. 【分析】此題不同于前面的問(wèn)題，是一個(gè)立體的問(wèn)題，大家想一想立體幾何的解題思想。 【解析】在ABC中, A=15,C= 25-15=10,根據(jù)正弦定理, = , BC == ≈ 7.4524(km) CD=BCtanDBC≈BCtan8≈1047(m) 答:山的高度約為1047米 【點(diǎn)評(píng)】通過(guò)解決過(guò)程可看到，此題最終是在一個(gè)四面體中解決的，要注意個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的互相聯(lián)系和配合。 【練習(xí)二】 課本P15 練習(xí)1、2、3 ●應(yīng)用之三:【方向、方位、運(yùn)動(dòng)、角度等

16、問(wèn)題】 問(wèn)題.5如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行60 n mile后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東15的方向航行50 n mile后達(dá)到海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?(角度精確到0.1,距離精確到0.01n mile) 【分析】首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出AC邊所對(duì)的角ABC，即可用余弦定理算出AC邊，再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角CAB。 【解析】在ABC中，ABC=180- 75+ 3

17、2=137，根據(jù)余弦定理， AC= = ≈113.15 根據(jù)正弦定理, = sinCAB = = ≈0.3255, 所以 CAB =19.0, 75- CAB =56.0 答:此船應(yīng)該沿北偏東56.1的方向航行,需要航行113.15n mile 【點(diǎn)評(píng)】解決這種航行問(wèn)題，要注意其中的角度的含義和關(guān)系 【變式練習(xí)】據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)，距S島正東300km的A處有一臺(tái)風(fēng)中心形成，并以每小時(shí)30km的速度向北偏西30的方向移動(dòng)，在距臺(tái)風(fēng)中心270km以內(nèi)的地區(qū)將受到臺(tái)風(fēng)影響。問(wèn)：S島是否受影響？若受影響，從現(xiàn)在

18、起經(jīng)過(guò)多少小時(shí)S島開(kāi)始受到影響？持續(xù)時(shí)間多久？說(shuō)明理由。 ●應(yīng)用之四:【幾何問(wèn)題的綜合應(yīng)用】 問(wèn)題.6在ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S（精確到0.1cm） （1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;（三角形面積公式的直接應(yīng)用） （2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;（正弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用） （3）已知三邊的長(zhǎng)分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm（余弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用） 【分析】這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問(wèn)題，與解三角形問(wèn)題有密切的關(guān)系，我們可以應(yīng)用解三角形面積的知識(shí)，觀察已知什么

19、，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。 【解析】（1）應(yīng)用S=acsinB，得 S=14.823.5sin148.5≈90.9(cm) (2)根據(jù)正弦定理， = c = S = bcsinA = b A = 180-(B + C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5 S = 3.16≈4.0(cm) (3)根據(jù)余弦定理的推論，得 cosB = = ≈0.7697 sinB = ≈≈0.6384 應(yīng)用S=acsinB，得 S ≈41.438.70.6384≈511.4(cm) 【點(diǎn)

20、評(píng)】此題的目的并不在于讓學(xué)生計(jì)算出準(zhǔn)確結(jié)果，重點(diǎn)在于讓學(xué)生熟悉正余弦定理及面積公式的應(yīng)用。 問(wèn)題.7如圖,在某市進(jìn)行城市環(huán)境建設(shè)中,要把一個(gè)三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園,經(jīng)過(guò)測(cè)量得到這個(gè)三角形區(qū)域的三條邊長(zhǎng)分別為68m,88m,127m,這個(gè)區(qū)域的面積是多少？（精確到0.1cm）？ 【分析】本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角的問(wèn)題，再利用三角形的面積公式求解。 【解析】設(shè)a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理的推論， cosB= =≈0.7532 sinB=0.6578 應(yīng)用S=acsinB S ≈681270.6578≈2840.38(m) 答：這個(gè)區(qū)域的面積是2

21、840.38m。 【點(diǎn)評(píng)】此題讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)應(yīng)用問(wèn)題的處理方法，并且感知應(yīng)用題并不難。 問(wèn)題.8在ABC中，求證： （1）（式子為齊次式，且為邊與角的關(guān)系一般考慮正弦定理） （2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC）（式子結(jié)構(gòu)明顯，顯然用余弦定理） 【分析】這是一道關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的證明問(wèn)題，觀察式子左右兩邊的特點(diǎn)，聯(lián)想到用正弦定理來(lái)證明 【解析】（1）根據(jù)正弦定理，可設(shè) = = = k 顯然 k0，所以 左邊= ==右邊 （2）根據(jù)余弦定理的推論， 右邊=

22、2(bc+ca+ab) =(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c) =a+b+c=左邊 【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于這種問(wèn)題，前面已經(jīng)做過(guò)一些，主要是考察怎樣利用兩定理對(duì)邊角的合理恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化。 三、思悟小結(jié)： 知識(shí)線： （1）正、余弦定理及面積公式； （2）相關(guān)的三角公式和性質(zhì)； 思想方法線： （1）分析法與綜合法； （2）方程思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想； （3）數(shù)形結(jié)合思想方法。 題目線： （1）實(shí)際問(wèn)題中的距離測(cè)量問(wèn)題； （2）實(shí)際問(wèn)題中的高度測(cè)量問(wèn)題； （3）實(shí)際問(wèn)題中的角度、方位或方向問(wèn)題； （4）幾何及綜合問(wèn)題

23、 四、針對(duì)訓(xùn)練 鞏固提高： 1、課本P18 練習(xí)1、2、3 2、已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)分別為AB=2，BC=6,CD=DA=4,求四邊形ABCD的面積。 D C B A 3、海中有一小島，周圍3.8海里內(nèi)有暗礁。一軍艦從A地出發(fā)由西向東航行，望見(jiàn)小島B在北偏東75，航行8海里到達(dá)C處，望見(jiàn)小島B在北端東60。若此艦不改變艦行的方向繼續(xù)前進(jìn)，問(wèn)此

24、艦有沒(méi)有角礁的危險(xiǎn)？ 北 4.如圖，某海島上一觀察哨A上午11時(shí)測(cè)得一輪船在海島北偏東60的C處，12時(shí)20分時(shí)測(cè)得船在海島北偏西60的B處，12時(shí)40分輪船到達(dá)位于海島正西方且距海島5km的E港口。若輪船始終勻速直線前進(jìn)，問(wèn)船速多少？ A C E B

25、 5．如圖所示，甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行。當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1處，此時(shí)兩船相距20海里。當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2處，此時(shí)兩船相距10海里。問(wèn)乙船每小時(shí)航行多少海里？ 【作業(yè)】(1)課本P19習(xí)題A組5、7 (2)課本P19習(xí)題A組3、9 （3）課本P19習(xí)題A組14、 B組 1