人教版高中數(shù)學(xué)必修⑤《正、余弦定理的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計

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1、 課題：必修⑤正、余弦定理的應(yīng)用 三維目標(biāo)： 1．知識與技能 （1）能夠運用正弦定理、余弦定理以及相關(guān)的三角知識和方法解決一些有關(guān)測量距離、底部不可到達(dá)的物體高度測量、有關(guān)計算角度等實際問題，并了解常用的測量相關(guān)術(shù)語； （2）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法進(jìn)一步解決有關(guān)三角形的較為綜合的問題, 掌握三角形的面積公式的簡單推導(dǎo)和應(yīng)用； （3）提高分析問題、解決問題的能力，增強應(yīng)用意識，并加強動手操作能力。 2．過程與方法 （1）結(jié)合學(xué)生的實際情況，充分運用【合作探究、分層推進(jìn)教學(xué)法】 ，采用“提出問題——引發(fā)思考——探索猜想——總結(jié)規(guī)律——反饋訓(xùn)練”的教學(xué)過程，根據(jù)大綱

2、要求以及教學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)系，鋪開例題，設(shè)計變式，同時通過多媒體、圖形觀察等直觀演示，幫助學(xué)生掌握解法，能夠類比解決實際問題。對于例1這樣的開放性題目要鼓勵學(xué)生討論，開放多種思路，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹更c和矯正。 （2）引導(dǎo)學(xué)生運用運用正、余弦定理、面積公式及相關(guān)的三角知識，通過合作探究、爭辯、交流，解決各類關(guān)于三角形的各類實際問題，不但進(jìn)一步認(rèn)清剛學(xué)的兩個定理的本質(zhì)，還能復(fù)習(xí)鞏固前面所學(xué)習(xí)的三角知識和基本方法； （3）在體驗知識的運用過程和合作探究過程的同時，不斷認(rèn)識三角知識的工具性作用及所帶來的轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想，鍛煉抽象思維能力和推理論證能力； （4）培養(yǎng)學(xué)生分析問題

3、、解決問題的能力及鉆研精神，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣以及解題的規(guī)范性。 3．情態(tài)與價值觀 （1）通過三角知識的進(jìn)一步拓展和運用，體會數(shù)學(xué)知識抽象性、概括性和廣泛性，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，形成學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的思維和意識，培養(yǎng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，為遠(yuǎn)大的志向而不懈奮斗； （2）通過對三角知識的進(jìn)一步學(xué)習(xí)及探索，不斷培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)、主動探索、善于反思、勤于總結(jié)的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神，并提高參與意識和合作精神，并進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學(xué)生在探究中體驗愉悅的成功體驗。 教學(xué)重點： 運用正、余弦定理及相關(guān)的三角知識解決關(guān)于各類關(guān)于三角形的實際問題 教學(xué)難點： 怎樣

4、根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型以及運用正、余弦定理及相關(guān)的三角知識解決關(guān)于三角形的較為綜合性的問題。 教 具：多媒體、實物投影儀 教學(xué)方法：合作探究、分層推進(jìn)教學(xué)法 教學(xué)過程： 一、雙基回眸 科學(xué)導(dǎo)入： 眾所周知，數(shù)學(xué)與實際生活密切相關(guān)。 下面，我們就運用前面學(xué)習(xí)的正弦定理、余弦定理及相關(guān)的三角知識來解決一些實際問題及綜合問題。 ★請同學(xué)們回顧一下正弦定理、余弦定理所帶來的三角公式： 正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即 余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即

5、 ★再給出一些相關(guān)知識： 1、 基本概念 （1） 仰角、俯角 在視線和水平線所成的角中，視線在水平線 的角叫仰角，視線在水平線------- 的角稱為 。 （2）方位角----從正北方向按順時針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，叫方位角 （3）方向角----從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的小于90的水平角。如 ：南偏西30，指以正南方向為始邊，順時針方向向西旋轉(zhuǎn)30 （4）視角-----指視線所夾的角 （5）坡角與坡度----坡面與水平面的夾角為坡角（坡面

6、的傾斜角），其正切值為坡度。 2、 應(yīng)用正、余弦定理解決實際問題的一般步驟和一般思路 （1） 一般步驟 ① 分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖 ② 建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型； ③ 求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解； ④ 檢驗：檢驗上述所求的三角形是否具有實際意義，從而得出實際問題的解 二、 創(chuàng)設(shè)情境 合作探究： “遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”在古代，天文學(xué)家沒有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？我們

7、知道，對于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實際測量問題的真實背景下，某些方法會不能實施。如因為沒有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，有些方法會有局限性。今天我們開始學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定理在科學(xué)實踐中的重要應(yīng)用，研究如何測量距離、高度等問題……。 ●應(yīng)用之一：【距離測量問題】 問題.1如圖所示，為了測量河對岸A、B兩點間的距離（不可到達(dá)）。在這一岸定一基線CD，現(xiàn)已測出CD=a， ∠BCA=，∠ACD=，∠BDC=,∠ADB=。請設(shè)計一種方案求AB的長。 【分析】此題研究的是

8、兩個不可到達(dá)的點之間的距離測量問題。首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定C、D兩點。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計算出AB的距離。 【解析】 在ADC和BDC中，應(yīng)用正弦定理得 AC = = BC = = 在ABC中，應(yīng)用余弦定理計算出AB兩點間的距離 AB = 分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對不同方法進(jìn)行對比、分析。 【點評】實際問題的轉(zhuǎn)換

9、。注意正弦余弦定理的應(yīng)用?？梢?，在研究三角形時，靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計算方式。 【變式練習(xí)】如圖，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是55m，BAC=，ACB=。求A、B兩點的距離(精確到0.1m) 【分析】這是一道關(guān)于測量從一個可到達(dá)的點到一個不可到達(dá)的點之間的距離的問題，題目條件告訴了邊AB的對角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個已知角算出AC的對角，應(yīng)用正弦定理算出AB

10、邊。 【引領(lǐng)學(xué)生層層推進(jìn)】 啟發(fā)提問1：ABC中，根據(jù)已知的邊和對應(yīng)角，運用哪個定理比較適當(dāng)？ 啟發(fā)提問2：運用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學(xué)生回答。 【解析】根據(jù)正弦定理，得 = AB = = = = ≈ 65.7(m) 答:A、B兩點間的距離為65.7米 【點評】解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟： （1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖 （2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型；

11、 （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解 （4）檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解. ●應(yīng)用之二:【高度測量問題】 問題.2AB是底部B不可到達(dá)的一個建筑物，A為建筑物的最高點，設(shè)計一種測量建筑物高度AB的方法。 【分析】求AB長的關(guān)鍵是先求AE，在ACE中，如能求出C點到建筑物頂部A的距離CA，再測出由C點觀察A的仰角，就可以計算出AE的長。 【解析】選擇一條水平基線HG，使H、G、B三點在同一條直線上。由在H、G兩點用測角儀器測得A的仰角分別是、，CD = a，測角儀器的高是h，那么，在ACD中，根據(jù)正弦定理可得 AC

12、 = AB = AE + h = AC+ h = + h 【點評】要審清題意，有的同學(xué)可能會忘記加上h ，此題又進(jìn)一步體現(xiàn)了怎樣根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型…… 【變式練習(xí)】用同樣高度的兩個測角儀AB和CD同時望見氣球E在它們的正西方向的上空，分別測得氣球的仰角是，已知B、D間距離為a,測角儀的高度為b,求氣球的高度。 E A B C G H

13、 D 問題.3如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角，在塔底C處測得A處的俯角。已知鐵塔BC部分的高為h，求山高CD 【分析】同學(xué)們可根據(jù)前面題目的解題思想設(shè)計出此題的解題方案：看先在那個三角形中，求那一條邊 學(xué)生可先嘗試一下…… 【解析】在ABC中, BCA=90+,ABC =90-,BAC=- ,BAD =.根據(jù)正弦定理, = 所以 AB == 解RtABD中,得 BD =AB

14、sinBAD= 將測量數(shù)據(jù)代入上式,得 BD = = ≈177 (m) CD =BD -BC≈177-27.3=150(m) 答:山的高度約為150米. 【點評】有沒有別的解法呢？若在ACD中求CD，可先求出AC。在ABC中，根據(jù)正弦定理求得。解決這種三角的實際問題，可有多種方案。 問題.4如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北15的方向上，行

15、駛5km后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北25的方向上，仰角為8，求此山的高度CD. 【分析】此題不同于前面的問題，是一個立體的問題，大家想一想立體幾何的解題思想。 【解析】在ABC中, A=15,C= 25-15=10,根據(jù)正弦定理, = , BC == ≈ 7.4524(km) CD=BCtanDBC≈BCtan8≈1047(m) 答:山的高度約為1047米 【點評】通過解決過程可看到，此題最終是在一個四面體中解決的，要注意個數(shù)學(xué)知識的互相聯(lián)系和配合。 【練習(xí)二】 課本P15 練習(xí)1、2、3 ●應(yīng)用之三:【方向、方位、運動、角度等

16、問題】 問題.5如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行60 n mile后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東15的方向航行50 n mile后達(dá)到海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?(角度精確到0.1,距離精確到0.01n mile) 【分析】首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出AC邊所對的角ABC，即可用余弦定理算出AC邊，再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角CAB。 【解析】在ABC中，ABC=180- 75+ 3

17、2=137，根據(jù)余弦定理， AC= = ≈113.15 根據(jù)正弦定理, = sinCAB = = ≈0.3255, 所以 CAB =19.0, 75- CAB =56.0 答:此船應(yīng)該沿北偏東56.1的方向航行,需要航行113.15n mile 【點評】解決這種航行問題，要注意其中的角度的含義和關(guān)系 【變式練習(xí)】據(jù)氣象臺預(yù)報，距S島正東300km的A處有一臺風(fēng)中心形成，并以每小時30km的速度向北偏西30的方向移動，在距臺風(fēng)中心270km以內(nèi)的地區(qū)將受到臺風(fēng)影響。問：S島是否受影響？若受影響，從現(xiàn)在

18、起經(jīng)過多少小時S島開始受到影響？持續(xù)時間多久？說明理由。 ●應(yīng)用之四:【幾何問題的綜合應(yīng)用】 問題.6在ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S（精確到0.1cm） （1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;（三角形面積公式的直接應(yīng)用） （2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;（正弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用） （3）已知三邊的長分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm（余弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用） 【分析】這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三角形問題有密切的關(guān)系，我們可以應(yīng)用解三角形面積的知識，觀察已知什么

19、，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。 【解析】（1）應(yīng)用S=acsinB，得 S=14.823.5sin148.5≈90.9(cm) (2)根據(jù)正弦定理， = c = S = bcsinA = b A = 180-(B + C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5 S = 3.16≈4.0(cm) (3)根據(jù)余弦定理的推論，得 cosB = = ≈0.7697 sinB = ≈≈0.6384 應(yīng)用S=acsinB，得 S ≈41.438.70.6384≈511.4(cm) 【點

20、評】此題的目的并不在于讓學(xué)生計算出準(zhǔn)確結(jié)果，重點在于讓學(xué)生熟悉正余弦定理及面積公式的應(yīng)用。 問題.7如圖,在某市進(jìn)行城市環(huán)境建設(shè)中,要把一個三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園,經(jīng)過測量得到這個三角形區(qū)域的三條邊長分別為68m,88m,127m,這個區(qū)域的面積是多少？（精確到0.1cm）？ 【分析】本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角的問題，再利用三角形的面積公式求解。 【解析】設(shè)a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理的推論， cosB= =≈0.7532 sinB=0.6578 應(yīng)用S=acsinB S ≈681270.6578≈2840.38(m) 答：這個區(qū)域的面積是2

21、840.38m。 【點評】此題讓學(xué)生進(jìn)一步體會應(yīng)用問題的處理方法，并且感知應(yīng)用題并不難。 問題.8在ABC中，求證： （1）（式子為齊次式，且為邊與角的關(guān)系一般考慮正弦定理） （2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC）（式子結(jié)構(gòu)明顯，顯然用余弦定理） 【分析】這是一道關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的證明問題，觀察式子左右兩邊的特點，聯(lián)想到用正弦定理來證明 【解析】（1）根據(jù)正弦定理，可設(shè) = = = k 顯然 k0，所以 左邊= ==右邊 （2）根據(jù)余弦定理的推論， 右邊=

22、2(bc+ca+ab) =(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c) =a+b+c=左邊 【點評】對于這種問題，前面已經(jīng)做過一些，主要是考察怎樣利用兩定理對邊角的合理恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化。 三、思悟小結(jié)： 知識線： （1）正、余弦定理及面積公式； （2）相關(guān)的三角公式和性質(zhì)； 思想方法線： （1）分析法與綜合法； （2）方程思想與等價轉(zhuǎn)化思想； （3）數(shù)形結(jié)合思想方法。 題目線： （1）實際問題中的距離測量問題； （2）實際問題中的高度測量問題； （3）實際問題中的角度、方位或方向問題； （4）幾何及綜合問題

23、 四、針對訓(xùn)練 鞏固提高： 1、課本P18 練習(xí)1、2、3 2、已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分別為AB=2，BC=6,CD=DA=4,求四邊形ABCD的面積。 D C B A 3、海中有一小島，周圍3.8海里內(nèi)有暗礁。一軍艦從A地出發(fā)由西向東航行，望見小島B在北偏東75，航行8海里到達(dá)C處，望見小島B在北端東60。若此艦不改變艦行的方向繼續(xù)前進(jìn)，問此

24、艦有沒有角礁的危險？ 北 4.如圖，某海島上一觀察哨A上午11時測得一輪船在海島北偏東60的C處，12時20分時測得船在海島北偏西60的B處，12時40分輪船到達(dá)位于海島正西方且距海島5km的E港口。若輪船始終勻速直線前進(jìn)，問船速多少？ A C E B

25、 5．如圖所示，甲船以每小時30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行。當(dāng)甲船位于A1處時，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1處，此時兩船相距20海里。當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2處，此時兩船相距10海里。問乙船每小時航行多少海里？ 【作業(yè)】(1)課本P19習(xí)題A組5、7 (2)課本P19習(xí)題A組3、9 （3）課本P19習(xí)題A組14、 B組 1