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1、
2014年高考一輪復(fù)習(xí)熱點難點精講精析：8.6拋物線
（一）拋物線的定義及應(yīng)用
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1．拋物線的離心率=1，體現(xiàn)了拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題，可優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點到準(zhǔn)線之間的距離，這樣就可以使問題簡單化。
2．焦半徑它們在解題中有重要作用，注意靈活運用。
※例題解析※
〖例〗已知拋物線C的對稱軸與y軸平行，頂點到原點的距離為5。若將拋物線C向上平移3個單位，則在x軸上截得的線段長為原拋物線C在x軸上截得的線段長的一半；若將拋物線C向左平移1個單位，則所得拋物線過原點，求拋物線C的方程。
解答：設(shè)
2、所求拋物線方程為(x-h)2=a(y-k)(a∈R,a≠0) ①
由①的頂點到原點的距離為5，得=5 ②
在①中，令y=0，得x2-2hx+h2+ak=0。設(shè)方程的二根為x1,x2，則
|x1-x2|=2。
將拋物線①向上平移3個單位，得拋物線的方程為
(x-h)2=a(y-k-3)
令y=0，得x2-2hx+h2+ak+3a=0。設(shè)方程的二根為x3,x4，則
|x3-x4|=2。
依題意得2=2，
即 4(ak+3a)=ak ③
將拋物線①向左平移1個單位，得(x-h+1)2=a(y-k),
由拋物線過原點，得(1-h)2=-ak ④
3、由②③④得a=1，h=3,k=-4或a=4，h=-3,k=-4。
∴所求拋物線方程為(x-3)2=y+4，或(x+3)2=4(y+4)。
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（二）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
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1．求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常采用待定系數(shù)法。利用題中已知條件確定拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離p的值；
2．對于直線和拋物線有兩個交點問題，“點差法”是常用法。如若是拋物線上兩點，則直線AB的斜率與可得如下等式。
注：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種類型，所以判斷類型是關(guān)鍵，在方程類型已確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程中只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定一個拋物線的方程。
※例題解析※
〖例〗已
4、知如圖所示，拋物線的焦點為，在拋物線上，其橫坐標(biāo)為4，且位于x軸上方，到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5。過作垂直于y軸，垂足為，的中點為。
（1）求拋物線方程；
（2）過M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標(biāo)。
思路解析：由拋物線定義求p→求直線，MN的方程→解方程組得N點坐標(biāo)。
解答：（1）拋物線的準(zhǔn)線為于是4+=5，∴=2．∴拋物線方程為y2=4x
（２）∵點的坐標(biāo)是（４，４），由題意得B(0,4),M(0,2),又∵F(1,0),∴.∵M(jìn)N⊥FA,∴
.則FA的方程為,MN的方程為y-2=x,解方程組,得
∴.
(三)直線與拋物線的位置關(guān)系
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1.直線
5、與拋物線的位置關(guān)系
設(shè)拋線方程為,直線Ax+By+C=0,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立,消去x得到關(guān)于y的方程my2+ny+q=0,
(1)若m≠0,當(dāng)⊿＞0時,直線與拋物線有兩個公共點;
當(dāng)⊿=0時,直線與拋物線只有一個公共點;
當(dāng)⊿＜0時,直線與拋物線沒有公共點.
(2)若m=0,直線與拋物線只有一個公共點,此時直線與拋物線的對稱軸平行.
2.焦點弦問題
已知AB是過拋物線的焦點的弦,F為拋物線的焦點,A(x1,y1),B(x2,y2),則
(1) y1y2=-p2,=;
（2）
（3）；
（4）以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。
※例題解析※
〖例〗
6、已知拋物線方程為，直線過拋物線的焦點F且被拋物線截得的弦長為3，求p的值。
解析：設(shè)與拋物線交于
由距離公式|AB|==
由
從而由于p>0，解得
（四）拋物線的實際應(yīng)用
〖例〗如圖，，是通過某市開發(fā)區(qū)中心0的兩條南北和東西走向的道路，連接M、N兩地的鐵路是一段拋物線弧，它所在的拋物線關(guān)于直線L1對稱．M到L1、L2的距離分別是2 km、4km，N到L1、L2的距離分別是3 km、9 kin．
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線弧MN的方程；
（Ⅱ）該市擬在點0的正北方向建設(shè)一座工廠，考慮到環(huán)境問題，要求廠址到點0的距離大于5km而不超過8k
7、m，并且鐵路上任意一點到工廠的距離不能小于km．求 此廠離點0的最近距離．（注：工廠視為一個點）
解析：（1）分別以、為軸、軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則M（2，4），N（3，9）
設(shè)MN所在拋物線的方程為，則有
，解得
∴所求方程為（2≤≤3） 5分
（說明：若建系后直接射拋物線方程為，代入一個點坐標(biāo)求對方程，本問扣2分）
（2）設(shè)拋物線弧上任意一點P（，）（2≤≤3）
廠址為點A（0，）（5＜t≤8，由題意得≥
∴≥0 7分
令，∵2≤≤3，∴4≤≤9
∴對于任意的，不等式≥0恒成立（*） 8分
設(shè)，∵≤8
∴≤.
要使（*）恒成立，需△≤0，即≤0 10分
解得≥，∴的最小值為
所以，該廠距離點O的最近距離為6.25km 12分
注：對實際應(yīng)用問題，首先應(yīng)審清題意，找出各量之間的關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，然后用數(shù)學(xué)的方法解答，并回到實際問題中驗證其正確性。
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2014年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 熱點難點精講精析 8.6拋物線
