《2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識(shí)名師講義 第八章 第六節(jié)空間圖形的垂直關(guān)系 文》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識(shí)名師講義 第八章 第六節(jié)空間圖形的垂直關(guān)系 文(9頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第六節(jié) 空間圖形的垂直關(guān)系
1.認(rèn)識(shí)和理解空間中線、面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.
2.能運(yùn)用定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.
知識(shí)梳理
一、空間圖形的垂直關(guān)系
直線與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直.
二、直線與直線垂直
定義:兩條直線所成的角為90°,則稱(chēng)兩直線垂直,包括兩類(lèi):相交垂直與異面垂直.
三、直線與平面垂直
1.定義:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直,那么稱(chēng)這條直線和這個(gè)平面垂直.這條直線叫做平面的垂線,這個(gè)平面叫做直線的垂面.
2.直線與平面垂直的判定.
類(lèi)別
語(yǔ)言表述
應(yīng)
2、用
判定
(定義)如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直,那么這條直線和這個(gè)平面垂直
證直線和平面垂直
(定理)如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個(gè)平面
證直線和平面垂直
如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條也垂直于這個(gè)平面
證直線和平面垂直
3.直線與平面垂直的性質(zhì).
類(lèi)別
語(yǔ)言表述
圖示
字母表示
應(yīng)用
1 / 9
性質(zhì)
如果一條直線和一個(gè)平面垂直,那么這條直線和這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直
?a⊥b
證兩條直線垂直
如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線平行
?a
3、∥b
證兩條直線平行
四、二面角
1.定義:從一條直線AB出發(fā)的兩個(gè)半平面(α和β)所組成的圖形叫做二面角.記作二面角αABβ,AB叫做二面角的棱,兩個(gè)半平面(α和β)叫做二面角的面.
2.二面角的平面角:在二面角的棱AB上任取一點(diǎn)O,過(guò)O分別在二面角的兩個(gè)面α,β內(nèi)作與棱垂直的射線OM,ON,我們把∠MON叫做二面角αABβ的平面角,用它來(lái)度量二面角的大?。?
平面角是直角的二面角叫做直二面角.
五、兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì)
1.定義:兩個(gè)平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.
2.兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì).
類(lèi)別
語(yǔ)言表述
圖示
字母表示
4、
應(yīng)用
判定
根據(jù)定義,證明兩平面所成的二面角是直二面角
∠AOB是二面角αaβ的平面角,且∠AOB=90°,則α⊥β
證兩
個(gè)平
面垂直
如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線,那么這兩個(gè)平面互相垂直
a?α
a⊥β
?α⊥β
性質(zhì)
如果兩個(gè)平面垂直,那么它們所成二面角的平面角是直角
α⊥β,∠AOB是二面角αaβ的平面角,則∠AOB=90°
證兩
條直
線垂直
如果兩個(gè)平面垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面
α⊥β
α∩β=l
a?α
a⊥l
?a⊥β
證直
5、線和
平面
垂直
基礎(chǔ)自測(cè)
1.已知直線m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n?α,要使n⊥β,則應(yīng)增加的條件是( )
A.m∥n B.n⊥m
C.n∥α D.n⊥α
解析:已知直線m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n?α,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理,應(yīng)增加條件n⊥m,才能使得n⊥β.
答案:B
2.(2013·珠海二模)設(shè)α,β是兩個(gè)不同的平面,l是一條直線,以下命題正確的是( )
A.若l⊥α,α⊥β,則l?β
B.若l∥α,α∥β,則l?β
C.若l⊥α,α∥β,則l⊥β
D.若l∥α,α⊥β
6、,則l⊥β
解析:A選項(xiàng)中,還可能l∥β;B選項(xiàng)中,也可能l∥β;D中,也可能l∥β.故選C.
答案:C
3.如圖所示,在四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí),平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可)
解析:∵底面四邊相等,∴BD⊥AC.
∵PA⊥平面ABCD,∴BD⊥PA.
∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.
∴BD⊥PC.
故當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí),有PC⊥平面MBD,
從而有平面PCD⊥平面MBD.
4.設(shè)l,m,n為三條不同的直線,α為
7、一個(gè)平面,下列命題中正確的是________.
①若l⊥α,則l與α相交;
②若m?α,n?α,l⊥m,l⊥n,則l⊥α;
③若l∥m,m∥n,l⊥α,則n⊥α;
④若l∥m,m⊥α,n⊥α,則l∥n.
解析:由于直線與平面垂直是相交的特殊情況,故命題①正確;由于不能確定直線m,n是否相交,不符合線面垂直的判定定理,命題②不正確;根據(jù)平行線的傳遞性,l∥n,故當(dāng)l⊥α?xí)r,一定有n⊥α,命題③正確;m⊥α,n⊥α,則m∥n,又l∥m,即l∥n,命題④正確.
答案:①③④
1.(2013·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)已知m,n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β.
8、直線l滿足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,則( )
A.α∥β且l∥α
B.α⊥β且l⊥β
C.α與β相交,且交線垂直于l
D.α與β相交,且交線平行于l
解析:顯然α與β相交,不然由α∥β?m∥n,與m,n為異面矛盾,排除選項(xiàng)A;當(dāng)α與β相交時(shí),設(shè)交線為l′,由m⊥平面α,n⊥平面β知,l′⊥m,l′⊥n,而l⊥m,l⊥n,于是易知l′∥l.故選D.
答案:D
2.(2013·廣東卷)如圖1,在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中,D,E分別是AB,AC邊上的點(diǎn),AD=AE,F(xiàn)是BC的中點(diǎn),AF與DE交于點(diǎn)G,將△ABF沿AF折起,得到如圖2所示的三棱錐
9、A-BCF,其中BC=.
(1)證明:DE//平面BCF;
(2)證明:CF⊥平面ABF;
(3)當(dāng)AD=時(shí),求三棱錐F-DEG的體積VF-DEG.
(1)證明:在等邊三角形ABC中,AD=AE.
∴=,在折疊后的三棱錐ABCF中也成立,
∴DE∥BC,∵DE?平面BCF,
BC?平面BCF,∴DE∥平面BCF.
(2)證明:在等邊三角形ABC中,F(xiàn)是BC的中點(diǎn),所以AF⊥BC,①
BF=CF=.
∵在三棱錐A-BCF中,BC=,∴BC2=BF2+CF2,
∴CF⊥BF,②
∵BF∩CF=F,∴CF⊥平面ABF.
(3)解析:由(1)可知GE∥CF,結(jié)合
10、(2)可得GE⊥平面DFG.
∴VF-DEG=VE-DFG=×·DG·FG·GE=××××=.
1.(2013·惠州一模)已知集合A、B、C,A={直線},B={平面},C=A∪B.若a∈A,b∈B,c∈C,給出下列四個(gè)命題:
①?a∥c,②?a∥c,③?a⊥c,
④?a⊥c.
其中所有正確命題的序號(hào)是________.
解析:對(duì)于①,當(dāng)c表示平面時(shí),根據(jù)a∥b且c∥b,不一定有a∥c成立,可能a?c,故①不正確;
對(duì)于②,以正方體過(guò)同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱為a,b,c,
11、可得a⊥b,c⊥b,但是a,c是相交直線,故②不正確;
對(duì)于③,當(dāng)c表示平面時(shí),由a∥b且c⊥b不能推出a⊥c成立,故③不正確;
對(duì)于④,用與③相同的方法,可證出a⊥c成立,故④正確.
綜上,正確命題的序號(hào)為④.
答案:④
2.(2013·惠州二模)正方體ABCD-A1B1C1D1,AA1=2,E為棱CC1的中點(diǎn).
(1) 求證:B1D1⊥AE;
(2) 求證:AC∥平面B1DE;
(3) 求三棱錐A-BDE的體積.
(1)證明:連接BD,則BD∥B1D1,
∵ABCD是正方形,∴AC⊥BD.
∵CE⊥面ABCD,∴CE⊥BD.
又AC∩CE=C,
12、∴BD⊥面ACE.
∵AE?平面ACE,∴BD⊥AE,
∴B1D1⊥AE.
(2)證明:連接AF、CF、EF.
∵E、F是CC1、BB1的中點(diǎn),∴CE綊B1F,
∴四邊形B1FCE是平行四邊形,
∴CF∥B1E,CF?平面B1DE,B1E?平面B1DE,
∴CF∥平面B1DE,
∵E,F(xiàn)是CC1、BB1的中點(diǎn),∴EF綊BC,
又BC綊AD,∴EF綊AD.
∴四邊形ADEF是平行四邊形,∴AF∥ED,
∵AF?平面B1DE,ED?平面B1DE,
∴AF∥平面B1DE,
∵AF∩CF=F,∴平面ACF∥平面B1DE.
又∵AC?平面ACF,∴AC∥平面B1DE .
(3)解析:三棱錐A-BDE的體積,即為三棱錐E-ABD的體積,∴V=××AD·AB·EC=××2×2×1=.
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