2014年高考數學一輪復習 熱點難點精講精析 2.7冪函數

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1、 2014年高考一輪復習熱點難點精講精析：2.7冪函數 一、冪函數定義的應用 1、相關鏈接 （1）判斷一個函數是否為冪函數，只需判斷該函數的解析式是否滿足：①指數為常數；②底數為自變量;③冪系數為1. （2）若一個函數為冪函數，則該函數解析式也必具有以上的三個特征. （3）幾個具體函數的定義 ①正比例函數； ②反比例函數； ③一次函數； ④二次函數； ⑤冪函數（） 2、例題解析 〖例1〗已知函數f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m為何值時，f(x)： (1)是冪函數； (2)是冪函數，且是(0，+∞)上的增函數； (3)是正比例函數； (4)

2、是反比例函數. 【方法詮釋】利用冪函數必須滿足的三個特征，構建關于m的式子求解(1)(2)；利用正比例函數、反比例函數的定義，構建關于m的方程，求解(3)(4). 解析：(1)∵f(x)是冪函數，故m2-m-1=1,即m2-m-2=0, 解得m=2或m=-1. (2)若f(x)是冪函數，且又是(0,+∞)上的增函數， 則∴m=-1. (3)若f(x)是正比例函數， 則-5m-3=1,解得 此時m2-m-1≠0,故 (4)若f(x)是反比例函數，則-5m-3=-1, 則此時m2-m-1≠0,故 2 / 13 〖例2〗已知y=(m2+2m-2)·+(2n-3)

3、是冪函數，求m、n的值. 思路解析：本題是求實數m、n的值，由于已知冪函數的解析式，因此在解題方法上可從冪函數的定義入手，利用方程思想解決. 解答：由題意得：，解得，所以，。 二、冪函數的圖象與性質 （一）冪函數的圖象及應用 1、相關鏈接 冪函數的圖象與性質由于的值不同而比較復雜，一般從三方面考查： （1）的正負：>0時，圖象過原點和（1，1），在第一象限的圖象上升；<0時，圖象不過原點，在第一象限的圖象下降，反之也成立； （2）曲線在第一象限的凹凸性：>1時，曲線下凸；0<<1時，曲線上凸；<0時，曲線下凸； （3）=（其中，且互質）

4、。 ①當為偶數時，為偶函數，其圖象關于軸對稱； ②當都為奇數時，為奇函數，其圖象關于原點對稱； ③當為偶數，為奇數時，為非奇非偶函數，其圖象只能在第一象限。 (4)冪函數的圖象最多只能出現在兩個象限內； (5)如果冪函數的圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點. 注：冪函數的圖象無論取何實數，其必經過第一象限，且一定不經過第四象限。 2、例題解析 〖例1〗已知點在冪函數的圖象上，點，在冪函數的圖象上．定義試求函數h(x)的最大值以及單調區(qū)間. 【方法詮釋】本題是求函數h(x)的最大值以及單調區(qū)間，只需作出其圖象,數形結合求解即可，但由于在條件中已知函數h(x)在相應段上的解

5、析式，所以，在求解方法上，應在每一段上求最大值及函數的單調區(qū)間，同時要注意函數端點值． 解析：設冪函數為f(x)=xα，因為點在f(x)的圖象上，所以所以α=2，即f(x)=x2；又設g(x)=xβ，點()在g(x)的圖象上，所以(－2)β=，所以β=－2， 即g(x)=x－2.在同一直角坐標系中畫出函數f(x)與g(x)的圖象，如圖所示： 則有： 根據圖象可知：函數的最大值等于1，單調遞增區(qū)間是(－∞，－1)和(0，1)，單調遞減區(qū)間是(－1，0)和(1，+∞). 注：解決與冪函數圖象有關的問題，常利用其單調性、奇偶性、最值(值域)等性質去確認與應用，而與冪函數有關的函

6、數的性質的研究，常利用其相應冪函數的圖象，數形結合求解. 〖例2〗 已知函數 （1） 求的單調區(qū)間； （2） 比較與的大小 （3） 解答：（1）方法一： =1+，其圖象可由冪函數向左平移2個單位，再向上平移1個單位得到，如圖： 所以該函數在上是減函數，在上是增函數。 方法二：=1+，設在定義域內，則 （2）∵圖象關于直線對稱，又∵ 。 （二）冪函數的性質與應用 1、相關鏈接 <一>比較冪值大小的類型及方法 (1)當冪的底數相同，指數不相同時，可以利用指數函數的單調性比較； (2)當冪的底數不同，指數相同時，可以利用冪函數的單調性比較

7、； (3)當冪的底數與指數都不同時，一種方法是作商，比較商值與1的大小關系，確定兩個冪值的大小關系；另一種方法是找中介值，即找中間量，通過比較兩個冪值與中間量的大小，確定兩冪值的大小關系； (4)比較多個冪值的大小，一般也采用中間量法，即先判斷每個冪值與0、1等數的大小關系，據此將它們分成若干組，然后將同一組內的各數再比較大小，最后確定各數間的大小關系. <二>冪函數y=xα的性質 (1)定義域、值域及奇偶性,要視α的具體值而定. (2)當α＞0時，冪函數在(0，+∞)上是增函數，當α＜0時，冪函數在(0，+∞)上是減函數. 2、例題解析 【例1】(1)試比較0.40

8、.2,0.20.2,20.2,21.6的大小. (2)已知冪函數y=x3m-9(m∈N*)的圖象關于y軸對稱，且在(0，+∞)上函數值隨x的增大而減小，求滿足的a的取值范圍. 【解題指南】(1)前三個同指數的冪值用冪函數y=x0.2的單調性比較，而后兩個同底數的冪值利用指數函數y=2x的單調性比較. (2)利用冪函數的性質，構建出m的不等式，并求出m的值，再根據其單調性，由關于a的已知不等式，構建a的不等式，從而求出a的范圍. 【規(guī)范解答】(1)因為函數y=x0.2在R上為增函數， 且0.2＜0.4＜2, ∴0.20.2 ＜0.40.2＜20.2, 又函數y=2x在R上為增函數，

9、且0.2＜1.6, ∴20.2＜21.6, ∴0.20.2＜0.40.2＜20.2＜21.6. (2)∵函數在(0，+∞)上遞減， ∴3m-9<0，∴m<3， ∵m∈N*，∴m=1,2. 又∵函數的圖象關于y軸對稱， ∴3m-9為偶數， 當m=1時,3m-9=-6為偶數， 當m=2時,3m-9=-3為奇數， 而在(-∞,0)，(0，+∞)上均為減函數， 等價于 a+1>3-2a>0或0>a+1>3-2a或 a+1<0<3-2a， 解得a<-1或 ∴a的取值范圍是{a|a<-1或}. 三、

10、冪函數中的三類討論題 所謂分類討論，實質上是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的策略． 分類討論時應注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧，做到確定對象的全體，明確分類的標準，不重、不漏的分類討論．在冪函數中，分類討論的思想得到了重要的體現，可根據冪函數的圖象和性質，依據冪函數的單調性分類討論，使得結果得以實現． 類型一：求參數的取值范圍 〖例1〗已知函數為偶函數，且，求m的值，并確定的解析式． 分析：函數為偶函數，已限定了必為偶數，且，，只要根據條件分類討論便可求得m的值，從而確定的解析式． 解：∵是偶函數，∴應為偶數． 又∵，即，整理，得，∴，∴． 又∵，∴或1． 當m=0

11、時，為奇數（舍去）；當時，為偶數． 故m的值為1，． 評注：利用分類討論思想解題時，要充分挖掘已知條件中的每一個信息，做到不重不漏，才可為正確解題奠定堅實的基礎． 類型二：求解存在性問題 例2　已知函數，設函數，問是否存在實數，使得在區(qū)間是減函數，且在區(qū)間上是增函數？若存在，請求出來；若不存在，請說明理由． 分析：判斷函數的單調性時，可以利用定義，也可結合函數的圖象與性質進行判斷，但要注意問題中符號的確定，要依賴于自變量的取值區(qū)間． 解：∵，則． 假設存在實數，使得滿足題設條件， 設，則 若，易知，，要使在上是減函數，則應有恒成立． ∵，，∴．而， ∴.． 從而

12、要使恒成立，則有，即． 若，易知，要使在上是增函數，則應有恒成立． ∵，， ∴，而，∴． 要使恒成立，則必有，即． 綜上可知，存在實數，使得在上是減函數，且在上是增函數． 注：本題是一道綜合性較強的題目，是冪函數性質的綜合應用．判斷函數的單調性時，可從定義入手，也可根據函數圖象和性質進行判斷，但對分析問題和解決問題的能力要求較高，這在平時要注意有針對性的訓練． 類型三：類比冪函數性質，討論函數值的變化情況 例3　討論函數在時隨著x的增大其函數值的變化情況． 分析：首先應判定函數是否為常數函數，再看冪指數，并參照冪函數的性質討論． 解：（1）當，即或時，為常函數；

13、（2）當時，或，此時函數為常函數； （3）即時，函數為減函數，函數值隨x的增大而減??； （4）當即或時，函數為增函數，函數值隨x的增大而增大； （5）當即時，函數為增函數，函數值隨x的增大而增大； （6）當，即時，函數為減函數，函數值隨x的增大而減?。? 評注：含參數系數問題，可以說是解題中的一個致命殺手，是導致錯誤的一個重要因素．這應引起我們的高度警覺． 冪函數這一知識點，表面上看內容少而且容易，實質上則不然．它蘊涵了數形結合、分類討論、轉化等數學思想，是培養(yǎng)同學們數學思維能力的良好載體．下面通過一題多變的方法探究冪函數性質的應用． 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！