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第5章 數(shù)列
第3節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和
考點(diǎn)一 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
1．（2013廣東，5分）設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為－2的等比數(shù)列，則a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________.
解析：本題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)等知識(shí)，意在考查考生的運(yùn)算求解能力．依題意得a1＝1，a2＝－2，a3＝4，a4＝－8，所以a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝15.
答案：15
2．（2013北京，5分）若等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，則公比q＝________；前n項(xiàng)和Sn＝________.
2、
解析：本題主要考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查考生的計(jì)算能力．
由題知解得
故Sn＝＝2n＋1－2.
答案：2 2n＋1－2
3．（2011遼寧，5分）若等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足anan＋1＝16n，則公比為( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：由anan＋1＝16n，得an＋1an＋2＝16n＋1，
兩式相除得，＝＝16，∴q2＝16，
∵anan＋1＝16n，可知公比為正數(shù)，∴q＝4.
答案：B
4．（2010遼寧，5分）設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，則公比q＝( )
A．3 B．4
3、
C．5 D．6
解析：，①－②得：3a3＝a4－a3,4a3＝a4，q＝＝4.
答案：B
5．（2012新課標(biāo)全國(guó)，5分）等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＋3S2＝0，則公比q＝________.
解析：由S3＋3S2＝0，即a1＋a2＋a3＋3(a1＋a2)＝0，即4a1＋4a2＋a3＝0，即4a1＋4a1q＋a1q2＝0，即q2＋4q＋4＝0，所以q＝－2.
答案：－2
6．（2011廣東，5分）已知{an}是遞增等比數(shù)列，a2＝2，a4－a3＝4，則此數(shù)列的公比q＝________.
解析：由題意得2q2－2q＝4，解得q＝2或q＝－1.又{an}單調(diào)遞增，
4、得q＞1，∴q＝2.
答案：2
7．(2011新課標(biāo)全國(guó)，12分)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和．
解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝.由條件可知q＞0，故q＝.
由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，得a1＝.
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝
－(1＋2＋…＋n)＝－.
故＝－＝－2(－)．
＋＋…＋＝－2
5、[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝－.
所以數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為－.
考點(diǎn)二 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和
1．（2013江西，5分）某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹(shù)不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹(shù)的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于________．
解析：本題主要考查等比數(shù)列的概念與前n項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查實(shí)際建模的能力以及分析、解決問(wèn)題的能力．設(shè)每天植樹(shù)的棵數(shù)組成的數(shù)列為{an}，由題意可知它是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為2，公比為2，所以由題意可得≥100，即2n≥51，而25＝32,26＝64，n∈N*，所以n≥6.
答案：6
2．（2013遼寧，5分）已知等比數(shù)列{an
6、}是遞增數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩個(gè)根，則S6＝________.
解析：本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式，意在考查考生對(duì)等比數(shù)列公式的運(yùn)用，以及等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用情況．由題意得，a1＋a3＝5，a1a3＝4，由數(shù)列是遞增數(shù)列得，a1＝1，a3＝4，所以q＝2，代入等比數(shù)列的求和公式得S6＝63.
答案：63
3．（2013湖北，13分）已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S4，S2，S3成等差數(shù)列，且a2＋a3＋a4＝－18.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)是否存在正整數(shù)n，使得Sn≥2013？若存在，求出符合
7、條件的所有n的集合；若不存在，說(shuō)明理由．
解：本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，也考查了分類(lèi)討論思想．
(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則a1≠0，q≠0.由題意得
即
解得故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3(－2)n－1.
(2)由(1)有Sn＝＝1－(－2)n.
若存在n，使得Sn≥2 013，則1－(－2)n≥2 013，即(－2)n≤－2 012.
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，(－2)n>0，上式不成立；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，(－2)n＝－2n≤－2 012，即2n≥2 012，則n≥11.
綜上，存在符合條件的正整數(shù)n，且所有這樣的n的集合為
8、{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}．
4．（2010廣東，5分）已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和．若a2a3＝2a1，且a4與2a7的等差中項(xiàng)為，則S5＝( )
A．35 B．33
C．31 D．29
解析：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，a2a3＝aq3＝a1a4＝2a1?a4＝2，a4＋2a7＝a4＋2a4q3＝2＋4q3＝2?q＝，
故a1＝＝16，S5＝＝31.
答案：C
5．（2010浙江，5分）設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，8a2＋a5＝0，則＝( )
A．－11 B．－8
C．5 D．11
解析：設(shè)等比
9、數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，依題意知8a1q＋a1q4＝0，
a1≠0，則q3＝－8，故q＝－2，所以＝＝＝－11.
答案：A
6．（2010遼寧，5分）設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．已知a2a4＝1，S3＝7，則S5＝( )
A. B.
C. D.
解析：顯然公比q≠1，由題意得，，
解得，
∴S5＝＝＝.
答案：B
7．（2012江西，5分）等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公比不為1.若a1＝1，且對(duì)任意的n∈N＋都有an＋2＋an＋1－2an＝0，則S5＝________.
解析：由an＋2＋an＋1－2an＝0，得anq2＋
10、anq－2an＝0，顯然an≠0，所以q2＋q－2＝0.又q≠1，解得q＝－2.又a1＝1，所以S5＝＝11.
答案：11
8．（2011北京，5分）在等比數(shù)列{an}中，若a1＝，a4＝4，則公比q＝________；a1＋a2＋…＋an＝________.
解析：a4＝a1q3，得4＝q3，解得q＝2，a1＋a2＋…＋an＝＝2n－1－.
答案：2 2n－1－
9．(2009浙江，4分)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q＝，前n項(xiàng)和為Sn，則＝________.
解析：a4＝a1()3＝a1，S4＝＝a1，
∴＝15.
答案：15
10．（2012陜西，12分）已知等比數(shù)列{an
11、}的公比q＝－.
(1)若a3＝，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和；
(2)證明：對(duì)任意k∈N＋，ak，ak＋2，ak＋1成等差數(shù)列．
解：(1)由a3＝a1q2＝及q＝－，得a1＝1，
所以數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝
＝.
(2)證明：對(duì)任意k∈N＋，
2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝2a1qk＋1－(a1qk－1＋a1qk)＝a1qk－1(2q2－q－1)，
由q＝－得2q2－q－1＝0，故2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝0.所以，對(duì)任意k∈N＋，ak，ak＋2，ak＋1成等差數(shù)列．
11．(2009山東，12分)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知對(duì)任意的n∈N*，點(diǎn)(n，
12、Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖象上．
(1)求r的值；
(2)當(dāng)b＝2時(shí)，記bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)．
證明：對(duì)任意的n∈N*，不等式…＋＞成立．
解：(1)由題意，Sn＝bn＋r，
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝bn－1＋r，
所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，
由于b＞0且b≠1，
所以n≥2時(shí)，{an}是以b為公比的等比數(shù)列，
又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，＝b，
即＝b，解得r＝－1.
(2)證明：法一：由(1)知an＝2n－1，
因此bn＝2n(n∈N*)，
所證不等式為…＞.
①當(dāng)n＝1時(shí)，左式
13、＝，右式＝，
左式＞右式，所以結(jié)論成立．
②假設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立，
即…＞，
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
…
＞＝，
要證當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論成立，
只需證≥，
即證≥，
由均值不等式＝≥成立，故≥成立，
所以，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立．
由①②可知，n∈N*時(shí)，
不等式…＞成立．
法二：由(1)知：an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)，
所證不等式為…＞.
事實(shí)上，…
＝…
＞…
＝＝.
故對(duì)一切n∈N*，不等式…＞成立．
考點(diǎn)三 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用
1．（2013江蘇，5分）在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3.則滿(mǎn)足a1＋a2＋…
14、＋an>a1a2…an的最大正整數(shù)n的值為_(kāi)_______．
解析：本題主要考查等比數(shù)列的基本性質(zhì)，意在考查學(xué)生的運(yùn)算能力．
設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)．由a5＝，a6＋a7＝3，可得(q＋q2)＝3，即q2＋q－6＝0，所以q＝2，所以an＝2n－6，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n－5－2－5，所以a1a2…an＝(a1an)＝2，由a1＋a2＋…＋an>a1a2…an可得2n－5－2－5>2，由2n－5>2，可求得n的最大值為12，而當(dāng)n＝13時(shí)，28－2－5>213不成立，所以n的最大值為12.
答案：12
2．（2012新課標(biāo)全國(guó)，5分）已知{an}為等比數(shù)列，a
15、4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10＝( )
A．7 B．5
C．－5 D．－7
解析：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由
得或所以或
所以或所以a1＋a10＝－7.
答案：D
3．（2012北京，5分）已知{an}為等比數(shù)列．下面結(jié)論中正確的是( )
A．a(chǎn)1＋a3≥2a2 B．a(chǎn)＋a≥2a
C．若a1＝a3，則a1＝a2 D．若a3>a1，則a4>a2
解析：設(shè)公比為q，對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)a1<0，q≠1時(shí)不正確；選項(xiàng)C，當(dāng)q＝－1時(shí)不正確；選項(xiàng)D，當(dāng)a1＝1，q＝－2時(shí)不正確；選項(xiàng)B正確，因?yàn)閍＋a≥2a1a3＝2a.
答案：B
4．（2010山
16、東，5分）設(shè){an}是首項(xiàng)大于零的等比數(shù)列，則“a1＜a2”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的( )
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍1＜a2，且a1＞0，所以有a1＜a1q，解得q＞1，所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；反之，若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則公比q＞1且a1＞0，所以a1＜a1q，即a1＜a2，所以“a1＜a2”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的充分必要條件．
答案：C
5．(2011新課標(biāo)全國(guó)，12分)已知等比數(shù)列{an}中，a1＝，公比q＝.
(1)Sn為{an}的前n項(xiàng)和，證明：Sn＝；
(2)設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．
解：(1)證明：因?yàn)閍n＝()n－1＝，
Sn＝＝，
所以Sn＝.
(2)因?yàn)閎n＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an
＝－(1＋2＋…＋n)
＝－.
所以{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝－.
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