高三數(shù)學(xué)文一輪備考 第5章第3節(jié)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

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1、△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△ 高考真題備選題庫(kù) 第5章 數(shù)列 第3節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 考點(diǎn)一 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 1．（2013廣東，5分）設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為－2的等比數(shù)列，則a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________. 解析：本題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)等知識(shí)，意在考查考生的運(yùn)算求解能力．依題意得a1＝1，a2＝－2，a3＝4，a4＝－8，所以a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝15. 答案：15 2．（2013北京，5分）若等比數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，則公比q＝________；前n項(xiàng)和Sn＝________.

2、 解析：本題主要考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查考生的計(jì)算能力． 由題知解得 故Sn＝＝2n＋1－2. 答案：2　2n＋1－2 3．（2011遼寧，5分）若等比數(shù)列{an}滿足anan＋1＝16n，則公比為(　　) A．2　　　　　　　　　 B．4 C．8 D．16 解析：由anan＋1＝16n，得an＋1an＋2＝16n＋1， 兩式相除得，＝＝16，∴q2＝16， ∵anan＋1＝16n，可知公比為正數(shù)，∴q＝4. 答案：B 4．（2010遼寧，5分）設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，則公比q＝(　　) A．3 B．4

3、 C．5 D．6 解析：，①－②得：3a3＝a4－a3,4a3＝a4，q＝＝4. 答案：B 5．（2012新課標(biāo)全國(guó)，5分）等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＋3S2＝0，則公比q＝________. 解析：由S3＋3S2＝0，即a1＋a2＋a3＋3(a1＋a2)＝0，即4a1＋4a2＋a3＝0，即4a1＋4a1q＋a1q2＝0，即q2＋4q＋4＝0，所以q＝－2. 答案：－2 6．（2011廣東，5分）已知{an}是遞增等比數(shù)列，a2＝2，a4－a3＝4，則此數(shù)列的公比q＝________. 解析：由題意得2q2－2q＝4，解得q＝2或q＝－1.又{an}單調(diào)遞增，

4、得q＞1，∴q＝2. 答案：2 7．(2011新課標(biāo)全國(guó)，12分)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和． 解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝.由條件可知q＞0，故q＝. 由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，得a1＝. 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝. (2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝ －(1＋2＋…＋n)＝－. 故＝－＝－2(－)． ＋＋…＋＝－2

5、[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝－. 所以數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為－. 考點(diǎn)二 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 1．（2013江西，5分）某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于________． 解析：本題主要考查等比數(shù)列的概念與前n項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查實(shí)際建模的能力以及分析、解決問題的能力．設(shè)每天植樹的棵數(shù)組成的數(shù)列為{an}，由題意可知它是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為2，公比為2，所以由題意可得≥100，即2n≥51，而25＝32,26＝64，n∈N*，所以n≥6. 答案：6 2．（2013遼寧，5分）已知等比數(shù)列{an

6、}是遞增數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩個(gè)根，則S6＝________. 解析：本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式，意在考查考生對(duì)等比數(shù)列公式的運(yùn)用，以及等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用情況．由題意得，a1＋a3＝5，a1a3＝4，由數(shù)列是遞增數(shù)列得，a1＝1，a3＝4，所以q＝2，代入等比數(shù)列的求和公式得S6＝63. 答案：63 3．（2013湖北，13分）已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S4，S2，S3成等差數(shù)列，且a2＋a3＋a4＝－18. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)是否存在正整數(shù)n，使得Sn≥2013？若存在，求出符合

7、條件的所有n的集合；若不存在，說(shuō)明理由． 解：本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，也考查了分類討論思想． (1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則a1≠0，q≠0.由題意得 即 解得故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3(－2)n－1. (2)由(1)有Sn＝＝1－(－2)n. 若存在n，使得Sn≥2 013，則1－(－2)n≥2 013，即(－2)n≤－2 012. 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，(－2)n>0，上式不成立； 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，(－2)n＝－2n≤－2 012，即2n≥2 012，則n≥11. 綜上，存在符合條件的正整數(shù)n，且所有這樣的n的集合為

8、{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}． 4．（2010廣東，5分）已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和．若a2a3＝2a1，且a4與2a7的等差中項(xiàng)為，則S5＝(　　) A．35　　　　　　　　　　　　　　 B．33 C．31 D．29 解析：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，a2a3＝aq3＝a1a4＝2a1?a4＝2，a4＋2a7＝a4＋2a4q3＝2＋4q3＝2?q＝， 故a1＝＝16，S5＝＝31. 答案：C 5．（2010浙江，5分）設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，8a2＋a5＝0，則＝(　　) A．－11 B．－8 C．5 D．11 解析：設(shè)等比

9、數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，依題意知8a1q＋a1q4＝0， a1≠0，則q3＝－8，故q＝－2，所以＝＝＝－11. 答案：A 6．（2010遼寧，5分）設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．已知a2a4＝1，S3＝7，則S5＝(　　) A. B. C. D. 解析：顯然公比q≠1，由題意得，， 解得， ∴S5＝＝＝. 答案：B 7．（2012江西，5分）等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公比不為1.若a1＝1，且對(duì)任意的n∈N＋都有an＋2＋an＋1－2an＝0，則S5＝________. 解析：由an＋2＋an＋1－2an＝0，得anq2＋

10、anq－2an＝0，顯然an≠0，所以q2＋q－2＝0.又q≠1，解得q＝－2.又a1＝1，所以S5＝＝11. 答案：11 8．（2011北京，5分）在等比數(shù)列{an}中，若a1＝，a4＝4，則公比q＝________；a1＋a2＋…＋an＝________. 解析：a4＝a1q3，得4＝q3，解得q＝2，a1＋a2＋…＋an＝＝2n－1－. 答案：2　2n－1－ 9．(2009浙江，4分)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q＝，前n項(xiàng)和為Sn，則＝________. 解析：a4＝a1()3＝a1，S4＝＝a1， ∴＝15. 答案：15 10．（2012陜西，12分）已知等比數(shù)列{an

11、}的公比q＝－. (1)若a3＝，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和； (2)證明：對(duì)任意k∈N＋，ak，ak＋2，ak＋1成等差數(shù)列． 解：(1)由a3＝a1q2＝及q＝－，得a1＝1， 所以數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝ ＝. (2)證明：對(duì)任意k∈N＋， 2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝2a1qk＋1－(a1qk－1＋a1qk)＝a1qk－1(2q2－q－1)， 由q＝－得2q2－q－1＝0，故2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝0.所以，對(duì)任意k∈N＋，ak，ak＋2，ak＋1成等差數(shù)列． 11．(2009山東，12分)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知對(duì)任意的n∈N*，點(diǎn)(n，

12、Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖象上． (1)求r的值； (2)當(dāng)b＝2時(shí)，記bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)． 證明：對(duì)任意的n∈N*，不等式…＋＞成立． 解：(1)由題意，Sn＝bn＋r， 當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝bn－1＋r， 所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)， 由于b＞0且b≠1， 所以n≥2時(shí)，{an}是以b為公比的等比數(shù)列， 又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，＝b， 即＝b，解得r＝－1. (2)證明：法一：由(1)知an＝2n－1， 因此bn＝2n(n∈N*)， 所證不等式為…＞. ①當(dāng)n＝1時(shí)，左式

13、＝，右式＝， 左式＞右式，所以結(jié)論成立． ②假設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立， 即…＞， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， … ＞＝， 要證當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論成立， 只需證≥， 即證≥， 由均值不等式＝≥成立，故≥成立， 所以，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立． 由①②可知，n∈N*時(shí)， 不等式…＞成立． 法二：由(1)知：an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)， 所證不等式為…＞. 事實(shí)上，… ＝… ＞… ＝＝. 故對(duì)一切n∈N*，不等式…＞成立． 考點(diǎn)三 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 1．（2013江蘇，5分）在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3.則滿足a1＋a2＋…

14、＋an>a1a2…an的最大正整數(shù)n的值為________． 解析：本題主要考查等比數(shù)列的基本性質(zhì)，意在考查學(xué)生的運(yùn)算能力． 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)．由a5＝，a6＋a7＝3，可得(q＋q2)＝3，即q2＋q－6＝0，所以q＝2，所以an＝2n－6，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n－5－2－5，所以a1a2…an＝(a1an)＝2，由a1＋a2＋…＋an>a1a2…an可得2n－5－2－5>2，由2n－5>2，可求得n的最大值為12，而當(dāng)n＝13時(shí)，28－2－5>213不成立，所以n的最大值為12. 答案：12 2．（2012新課標(biāo)全國(guó)，5分）已知{an}為等比數(shù)列，a

15、4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10＝(　　) A．7 B．5 C．－5 D．－7 解析：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由 得或所以或 所以或所以a1＋a10＝－7. 答案：D 3．（2012北京，5分）已知{an}為等比數(shù)列．下面結(jié)論中正確的是(　　) A．a(chǎn)1＋a3≥2a2 B．a(chǎn)＋a≥2a C．若a1＝a3，則a1＝a2 D．若a3>a1，則a4>a2 解析：設(shè)公比為q，對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)a1<0，q≠1時(shí)不正確；選項(xiàng)C，當(dāng)q＝－1時(shí)不正確；選項(xiàng)D，當(dāng)a1＝1，q＝－2時(shí)不正確；選項(xiàng)B正確，因?yàn)閍＋a≥2a1a3＝2a. 答案：B 4．（2010山

16、東，5分）設(shè){an}是首項(xiàng)大于零的等比數(shù)列，則“a1＜a2”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍1＜a2，且a1＞0，所以有a1＜a1q，解得q＞1，所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；反之，若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則公比q＞1且a1＞0，所以a1＜a1q，即a1＜a2，所以“a1＜a2”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的充分必要條件． 答案：C 5．(2011新課標(biāo)全國(guó)，12分)已知等比數(shù)列{an}中，a1＝，公比q＝. (1)Sn為{an}的前n項(xiàng)和，證明：Sn＝； (2)設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式． 解：(1)證明：因?yàn)閍n＝()n－1＝， Sn＝＝， 所以Sn＝. (2)因?yàn)閎n＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an ＝－(1＋2＋…＋n) ＝－. 所以{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝－. 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品