2014年高考數(shù)學一輪復習 熱點難點精講精析 8.2直線與圓

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1、 2014年高考一輪復習熱點難點精講精析：8.2直線與圓 一、圓的方程 （一）圓的方程的求法 ※相關(guān)鏈接※ 1．確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法。如果選擇標準方程，即列出關(guān)于a、b、r的方程組，求a、b、r或直接求出圓心（a,b）和半徑r. 2．如果已知條件中圓心的位置不能確定，則選擇圓的一般方程。圓的一般方程也含有三個獨立的參數(shù)，因此，必須具備三個獨立的條件，才能確定圓的一般方程，其方法仍采用待定系數(shù)法。設(shè)所求圓的方程為：由三個條件得到關(guān)于D、E、F的一個三元一次方程組，解方程組確定D、E、F的值。 3．以為直徑的兩端點的圓的方程為 4.確定圓心位置的方法 (1)圓心

2、在過切點且與切線垂直的直線上； (2)圓心在任意一弦的垂直平分線上； (3)兩圓相切時，切點與兩圓圓心共線. 注：在求圓的方程時，常用到圓的以下必修性質(zhì)： （1）圓心在過切點且與切線垂直的直線上； （2）圓心在任一弦的中垂直上； （3）兩圓心或外切時，切點與兩圓圓心三點共線。 ※例題解析※ 〖例2〗(1)過點A(-2,4)、B(3,-1)兩點，并且在x軸上截得的弦長等于6的圓的方程_______________； (2)求經(jīng)過點A(-2,-4)，且與直線l:x+3y-26=0相切于點B(8,6)的圓的方程. 【方法詮釋】(1)可設(shè)圓的方程的一般形式，利用A(-2,4)、

3、B(3,-1)兩點在圓上及該圓在x軸上截得的弦長等于6，得出三個方程，解方程組即可確定圓的方程； (2)可先設(shè)圓心坐標為C(a,b)，由圓心與切點連線與切線垂直及圓心到圓上點的距離相等得出關(guān)于a、b的兩個方程，解方程組即可得到圓心坐標，再求出半徑，得出圓的方程；也可直接求出圓心坐標，再求出半徑，得出圓的方程. 2 / 20 解析：(1)設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，將A、B兩點的坐標代入得，再令y=0，得x2+Dx+F=0，設(shè)x1、x2是方程的兩根，由|x1-x2|=6得，D2-4F=36， 由,解得或 因此，所求圓的方程為x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y

4、2-6x-8y=0. 答案：x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0 (2)方法一：設(shè)圓心坐標為C(a,b),依題意得： 解得： 半徑 因此，所求圓的方程為： 方法二：依題意得,圓心在AB的垂直平分線上，而AB的垂直平 分線方程為：x+y-4=0；又因為圓心也在過B且與直線l垂直的 直線上，而此直線方程為：3x-y-18=0， 解方程組得：，以下同方法一. 〖例2〗求與x軸相切，圓心在直線3x-y=0上，且被直線x-y=0截得的弦長為的圓的方程。 思路解析：由條件可設(shè)圓的標準方程求解，也可設(shè)圓的一般方程，但計算較繁瑣。 解答：（方法一） 設(shè)所求的圓

5、的方程是， 則圓心(a,b)到直線x-y=0的距離為， ∴, 即………………………………………………① 由于所求的圓與x軸相切，∴………………………………② 又因為所求圓心在直線3x-y=0上， ∴3a-b=0………………………………………………………………③ 聯(lián)立①②③，解得a=1,b=3,=9或a=-1,b=-3, =9. 故所求的圓的方程是： （方法二）設(shè)所求的圓的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0，圓心為，半徑為令y=0，得x2+ Dx+ F =0，由圓與x軸相切，得⊿=0，即D2-4F……④ 又圓心到直線x-y=0的距離為, 由已知，得, 即=………

6、…………………………………⑤ 又圓心在直線3x-y=0上，∴3D-E=0…………………………⑥ 聯(lián)立④⑤⑥，解得 D=-1，E=-6，F(xiàn)=1或D=2，E=6，F(xiàn)=1。 故所求圓的方程是=0或 （二）與圓有關(guān)的最值問題 ※相關(guān)鏈接※ 1．求與圓有關(guān)的最值問題多采用幾何法，就是利用一些代數(shù)式的幾何意義進行轉(zhuǎn)化。如（1）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為點(a,b)和點(x,y)的直線斜率的最值問題；（2）形如t=ax+by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為直線在y軸上的截距的最值問題；（3）形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為兩點間的距離平方的最值問題。 2．特別要記住下面兩個代數(shù)式的幾

7、何意義： 表示點(x,y)與原點（0，0）連線的直線斜率，表示點（x,y）與原點的距離。 ※例題解析※ 〖例〗已知實數(shù)、滿足方程。 （1）求的最大值和最小值； （2）求-的最大值和最小值； （3）求的最大值和最小值。 思路解析：化，滿足的關(guān)系為理解，-，的幾何意義根據(jù)幾何意義分別求之。 解答：（1）原方程可化為，表示以（2，0）為圓心，為半徑的圓，的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設(shè)=，即。當直線與圓相切時，斜率取最大值或最小值，此時，解得=。 所以的最大值為，最小值為﹣ （2）-可看作是直線y=x+b在y軸上的截距，當直線y=x+b與圓相切時，縱截距b取得

8、最大值或最小值，此時，解得。所以-的最大值為，最小值為。 （3）方法一：表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點與圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值。又圓心到原點的距離為，所以的最大值是，的最小值是。 方法二：由x2+y2-4x+1=0得：y2=-x2+4x-1,且-x2+4x-1≥0,即： ∴x2+y2=x2+(-x2+4x-1)=4x-1, （三）與圓有關(guān)的軌跡問題 ※相關(guān)鏈接※ 1．解決軌跡問題，應(yīng)注意以下幾點： （1）求方程前必須建立平面直角坐標系（若題目中有點的坐標，就無需建系），否則曲線就不可轉(zhuǎn)化為方程。 （2）一般地，設(shè)點時

9、，將動點坐標設(shè)為（x,y），其他與此相關(guān)的點設(shè)為等。 （3）求軌跡與求軌跡方程是不同的，求軌跡方程得出方程即可，而求軌跡在得出方程后還要指出方程的曲線是什么圖形。 2．求軌跡方程的一般步驟： 第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，設(shè)曲線上任意點的坐標為M(x,y)； 第二步：寫出適合已知條件的點M的集合P={M|P(M)}； 第三步：用坐標表示P(M)，列出方程f(x,y)=0； 第四步：化簡方程f(x,y)=0為最簡形式. 3.求與圓有關(guān)的軌跡方程的方法 ※例題解析※ 〖例〗設(shè)定點M（-3，4），動點N在圓上運動，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡。 思

10、路解析：先設(shè)出P點、N點坐標，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分，用P點坐標表示N點坐標，代入圓的方程可求。 解答：如圖所示， 設(shè)P（x,y），N，則線段OP的中點坐標為，線段MN的中點坐標為。因為平行四邊形的對角線互相平分，故。N（x+3,y-4）在圓上，故。因此所求軌跡為圓：，擔應(yīng)除去兩點：（點P在OM所在的直線上時的情況）。 （四）有關(guān)圓的實際應(yīng)用 〖例〗有一種大型商品，A、B兩地都有出售，有價格相同，某地居民從兩地之一購得商品后運回的費用是：A地每公里的運費是B地每公里運費的3倍。已知A、B兩地距離為10公里，顧客選擇A地或B地購買這件商品的標準是：包括運費和價格的總費用

11、較低。求P地居民選擇A地或B地購物總費用相等時，點P所在曲線的形狀，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)如何選擇購物地點？ 思路解析：根據(jù)條件，建立適當坐標系，求出點P的軌跡方程，進而解決相關(guān)問題。 解答：如圖， 以A、B所在的直線為x軸，線段AB的中點為原點建立直角坐標系，∵|AB∣=10，∴A（-5，0），B（5，0）。設(shè)P（x,y）,P到A、B兩地購物的運費分別是3a、a（元/公里）。當由P地到A、B兩地購物總費用相等時，有：價格+A地運費=價格+B地運費， ∴3a=a. 化簡整理，得 （1）當P點在以（-，0）為圓心、為半徑的圓上時，居民到A地或B地購物總費用相等。

12、（2）當P點在上述圓內(nèi)時， 當P點在上述圓外時， 注：在解決實際問題時，關(guān)鍵要明確題意，掌握建立數(shù)學基本模型的方法將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題解決。 二、直線、圓的位置關(guān)系 （一）直線和圓的位置關(guān)系 ※相關(guān)鏈接※ 直線和圓的位置關(guān)系的判定有兩種方法 （1）第一種方法是方程的觀點，即把圓的方程和直線的方程聯(lián)立組成方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再利用判別式⊿來討論位置關(guān)系，即 ⊿>0直線與圓相交; ⊿=0直線與圓相切; ⊿<0直線與圓相離 （2）第二種方法是幾何的觀點，即將圓心到直線的距離d與半徑r比較來判斷，即 dr直線與圓相切；

13、 d=r直線與圓相離。 ※例題解析※ 〖例〗已知圓 （1）求證：不論m為何值，圓心在同一直線上； （2）與平行的直線中，哪些與圓相交、相切、相離； （3）求證：任何一條平行于且與圓相交的直線被各圓截得的弦長相等。 思路解析：用配方法將圓的一般方程配成標準方程，求出圓心坐標，消去m就得關(guān)于圓心的坐標間的關(guān)系，就是圓心的軌跡方程；判斷直線與圓相交、相切、相離，只需比較圓心到直線的距離d與圓半徑的大小即可；證明弦長相等時，可用幾何法計算弦長。 解答：（1）配方得：設(shè)圓心為(x,y)，則，消去m得則圓心恒在直線。 （2）設(shè)與平行的直線是：， （3）對于任一條平行于且與圓相

14、交的直線：，由于圓心到直線的距離 （與m無關(guān)）。弦長= ∴任何一條平行于且與圓相交的直線被各圓截得的弦長相等。 （二）圓與圓的位置關(guān)系 ※相關(guān)鏈接※ 1．判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法； 2．若兩圓相交，則兩圓公式弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去項即可得到； 3．兩圓公切線的條數(shù)（如下圖） （1）兩圓內(nèi)含時，公切線條數(shù)為0； （2）兩圓內(nèi)切時，公切線條數(shù)為1； （3）兩圓相交時，公切線條數(shù)為2； （4）兩圓外切時，公切線條數(shù)為3； （5）兩圓相離時，公切線條數(shù)為4。 因此求兩圓的公切線條數(shù)主要

15、是判斷兩圓的位置關(guān)系，反過來知道兩圓公切線的條數(shù)，也可以判斷出兩圓的位置關(guān)系。 ※例題解析※ 〖例〗求經(jīng)過兩圓和的交點，且圓心在直線x－y－4=0上的圓的方程 思路解析：根據(jù)已知，可通過解方程組得圓上兩點，由圓心在直線x－y－4=0上，三個獨立條件，用待定系數(shù)法求出圓的方程；也可根據(jù)已知，設(shè)所求圓的方程為，再由圓心在直線x－y－4=0上，定出參數(shù)λ，得圓方程 解答：因為所求的圓經(jīng)過兩圓（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交點， 所以設(shè)所求圓的方程為 展開、配方、整理，得+=+ 圓心為，代入方程x－y－4=0，得λ=－7 故所求圓的方程為 注：圓C1：x2+y2

16、+D1x+E1y+F1=0，圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圓C1、C2相交，那么過兩圓公共點的圓系方程為（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ∈R且λ≠－1）它表示除圓C2以外的所有經(jīng)過兩圓C1、C2公共點的圓 （三）圓的切線及弦長問題 ※相關(guān)鏈接※ 1．求圓的切線的方法 （1）求圓的切線方程一般有兩種方法： ①代數(shù)法：設(shè)切線方程為與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判別式⊿=0進而求得k。 ②幾何法：設(shè)切線方程為利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d=r，進而求出k。

17、兩種方法，一般來說幾何法較為簡潔，可作為首選。 注：在利用點斜式求切線方程時，不要漏掉垂直于x軸的切線，即斜率不存在時的情況。 （2）若點在圓上，則M點的圓的切線方程為。 2．圓的弦長的求法 （1）幾何法：設(shè)圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為L，則。 （2）代數(shù)法：設(shè)直線與圓相交于兩點，解方程組消y后得關(guān)于x的一元二次方程，從而求得則弦長為 。 ※例題解析※ 【例】在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1、C2的方程分別為 (x+3)2+(y-1)2=4和(x-4)2+(y-5)2=4. (1)若直線l過點A(4,0)，且被圓C1截得的弦長為 ，求直線l 的方程；

18、 (2)設(shè)P為平面上的點，滿足：存在過點P的無數(shù)多對互相垂直 的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截 得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件 的點P的坐標. 【方法詮釋】(1)本題求直線方程，因為直線過點A(4,0)，所以只差直線的斜率，因此可利用條件求斜率；(2)因為兩直線都過同一點P(a,b)，設(shè)其中一條直線的斜率為k，由垂直及弦長相等，即可求出點P. 解析：(1)由于直線x=4與圓C1不相交，所以直線l的斜率存在. 設(shè)直線l的方程為y=k(x-4)，圓C1的圓心到直線l的距離為d，因為直線l被圓C1截得的弦長為所以，由點到直

19、線的距離公式得：，從而k(24k+7)=0，即k=0或，故直線l的方程為y=0或7x+24y-28=0. (2)設(shè)點P(a,b)滿足條件，由題不妨設(shè)直線l1的方程為y-b=k(x-a)(k≠0)，則直線l2的方程為y-b=- (x-a)，因為圓C1和圓C2的半徑相等，及直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，所以圓C1的圓心到直線l1的距離和圓C2的圓心到直線l2的距離相等，即 整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|,從而1+3k+ak-b=5k+4-a-bk或1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk， 即(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+

20、8)k=a+b-5， 因為k的取值有無窮多個， 所以或 解得：或 這樣的點P只可能是點P1()或P2()， 當k=0時，對于P1點，P2點經(jīng)驗證符合題意. 綜上可得:P點的坐標為()或(). （四）直線、圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用 〖例〗如圖，矩形的兩條對角線相交于點，邊所在直線的方程為, 點在邊所在直線上． （I）求邊所在直線的方程； （II）求矩形外接圓的方程； （III）若動圓過點，且與矩形的外接圓外切，求動圓的圓心的方程． 解析：（I）因為邊所在直線的方程為，且與垂直， 所以直線的斜率

21、為．又因為點在直線上， 所以邊所在直線的方程為．．-----------------3分 （II）由解得點的坐標為， ------------4分 因為矩形兩條對角線的交點為． 所以為矩形外接圓的圓心． -----------------6分 又． 從而矩形外接圓的方程為．----------------------9分 （III）因為動圓過點，所以是該圓的半徑，又因為動圓與圓外切， 所以，即．------------------------11分 故點的軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線的左支． 因為實半軸長，半焦距． 所以虛半軸長． 從而動圓的圓心的軌跡方程為． -----------------14分 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！