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1、第二章 第二節(jié) 函數(shù)的定義域和值域
題組一
函數(shù)的定義域問題
1.(文)(2009·江西高考)函數(shù)y=的定義域為 ( )
A.[-4,1] B.[-4,0) C.(0,1] D.[-4,0)∪(0,1]
解析:求y=的定義域,
即?[-4,0)∪(0,1].
答案:D
(理)(2009·江西高考)函數(shù)y=的定義域為 ( )
A.(-4,-1) B.(-4,1) C.(-1,1) D.(-1
2、,1]
解析:定義域?-1<x<1.
答案:C
2.若函數(shù)y=的定義域為R,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ( )
A.(0,) B.(-∞,0)∪(0,+∞) C.(-∞,0]∪[,+∞) D.[0,)
解析:依題意,函數(shù)的定義域為R,
即mx2+4mx+3≠0恒成立.
①當(dāng)m=0時,得3≠0,故m=0適合,可排除A、B.
②當(dāng)m≠0時,16m2-12m<0,
得0<m<,綜上可知0≤m<,排除C.
答案:D
3.若函數(shù)f(x)的定義域是[0,1],則f(x+a)·f(x-a)(0<a<)的定義域是
3、 .
解析:∵f(x)的定義域為[0,1],
∴要使f(x+a)·f(x-a)有意義,
須
且0<a<,a<1-a,∴a≤x≤1-a.
答案:[a,1-a]
題組二
函數(shù)的值域問題
4.若函數(shù)f(x)=(a2-2a-3)x2+(a-3)x+1的定義域和值域都為R,則a的取值范圍是( )
A.a=-1或3 B.a=-1
C.a>3或a<-1 D.-1<a<3
解析:若a2-2a-3≠0,則函數(shù)為二次函數(shù),不可能定義域和值域都為R,當(dāng)a2-2a-3
4、=0時,得a=-1或3,但當(dāng)a=3時,函數(shù)為常數(shù)函數(shù),也不可能定義域和值域都為R,故a=-1.
答案:B
5.若函數(shù)y=f(x)的值域是[,3],則函數(shù)F(x)=f(x)+的值域是
A.[,3] B.[2,] C.[,] D.[3,]
解析:令t=f(x),則≤t≤3,由函數(shù)g(t)=t+在區(qū)間[,1]上是減函數(shù),在[1,3]上是增函數(shù),則g()=,g(1)=2,g(3)=,故值域為[2,].
答案:B
6.對a,b∈R,記max{a,b}=.函數(shù)f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的最小
值是
5、 ( )
A.0 B. C. D.3
解析:函數(shù)f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的圖象如圖所示,
由圖象可得,其最小值為.
答案:C
7.(2010·珠海模擬)若函數(shù)y=f(x)的值域是[1,3],則函數(shù)F(x)=1-2f(x+3)的值域是 .
解析:∵1≤f(x)≤3,
∴-6≤-2f(x+3)≤-2,
∴-5≤1-2f
6、(x+3)≤-1,
即F(x)的值域為[-5,1].
答案:[-5,1]
8.分別求下列函數(shù)的值域:
(1)y=;
(2)y=-x2+2x(x∈[0,3]);
(3)y=x+;
(4)y=.
解:(1)分離變量法將原函數(shù)變形為
y==2+.
∵x≠3,∴≠0.
∴y≠2,即函數(shù)值域為{y|y∈R且y≠2}.
(2)配方法
∵y=-(x-1)2+1,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得原函數(shù)的值域是[-3,1].
(3)換元法
先考慮函數(shù)定義域,由1-x2≥0,得-1≤x≤1,設(shè)x=cosθ(θ∈[0,π]),則y=sinθ+cosθ=sin(θ+),易知當(dāng)θ=時,y取最大值為
7、,當(dāng)θ=π時,y取最小值為-1,
∴原函數(shù)的值域是[-1,].
(4)分離常數(shù)法
y=
∵1+2x>1,∴0<<2,
∴-1<-1+<1,∴所求值域為(-1,1).
題組三
函數(shù)定義域和值域的綜合問題
9.(2010·福建“四地六校”聯(lián)考)設(shè)集合A=[0,),B=[,1],函數(shù)f (x)=若x0∈A,且f [f (x0)] ∈A,則x0的取值范圍是 ( )
A.(0,] B.[,] C.(,) D.[0,]
解析:∵0≤x0<,∴f(x0)=x0+∈[,1)B,
∴f[f(x0)]=2(1-f(x0))=
8、2[1-(x0+)]=2(-x0).
∵f[f(x0)]∈A,∴0≤2(-x0)<.
∴<x0≤,又∵0≤x0<,∴<x0<.
答案:C
10.設(shè)f(x)=若f(g(x))的值域是[0,+∞),則函數(shù)y=g(x)的值域是 ( )
A.(-∞,-1]∪[1,+∞) B.(-∞,-1]∪[0,+∞)
C.[0,+∞) D.[1,+∞)
解析:如圖為f(x)的圖象,由圖象知f(x)的值域為(-1,+∞),
若f(g(x))的值域是[0,+∞),只需g(x)∈(-∞,-1]∪[0,+∞).
答
9、案:B
11.規(guī)定記號“*”表示一種運(yùn)算,即a*b=+a+b,a,b是正實(shí)數(shù),已知1];
(2)函數(shù)f(x)=k*x的值域是 .
解析:(1)1]k)+1+k=3,解得k=1.
(2)f(x)=k*x=1]x)+1+x≥1.
答案:(1)1 (2)[1,+∞)
12.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).
(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,
F(x)= 求F(2)+F(-2)的值;
(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在區(qū)間(0,1]恒成立,試求b的取值范圍.
解:(1)由已知c=1,f(-1)=a-b+c=0,且-=-1,解得a=1,b=2.
∴f(x)=(x+1)2.
∴F(x)=
∴F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8.
(2)由題知f(x)=x2+bx,原命題等價于-1≤x2+bx≤1在x∈(0,1]恒成立,即b≤-x且b≥--x在x∈(0,1]恒成立,
根據(jù)單調(diào)性可得-x的最小值為0,
--x的最大值為-2,
所以-2≤b≤0.