4、與輸入采樣開關(guān)S」司步工作，具有同樣的采樣周期T，這樣，在￡
和S2兩個(gè)采樣開關(guān)之間可以定義脈沖傳遞函數(shù)G(Z)為
G⑵=z［二.上卜Z［迎-迎］=虬一產(chǎn)\
|_5 + 2 s + 5」 |_s + 2 5 + 5 J 3 (z-e ~ )(z-e 5,)
所以，采樣系統(tǒng)的輸出C(z)為
10 z(e~2T -e~5T}
C(z) = G(z)/?(z) = -> ' ~~宏? R(z)
3 (z-e )(z-e )
圖7-7開關(guān)采樣系統(tǒng)
②圖7-6 (b)：因閉環(huán)采樣系統(tǒng)的前向通路有采樣開關(guān)存在，故計(jì)算C(z)是有定義
的，且根據(jù)C(z)的計(jì)算公式有
C(z
5、) =
G,(z)
1 + G°(z)
其中 G()(z) = Gl(z)G2(z)H⑵;G/ (z) = G⑵GJz)R(z)。故所求系統(tǒng)的輸出 C(z)
的表達(dá)式為
G(z)0(z)R(z)
l + G[(z)GJz)H(z)
圖7-8閉環(huán)采樣系統(tǒng)
③ 圖7-6 (c)：因所示系統(tǒng)可等效為7-8所示的
形式，由圖可以看出，在內(nèi)回路和外回路的前向通路
中均有采樣開關(guān)存在，故計(jì)算C(z)是由意義的。由圖
可求得內(nèi)回路的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為
Oi(2)= _^U
' 1 + G@(z)
由C(z)的計(jì)算公式有
1 + G°(z)
其中
G,(Z)
G°(z
6、) = Q(z)G3(z)= 次
1 + G02(z)
Gf(z)=中|(z)R(z)=；須項(xiàng))R(z)
1 + G]G2(z)
故所求系統(tǒng)輸出C(z)的表達(dá)式為
c(z)=―⑵= G(g)
1 + G°(z) 1 + 0G2(z) + G(z)G3(z)
④ 圖7-6 (d)：由于所示閉環(huán)采樣系統(tǒng)中有兩條前向通路，因此在求G/(z)時(shí)需要
將這兩條通路都考慮進(jìn)去。由圖得G。(z)和G f (z)分別為
G0(z) = GhG3G4(z)
Gf (z) = RG2G4 (z) + RG] (z) ? GhG3G4 (z)
故所求系統(tǒng)輸出C(z)的表達(dá)式為：
=RGRB
7、 + RG&mGQ ⑵
1 + Gqa(z)
例7-13如圖7-9所示的離散時(shí)間系統(tǒng)，試求其單位階躍響應(yīng)。采樣周期T=1 s o
1-^
—
1
■
S
s(s +1)
C (s)
圖7-9
解：閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為
d)z[如]
. z z z
廠F-—+—-]
(z-1) z-l z-e
_ /z + 1-2/
_ z2_(l+/)z + /
所以
0.368z +0.264
=G(z)/?(z) = z2 -1.368z +0.368 z
—1 + G(z) 一 ]+ 0.368z +0.264
8、z-\
z2 -1.368z + 0.368
_ 0.368z + 0.264 z
z~ — z + 0.632 z — 1
0.368 z?+0.264 z
~ z3-2z2 + 1.632z-0.632
=0.368 +z" +l.S4z—3 +1.以-4 +i.i47 z-5
+ 0.894z-6+0.802z-7 +0.866z-8 + …
對C( Z)進(jìn)行反變換，就可以得到各采樣時(shí)刻的輸出值。
c(0)=() c(T)=0.368
c(4T)= 1.340 c(5T)= 1.147
c(2T)= 1.000 c(3T)= 1.340
c(6T)=0.894 c
9、(7T)=0.802
c(8T)=0.866
例7-14己知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖7-1()所示，試畫出參數(shù)K-T穩(wěn)定域曲線(T為采樣
周期)。
解：系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為
G(z) = Z
K
s(s + 1)
Kz(E_)
(z-l)(z-e~T)
閉環(huán)特征方程為:
圖7-10閉環(huán)采樣系統(tǒng)
D(Z) = (z - l)(z - a，) + Kz(l - g-r)
=0
=z? + 伙(1 一 g-T) - (1 + e~T)]z + e~T
解一：用勞斯判據(jù)求解
令z = 心，代入方程化簡后得
（0~\
Ka）2 + 2功 + [2（1 + 門）_
10、 k] = 0
\-e~r
列出勞斯表如下
蘇 2 0
根據(jù)勞斯判據(jù)得系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為
k>0 及 K< 2（E '）
l-e~r
由上式可找出采樣周期7與放大系數(shù)K之間的關(guān)系。畫出穩(wěn)定邊界曲線，即K-T曲
線如圖7-11所示。
由圖可看出，采樣周期增大，即采樣頻率減小，臨界K值減小，從而降低了系統(tǒng)的
穩(wěn)定性。
解二：用朱利判據(jù)求解在閉環(huán)特征方程中，因〃 =2故2〃 —3 = 1,即本例中的朱利
圖7-11采樣周期T與放大系數(shù)K
陣列只有一行。故所求陣列為
行數(shù) z° z, z2
1 洪[K(l-gT)-(l + e-7)] 1
根據(jù)朱利判據(jù)穩(wěn)定性要求：
11、0(1) = 1 + [K(l -- (1 + 疽)J + e-r >0
D(-l) = 1 + [K(l -) -(1 + gT)J(-1) + e~T >0
e^T <0 (約束條件)
得系統(tǒng)穩(wěn)定條件為
k>0 及 k<2(1 + %Z)
\-e~T
可以看出，由勞斯判據(jù)和朱利判據(jù)得到的系統(tǒng)穩(wěn)定條件是一樣的。但利用朱利判據(jù)
比較簡單。
例7-15設(shè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖7-12所示，采樣周期T=ls。設(shè)K=10,試分析系統(tǒng)的
穩(wěn)定性，并求系統(tǒng)的臨界放大系數(shù)。
圖 7-12
解：(1)由圖7-12得：
?、K(l-e~Ts) 10(1-峪)
G(s) = — =—
12、:
s“s + l) s“s + l)
其對應(yīng)脈沖傳遞函數(shù)
?、10(0.368z +0.264)
G(z)=—
z2 -1.368z + 0.368
從而求得閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)
?、 G(z) 3.68z + 2.64
O(z)=————=—
1 + G(z) z2+2.31z + 3
由此得系統(tǒng)的特征式為 z2 + 2.3 lz + 3 = 0
求解上述方程可得一對共扼復(fù)根
2, =-1.156 + jl.29 22 =-1.156-;1.29
分布在單位圓外，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。
(2)由系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)
K(0.368z + 0.264)
G(z
13、)=—
z2 -1.368z + 0.368
求得系統(tǒng)的特征方程為
z2 -(1.368 - 0.368 K)z + (0.368 + 0.264 K) = 0
進(jìn)行W變換得到
(2.736 - 0.104 K)W2 + (1.264 - 0.528 K)W + 0.632 K = 0
列勞斯表計(jì)算
W2 2.736-0.104K 0.632K
Wl 1.264-0.528K 0
WQ 0.632K
要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須有勞斯表第一列各項(xiàng)系數(shù)為正的條件，即必有
0.632K > 0
< 1.264 — 0.528K>0
2.736 - 0.104K〉。
得到系統(tǒng)的
14、臨界放大系數(shù)為 K=2.4
例7-16試分別用靜態(tài)誤差系數(shù)和動態(tài)誤差系數(shù)法計(jì)算圖7-13所示系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤
差。
(1) 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-13所示，其中K = \0,T = 0.2,r(r) = l(r) + r + -r2 <>
2
(2) 己知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7T4所示,其中K = l,7 = 0.1,心)= 1。) +，
a 5s v
圖 7-13 圖 7-14
解：系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為
'\-e~Ts 10(1 +0.5打
? 2
= (l-z-')Z
10(1 +0.5s)-
a
S ，廠
$3
G(z) = Z
(Z — l
15、)3
= io(i-z-,)z 二+榮+9
S' s s
5T2z(z + l) 5Tz
+ (z-l)
令7 = 0.2,代入上式簡化后得
L2z-O8
(z-1)2
解一：靜態(tài)誤差系數(shù)法
可以看出開環(huán)系統(tǒng)為II型。因此
1.2z-0.8
+ (Z-l)2
=00
位置誤差系數(shù)
Kn = lim[1+ G(z) J = lim 1
〃 Z->1 z->l
速度誤差系數(shù)
I 2- — 0 A
K、= lim(z - l)G(z) = lim(z -1) ―= oo
n ii (z-1)-
加速度誤差系數(shù)
K(l =lim(z-1)2
16、G(z) = lim(z-l)2 ⑵一°；、= 0.4
11 il (z — l)~
故系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為
1 T T2
e(oo) = eKV = 1 F ——=0.1
匕,Kv K.
解二：動態(tài)誤差系數(shù)法
因系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)為
(Z — l)2
中(Z)= — —
e 1 + G(z) 1 1.2Z-0.8 z2 -0.8Z + 0.2
(z-1)2
中,*（S）= C,,（Z）I
(eTs -1)2
村0”_°2及_0.8《八+0.2
誤差系數(shù)為
水t)g * (s) |
2T(eTs -1)
Ts 2 (2Te2Ts-0.STeTs)
' )(
17、凌萬 _0.8/+0.2)2 凌及一0險(xiǎn)八+02
=0
5=0
dW*(s)
勺--ds - 5=0
4疽嚴(yán)及(_2決奔 +6.2。5六一7.88eg +5.36。爪 一2.08。折 +0.44/' 一一0.04)
(產(chǎn)—0." +0.2)4
47七3及(_2/符 +6.4疽八—7.8如抓 +4.64疽及 一 1.36/ +0.16)
(/ 一0.8/ +0.2滬
卜 0.8疽/QU及 一8.阮5公 +10.52《場-6.72e3Ts + 2.44疽及 一 0.48/ +0.04)
疽及一0.8建+0.2）
18、
1.67^2無(2/7：，一 6.4疽八+7.84/萬 一4.64疽八 +1.36/ - 0.16)
(疽於一 0.8 必 +0.2)4
T2eTs (~2e2Ts +4eTs -1.2)
(凌於 一0.8/' +0.2)2
= 5T2
= 0.2
s=0
又r(r) = 1 +，, r(r) = 1,所求之誤差級數(shù)為
e(nT) = c{)r(nT) + c} r(/?T) + — c2r(nT)
= -Gr(nT) = -xO.2x 1=0.1
2! ■ 2
所
19、以
e(oo) = 0.1
(2)系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為
G(z) = (l-z_,)Z
=(1?)
52(5 + l)
Tz (l_g")z
(z-i)2 (z-i)(z-g-r)
令7 = 0.1,代入上式化簡后得
0.005 (z +0.9)
G(Z)=(z-l)(z-0.905)
解一：靜態(tài)誤差系數(shù)法
顯然，系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，因此
0.005(z + 0.9)
匕=蚣 U + G(z)] =甄 1+(zT)(2?0.905)
20、
=00
速度誤差系數(shù)
K, Tim (z -l)G(z) = lim (z -1)。弋《 二噫=0.1
n (z-l)(z-0.905)
故，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為
6-L+L 丑=1
Kp Kv 0.1
解二：動態(tài)誤差系數(shù)法
因系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)為
。 1 + G(z) z2-1.9z + 0.91
所以
誤差系數(shù)為
5=0
% =Q*(s)|s=o =0
如/(s)
=(/一1)
(g/ — 1.9gR +0.91)7/ —(/ —0.905)(2此2萬 一1.9丁/)
(e2Ts -}.9eTs +0.91)2
戒 一 0.905
凌
21、萬一1月/ +0.91
所求系統(tǒng)的誤差級數(shù)為
4-
TeTs
= 0.95
s=o
e(〃T)=門(.丁) 4- c, r(nT) = 0.95
故
g(oo) = 0.95
例7-17已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-15所示，K=10, T=0.2s, r (r) =1(，) +什1/2戶。
求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。
將y =(e"z)T代入上式，可得E(z)為
廣，、 T(礦,z)T TzeaT
(Z)=[l-(e-z)- ]2=(^)
例7-2試求《(滬1-廠的z變換。
s2(s + ])
解：求Z變換的另一種方法是直接利用Z變換表。先將E(s)展為部分
22、分式，然后求
每一部分分式項(xiàng)的Z變換，并將它們組合在一起便可得E(z) O
① 將E(s)展成部分分式，則有：
頊S)=
(1 1
=(1_°5)———+
3 s
(1 1 1)(11 1
~; H I H
S S + \ J S $ + 1
②求每一部分分式項(xiàng)的Z變換：得與+ 相應(yīng)的Z變換
U2 S 5 + 1J
[_Tz , Z ),與f± _1 + _1_V相應(yīng)的 Z 變換為( + Z Ji，
t(z-l)2 z-1 z-e~T) U2 s S + 1J "(z-l)2 z-1 z-e~T)
所以
F(z)=(l-z-')
Tz z
23、 z
Jz-1)2 + z-e-Tj
T ] | z-1 _ i-(7 + i)e-，+(r-i + g-，)z
z-1 z-e_T ~ 仁-1)—-疽)
z2
i-(r+i)e-7'+(r-i+g-7')z
z2 ~(\+e~T)z + e~T
例7-3試用部分分式法，幕級數(shù)法和反變換公式法求函虹⑵=(「0.8)0?！?
的Z反變換。
解一：用昴級數(shù)法求z反變換
用長除法將已(z)展為
解：系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為
把r=o.2代入得
G(z) = Z[l W + 5]
s2
=(pz[業(yè)羿]
可以求出：位置誤差系數(shù)
Kn = limfl + G(z)] =
24、 lim[l + LZi：半]=g
P ZTl 11 (Z-l)2
速度誤差系數(shù)
Kr =lim(z-l)G(z) = lim(z-l) ——r— = oo
z->l z->l
(Z-頂
加速度誤差系數(shù)
K, =lim(z-l)2 G(z) = lim (z _ 1)2
a Z->1 2 ->1
1.2z-0.8 = Q4
(z-l)2
所以系統(tǒng)的穩(wěn)定誤差為
T2
1 T .
e(oo) = e =——+ ——+ ——=().1
Ar A
例7-18如圖7-16所示系統(tǒng)，己知G, (s)= 爪，用根軌跡法確定k值的穩(wěn)定范
s(s +1)
圍。采樣周期T=0.
25、5so
R (s)
圖 7-16
解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為
G(s)=
K
s(s +1)
52(5 + l)
得到脈沖傳遞函數(shù)
當(dāng) 061.73 時(shí)，zi, 2均為實(shí)根,
ZI.2為共扼復(fù)根。
而當(dāng) 0.22 lvK<61.73 時(shí),
特別是
當(dāng)K=0時(shí),
當(dāng) K=0.221 時(shí),
當(dāng) K=61.73 時(shí),
為求共扼復(fù)根軌跡，取z = a，j/3代入特征
zi=l Z2=0.6065
zi. 2=0.7915 （重根）
zi. 2=-2.485 （重根）
圖 7-17
方程，并分別列出實(shí)部與虛部
G(z) =
26、
(g'+r-l) + (l — g-7—7>-7)zT
(l-z-'Ml-e-V1)
K (嚴(yán) 一 0.5)z + (l - 1.5°一°‘)
(z-l)(z-e-05)
K 0.1065z +0.0902
(z — l)(z —0.6065)
顯然根軌跡起始點(diǎn)為1和0.6065o
系統(tǒng)特征方程為
z2 -(1.6065 — 0.1065 K)z +(0.6065 + 0.0902X) = 0
其特征根 zL2
1.6065 一 0.1065 K 土 Jo.0113 (K - 0.211)(K - 6.73)
a2-/?2-(1.6065 - 0.1065K)a +
27、0.6065 + 0.0902K = 0
j/}(2a -1.6065 + 0.1065/C) = 0
爪_ 1.6065-2。
0.1065
(a + 0.8467)2 +厭=1.6382
說明特征方程的共扼復(fù)根都位于上式所描述的圓上。所以可以做出如圖7-17所示根
軌跡。
在z平面上作出單位圓，由圖上可以看出，當(dāng)0〈K〈0.22時(shí)系統(tǒng)非振蕩穩(wěn)定，當(dāng)0.22
〈K〈4.36時(shí)系統(tǒng)振蕩穩(wěn)定，當(dāng)K) 4.36時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。
例7-19設(shè)采樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖7-18所示，其中k = 2,試在伯德圖上分析系統(tǒng)
的穩(wěn)定性。
解：由圖可的開環(huán)傳遞函數(shù)為
G(睥空旦
$2(S
28、+ 1)
圖7-18閉環(huán)采樣系統(tǒng)
從而求得
gb 八+ E)
z2 -(1 + 6? )z + e
,0.37z + 0.26
——k
z2-1.37z + 0.37
令z =上龍，得
\-(0
0.37(旦當(dāng)+ 0.26
=k 1 _ ?
￡ 蕓 (冬)2_1.37(!±絲)+ 0.37
1-69 1-69
二 k 0.37(1 + 切)(1 一 刃)+ 0.26(1 一 切)2
一 (1 + 切)2 — 1.37(1 + 0))(1 -CD) + 0.37(1- co)2
,-0.11(^2+0.47^-5.7)
—k
口 (2.7S + 1.26
29、)
^0.11x5.7 .(刃— 1)(0.175切+ 1)
1.26 切(2.17/+1)
G(刃)=G(z)
以k=2代入得
?、 (切一 1)(0.175 切 + 1) (1 一 切)(0.175刃 + 1)
G(69)= =
69(2.17^9 + 1) 69(2.17^ + 1)
以CD = jCOp代入得
Gg) =
(I — /% )(0.175/0+1)
心 2.17/斜+1)
ZG(jcop) = 一90" - arctan2.17a)p 一 arctanq, + arctanO. 175%
對數(shù)頻率特性的交接頻率分別為
co. = —-—
30、= 0.46,69 = I,/,. = —-— = 5.7
pl 2.17 "2 P3 0.]75
將對數(shù)幅頻特性和相頻特性分別畫在圖7-19上，得
%=0?6"=7°
所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的，但穩(wěn)定裕度較小。
圖 7-19
例7-20離散系統(tǒng)如圖7-2()所示。試分析該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并確定K值的穩(wěn)定范
圍。
解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù):
s s +1 s(s +1)
1甘
s
■
i+r
對應(yīng)的z變換:
圖 7-20
閉環(huán)特征方程:
即：
一 1 vK<
l + e"
31、1-
-T
例7-21 圖7-21所示系統(tǒng)的采樣周期Ts=ls,試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的K值范圍。
R(s)
C(s)
圖 7-21
解:
由題意可知
伙)=(* — 1)+ e\ (k)
￡2(z) = z-,E2(z) + ￡,(z)
弘)
0(z) 1-Z-*
因而
1 刀―。一八 K 1-z-' 7(K K
G(z) = -~ Z( ) = - Z( )=
1 - Z S S 4- 1 l-z S S +1
K(l-/)z 0.632KZ
(z — l)(z - /) 一(z - l)(z - ().368)
特征方程
32、為1+G (z) =0,經(jīng)化簡后得
D(z) = z2 +(0.632 K — 1.368)z +0.368 =0
對。(z)進(jìn)行雙線性變換，令z = j，化簡得
1 一 W
(2.736-0.632K) W 2+1.264 W +0.632K=O
列出勞斯表如下
vv2
2.736-0.632K
0.632K
1.264
vv°
0.632K
若系統(tǒng)要求穩(wěn)定,
則 2.736-0.632/00,
K>0
(XKV4.329
例7-22已知離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-22所示，其中ZOH為零階保持器，T=0.25s。
當(dāng)r(t)=2+t,欲使穩(wěn)態(tài)誤差小于
33、0.1,試求K值。
解：開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：
G(z) = -― ? z
z
圖 7-22
在階躍輸入R(z)下的穩(wěn)態(tài)誤差％]=0,
值，且：
z-l KTz _2 KTz~2
z (z-1)2 z-l
2z Tz
R(z) = z[r(r)] + z[2 +，] = — + -_—
z-l (z_l)_
=R|(Z)+ /?2(Z)
而單位斜坡輸入RKz)下的穩(wěn)態(tài)誤差e”2為常
e.ss2
T
K=]im(z-l)G(z) = KT
Z->1
故系統(tǒng)在/
34、 &V0.1,即 1/KV0.1,即 K>IO。
例7-23某數(shù)字控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖7-23所示。己知r = ciT,ci為正整數(shù)，GJs)
為零階保持器，試設(shè)計(jì)數(shù)字校正器D(z),使系統(tǒng)在單位階躍輸入下輸出量。(〃丁)滿足圖
7-24所示的波形。
c(nT)
鏟'(a+l)T
圖7-23數(shù)字系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖
解：根據(jù)題意由
圖7-24系統(tǒng)輸出特性
-SI)
C(z) =(D⑵ R(z)=—-
1 — z
其中中(z)為系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，且O(z) = z~(fl+,) O由于
Gq)(z) = g(s)G°(s)l = Z
s(" + l)
(l-z~l)z
35、~aZ
K.
Ka
zF
Ll-z-' l-e~r/^z-1
1-z- 1
1-產(chǎn)十.
= z~aK ? ——七
“ 1-產(chǎn)十
一 \-e-T,Taz~x
因此由 中(z)= D(z)G"Go(z) =z-g)可得
l + O(z)G/,G°(z)
中(z)
一(。+1)
1 - z"(a+I)
D( z) = =
G0o(z )[12 ⑵]K.(l-g-S)zT5
l-e-T/r^z~l
例7—24己知離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-25所示。其中，采樣周期T=ls,連續(xù)部分傳
遞函數(shù)G°G) =—-—。試求當(dāng)/W=KD時(shí)，系統(tǒng)無穩(wěn)態(tài)誤差，過渡過程在
36、最少拍內(nèi)結(jié)
s(s + 1)
束的數(shù)字控制器D(z)o
解：
G(z) = Z
1
S(S 4-1)
=Z --
_S 5 + 1
0.632z
圖 7-25
z
z-1 z-e~] (z-l)(z-0.368)
依最小拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法，當(dāng)r(t)=l(t)時(shí),
O(z) = z_,
中 e(Z)= l-ZT
故數(shù)字控制系統(tǒng)器的脈沖傳遞函數(shù)：
D(z)=
[1-①(z)]*G(z)
z_l
0.632z
中(Z)
z —0.368
-ix u.uj 匕匕 0.632z
U _ z )
(z — l)(z —0.368)
例7-2
37、5己知離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-26所示，其中采樣周期T=iso若要求系統(tǒng)在
單位斜坡輸入時(shí)實(shí)現(xiàn)最少拍控制，試求數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)D(z)o
解：系統(tǒng)連續(xù)部分傳遞函數(shù):
G(s) =
IQ(l-e^)
s”s + l)
圖 7 — 26
(1 一疽)Z
s"s + l)
(z — l)2 (z — l)(z — eT)
G(z) = Z
10(1 一。"')
$2(s + l)
Tz
(Z-l)2
3.68zT(1+0.717zT)
一(1-zT)(1-0.368z-i)
依據(jù)r(l)=l,依最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù):
O)(z
38、) = 2z-|(l-O.5z~l)
誤差脈沖傳遞函數(shù)：
0/5)= (l-Z-1)2
數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)：
D(z) =
①(z)
G(Z)① e(Z)
2zT(1-0.5zT)
~i (] — Z )
(l-z_1)(l-0.368z_,)
0.543(1-0.368Z-1 )(1-0.5z-')
(1 — zT)(1 + 0.717zT)
例7-26己知離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-27所示。采樣周期T=lso要求設(shè)計(jì)一數(shù)字控制
器。(z),使系統(tǒng)單位斜坡函數(shù)t輸入時(shí)，系統(tǒng)無波紋無穩(wěn)態(tài)誤差，且在最小拍結(jié)束過渡過程。
解：由題7-25可知:
G(z) = Z
39、10(1-/)
s2(s + l)
0.368zT(1 + 0.717zT)
圖 7-27
選取:
(1 — zT)(1 — 0.368zT)
0)(z) = z_, (1 + 0.717z_, )(q + bz~l)
W)= ZT(1 — ZT)(1+CZT)
其中，a, b, c?為待定常數(shù)。
1 -色(z) = (2 - c/ + (2c -l)z~2 一 cz-3
0)(z) = z_,(l + 0.717 z_, )(q + 阮 t)
=az~' + 0 + 0.717 a)z'2 + 0.717 z-3
對應(yīng)的系數(shù)相等(因?yàn)閘-0\(z) = e(z)
40、),故解得:
1.408; b = -0.826; c = 0.592
所以：
中(z) = z_, (1 + 0.717 zT )(1.408 - 0.826 z_,)
=1.408 z_, (1 + 0.717 z_, )(1- 0.587 z_,)
色,(z) = (1 — zT)(1+0.592zT)
數(shù)字控制器：
G(z)色(z)
_ 1.408z_, (1 + 0.717z-i )(1- 0.587z_1)
_3.68z：(l + 0.717z? OR/
(1-z-i)(1-0.368zT)
0.383(1 - 0.368/ )(1 - 0.587zT )
41、
(l-z-,)(l + 0.592z_,)
例 7-27
系統(tǒng)使其對
已知系統(tǒng)方框圖如圖7-28所示，且G(s)= ，采樣周期試設(shè)計(jì)
s(s + 1)
(r) =1 (。的響應(yīng)穩(wěn)態(tài)偏差為0,并旦在有限拍內(nèi)結(jié)束過渡過程。
R (s)
圖 7-28
解：因?yàn)?
所以有
G ⑵=z z = (l-e")z
° z-1 z-e~] (z-l)(z-/) (z-l)(z-0.368)
設(shè)q為G)(z)中分母高于分子的階數(shù)，有q=0
要求系統(tǒng)無差度，選擇
0.632z
所以
")y=GE ⑵
Z — 1
0.632z
G°⑵
(z — l)(z —0.3
42、68)
校正后系統(tǒng)方框圖如圖7-29所示。
茶IF* —。*
圖 7-29
R
例7-28 設(shè)離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖7-30所示。要求當(dāng)系統(tǒng)輸入信號為
尸(，)=布乂1(。+甲時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差為0,并在有限拍結(jié)束過度過程。試分別用連續(xù)式校正和
離散式校正設(shè)計(jì)上述系統(tǒng)。采樣周期7；)= Is。
1 - e~T°5 -
K
C (s)
J *
A _
A v- ■
s
s
k
R (s)
圖 7-30
解：由于
r(t) = % x l(r) + /* x/
我⑵=塵+ 砂 =E+GFz
-z-1 (z - 1)2 一 (Z-1)2
43、而系統(tǒng)的不可變部分
廠小冏―峪)
G°(s) = 2
其對應(yīng)的
1 + 0.9Z"1 +0.73z-2 +0.585z-3
z2-0.9z + 0.08
z2-0.9z + 0.08
- 0.9z — 0.08
Q.9z-0.81 + 0.072zT
-) 0.73-0.072z-】
Q.73 — 0.657zT +0.0584z—2
-0.585z_, -0.0584z'2
所以E(z) = l + 0.9z~, +0.73z—2 + 0.585 z-3 +…，相應(yīng)的脈沖序列為
e * ⑺=8(t) + 0.9S T) + 0.73 漢"27) + 0.5855
44、。一 37) + …
e*(1)代表的脈沖序列如圖7-1所示。
相應(yīng)采樣時(shí)刻的8。)值為：
e(0) = 1, e(T) = 0.9, e(2T) = 0.73, e(3T) = 0.585,?? ?
解二：將E(s)展開成部分分式求z反變換
為了能在Z變換表中得到相應(yīng)的E(s)的形式，需將E(s)表示為如下形式:
E(z) _ z _ 8/7 1/7
匚一一(z-0.8)(z-0.1) 一 z-0.8 一 z-0.1
所以 E(z) = -*—-——-*——
7 z-0.8 7 z-0.1
得：
Q 1
頃)=一 (0.8)〃 ——(0.1)'盤=0,1,2,…
7
45、 7
采樣時(shí)刻的值為
e(0) = 1, e(T) = 0.9, e(2T) = 0.73, e(3T) = 0.585, ? ? ?
所以 圖7T
8
= ^e(nT)3(t - nT)
n=0
s Q 1
=￡玲(0.8)”一3(0.1)”0(，一\。)
n=o 7 7
=3Q) + O.W-T) + 0.735。一 2T) + 0.5855。一 37) + …
選擇
2z-l
⑴用離散校正方法。由于編暗”
得到
2z-l 1 2-z_,
%z)=器_ k(z_i)_ k —t
校正后方框圖如圖7-31所示。
46、
（2）用連續(xù)校正方法。由
G3 與EF
其對應(yīng)的
Gq = {+M = l±了
S S S
系統(tǒng)不可變部分特性為
可求得
"）=森=若？
校正系統(tǒng)的方框圖如圖7-33所示。
R (s)
C (s)
圖 7-32
若將G(z)化成如下形式:
0(睥二=心*11 = (1-ZT)［蘭0 + 2—J
(z-1)2 2(z-l)2 2(z — l)3 2(z — l)2
則其對應(yīng)的
而
所以有
gm
s2
")=蕓3=(土+土)
解三：
47、用反變換公式法求Z反變換
由e（〃r）= -^￡E（z）z〃—2z = ￡[E（z）z'j極點(diǎn)z,處的留數(shù)J知，它有兩個(gè)極點(diǎn)zi
=0.8 和 Z2=0.1,所以
e(nT) = [E(z)zn-'^z} =0.8 處的留數(shù)]+[頊 z)z'i 在弓=0.1 處的留數(shù)]
=[c1] + [c2]
其中
z2
"既（z-0.8）E（疽四”-。.8）（?！?睥_?！唬?
Q
=,(。.8)〃
c, = lim(z — 0.1)E(z)zi = —(0.1)M
z->o.i 7
所以
X 1
e(nT) = - (0.8)” ——(0.1)”, n = 0
48、,1,2, ? ? ?
7 7
采樣時(shí)刻的e?）值為
e(0) = l,e(T) = 0.9,e(2T) = 0.73, g(3T) = 0.585,??-
所求z的反變換為
e*Q) = ￡e(〃T)S(I - nT)
n=0
8 Q 1
=Z 修(0.8)”-：(0.1)〃]W-M)
?=o 7 7
=況。+ 0.W-H + 0.735。一 2T) + 0.585$(，一 37) + …
可以看出，三種反變換的方法結(jié)果是一致的。
例 7-4 求 G（S）= （T為采樣周期）的脈沖傳遞函數(shù)。
S（S + Q）
解:
貝)=“y)=(i-^)(4-—+墮)
7z
49、
s~(s + q) s~ s s + a
Z[G(s)] = (1 - zT )Z[4- —+ 里]=三1 [fr - —( 'J =
， c c + a z (z-l)~ o(z-l) a(z-e )
(W +- l)z + (1 - "T 一 ClWaT )
a(z-l)(z-e~aT)
例7-5已知E(z)=2"_?,試求Z反變換g(〃r)。
(z2+l)2
解：E⑵=咨導(dǎo)’有兩個(gè)二重極點(diǎn)'即氣「Si
E(z)z〃t
2zz,(z2-1)
(22+1)2
E(z)zn~l在z = Z點(diǎn)的留數(shù)
Res[E(z)zi,i] = lim 歹："：)]=
50、
f dz (z + z)~
阮 2[(〃 + 2)z* -〃](z + 計(jì) 一 2z”(z? -1) x 2(z + i)
i (Z + Z)4
2[(〃 + 2)z" -〃z"T](z + i)-4z〃(z2 _1) .
(z + i)
lim ； = m
z->i
Res[E(z)z,—i] = lim 4[竺M卻]=
it dz
跖 2[(- + 2)z"+i z" '](z-i)-4z"(z2 一 1) = ]〃_]
f (z-i)3 ~ _
e(nT) = ￡ Re s{E{z)zn~x\ = ￡〃尸[1 + (-l)n_, J = ￡(一1)〃 2(2〃
51、+ 1) = ^2/?sin —
〃=o h=o 11=0 ?i=o 2
例7-6試求圖7-2所示系統(tǒng)的輸出Z變換C ( z)0
C (s)
—>r^ — s)
S + 2 (2) 2s +1
解：(1) C(z) = Z( 2 5 z) = z(竺—地|)R(z)
s + 2 s + 5 s + 2 s + 5
產(chǎn))
10. z z 1()
~3{z-e~2T~ z-e-5T z ~S(z-e~2r)(z-e
(2)
C(z) = Z(
2
10s + l
)Z(gz)
0.2z 0.6z
zW
z —。一°"
R(z)
R(z)
52、
0.12z2
(z-e_0-,7')(z-e-0-5r)
例7-7求圖7-3所示采樣系統(tǒng)輸出C ( z )表達(dá)式。
解:
E(z) = R(z) — C(z)G3(z)
而 D(z) = E(z)G,G2(z) - D(z)G|G2(z)
因此
所以
D(z) =
GG⑵
1 + G,G2(z)
頊Z)
C(z) = ￡(z)G,⑵一 D(z)Q(z) =
r^B)￡(z)
圖7-3
C(z) =
G|(z)R(z)
1 + GG(Z)
G(z)
1 + G0(z)
C(z)G3(z)
53、
C(z) =
0(z)R(z)
l + GR(z) + G ⑵ G3 ⑵
例7-8試求下列函數(shù)的初值和終值。
(1)E(z) =
z2(z2 +Z + 1)
(z2-0.8z + 1)(z2+z + 0.8)
(2)
廠,、 1 + 0.3zT +0.山一2
z 一 1—4.2z_ +5.6z-2—2.4z-3
(提示：應(yīng)用終值定理是有條件的，即函數(shù)E(z)在單位圓上和單位圓外解析。)
解：(1)由初值定理得
e(0) = lim e*(f) = lim E(z)
r->0 ztco
z4 + z3 + z2
一坐 z4 +
54、0.2z3 + z2 +0.36Z + 0.8 — I
由于E(z)有四個(gè)極點(diǎn)，且都位于單位圓內(nèi)，故由終值定理得
g(co) = lim e (r) = lim -―- E(z)
一8 Z->1 Z
z4 + z3 + z2
= lim * 」’~ ~ = 0
ZF z Z4 + 0.2z3 + z2 + 0.36z + 0.8
(2)由初值定理得
e(0) = lim E(z) = lim
Z-?O0
14-0.3Z"1 +0.1z'2
1-4.2Z-1+5.6z-2 -2.4Z-3
=1
由于E(z)三個(gè)極點(diǎn)中，有兩個(gè)極點(diǎn)zi = 1.2和Z2 = 2在單位圓外，
55、故不能直接用終值
定理求解。可用綜合除法判斷其終值。
例7-9試用z變換法求解下列差分方程:
e(k + 2) - 3e(k +1) + 2e(k) = r(k)
己知r(r) = <5)(1)以及當(dāng)k<0時(shí), ") = 0
解：因r(0 = 3(1),于是有
l,k = 0
0,S0
■
令7[e(k)] = E(z),且Z[r(*)] = 1,由z變換的實(shí)位移定理得
Z[e(k + 2
56、)] = zE(z) = = — H —I-
(z-l)(z-2) z z -1 z-2
一1,。3=!，故
Z Z 1 Z 1 Z 1 Z
可得E(z)的反變換為
e(幻=火)-⑴*(2% = 0』，2,…
故可得e(Q各個(gè)時(shí)刻的值為
E(z) 一 z2e(0) 一 ze(V)
Z[e(k + 1)J =淫(z) - ze(O)
對差分方程兩邊取z變換，經(jīng)整理后有
(z2-3z + 2)E(z) = 1 + (z? + 3z)e(0) + ze(l)
本例中的初值e(0)和e(l)可根據(jù)題設(shè)條件：e(k) = 0當(dāng)^<0,來確定。
確定e(0):由題設(shè)可直接定
57、出c(0)=。(幻| = 0;
確定e(l)：以k = -\代入原方程得
e(l)-3e(0) + 2e(-l) = r(-l)
由題設(shè)可知，e(-l) = 0,r(-l) = 0 ,代入上式后可得e(l) = 0 0將所求的初值
e(0) = e(l)=0代入z變換方程中，得
(z2 —3z + 2)E(z) = l
所以
E(z) = ^―!——= ?
z2-3z + 2 (z-1)(z-2)
求E(z)的z反變換方法很多，下面僅用部分分式法求解:
E(z)= ? =
所以
￡'⑵= 5'z Z-1 2 Z-2 2 Z-1 2 Z-2
(z-l)(z-2) z
58、(z-l)(z-2)
e(0) = 0,
e(l) = 0,
。⑵=1,
g(3) = 3,
e(4) = 7,
四5) = 15
例7-10設(shè)有圖7-4 (。)，3)所示系統(tǒng)，均采用單速同步采樣周期T。試求各系
統(tǒng)的輸出C (z)表達(dá)式。
(a)
C (s)
R (s)
C(s)
(b)
圖7-4
解：對于圖7-4 (。)所示系統(tǒng)，
C(z) = Z
R(z) = Z(切號-也］)R(z)
5 + 2 54-5
G(z)
對于圖7-4 (寸)所示系統(tǒng),
az)=l + 0(z)G3(z) + G0(z)
例7-11采樣系統(tǒng)如圖7-5所示，采樣周期T=().2s。當(dāng)R (s) =0時(shí)，求在擾動信
N (s)
《自動控制理論》第七章例題解析
