第8章 常微分方程數(shù)值解法 本章主要內(nèi)容： 1．歐拉法、改進(jìn)歐拉法 2

《第8章 常微分方程數(shù)值解法 本章主要內(nèi)容： 1．歐拉法、改進(jìn)歐拉法 2》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《第8章 常微分方程數(shù)值解法 本章主要內(nèi)容： 1．歐拉法、改進(jìn)歐拉法 2（8頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第8章 常微分方程數(shù)值解法 本章主要內(nèi)容： 1．歐拉法、改進(jìn)歐拉法. 2．龍格-庫塔法。 3．單步法的收斂性與穩(wěn)定性。 重點(diǎn)、難點(diǎn) 一、微分方程的數(shù)值解法 在工程技術(shù)或自然科學(xué)中，我們會(huì)遇到的許多微分方程的問題，而我們只能對(duì)其中具有較簡(jiǎn)單形式的微分方程才能夠求出它們的精確解。對(duì)于大量的微分方程問題我們需要考慮求它們的滿足一定精度要求的近似解的方法，稱為微分方程的數(shù)值解法。本章我們主要討論常微分方程初值問題的數(shù)值解法。 數(shù)值解法的基本思想是：在常微分方程初值問題解的存在區(qū)間[a,b]內(nèi)，取n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)a=x0＜x1＜…＜xN=b

2、（其中差hn= xn –xn-1稱為步長(zhǎng)，一般取h為常數(shù)，即等步長(zhǎng)），在這些節(jié)點(diǎn)上把常微分方程的初值問題離散化為差分方程的相應(yīng)問題，再求出這些點(diǎn)的上的差分方程值作為相應(yīng)的微分方程的近似值（滿足精度要求）。 二、歐拉法與改進(jìn)歐拉法 歐拉法與改進(jìn)歐拉法是用數(shù)值積分方法對(duì)微分方程進(jìn)行離散化的一種方法。 將常微分方程變?yōu)椤? 1．歐拉法（歐拉折線法） 歐拉法是求解常微分方程初值問題的一種最簡(jiǎn)單的數(shù)值解法。 歐拉法的基本思想：用左矩陣公式計(jì)算（＊）式右端積分，則得歐拉法的計(jì)算公式為： 歐拉法局部截?cái)嗾`差 或簡(jiǎn)記為O（h2）。 我們?cè)谟?jì)算時(shí)應(yīng)注意歐拉法

3、是一階方法，計(jì)算誤差較大。 歐拉法的幾何意義：過點(diǎn)A0（x0，y0），A1（x1，y1），…，A n（x n，y n ），斜率分別為f（x0，y0），f（x1，y1），…，f（x n，y n）所連接的一條折線，所以歐拉法亦稱為歐拉折線法。 例1用歐拉法解初值問題 ?在x＝0 (0.2) 1處的近似解。（計(jì)算過程保留4位小數(shù)）。 【思路】 用歐拉法求解常微分方程的初值問題時(shí)，首先熟練掌握歐拉公式的一般形式， 根據(jù)具體題目寫出找出歐拉公式的迭代式，并根據(jù)初始條件和所給步長(zhǎng)進(jìn)行迭代求解。 解 ∵ f(x，y)＝－2xy ，h＝0.2， 歐拉公式為

4、： 列表計(jì)算如下： n xn yn y(xn) y(xn)-yn 0 0 1 1 0 1 0.2 1 0.9608 -0.0392 2 0.4 0.92 0.8521 -0.0679 3 0.6 0.7728 0.6977 -0.0751 4 0.8 0.5873 0.5273 -0.06 5 1 0.3994 0.3679 -0.0315 2．改進(jìn)歐拉法 改進(jìn)歐拉法比歐拉法的計(jì)算準(zhǔn)確，是對(duì)歐拉法的改進(jìn)。改進(jìn)歐拉法的基本思想：用梯形公式計(jì)算（＊）式右端積分，則得改進(jìn)

5、歐拉法的計(jì)算公式為： 利用改進(jìn)歐拉法計(jì)算常微分方程初值問題時(shí)，我們應(yīng)注意此公式為隱式表達(dá)式，需要對(duì)它進(jìn)行迭代求解。計(jì)算時(shí)可以采用一次迭代和多次迭代，因此，就有改進(jìn)歐拉法預(yù)估-校正法公式和反復(fù)迭代的改進(jìn)歐拉法預(yù)估-校正法公式。 改進(jìn)歐拉法預(yù)估-校正法公式： 反復(fù)迭代的改進(jìn)歐拉法預(yù)估-校正法公式： 改進(jìn)歐拉法的局部截?cái)嗾`差或簡(jiǎn)記為O（h3）。從局部截?cái)嗾`差的形式看，改進(jìn)歐拉法是二階方法，因此，它比歐拉法更精確。 例2用預(yù)估-校正法求初值問題 在x=0（0.2）1的解。 【思路】掌握預(yù)估-校正法的計(jì)算公式，根據(jù)已知條件

6、迭代求解。 解 步長(zhǎng)h=0.2，將代入預(yù)估-校正公式，整理得 列表計(jì)算如下： n x n y n y(x n) 0 0 1 1 1 0.2 0.80720 0.80463 2 0.4 0.63690 0.63145 3 0.6 0.49048 0.48918 4 0.8 0.37780 0.37720 5 1 0.29103 0.29100 例3用改進(jìn)歐拉法求解例1的初值問題,要求。 【思路】掌握改進(jìn)歐拉法的計(jì)算公式，根據(jù)已知條件迭代求解，并檢驗(yàn)迭代解是否滿足精度要求，若滿足則確

7、定此解為常微分方程在某點(diǎn)的近似解。 解 將代入改進(jìn)歐拉法的計(jì)算公式得： 列表計(jì)算如下： n y(xn) y(xn)-yn 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0.2 1 0.96 0.9616 0.9615 0.9608 -0.0007 2 0.4 0.8846 0.8523 0.8549 0.8549 0.8521 -0.0028 3 0.6 0.7181 0.7003 0.7025 0.7022 0.6977 -0.0045 4 0.8 0.5337

8、 0.5325 0.5327 0.5327 0.5273 -0.0054 5 1 0.3622 0.3750 0.3725 0.3730 0.3679 -0.0051 三、龍格-庫塔法 1．龍格-庫塔法 龍格-庫塔法具有精度高、收斂、穩(wěn)定，不需要計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)等優(yōu)點(diǎn)，是求解微分方程初值問題的一組著名的顯示單步方法，廣泛應(yīng)用于求解常微分方程的初值問題。本章我們介紹了二、三、四階龍格-庫塔法。 龍格-庫塔法的基本思想： 在計(jì)算初值問題的數(shù)值解時(shí)，考慮均差，則由微分中值定理可得， 由初值問題可得公式為：上式中稱為區(qū)間上的平

9、均斜率。如果給平均斜率一種計(jì)算方法，就可得到計(jì)算y（x n+1）的近似值yn+1的公式。 如果僅取處的斜率值作為平均斜率的近似值，則得到的的公式為歐拉公式； 如果取處的斜率值，的平均值作為平均斜率的近似值，則得到的的公式改進(jìn)歐拉公式。 ㈠ 二階龍格-庫塔法的公式和局部截?cái)嗾`差： 在上式中選擇不同的參數(shù)，會(huì)得到不同的二階龍格-庫塔法公式，所以二階龍格-庫塔法公式不唯一。二階龍格-庫塔法公式的局部截?cái)嗾`差為Ο（h3）。 常見的二階龍格-庫塔法公式有以下兩種 改進(jìn)歐拉法迭代公式

10、 ㈡ 三階龍格-庫塔法的公式和局部截?cái)嗾`差： 常見的三階龍格-庫塔法公式為 三階龍格-庫塔法公式的局部截?cái)嗾`差為Ο（h4）。 ㈢ 四階龍格-庫塔法公式 通常所說的龍格-庫塔法是指四階龍格-庫塔法，也稱為標(biāo)準(zhǔn)龍格-庫塔法。由于它是一步法，（即已知，就可以求出，無需知道，，…的值）且它的計(jì)算精度高，所以應(yīng)用較多，但在計(jì)算時(shí)，因?yàn)槊恳徊蕉夹枰?jì)算四次f（x，y）的值，計(jì)算量較大，所以，一般用來計(jì)算前幾項(xiàng)的近似值，即“表頭”。 四階龍格-庫塔法公式為的公式和局部截?cái)嗾`差： 四階龍格-庫塔法

11、的局部截?cái)嗾`差為Ο（h5）。 四、單步法的收斂性和穩(wěn)定性 1．收斂性 如果在無舍入誤差且步長(zhǎng)h充分小的情況下，求得的近似值足夠精確地逼近真解 ，即：當(dāng)時(shí)，一致地有 ①歐拉法整體截?cái)嗾`差：其中為真解，為在無舍入誤差情況下，從y0用歐拉法計(jì)算公式求得的近似解。 ② 歐拉法的收斂條件：如果f(x,y)關(guān)于y滿足Lipschitz條件，且局部截?cái)嗾`差Rn有 界，即則歐拉法收斂。且歐拉法的整體截?cái)嗾`差估計(jì) 式為： 其中L為L(zhǎng)ipschitz常數(shù)，b-a為求解區(qū)間

12、的長(zhǎng)度，。 3.穩(wěn)定性和絕對(duì)穩(wěn)定性 ①穩(wěn)定性：指初始（或某步）產(chǎn)生的誤差在后面的迭代計(jì)算中不會(huì)再擴(kuò)大。即存在常數(shù)C及h0,0＜h≤h0時(shí)，對(duì)任意兩個(gè)初始值滿足不等式 。 ② 歐拉法穩(wěn)定性的條件：如果f(x,y)關(guān)于y滿足Lipschitz條件，則歐拉法穩(wěn)定。 ③ 絕對(duì)穩(wěn)定性：若對(duì)固定步長(zhǎng)及任意兩個(gè)初始值滿足不等式 。 ④ 我們?cè)谟懻摲€(wěn)定性時(shí)應(yīng)注意，一般在實(shí)際計(jì)算中只能取固定步長(zhǎng)，它不可能任意縮小。所以絕對(duì)穩(wěn)定性則表示的是對(duì)固定步長(zhǎng)h0，在初始（或某步）所產(chǎn)生的誤差，在以后計(jì)算中不會(huì)逐步增長(zhǎng)。由于絕對(duì)穩(wěn)定性的成立和f(x,y)有關(guān)，討論較為復(fù)雜。所以一般地，我們對(duì)簡(jiǎn)單的微分方程的絕對(duì)穩(wěn)定性進(jìn)行討論。使得數(shù)值方法絕對(duì)穩(wěn)定的步長(zhǎng)h和常數(shù)μ的取值范圍稱為絕對(duì)穩(wěn)定域。（各種數(shù)值方法的絕對(duì)穩(wěn)定域見課本）。 例4 對(duì)于初值問題， 證明當(dāng)時(shí)，歐拉法絕對(duì)穩(wěn)定。 證明 由歐拉公式得 所以， 當(dāng)時(shí)，有 所以歐拉法絕對(duì)穩(wěn)定。 本章學(xué)習(xí)以記憶公式和掌握證明題的推導(dǎo)方法為主。 8