數(shù)學第二章 方程（組）與不等式（組）2.1 整式方程（組）（試卷部分）

第二章方程（組）與不等式（組）2.1整式方程（組）中考數(shù)學中考數(shù)學 (北京專用)2014-20182014-2018年年北京北京中考題組中考題組五年中考1.(2018北京,3,2分)方程組的解為()A.B.C.D.3,3814xyxy12xy 12xy 21xy 21xy 答案答案D3-得5y=-5,解得y=-1,把y=-1代入得x=2,所以方程組的解為故選D.3,3814,xyxy2,1.xy 2.(2017北京,12,3分)某活動小組購買了4個籃球和5個足球,一共花費了435元,其中籃球的單價比足球的單價多3元,求籃球的單價和足球的單價.設籃球的單價為x元,足球的單價為y元,依題意,可列方程組為.答案答案345435xyxy解析解析由4個籃球和5個足球共花費435元,可得4x+5y=435.由籃球的單價比足球的單價多3元,可得x=y+3.故可列方程組為3,45435.xyxy3.(2015北京,14,3分)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+=0有兩個相等的實數(shù)根,寫出一組滿足條件的實數(shù)a,b的值:a=,b=.14答案答案1;1(滿足a=b2(a0)即可)解析解析方程為一元二次方程,且有兩個相等的實數(shù)根,a0,=b2-a=0.a=b2(a0).例如a=1,b=1.答案不唯一.4.(2018北京,20,5分)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.(1)當b=a+2時,利用根的判別式判斷方程根的情況;(2)若方程有兩個相等的實數(shù)根,寫出一組滿足條件的a,b的值,并求此時方程的根.解析解析(1)依題意,得=(a+2)2-4a=a2+40.故方程有兩個不相等的實數(shù)根.(2)由題意可知,a0,=b2-4a=0.答案不唯一,如:當b=2,a=1時,方程為x2+2x+1=0,(x+1)2=0,x1=x2=-1.5.(2017北京,21,5分)關(guān)于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0.(1)求證:方程總有兩個實數(shù)根;(2)若方程有一個根小于1,求k的取值范圍.解析解析(1)證明:依題意,得=-(k+3)2-4(2k+2)=(k-1)2.(k-1)20,方程總有兩個實數(shù)根.(2)由求根公式,得x=,x1=2,x2=k+1.方程有一個根小于1,k+11,k0,即k的取值范圍是k0,解得m-.(2)答案不唯一.如:m=1.此時方程為x2+3x=0.解得x1=-3,x2=0.54思路分析思路分析(1)利用一元二次方程的根的判別式列不等式,求m的取值范圍.(2)結(jié)合(1)確定m的值,解方程.方法技巧方法技巧依據(jù)所求出的m的取值范圍確定m的值時,盡量取較特殊的值,例如:可以使一次項系數(shù)為0的-或使常數(shù)項為0的1或-1.127.(2014北京,17,5分)已知關(guān)于x的方程mx2-(m+2)x+2=0(m0).(1)求證:方程總有兩個實數(shù)根;(2)若方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù),求正整數(shù)m的值.解析解析(1)證明:m0,mx2-(m+2)x+2=0是關(guān)于x的一元二次方程.=-(m+2)2-42m=(m-2)2.(m-2)20,方程總有兩個實數(shù)根.(2)由求根公式,得x=.x1=1,x2=.方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù),且m為正整數(shù),m=1或2.(2)(2)2mmm2m8.(2010北京,17,5分)列方程或方程組解應用題:2009年北京市生產(chǎn)運營用水和居民家庭用水的總和為5.8億立方米,其中居民家庭用水比生產(chǎn)運營用水的3倍還多0.6億立方米,問生產(chǎn)運營用水和居民家庭用水各多少億立方米?解析解析設生產(chǎn)運營用水x億立方米,居民家庭用水y億立方米,依題意,得解這個方程組,得x=1.3,y=4.5.答:生產(chǎn)運營用水1.3億立方米,居民家庭用水4.5億立方米.5.8,30.6,xyyx教師專用題組教師專用題組考點一一元一次方程、二元一次方程考點一一元一次方程、二元一次方程( (組組) )1.(2018河南,6,3分)九章算術(shù)中記載:“今有共買羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三.問人數(shù)、羊價各幾何?”其大意是:今有人合伙買羊,若每人出5錢,還差45錢;若每人出7錢,還差3錢.問合伙人數(shù)、羊價各是多少?設合伙人數(shù)為x人,羊價為y錢,根據(jù)題意,可列方程組為()A.B.C.D.54573yxyx54573yxyx54573yxyx54573yxyx答案答案A根據(jù)等量關(guān)系“每人出5錢,還差45錢”得,y=5x+45;根據(jù)等量關(guān)系“每人出7錢,還差3錢”得,y=7x+3,聯(lián)立得方程組.故選A.2.(2018河北,7,3分)有三種不同質(zhì)量的物體“”“”“”,其中,同一種物體的質(zhì)量都相等.現(xiàn)左右手中同樣的盤子上都放著不同個數(shù)的物體,只有一組左右質(zhì)量不相等,則該組是()答案答案A設的質(zhì)量為x,的質(zhì)量為y,的質(zhì)量為z,觀察題圖可知選項A中2x=3y,而選項D中2x=4y,顯然其中一個選項是符合題意的,而選項B,C都是不符合題意的,選項B中2z+x=2z+2y,可得x=2y,選項C中z+x=z+2y,可得x=2y,故A選項符合題意.3.(2018內(nèi)蒙古包頭,9,3分)已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有兩個實數(shù)根,m為正整數(shù),且該方程的根都是整數(shù),則符合條件的所有正整數(shù)m的和為()A.6B.5C.4D.3答案答案B關(guān)于x的方程x2+2x+m-2=0有兩個實數(shù)根,=b2-4ac=4-4(m-2)0,m3.m為正整數(shù),m=1或2或3.當m=1時,方程x2+2x-1=0的兩根不是整數(shù),不滿足題意.當m=2或3時,滿足題意,2+3=5.故選B.4.(2018黑龍江齊齊哈爾,8,3分)某抗戰(zhàn)紀念館館長找到大學生團干部小張,聯(lián)系青年志愿者在周日參與活動,活動累計56個小時的工作時間,需要每名男生工作5個小時,每名女生工作4個小時,小張可以安排學生參加活動的方案共有()A.1種B.2種C.3種D.4種答案答案C設安排x名男生,y名女生,則5x+4y=56,x,y為非負整數(shù),可得y14,舉例驗證可得當y=14時,x=0,當y=9時,x=4,當y=4時,x=8,所以可以安排4名女生,8名男生;9名女生,4名男生;14名女生參加活動,所以方案共有3種,故選C.5.(2016廣西南寧,10,3分)超市店慶促銷,某種書包原價每個x元,第一次降價打“八折”,第二次降價每個又減10元,經(jīng)兩次降價后售價為90元,則得到方程()A.0.8x-10=90B.0.08x-10=90C.90-0.8x=10D.x-0.8x-10=90答案答案A每個書包原價是x元,則第一次打八折后的價格是0.8x元,第二次降價10元后的價格是(0.8x-10)元,則可得方程0.8x-10=90.故選A.6.(2016黑龍江哈爾濱,7,3分)某車間有26名工人,每人每天可以生產(chǎn)800個螺釘或1000個螺母.1個螺釘需要配2個螺母,為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套,設安排x名工人生產(chǎn)螺釘,則下面所列方程正確的是()A.21000(26-x)=800 xB.1000(13-x)=800 xC.1000(26-x)=2800 xD.1000(26-x)=800 x答案答案C若安排x名工人生產(chǎn)螺釘,則生產(chǎn)螺母的工人為(26-x)名.根據(jù)題意,可列方程為1000(26-x)=2800 x,故選C.7.(2015浙江杭州,7,3分)某村原有林地108公頃,旱地54公頃,為保護環(huán)境,需把一部分旱地改造為林地,使旱地面積占林地面積的20%,設把x公頃旱地改為林地,則可列方程為()A.54-x=20%108B.54-x=20%(108+x)C.54+x=20%162D.108-x=20%(54+x)答案答案B根據(jù)題意知,把x公頃旱地改為林地后,旱地面積變?yōu)?54-x)公頃,林地面積變?yōu)?108+x)公頃,且旱地面積占林地面積的20%,則可列方程為54-x=20%(108+x).故選B.8.(2015河北,11,2分)利用加減消元法解方程組下列做法正確的是()A.要消去y,可以將5+2B.要消去x,可以將3+(-5)C.要消去y,可以將5+3D.要消去x,可以將(-5)+22510,536,xyxy 答案答案D解二元一次方程組時,在消去一個未知數(shù)之前應先計算方程組的各個方程中這個未知數(shù)的系數(shù)的最小公倍數(shù),然后進行消元,選項D正確.9.(2016寧夏,3,3分)已知x,y滿足方程組則x+y的值為()A.9B.7C.5D.3612,328,xyxy答案答案C+得4x+4y=20,即x+y=5.故選C.612,328,xyxy10.(2018四川成都,13,4分)已知=,且a+b-2c=6,則a的值為.6a5b4c答案答案12解析解析設=k(k0),則a=6k,b=5k,c=4k,a+b-2c=6,6k+5k-8k=6.解得k=2.a=6k=12.6a5b4c11.(2018江西,9,3分)中國的九章算術(shù)是世界現(xiàn)代數(shù)學的兩大源泉之一,其中有一問題:“今有牛五、羊二,直金十兩.牛二、羊五,直金八兩.問牛羊各直金幾何?”譯文:今有牛5頭,羊2頭,共值金10兩;牛2頭,羊5頭,共值金8兩.問牛、羊每頭各值金多少?設牛、羊每頭各值金x兩、y兩,依題意,可列出方程組為.答案答案5210258xyxy解析解析每頭牛值金x兩,每頭羊值金y兩,根據(jù)“牛5頭,羊2頭,共值金10兩;牛2頭,羊5頭,共值金8兩”,可得5210,258.xyxy解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵找準等量關(guān)系,正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.12.(2018黑龍江齊齊哈爾,15,3分)爸爸沿街勻速行走,發(fā)現(xiàn)每隔7分鐘從背后駛過一輛103路公交車,每隔5分鐘迎面駛來一輛103路公交車.假設每輛103路公交車行駛速度相同,而且103路公交車總站每隔固定時間發(fā)一輛車,那么103路公交車行駛速度是爸爸行走速度的倍.答案答案6解析解析如圖所示,設公交車每分鐘行駛x米,爸爸每分鐘走y米,依題意得7x-7y=5x+5y,解得x=6y,所以公交車行駛速度是爸爸行走速度的6倍.13.(2018呼和浩特,13,3分)文具店銷售某種筆袋,每個18元,小華去購買這種筆袋,結(jié)賬時店員說:“如果你再多買一個就可以打九折,價錢比現(xiàn)在便宜36元”,小華說:“那就多買一個吧,謝謝.”根據(jù)兩人的對話可知,小華結(jié)賬時實際付款元.答案答案486解析解析設小華計劃買x個筆袋,則可列方程為18x-180.9(x+1)=36,解得x=29.故小華結(jié)賬時實際付款180.930=486(元).14.(2016吉林,10,3分)某學校要購買電腦.A型電腦每臺5000元,B型電腦每臺3000元,購買10臺電腦共花費34000元.設購買A型電腦x臺,購買B型電腦y臺,則根據(jù)題意可列方程組為.答案答案105000300034000 xyxy解析解析由兩種類型的電腦共10臺可得方程x+y=10;由一共花費34000元可得方程5000 x+3000y=34000,綜上,列方程組為10,5000300034000.xyxy15.(2018安徽,16,8分)孫子算經(jīng)中有這樣一道題,原文如下:今有百鹿入城,家取一鹿,不盡,又三家共一鹿,適盡.問:城中家?guī)缀?大意為:今有100頭鹿進城,每家取一頭鹿,沒有取完,剩下的鹿每3家共取一頭,恰好取完.問:城中有多少戶人家?請解答上述問題.解析解析設城中有x戶人家,根據(jù)題意得,x+=100,解得x=75.答:城中有75戶人家.3x16.(2018湖北武漢,17,8分)解方程組:10,216.xyxy解析解析-,得x=6,把x=6代入,得y=4,方程組的解為10,216,xyxy6,4.xy17.(2018湖北黃岡,16,6分)在端午節(jié)來臨之際,某商店訂購了A型和B型兩種粽子,A型粽子28元/千克,B型粽子24元/千克,若B型粽子的質(zhì)量比A型粽子的2倍少20千克,購進兩種粽子共用了2560元,求兩種型號粽子各多少千克.解析解析設A型粽子x千克,B型粽子y千克,由題意得解得答:A型粽子40千克,B型粽子60千克.220,28242560,yxxy40,60.xy18.(2018河北,22,9分)如圖,階梯圖的每個臺階上都標著一個數(shù),從下到上的第1個至第4個臺階上依次標著-5,-2,1,9,且任意相鄰四個臺階上數(shù)的和都相等.嘗試(1)求前4個臺階上數(shù)的和是多少.(2)求第5個臺階上的數(shù)x是多少.應用求從下到上前31個臺階上數(shù)的和.發(fā)現(xiàn)試用含k(k為正整數(shù))的式子表示出數(shù)“1”所在的臺階數(shù).解析解析嘗試(1)-5-2+1+9=3.(2)由題意,得-5-2+1+9=-2+1+9+x,解得x=-5.應用與(2)同理,得第6個到第8個臺階上的數(shù)依次是-2,1,9,可見臺階上的數(shù)從下到上按-5,-2,1,9四個數(shù)依次循環(huán)排列.31=74+3,前31個臺階上數(shù)的和為73+(-5-2+1)=15.發(fā)現(xiàn)4k-1.思路分析思路分析嘗試:(1)直接列式,計算算式的值即可;(2)根據(jù)任意相鄰四個臺階上數(shù)的和相等列出方程,得解.應用:同(2)的方法求出第6,7,8個臺階上的數(shù),發(fā)現(xiàn)規(guī)律為臺階上的數(shù)從下到上每四個一循環(huán),進而求出從下到上前31個臺階上數(shù)的和.發(fā)現(xiàn):根據(jù)臺階上的數(shù)每四個一循環(huán),可知數(shù)“1”所在的臺階數(shù)間隔為4,即可求解.方法指導方法指導對于數(shù)字(或圖形)循環(huán)變換類規(guī)律題,求經(jīng)過N次變換后對應的數(shù)字(或圖形)的解題步驟:1.通過觀察這組數(shù)字(或圖形),得到該組數(shù)字(或圖形)經(jīng)過一個循環(huán)變換需要的次數(shù),記為n;2.用N除以n,當能整除時,第N次變換后對應的數(shù)字(或圖形)就是一個循環(huán)變換中最后一次變換后對應的數(shù)字(或圖形);當商b余m(0m0,方程有兩個不相等實數(shù)根;選項C,=-80,所以A選項有兩個不相等的實數(shù)根;因為=42+4=200,所以B選項有兩個不相等的實數(shù)根;因為=(-4)2-423=-80,所以D選項有兩個不相等的實數(shù)根.故選C.4.(2018云南昆明,8,4分)關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)m的取值范圍是()A.m3C.m3D.m33答案答案A由題意知=b2-4ac=12-4m0,解得m0,所以該一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根,故選B.8.(2017上海,2,4分)下列方程中,沒有實數(shù)根的是()A.x2-2x=0B.x2-2x-1=0C.x2-2x+1=0D.x2-2x+2=0答案答案DA項,=(-2)2-410=40;B項,=(-2)2-41(-1)=80;C項,=(-2)2-411=0;D項,=(-2)2-412=-40,D項中的方程沒有實數(shù)根,故選D.思路分析思路分析對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),=b2-4ac,當0時,方程有兩個實數(shù)根;當0方程有兩個不相等的實數(shù)根;(2)=0方程有兩個相等的實數(shù)根;(3)0,則當a=1,c=5時,ac=54,故此選項錯誤;B.a=0不符合一元二次方程的定義,故此選項錯誤;C.若c0,則當a=1,c=5時,ac=54,故此選項錯誤;D.若c=0,則ac=04,故此選項正確.故選D.12.(2016福建福州,12,3分)下列選項中,能使關(guān)于x的一元二次方程ax2-4x+c=0一定有實數(shù)根的是()A.a0B.a=0C.c0D.c=013.(2016河北,14,2分)a,b,c為常數(shù),且(a-c)2a2+c2,則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0根的情況是()A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根C.無實數(shù)根D.有一根為0答案答案B由(a-c)2a2+c2,得a2-2ac+c2a2+c2,即-2ac0,所以-4ac0.又因為b20,所以=b2-4ac0,所以方程有兩個不相等的實數(shù)根.14.(2016山東青島,8,3分)輸入一組數(shù)據(jù),按下列程序進行計算,輸出結(jié)果如下表:分析表格中的數(shù)據(jù),估計方程(x+8)2-826=0的一個正數(shù)解x的大致范圍為()A.20.5x20.6B.20.6x20.7C.20.7x20.8D.20.8x20.9x20.520.620.720.820.9輸出-13.75-8.04-2.313.449.21答案答案C根據(jù)程序及輸出結(jié)果可知當x=20.7時,(x+8)2-826=-2.310,(x+8)2-826=0的一個正數(shù)解x的大致范圍為20.7x20.8,故選C.15.(2015重慶,8,4分)一元二次方程x2-2x=0的根是()A.x1=0,x2=-2B.x1=1,x2=2C.x1=1,x2=-2D.x1=0,x2=2答案答案Dx2-2x=0,x(x-2)=0,解得x1=0,x2=2,故選D.16.(2015甘肅蘭州,6,4分)一元二次方程x2-8x-1=0配方后可變形為()A.(x+4)2=17B.(x+4)2=15C.(x-4)2=17D.(x-4)2=15答案答案C變形得x2-8x=1,x2-8x+16=1+16,(x-4)2=17,故選C.17.(2015河北,12,2分)若關(guān)于x的方程x2+2x+a=0不存在實數(shù)根,則a的取值范圍是()A.a1C.a1D.a1答案答案B由題意知=4-4a1,故選B.18.(2015寧夏,7,3分)如圖,某小區(qū)有一塊長為18m,寬為6m的矩形空地,計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地,它們的面積之和為60m2,兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道.若設人行通道的寬度為xm,則可以列出關(guān)于x的方程是()A.x2+9x-8=0B.x2-9x-8=0C.x2-9x+8=0D.2x2-9x+8=0答案答案C由題意得(18-3x)(6-2x)=60,化簡得x2-9x+8=0.19.(2015甘肅蘭州,11,4分)股票每天的漲、跌幅均不能超過10%,即當漲了原價的10%后,便不能再漲,叫做漲停;當?shù)嗽瓋r的10%后,便不能再跌,叫做跌停.已知一支股票某天跌停,之后兩天時間又漲回到原價,若這兩天此股票股價的平均增長率為x,則x滿足的方程是()A.(1+x)2=B.(1+x)2=C.1+2x=D.1+2x=11101091110109答案答案B設原價為1,則某天跌停后是0.9,根據(jù)題意可列方程為0.9(1+x)2=1,即(1+x)2=,故選B.10920.(2018江西,11,3分)一元二次方程x2-4x+2=0的兩根為x1,x2,則 x2-4x1+2x1x2的值為.答案答案2解析解析一元二次方程x2-4x+2=0的兩根為x1、x2,-4x1=-2,x1x2=2,-4x1+2x1x2=-2+22=2.21x21x21.(2016湖南長沙,14,3分)若關(guān)于x的一元二次方程x2-4x-m=0有兩個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)m的取值范圍是.答案答案m-4解析解析一元二次方程x2-4x-m=0有兩個不相等的實數(shù)根,0,即b2-4ac=(-4)2-41(-m)=16+4m0,解得m-4.22.(2018四川成都,16,6分)若關(guān)于x的一元二次方程x2-(2a+1)x+a2=0有兩個不相等的實數(shù)根,求a的取值范圍.解析解析由題意可知=(2a+1)2-4a2=4a2+4a+1-4a2=4a+1.原方程有兩個不相等的實數(shù)根,4a+10,a-.1423.(2018遼寧沈陽,21,8分)某公司今年1月份的生產(chǎn)成本是400萬元,由于改進生產(chǎn)技術(shù),生產(chǎn)成本逐月下降,3月份的生產(chǎn)成本是361萬元.假設該公司2、3、4月每個月生產(chǎn)成本的下降率都相同.(1)求每個月生產(chǎn)成本的下降率;(2)請你預測4月份該公司的生產(chǎn)成本.解析解析(1)設該公司每個月生產(chǎn)成本的下降率為x,根據(jù)題意,得400(1-x)2=361,解得x1=5%,x2=1.95,1.951,x2=1.95不合題意,舍去.答:每個月生產(chǎn)成本的下降率為5%.(2)361(1-5%)=342.95(萬元).答:預測4月份該公司的生產(chǎn)成本為342.95萬元.1203920易錯警示易錯警示3月份的生產(chǎn)成本=1月份的生產(chǎn)成本(1-x)2,而不是1月份的生產(chǎn)成本(1-2x).下降率最后要化為百分數(shù),也可直接設為x%.思路分析思路分析設每個月生產(chǎn)成本的下降率為x,則2月份的生產(chǎn)成本=1月份的生產(chǎn)成本(1-x),3月份的生產(chǎn)成本=2月份的生產(chǎn)成本(1-x),3月份的生產(chǎn)成本=1月份的生產(chǎn)成本(1-x)2;4月份的生產(chǎn)成本=3月份的生產(chǎn)成本(1-x).24.(2018呼和浩特,23,7分)已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有兩個實數(shù)根x1,x2,請你用配方法探索有實數(shù)根的條件,并推導出求根公式,證明x1x2=.ca解析解析ax2+bx+c=0(a0),x2+x=-,x2+x+=-+,=,4a20,當b2-4ac0時,方程有實數(shù)根.x+=.當b2-4ac0時,x1=,x2=,x1x2=;當b2-4ac=0時,x1=x2=-,x1x2=.bacaba22baca22ba22bxa2244baca2ba242baca242bbaca 242bbaca 222(4) (4)4bbacbbaca 222(4)4bbaca244acaca2ba22ba224ba244acaca綜上,證得x1x2=.ca思路分析思路分析本題需要借助配方法解含字母系數(shù)的一元二次方程,同時借助求根公式驗證推導是否正確.解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵正確解決本題的關(guān)鍵是要通過求根公式進行驗證,同時要具有計算含字母系數(shù)的方程的能力.25.(2015福建福州,20,8分)已知關(guān)于x的方程x2+(2m-1)x+4=0有兩個相等的實數(shù)根,求m的值.解析解析關(guān)于x的方程x2+(2m-1)x+4=0有兩個相等的實數(shù)根,=(2m-1)2-414=0.2m-1=4.m=或m=-.523226.(2015河南,19,9分)已知關(guān)于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=|m|.(1)求證:對于任意實數(shù)m,方程總有兩個不相等的實數(shù)根;(2)若方程的一個根是1,求m的值及方程的另一個根.解析解析(1)證明:原方程可化為x2-5x+6-|m|=0.(1分)=(-5)2-41(6-|m|)=25-24+4|m|=1+4|m|.(3分)|m|0,1+4|m|0.對于任意實數(shù)m,方程總有兩個不相等的實數(shù)根.(4分)(2)把x=1代入原方程,得|m|=2,m=2.(6分)把|m|=2代入原方程,得x2-5x+4=0,x1=1,x2=4.m的值為2,方程的另一個根是4.(9分)考點一一元一次方程、二元一次方程考點一一元一次方程、二元一次方程( (組組) )三年模擬A A組組 2016 201620182018年模擬年模擬基礎題組基礎題組1.(2016北京朝陽二模,8)現(xiàn)有A、B兩種商品,買3件A商品和2件B商品用了160元,買2件A商品和3件B商品用了190元.如果準備購買A、B兩種商品共10件,下列方案中費用最低的為()A.A商品7件和B商品3件B.A商品6件和B商品4件C.A商品5件和B商品5件D.A商品4件和B商品6件答案答案A可設買一件A商品需要x元,買一件B商品需要y元,由題意可列方程組為解得所以購買A商品的數(shù)量越多越便宜.故選A.32160,23190,xyxy20,50.xy2.(2018北京海淀一模,13)京張高鐵是2022年北京冬奧會的重要交通基礎設施,考慮到不同路段的特殊情況,將根據(jù)不同的運行區(qū)間設置不同的時速.其中,北京北站到清河站一段全長11千米,分為地下清華園隧道和地上區(qū)間兩部分,運行速度分別為80千米/時和120千米/時.按此運行速度,地下隧道運行時間比地上多2分鐘,求清華園隧道全長為多少千米.設清華園隧道全長為x千米,依題意,可列方程為.130小時答案答案-=80 x11120 x130解析解析由題意可知地下運行的時間為小時,地上運行的時間為小時,由地下隧道運行時間比地上多2分鐘,可列方程為-=.80 x11120 x130小時80 x11120 x1303.(2018北京朝陽一模,11)足球、籃球、排球已經(jīng)成為北京體育的三張名片,越來越受廣大市民的關(guān)注.下表是北京兩支籃球隊在2017至2018年賽季常規(guī)賽中的比賽成績:設勝一場積x分,負一場積y分,依題意,可列二元一次方程組為.隊名比賽場次勝場負場積分A38251363B38182056答案答案251363182056xyxy解析解析積分是勝場積分與負場積分的和,所以可列方程組為251363,182056.xyxy4.(2018北京石景山一模,12)我國古代數(shù)學名著孫子算經(jīng)中記載了一道題,大意是:100匹馬恰好拉了100片瓦,已知3匹小馬能拉1片瓦,1匹大馬能拉3片瓦,求小馬、大馬各有多少匹.若設小馬有x匹,大馬有y匹,依題意,可列方程組為.答案答案10031003xyxy解析解析由100匹馬和100片瓦可以列兩個方程,一個由馬的數(shù)量出發(fā),兩種馬一共100匹,即x+y=100;一個由瓦的數(shù)量出發(fā),3匹小馬能拉1片瓦,則1匹小馬能拉片瓦,x匹小馬能拉片瓦,1匹大馬能拉3片瓦,則y匹大馬能拉3y片瓦,兩種馬一共拉100片瓦,即+3y=100,所以可列方程組為133x3x100,3100.3xyxy5.(2018北京順義一模,13)九章算術(shù)是中國傳統(tǒng)數(shù)學最重要的著作,奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架.它記載了這樣一道題:今有五雀、六燕,集稱之衡,雀俱重,燕俱輕.一雀一燕交而處,衡適平.并燕雀重一斤.問燕、雀一枚各重幾何?譯文:今有5只雀和6只燕,分別聚集而稱之,聚在一起的雀重,燕輕.將1只雀、1只燕交換位置而放,重量相等.5只雀、6只燕共重16兩(1斤=16兩).問雀、燕每只各重多少兩?(每只雀的重量相同、每只燕的重量相同)設每只雀重x兩,每只燕重y兩,則可列方程組為.答案答案455616xyyxxy解析解析5只雀、6只燕共重16兩,則可列方程5x+6y=16;將1只雀、1只燕交換位置而放,則有4x+y和5y+x,因為重量相等,所以可列方程4x+y=5y+x.所以可列方程組為45,5616.xyyxxy6.(2018北京燕山一模,14)如圖,10塊相同的長方形卡片拼成一個大長方形,設長方形卡片的長和寬分別為x和y,則依題意,可列方程組為.答案答案2753xyxy解析解析由題圖可知,長方形卡片的長等于寬的3倍,一個長加上兩個寬為75,則可列方程組為275,3 .xyxy7.(2016北京海淀一模,13)埃及紙草書中記載:“一個數(shù),它的三分之二,它的一半,它的七分之一,它的全部,加起來總共是33.”設這個數(shù)是x,可列方程為.答案答案x+x+x+x=33231217解析解析“一個數(shù)的三分之二”表示的是這個數(shù)乘,即x,同理有x,x,x,“加”表示的是“+”,所以可列方程為x+x+x+x=33.232312172312178.(2016北京東城二模,15)定義運算“*”,規(guī)定x*y=a(x+y)+xy,其中a為常數(shù),且1*2=5,則2*3=.答案答案11解析解析由題意可知a(1+2)+12=5,所以a=1.所以2*3=1(2+3)+23=11.9.(2017北京順義一模,22)某電腦公司有A、B兩種型號的電腦,其中A型號電腦每臺6000元,B型號電腦每臺4000元.學校計劃花費150000元從該公司購進這兩種型號的電腦共35臺,問購買A、B兩種型號電腦各多少臺?解析解析設購買A型號電腦x臺,B型號電腦y臺,根據(jù)題意,得解得答:購買A型號電腦5臺,B型號電腦30臺.35,60004000150000.xyxy5,30.xy10.(2016北京西城二模,22)為祝賀北京成功獲得2022年冬奧會主辦權(quán),某工藝品廠準備生產(chǎn)紀念北京申辦冬奧會成功的“紀念章”和“冬奧印”.生產(chǎn)一枚“紀念章”需要用甲種原料4盒,乙種原料3盒;生產(chǎn)一枚“冬奧印”需要用甲種原料5盒,乙種原料10盒.該廠購進甲、乙兩種原料分別為20000盒和30000盒,如果將所購進原料正好全部用完,那么能生產(chǎn)“紀念章”和“冬奧印”各多少枚?解析解析設能生產(chǎn)“紀念章”x枚,生產(chǎn)“冬奧印”y枚.根據(jù)題意,得解得答:能生產(chǎn)“紀念章”2000枚,生產(chǎn)“冬奧印”2400枚.4520000,31030000.xyxy2000,2400.xy考點二一元二次方程考點二一元二次方程1.(2016北京豐臺一模,16)小明同學用配方法推導關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式時,對于b2-4ac0的情況,他是這樣做的:由于a0,所以方程ax2+bx+c=0可變形為x2+x=-,第一步x2+x+=-+,第二步=,第三步b2-4ac0,x+=,第四步x=.第五步小明的解法從第步開始出現(xiàn)錯誤;這一步的運算依據(jù)應是.bacaba22baca22ba22bxa2244baca2ba242baca242bbaca 答案答案四;平方根的定義解析解析一個正數(shù)有兩個平方根,且它們互為相反數(shù),所以由平方根的定義知第四步是錯誤的.2.(2018北京海淀一模,20)已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(2m-3)x+m2+1=0.(1)若m是方程的一個實數(shù)根,求m的值;(2)若m為負數(shù),判斷方程根的情況.解析解析(1)m是方程的一個實數(shù)根,m2-(2m-3)m+m2+1=0,m=-.(2)=-(2m-3)2-4(m2+1)=-12m+5.m0,=-12m+50.此方程有兩個不相等的實數(shù)根.133.(2018北京朝陽一模,20)已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(k+1)x+k=0.(1)求證:方程總有兩個實數(shù)根;(2)若該方程有一個根是正數(shù),求k的取值范圍.解析解析(1)證明:依題意,得=(k+1)2-4k=(k-1)2,(k-1)20,方程總有兩個實數(shù)根.(2)由求根公式,得x1=-1,x2=-k.方程有一個根是正數(shù),-k0,k0,m2.(2)m0.m2.(2)m為正整數(shù),且m0,m0且m1,排除B,C,D.故選A.2.(2017北京朝陽一模,6)九章算術(shù)是我國古代的數(shù)學名著,書中的“折竹抵地”問題:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺.問折者高幾何?意思是:一根竹子,原高一丈(一丈=10尺),一陣風將竹子折斷,其竹梢恰好抵地,抵地處離竹子底部3尺遠,問折斷處離地面的高度是多少?設折斷后離地面的高度為x尺,則可列方程為()A.x2-3=(10-x)2B.x2-32=(10-x)2C.x2+3=(10-x)2D.x2+32=(10-x)2答案答案D由題意可知,折斷的部分為直角三角形的斜邊,所以可列方程為x2+32=(10-x)2.故選D.二、填空題(每小題3分,共18分)3.(2018北京順義一模,11)把方程x2-3=2x用配方法化為(x+m)2=n的形式,則m=,n=.答案答案-1;4解析解析x2-3=2x,整理得x2-2x-3=0,即x2-2x+1-1-3=0,配方得(x-1)2=4.(x+m)2=n,m=-1,n=4.4.(2018北京西城一模,12)從杭州東站到北京南站,原來最快的一趟高鐵G20次約用5h到達.從2018年4月10日起,全國鐵路開始實施新的列車運行圖,并啟用了“京杭高鐵復興號”,它的運行速度比原來的G20次的運行速度快35km/h,約用4.5h到達.如果在相同的路線上,杭州東站到北京南站的距離不變,求“京杭高鐵復興號”的運行速度.設“京杭高鐵復興號”的運行速度為xkm/h,依題意,可列方程為.答案答案5(x-35)=4.5x解析解析復興號的速度為xkm/h,時間為4.5h,則路程為4.5xkm;G20次的速度為(x-35)km/h,時間為5h,則路程為5(x-35)km.因為路程相等,所以可列方程為5(x-35)=4.5x.思路分析思路分析需要借助路程相等來表示等量關(guān)系.5.(2018北京豐臺一模,14)營養(yǎng)學家對初中學生進行了一項調(diào)查:甲組學生每天正常進餐,乙組學生每天除正常進餐外,每人還增加600mL牛奶.一年后營養(yǎng)學家統(tǒng)計發(fā)現(xiàn):乙組學生平均身高的增長值比甲組學生平均身高的增長值多2.01cm,甲組學生平均身高的增長值比乙組學生平均身高的增長值的75%少0.34cm.設甲、乙兩組學生平均身高的增長值分別為xcm、ycm,依題意,可列方程組為.答案答案2.0175%0.34yxxy解析解析由乙組學生平均身高的增長值比甲組學生平均身高的增長值多2.01cm,可列方程y=x+2.01,由甲組學生平均身高的增長值比乙組學生平均身高的增長值的75%少0.34cm,可列方程x=75%y-0.34,則可列方程組為2.01,75%0.34.yxxy6.(2017北京豐臺一模,15)眾所周知,中華詩詞博大精深,集大量的情景情感于短短數(shù)十字之間,或豪放,或婉約,或思民生疾苦,或抒發(fā)己身豪情逸致,文化價值極高.而數(shù)學與古詩詞更是有著密切的聯(lián)系.古詩中,五言絕句是四句詩,每句都是五個字;七言絕句是四句詩,每句都是七個字.有一本詩集,其中五言絕句比七言絕句多13首,總字數(shù)卻反而少了20個字.問兩種詩各多少首?設七言絕句有x首,根據(jù)題意,可列方程為.答案答案28x-20(x+13)=20解析解析七言絕句有x首,則五言絕句有(x+13)首.五言絕句每首有45個字,七言絕句每首有47個字,根據(jù)五言絕句比七言絕句字數(shù)少了20個字,可列方程為28x-20(x+13)=20.7.(2016北京朝陽一模,14)孫子算經(jīng)是中國傳統(tǒng)數(shù)學的重要著作之一,其中記載的“蕩杯問題”很有趣.孫子算經(jīng)記載“今有婦人河上蕩杯.津吏問曰:杯何以多?婦人曰:家有客.津吏曰:客幾何?婦人曰:二人共飯,三人共羹,四人共肉,凡用杯六十五.不知客幾何?”譯文:“2人同吃一碗飯,3人同吃一碗羹,4人同吃一碗肉,共用65個碗,問有多少客人?”設共有客人x人,可列方程為.答案答案x+x+x=65121314解析解析由兩人同吃一碗飯知共有x個碗盛飯,同理有x,x,由共65個碗可知和為65,則可列方程為x+x+x=65.1213141213148.(2016北京順義二模,13)小林、小芳和小亮三人玩飛鏢游戲,各投5支飛鏢,規(guī)定在同一圓環(huán)內(nèi)得分相同,中靶和得分情況如圖,則小亮的得分是.答案答案21分解析解析由題意可設,投中內(nèi)環(huán)得x分,投中外環(huán)得y分,所以可列方程組為解得所以小亮的得分是53+32=21分.2319,423,xyxy5,3.xy思路分析思路分析先列方程組求出投中內(nèi)環(huán)和外環(huán)的得分情況,再計算小亮的得分.三、解答題(共56分)9.(2018北京東城一模,20)已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(m+3)x+m+2=0.(1)求證:無論實數(shù)m取何值,方程總有兩個實數(shù)根;(2)若方程有一個根的平方等于4,求m的值.解析解析(1)證明:=-(m+3)2-4(m+2)=(m+1)2,(m+1)20,無論實數(shù)m取何值,方程總有兩個實數(shù)根.(2)由求根公式得x1=1,x2=m+2,方程有一個根的平方等于4,(m+2)2=4.解得m=-4或m=0.10.(2018北京西城一模,20)已知關(guān)于x的方程mx2+(3-m)x-3=0(m為實數(shù),m0).(1)求證:此方程總有兩個實數(shù)根;(2)如果此方程的兩個實數(shù)根都為正整數(shù),求整數(shù)m的值.解析解析(1)證明:m0,方程mx2+(3-m)x-3=0為一元二次方程.依題意,得=(3-m)2+12m=(m+3)2.無論m取何實數(shù),總有(m+3)20,此方程總有兩個實數(shù)根.(2)由求根公式,得x1=1,x2=-(m0).方程的兩個實數(shù)根都為正整數(shù),整數(shù)m的值為-1或-3.3m11.(2018北京石景山一模,20)關(guān)于x的一元二次方程mx2+(3m-2)x-6=0.(1)當m為何值時,方程有兩個不相等的實數(shù)根?(2)當m為何整數(shù)時,此方程的兩個根都為負整數(shù)?解析解析(1)方程為一元二次方程,m0.=(3m-2)2+24m=(3m+2)20,當m0且m-時,方程有兩個不相等的實數(shù)根.(2)解方程mx2+(3m-2)x-6=0,得x1=,x2=-3.m為整數(shù),且方程的兩個根均為負整數(shù),m=-1或m=-2.即m=-1或m=-2時,此方程的兩個根都為負整數(shù).232m12.(2018北京順義一模,20)已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(m-1)x+2m-6=0.(1)求證:方程總有兩個實數(shù)根;(2)若方程有一個根是負數(shù),求m的取值范圍.解析解析(1)證明:=-(m-1)2-4(2m-6)=m2-2m+1-8m+24=m2-10m+25=(m-5)20,方程總有兩個實數(shù)根.(2)由求根公式得x1=m-3,x2=2.有一個根是負數(shù),m-30,mx2,若x1=2x2,求m的值.解析解析(1)=(-6m)2-4(9m2-9)=36m2-36m2+36=360,方程有兩個不相等的實數(shù)根.(2)由求根公式得x1,2=3m3,3m+33m-3,x1=3m+3,x2=3m-3,3m+3=2(3m-3),m=3.6362m662m14.(2017北京門頭溝一模,22)學完二元一次方程組的應用之后,老師寫出了一個方程組如下:要求把這個方程組賦予實際情境.小軍說出了一個情境:學校有兩個課外小組,書法組和美術(shù)組,其中書法組的人數(shù)的二倍比美術(shù)組多5人,書法組平均每人完成了4幅書法作品,美術(shù)組平均每人完成了3幅美術(shù)作品,兩個小組共完成了40幅作品,問書法組和美術(shù)組各有多少人?小明通過驗證后發(fā)現(xiàn)小軍賦予的情境有問題,請找出問題在哪.25,4340.xyxy解析解析通過解方程組得由于人數(shù)只能是非負整數(shù),所以小軍不能以人數(shù)為未知數(shù)進行情境創(chuàng)設.5.5,6.xy15.(2017北京東城一模,22)在某場CBA比賽中,某位運動員的技術(shù)統(tǒng)計如下表所示:注:(1)表中出手投籃次數(shù)和投中次數(shù)均不包括罰球;(2)總得分=兩分球得分+三分球得分+罰球得分.根據(jù)以上信息,求本場比賽中該運動員投中兩分球和三分球各幾個.技術(shù)上場時間(分鐘)出手投籃(次)投中(次)罰球得分(分)籃板(個)助攻(次)個人總得分(分)數(shù)據(jù)38271163433解析解析設本場比賽中該運動員投中兩分球x個,三分球y個.依題意有解得答:本場比賽中該運動員投中兩分球6個,三分球5個.23633,11.xyxy6,5.xy16.(2016北京東城二模,20)為迎接“五一勞動節(jié)”,某超市開展促銷活動,決定對A,B兩種商品進行打折出售.打折前,買6件A商品和3件B商品需要108元,買3件A商品和4件B商品需要94元.問:打折后,若買5件A商品和4件B商品僅需86元,比打折前節(jié)省了多少元錢?解析解析設打折前一件A商品的價格為x元,一件B商品的價格為y元.依據(jù)題意,得解得所以510+416-86=28(元).答:比打折前節(jié)省了28元.63108,3494.xyxy10,16.xy17.(2017北京豐臺一模,20)已知關(guān)于x的一元二次方程3x2-kx+k-4=0.(1)判斷方程根的情況;(2)若此方程有一個整數(shù)根,請選擇一個合適的k值,并求出此時方程的根.解析解析(1)=(-k)2-12(k-4)=k2-12k+48=(k-6)2+120,方程有兩個不等的實數(shù)根.(2)當k=4時,=16,方程為3x2-4x=0,x1=0,x2=;或當k=8時,=16,方程為3x2-8x+4=0,x1=2,x2=.432318.(2017北京懷柔二模,23)小明遇到這樣一個問題:已知:=1.求證:b2-4ac0.經(jīng)過思考,小明的證明過程如下:=1,b-c=a.a-b+c=0.接下來,小明想:若把x=-1代入一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),恰好得到a-b+c=0.這說明一元二次方程ax2+bx+c=0有根,且一個根是x=-1.所以,根據(jù)一元二次方程根的判別式的知識易證b2-4ac0.根據(jù)上面的解題經(jīng)驗,小明模仿上面的題目自己編了一道類似的題目:已知:=-2.求證:b24ac.請你參考上面的方法,寫出小明所編題目的證明過程.bcabca4acb證明證明=-2,4a+c=-2b.4a+2b+c=0.x=2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的一個根.b2-4ac0,b24ac.4acb