數(shù)學(xué)第二章 方程（組）與不等式（組）2.1 整式方程（組）（試卷部分）

第二章方程（組）與不等式（組）2.1整式方程（組）中考數(shù)學(xué)中考數(shù)學(xué) (北京專用)2014-20182014-2018年年北京北京中考題組中考題組五年中考1.(2018北京,3,2分)方程組的解為()A.B.C.D.3,3814xyxy12xy 12xy 21xy 21xy 答案答案D3-得5y=-5,解得y=-1,把y=-1代入得x=2,所以方程組的解為故選D.3,3814,xyxy2,1.xy 2.(2017北京,12,3分)某活動小組購買了4個籃球和5個足球,一共花費了435元,其中籃球的單價比足球的單價多3元,求籃球的單價和足球的單價.設(shè)籃球的單價為x元,足球的單價為y元,依題意,可列方程組為.答案答案345435xyxy解析解析由4個籃球和5個足球共花費435元,可得4x+5y=435.由籃球的單價比足球的單價多3元,可得x=y+3.故可列方程組為3,45435.xyxy3.(2015北京,14,3分)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+=0有兩個相等的實數(shù)根,寫出一組滿足條件的實數(shù)a,b的值:a=,b=.14答案答案1;1(滿足a=b2(a0)即可)解析解析方程為一元二次方程,且有兩個相等的實數(shù)根,a0,=b2-a=0.a=b2(a0).例如a=1,b=1.答案不唯一.4.(2018北京,20,5分)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.(1)當(dāng)b=a+2時,利用根的判別式判斷方程根的情況;(2)若方程有兩個相等的實數(shù)根,寫出一組滿足條件的a,b的值,并求此時方程的根.解析解析(1)依題意,得=(a+2)2-4a=a2+40.故方程有兩個不相等的實數(shù)根.(2)由題意可知,a0,=b2-4a=0.答案不唯一,如:當(dāng)b=2,a=1時,方程為x2+2x+1=0,(x+1)2=0,x1=x2=-1.5.(2017北京,21,5分)關(guān)于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0.(1)求證:方程總有兩個實數(shù)根;(2)若方程有一個根小于1,求k的取值范圍.解析解析(1)證明:依題意,得=-(k+3)2-4(2k+2)=(k-1)2.(k-1)20,方程總有兩個實數(shù)根.(2)由求根公式,得x=,x1=2,x2=k+1.方程有一個根小于1,k+11,k0,即k的取值范圍是k0,解得m-.(2)答案不唯一.如:m=1.此時方程為x2+3x=0.解得x1=-3,x2=0.54思路分析思路分析(1)利用一元二次方程的根的判別式列不等式,求m的取值范圍.(2)結(jié)合(1)確定m的值,解方程.方法技巧方法技巧依據(jù)所求出的m的取值范圍確定m的值時,盡量取較特殊的值,例如:可以使一次項系數(shù)為0的-或使常數(shù)項為0的1或-1.127.(2014北京,17,5分)已知關(guān)于x的方程mx2-(m+2)x+2=0(m0).(1)求證:方程總有兩個實數(shù)根;(2)若方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù),求正整數(shù)m的值.解析解析(1)證明:m0,mx2-(m+2)x+2=0是關(guān)于x的一元二次方程.=-(m+2)2-42m=(m-2)2.(m-2)20,方程總有兩個實數(shù)根.(2)由求根公式,得x=.x1=1,x2=.方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù),且m為正整數(shù),m=1或2.(2)(2)2mmm2m8.(2010北京,17,5分)列方程或方程組解應(yīng)用題:2009年北京市生產(chǎn)運營用水和居民家庭用水的總和為5.8億立方米,其中居民家庭用水比生產(chǎn)運營用水的3倍還多0.6億立方米,問生產(chǎn)運營用水和居民家庭用水各多少億立方米?解析解析設(shè)生產(chǎn)運營用水x億立方米,居民家庭用水y億立方米,依題意,得解這個方程組,得x=1.3,y=4.5.答:生產(chǎn)運營用水1.3億立方米,居民家庭用水4.5億立方米.5.8,30.6,xyyx教師專用題組教師專用題組考點一一元一次方程、二元一次方程考點一一元一次方程、二元一次方程( (組組) )1.(2018河南,6,3分)九章算術(shù)中記載:“今有共買羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三.問人數(shù)、羊價各幾何?”其大意是:今有人合伙買羊,若每人出5錢,還差45錢;若每人出7錢,還差3錢.問合伙人數(shù)、羊價各是多少?設(shè)合伙人數(shù)為x人,羊價為y錢,根據(jù)題意,可列方程組為()A.B.C.D.54573yxyx54573yxyx54573yxyx54573yxyx答案答案A根據(jù)等量關(guān)系“每人出5錢,還差45錢”得,y=5x+45;根據(jù)等量關(guān)系“每人出7錢,還差3錢”得,y=7x+3,聯(lián)立得方程組.故選A.2.(2018河北,7,3分)有三種不同質(zhì)量的物體“”“”“”,其中,同一種物體的質(zhì)量都相等.現(xiàn)左右手中同樣的盤子上都放著不同個數(shù)的物體,只有一組左右質(zhì)量不相等,則該組是()答案答案A設(shè)的質(zhì)量為x,的質(zhì)量為y,的質(zhì)量為z,觀察題圖可知選項A中2x=3y,而選項D中2x=4y,顯然其中一個選項是符合題意的,而選項B,C都是不符合題意的,選項B中2z+x=2z+2y,可得x=2y,選項C中z+x=z+2y,可得x=2y,故A選項符合題意.3.(2018內(nèi)蒙古包頭,9,3分)已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有兩個實數(shù)根,m為正整數(shù),且該方程的根都是整數(shù),則符合條件的所有正整數(shù)m的和為()A.6B.5C.4D.3答案答案B關(guān)于x的方程x2+2x+m-2=0有兩個實數(shù)根,=b2-4ac=4-4(m-2)0,m3.m為正整數(shù),m=1或2或3.當(dāng)m=1時,方程x2+2x-1=0的兩根不是整數(shù),不滿足題意.當(dāng)m=2或3時,滿足題意,2+3=5.故選B.4.(2018黑龍江齊齊哈爾,8,3分)某抗戰(zhàn)紀(jì)念館館長找到大學(xué)生團(tuán)干部小張,聯(lián)系青年志愿者在周日參與活動,活動累計56個小時的工作時間,需要每名男生工作5個小時,每名女生工作4個小時,小張可以安排學(xué)生參加活動的方案共有()A.1種B.2種C.3種D.4種答案答案C設(shè)安排x名男生,y名女生,則5x+4y=56,x,y為非負(fù)整數(shù),可得y14,舉例驗證可得當(dāng)y=14時,x=0,當(dāng)y=9時,x=4,當(dāng)y=4時,x=8,所以可以安排4名女生,8名男生;9名女生,4名男生;14名女生參加活動,所以方案共有3種,故選C.5.(2016廣西南寧,10,3分)超市店慶促銷,某種書包原價每個x元,第一次降價打“八折”,第二次降價每個又減10元,經(jīng)兩次降價后售價為90元,則得到方程()A.0.8x-10=90B.0.08x-10=90C.90-0.8x=10D.x-0.8x-10=90答案答案A每個書包原價是x元,則第一次打八折后的價格是0.8x元,第二次降價10元后的價格是(0.8x-10)元,則可得方程0.8x-10=90.故選A.6.(2016黑龍江哈爾濱,7,3分)某車間有26名工人,每人每天可以生產(chǎn)800個螺釘或1000個螺母.1個螺釘需要配2個螺母,為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套,設(shè)安排x名工人生產(chǎn)螺釘,則下面所列方程正確的是()A.21000(26-x)=800 xB.1000(13-x)=800 xC.1000(26-x)=2800 xD.1000(26-x)=800 x答案答案C若安排x名工人生產(chǎn)螺釘,則生產(chǎn)螺母的工人為(26-x)名.根據(jù)題意,可列方程為1000(26-x)=2800 x,故選C.7.(2015浙江杭州,7,3分)某村原有林地108公頃,旱地54公頃,為保護(hù)環(huán)境,需把一部分旱地改造為林地,使旱地面積占林地面積的20%,設(shè)把x公頃旱地改為林地,則可列方程為()A.54-x=20%108B.54-x=20%(108+x)C.54+x=20%162D.108-x=20%(54+x)答案答案B根據(jù)題意知,把x公頃旱地改為林地后,旱地面積變?yōu)?54-x)公頃,林地面積變?yōu)?108+x)公頃,且旱地面積占林地面積的20%,則可列方程為54-x=20%(108+x).故選B.8.(2015河北,11,2分)利用加減消元法解方程組下列做法正確的是()A.要消去y,可以將5+2B.要消去x,可以將3+(-5)C.要消去y,可以將5+3D.要消去x,可以將(-5)+22510,536,xyxy 答案答案D解二元一次方程組時,在消去一個未知數(shù)之前應(yīng)先計算方程組的各個方程中這個未知數(shù)的系數(shù)的最小公倍數(shù),然后進(jìn)行消元,選項D正確.9.(2016寧夏,3,3分)已知x,y滿足方程組則x+y的值為()A.9B.7C.5D.3612,328,xyxy答案答案C+得4x+4y=20,即x+y=5.故選C.612,328,xyxy10.(2018四川成都,13,4分)已知=,且a+b-2c=6,則a的值為.6a5b4c答案答案12解析解析設(shè)=k(k0),則a=6k,b=5k,c=4k,a+b-2c=6,6k+5k-8k=6.解得k=2.a=6k=12.6a5b4c11.(2018江西,9,3分)中國的九章算術(shù)是世界現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉之一,其中有一問題:“今有牛五、羊二,直金十兩.牛二、羊五,直金八兩.問牛羊各直金幾何?”譯文:今有牛5頭,羊2頭,共值金10兩;牛2頭,羊5頭,共值金8兩.問牛、羊每頭各值金多少?設(shè)牛、羊每頭各值金x兩、y兩,依題意,可列出方程組為.答案答案5210258xyxy解析解析每頭牛值金x兩,每頭羊值金y兩,根據(jù)“牛5頭,羊2頭,共值金10兩;牛2頭,羊5頭,共值金8兩”,可得5210,258.xyxy解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.12.(2018黑龍江齊齊哈爾,15,3分)爸爸沿街勻速行走,發(fā)現(xiàn)每隔7分鐘從背后駛過一輛103路公交車,每隔5分鐘迎面駛來一輛103路公交車.假設(shè)每輛103路公交車行駛速度相同,而且103路公交車總站每隔固定時間發(fā)一輛車,那么103路公交車行駛速度是爸爸行走速度的倍.答案答案6解析解析如圖所示,設(shè)公交車每分鐘行駛x米,爸爸每分鐘走y米,依題意得7x-7y=5x+5y,解得x=6y,所以公交車行駛速度是爸爸行走速度的6倍.13.(2018呼和浩特,13,3分)文具店銷售某種筆袋,每個18元,小華去購買這種筆袋,結(jié)賬時店員說:“如果你再多買一個就可以打九折,價錢比現(xiàn)在便宜36元”,小華說:“那就多買一個吧,謝謝.”根據(jù)兩人的對話可知,小華結(jié)賬時實際付款元.答案答案486解析解析設(shè)小華計劃買x個筆袋,則可列方程為18x-180.9(x+1)=36,解得x=29.故小華結(jié)賬時實際付款180.930=486(元).14.(2016吉林,10,3分)某學(xué)校要購買電腦.A型電腦每臺5000元,B型電腦每臺3000元,購買10臺電腦共花費34000元.設(shè)購買A型電腦x臺,購買B型電腦y臺,則根據(jù)題意可列方程組為.答案答案105000300034000 xyxy解析解析由兩種類型的電腦共10臺可得方程x+y=10;由一共花費34000元可得方程5000 x+3000y=34000,綜上,列方程組為10,5000300034000.xyxy15.(2018安徽,16,8分)孫子算經(jīng)中有這樣一道題,原文如下:今有百鹿入城,家取一鹿,不盡,又三家共一鹿,適盡.問:城中家?guī)缀?大意為:今有100頭鹿進(jìn)城,每家取一頭鹿,沒有取完,剩下的鹿每3家共取一頭,恰好取完.問:城中有多少戶人家?請解答上述問題.解析解析設(shè)城中有x戶人家,根據(jù)題意得,x+=100,解得x=75.答:城中有75戶人家.3x16.(2018湖北武漢,17,8分)解方程組:10,216.xyxy解析解析-,得x=6,把x=6代入,得y=4,方程組的解為10,216,xyxy6,4.xy17.(2018湖北黃岡,16,6分)在端午節(jié)來臨之際,某商店訂購了A型和B型兩種粽子,A型粽子28元/千克,B型粽子24元/千克,若B型粽子的質(zhì)量比A型粽子的2倍少20千克,購進(jìn)兩種粽子共用了2560元,求兩種型號粽子各多少千克.解析解析設(shè)A型粽子x千克,B型粽子y千克,由題意得解得答:A型粽子40千克,B型粽子60千克.220,28242560,yxxy40,60.xy18.(2018河北,22,9分)如圖,階梯圖的每個臺階上都標(biāo)著一個數(shù),從下到上的第1個至第4個臺階上依次標(biāo)著-5,-2,1,9,且任意相鄰四個臺階上數(shù)的和都相等.嘗試(1)求前4個臺階上數(shù)的和是多少.(2)求第5個臺階上的數(shù)x是多少.應(yīng)用求從下到上前31個臺階上數(shù)的和.發(fā)現(xiàn)試用含k(k為正整數(shù))的式子表示出數(shù)“1”所在的臺階數(shù).解析解析嘗試(1)-5-2+1+9=3.(2)由題意,得-5-2+1+9=-2+1+9+x,解得x=-5.應(yīng)用與(2)同理,得第6個到第8個臺階上的數(shù)依次是-2,1,9,可見臺階上的數(shù)從下到上按-5,-2,1,9四個數(shù)依次循環(huán)排列.31=74+3,前31個臺階上數(shù)的和為73+(-5-2+1)=15.發(fā)現(xiàn)4k-1.思路分析思路分析嘗試:(1)直接列式,計算算式的值即可;(2)根據(jù)任意相鄰四個臺階上數(shù)的和相等列出方程,得解.應(yīng)用:同(2)的方法求出第6,7,8個臺階上的數(shù),發(fā)現(xiàn)規(guī)律為臺階上的數(shù)從下到上每四個一循環(huán),進(jìn)而求出從下到上前31個臺階上數(shù)的和.發(fā)現(xiàn):根據(jù)臺階上的數(shù)每四個一循環(huán),可知數(shù)“1”所在的臺階數(shù)間隔為4,即可求解.方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)對于數(shù)字(或圖形)循環(huán)變換類規(guī)律題,求經(jīng)過N次變換后對應(yīng)的數(shù)字(或圖形)的解題步驟:1.通過觀察這組數(shù)字(或圖形),得到該組數(shù)字(或圖形)經(jīng)過一個循環(huán)變換需要的次數(shù),記為n;2.用N除以n,當(dāng)能整除時,第N次變換后對應(yīng)的數(shù)字(或圖形)就是一個循環(huán)變換中最后一次變換后對應(yīng)的數(shù)字(或圖形);當(dāng)商b余m(0m0,方程有兩個不相等實數(shù)根;選項C,=-80,所以A選項有兩個不相等的實數(shù)根;因為=42+4=200,所以B選項有兩個不相等的實數(shù)根;因為=(-4)2-423=-80,所以D選項有兩個不相等的實數(shù)根.故選C.4.(2018云南昆明,8,4分)關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)m的取值范圍是()A.m3C.m3D.m33答案答案A由題意知=b2-4ac=12-4m0,解得m0,所以該一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根,故選B.8.(2017上海,2,4分)下列方程中,沒有實數(shù)根的是()A.x2-2x=0B.x2-2x-1=0C.x2-2x+1=0D.x2-2x+2=0答案答案DA項,=(-2)2-410=40;B項,=(-2)2-41(-1)=80;C項,=(-2)2-411=0;D項,=(-2)2-412=-40,D項中的方程沒有實數(shù)根,故選D.思路分析思路分析對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),=b2-4ac,當(dāng)0時,方程有兩個實數(shù)根;當(dāng)0方程有兩個不相等的實數(shù)根;(2)=0方程有兩個相等的實數(shù)根;(3)0,則當(dāng)a=1,c=5時,ac=54,故此選項錯誤;B.a=0不符合一元二次方程的定義,故此選項錯誤;C.若c0,則當(dāng)a=1,c=5時,ac=54,故此選項錯誤;D.若c=0,則ac=04,故此選項正確.故選D.12.(2016福建福州,12,3分)下列選項中,能使關(guān)于x的一元二次方程ax2-4x+c=0一定有實數(shù)根的是()A.a0B.a=0C.c0D.c=013.(2016河北,14,2分)a,b,c為常數(shù),且(a-c)2a2+c2,則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0根的情況是()A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根C.無實數(shù)根D.有一根為0答案答案B由(a-c)2a2+c2,得a2-2ac+c2a2+c2,即-2ac0,所以-4ac0.又因為b20,所以=b2-4ac0,所以方程有兩個不相等的實數(shù)根.14.(2016山東青島,8,3分)輸入一組數(shù)據(jù),按下列程序進(jìn)行計算,輸出結(jié)果如下表:分析表格中的數(shù)據(jù),估計方程(x+8)2-826=0的一個正數(shù)解x的大致范圍為()A.20.5x20.6B.20.6x20.7C.20.7x20.8D.20.8x20.9x20.520.620.720.820.9輸出-13.75-8.04-2.313.449.21答案答案C根據(jù)程序及輸出結(jié)果可知當(dāng)x=20.7時,(x+8)2-826=-2.310,(x+8)2-826=0的一個正數(shù)解x的大致范圍為20.7x20.8,故選C.15.(2015重慶,8,4分)一元二次方程x2-2x=0的根是()A.x1=0,x2=-2B.x1=1,x2=2C.x1=1,x2=-2D.x1=0,x2=2答案答案Dx2-2x=0,x(x-2)=0,解得x1=0,x2=2,故選D.16.(2015甘肅蘭州,6,4分)一元二次方程x2-8x-1=0配方后可變形為()A.(x+4)2=17B.(x+4)2=15C.(x-4)2=17D.(x-4)2=15答案答案C變形得x2-8x=1,x2-8x+16=1+16,(x-4)2=17,故選C.17.(2015河北,12,2分)若關(guān)于x的方程x2+2x+a=0不存在實數(shù)根,則a的取值范圍是()A.a1C.a1D.a1答案答案B由題意知=4-4a1,故選B.18.(2015寧夏,7,3分)如圖,某小區(qū)有一塊長為18m,寬為6m的矩形空地,計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地,它們的面積之和為60m2,兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道.若設(shè)人行通道的寬度為xm,則可以列出關(guān)于x的方程是()A.x2+9x-8=0B.x2-9x-8=0C.x2-9x+8=0D.2x2-9x+8=0答案答案C由題意得(18-3x)(6-2x)=60,化簡得x2-9x+8=0.19.(2015甘肅蘭州,11,4分)股票每天的漲、跌幅均不能超過10%,即當(dāng)漲了原價的10%后,便不能再漲,叫做漲停;當(dāng)?shù)嗽瓋r的10%后,便不能再跌,叫做跌停.已知一支股票某天跌停,之后兩天時間又漲回到原價,若這兩天此股票股價的平均增長率為x,則x滿足的方程是()A.(1+x)2=B.(1+x)2=C.1+2x=D.1+2x=11101091110109答案答案B設(shè)原價為1,則某天跌停后是0.9,根據(jù)題意可列方程為0.9(1+x)2=1,即(1+x)2=,故選B.10920.(2018江西,11,3分)一元二次方程x2-4x+2=0的兩根為x1,x2,則 x2-4x1+2x1x2的值為.答案答案2解析解析一元二次方程x2-4x+2=0的兩根為x1、x2,-4x1=-2,x1x2=2,-4x1+2x1x2=-2+22=2.21x21x21.(2016湖南長沙,14,3分)若關(guān)于x的一元二次方程x2-4x-m=0有兩個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)m的取值范圍是.答案答案m-4解析解析一元二次方程x2-4x-m=0有兩個不相等的實數(shù)根,0,即b2-4ac=(-4)2-41(-m)=16+4m0,解得m-4.22.(2018四川成都,16,6分)若關(guān)于x的一元二次方程x2-(2a+1)x+a2=0有兩個不相等的實數(shù)根,求a的取值范圍.解析解析由題意可知=(2a+1)2-4a2=4a2+4a+1-4a2=4a+1.原方程有兩個不相等的實數(shù)根,4a+10,a-.1423.(2018遼寧沈陽,21,8分)某公司今年1月份的生產(chǎn)成本是400萬元,由于改進(jìn)生產(chǎn)技術(shù),生產(chǎn)成本逐月下降,3月份的生產(chǎn)成本是361萬元.假設(shè)該公司2、3、4月每個月生產(chǎn)成本的下降率都相同.(1)求每個月生產(chǎn)成本的下降率;(2)請你預(yù)測4月份該公司的生產(chǎn)成本.解析解析(1)設(shè)該公司每個月生產(chǎn)成本的下降率為x,根據(jù)題意,得400(1-x)2=361,解得x1=5%,x2=1.95,1.951,x2=1.95不合題意,舍去.答:每個月生產(chǎn)成本的下降率為5%.(2)361(1-5%)=342.95(萬元).答:預(yù)測4月份該公司的生產(chǎn)成本為342.95萬元.1203920易錯警示易錯警示3月份的生產(chǎn)成本=1月份的生產(chǎn)成本(1-x)2,而不是1月份的生產(chǎn)成本(1-2x).下降率最后要化為百分?jǐn)?shù),也可直接設(shè)為x%.思路分析思路分析設(shè)每個月生產(chǎn)成本的下降率為x,則2月份的生產(chǎn)成本=1月份的生產(chǎn)成本(1-x),3月份的生產(chǎn)成本=2月份的生產(chǎn)成本(1-x),3月份的生產(chǎn)成本=1月份的生產(chǎn)成本(1-x)2;4月份的生產(chǎn)成本=3月份的生產(chǎn)成本(1-x).24.(2018呼和浩特,23,7分)已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有兩個實數(shù)根x1,x2,請你用配方法探索有實數(shù)根的條件,并推導(dǎo)出求根公式,證明x1x2=.ca解析解析ax2+bx+c=0(a0),x2+x=-,x2+x+=-+,=,4a20,當(dāng)b2-4ac0時,方程有實數(shù)根.x+=.當(dāng)b2-4ac0時,x1=,x2=,x1x2=;當(dāng)b2-4ac=0時,x1=x2=-,x1x2=.bacaba22baca22ba22bxa2244baca2ba242baca242bbaca 242bbaca 222(4) (4)4bbacbbaca 222(4)4bbaca244acaca2ba22ba224ba244acaca綜上,證得x1x2=.ca思路分析思路分析本題需要借助配方法解含字母系數(shù)的一元二次方程,同時借助求根公式驗證推導(dǎo)是否正確.解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵正確解決本題的關(guān)鍵是要通過求根公式進(jìn)行驗證,同時要具有計算含字母系數(shù)的方程的能力.25.(2015福建福州,20,8分)已知關(guān)于x的方程x2+(2m-1)x+4=0有兩個相等的實數(shù)根,求m的值.解析解析關(guān)于x的方程x2+(2m-1)x+4=0有兩個相等的實數(shù)根,=(2m-1)2-414=0.2m-1=4.m=或m=-.523226.(2015河南,19,9分)已知關(guān)于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=|m|.(1)求證:對于任意實數(shù)m,方程總有兩個不相等的實數(shù)根;(2)若方程的一個根是1,求m的值及方程的另一個根.解析解析(1)證明:原方程可化為x2-5x+6-|m|=0.(1分)=(-5)2-41(6-|m|)=25-24+4|m|=1+4|m|.(3分)|m|0,1+4|m|0.對于任意實數(shù)m,方程總有兩個不相等的實數(shù)根.(4分)(2)把x=1代入原方程,得|m|=2,m=2.(6分)把|m|=2代入原方程,得x2-5x+4=0,x1=1,x2=4.m的值為2,方程的另一個根是4.(9分)考點一一元一次方程、二元一次方程考點一一元一次方程、二元一次方程( (組組) )三年模擬A A組組 2016 201620182018年模擬年模擬基礎(chǔ)題組基礎(chǔ)題組1.(2016北京朝陽二模,8)現(xiàn)有A、B兩種商品,買3件A商品和2件B商品用了160元,買2件A商品和3件B商品用了190元.如果準(zhǔn)備購買A、B兩種商品共10件,下列方案中費用最低的為()A.A商品7件和B商品3件B.A商品6件和B商品4件C.A商品5件和B商品5件D.A商品4件和B商品6件答案答案A可設(shè)買一件A商品需要x元,買一件B商品需要y元,由題意可列方程組為解得所以購買A商品的數(shù)量越多越便宜.故選A.32160,23190,xyxy20,50.xy2.(2018北京海淀一模,13)京張高鐵是2022年北京冬奧會的重要交通基礎(chǔ)設(shè)施,考慮到不同路段的特殊情況,將根據(jù)不同的運行區(qū)間設(shè)置不同的時速.其中,北京北站到清河站一段全長11千米,分為地下清華園隧道和地上區(qū)間兩部分,運行速度分別為80千米/時和120千米/時.按此運行速度,地下隧道運行時間比地上多2分鐘,求清華園隧道全長為多少千米.設(shè)清華園隧道全長為x千米,依題意,可列方程為.130小時答案答案-=80 x11120 x130解析解析由題意可知地下運行的時間為小時,地上運行的時間為小時,由地下隧道運行時間比地上多2分鐘,可列方程為-=.80 x11120 x130小時80 x11120 x1303.(2018北京朝陽一模,11)足球、籃球、排球已經(jīng)成為北京體育的三張名片,越來越受廣大市民的關(guān)注.下表是北京兩支籃球隊在2017至2018年賽季常規(guī)賽中的比賽成績:設(shè)勝一場積x分,負(fù)一場積y分,依題意,可列二元一次方程組為.隊名比賽場次勝場負(fù)場積分A38251363B38182056答案答案251363182056xyxy解析解析積分是勝場積分與負(fù)場積分的和,所以可列方程組為251363,182056.xyxy4.(2018北京石景山一模,12)我國古代數(shù)學(xué)名著孫子算經(jīng)中記載了一道題,大意是:100匹馬恰好拉了100片瓦,已知3匹小馬能拉1片瓦,1匹大馬能拉3片瓦,求小馬、大馬各有多少匹.若設(shè)小馬有x匹,大馬有y匹,依題意,可列方程組為.答案答案10031003xyxy解析解析由100匹馬和100片瓦可以列兩個方程,一個由馬的數(shù)量出發(fā),兩種馬一共100匹,即x+y=100;一個由瓦的數(shù)量出發(fā),3匹小馬能拉1片瓦,則1匹小馬能拉片瓦,x匹小馬能拉片瓦,1匹大馬能拉3片瓦,則y匹大馬能拉3y片瓦,兩種馬一共拉100片瓦,即+3y=100,所以可列方程組為133x3x100,3100.3xyxy5.(2018北京順義一模,13)九章算術(shù)是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作,奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架.它記載了這樣一道題:今有五雀、六燕,集稱之衡,雀俱重,燕俱輕.一雀一燕交而處,衡適平.并燕雀重一斤.問燕、雀一枚各重幾何?譯文:今有5只雀和6只燕,分別聚集而稱之,聚在一起的雀重,燕輕.將1只雀、1只燕交換位置而放,重量相等.5只雀、6只燕共重16兩(1斤=16兩).問雀、燕每只各重多少兩?(每只雀的重量相同、每只燕的重量相同)設(shè)每只雀重x兩,每只燕重y兩,則可列方程組為.答案答案455616xyyxxy解析解析5只雀、6只燕共重16兩,則可列方程5x+6y=16;將1只雀、1只燕交換位置而放,則有4x+y和5y+x,因為重量相等,所以可列方程4x+y=5y+x.所以可列方程組為45,5616.xyyxxy6.(2018北京燕山一模,14)如圖,10塊相同的長方形卡片拼成一個大長方形,設(shè)長方形卡片的長和寬分別為x和y,則依題意,可列方程組為.答案答案2753xyxy解析解析由題圖可知,長方形卡片的長等于寬的3倍,一個長加上兩個寬為75,則可列方程組為275,3 .xyxy7.(2016北京海淀一模,13)埃及紙草書中記載:“一個數(shù),它的三分之二,它的一半,它的七分之一,它的全部,加起來總共是33.”設(shè)這個數(shù)是x,可列方程為.答案答案x+x+x+x=33231217解析解析“一個數(shù)的三分之二”表示的是這個數(shù)乘,即x,同理有x,x,x,“加”表示的是“+”,所以可列方程為x+x+x+x=33.232312172312178.(2016北京東城二模,15)定義運算“*”,規(guī)定x*y=a(x+y)+xy,其中a為常數(shù),且1*2=5,則2*3=.答案答案11解析解析由題意可知a(1+2)+12=5,所以a=1.所以2*3=1(2+3)+23=11.9.(2017北京順義一模,22)某電腦公司有A、B兩種型號的電腦,其中A型號電腦每臺6000元,B型號電腦每臺4000元.學(xué)校計劃花費150000元從該公司購進(jìn)這兩種型號的電腦共35臺,問購買A、B兩種型號電腦各多少臺?解析解析設(shè)購買A型號電腦x臺,B型號電腦y臺,根據(jù)題意,得解得答:購買A型號電腦5臺,B型號電腦30臺.35,60004000150000.xyxy5,30.xy10.(2016北京西城二模,22)為祝賀北京成功獲得2022年冬奧會主辦權(quán),某工藝品廠準(zhǔn)備生產(chǎn)紀(jì)念北京申辦冬奧會成功的“紀(jì)念章”和“冬奧印”.生產(chǎn)一枚“紀(jì)念章”需要用甲種原料4盒,乙種原料3盒;生產(chǎn)一枚“冬奧印”需要用甲種原料5盒,乙種原料10盒.該廠購進(jìn)甲、乙兩種原料分別為20000盒和30000盒,如果將所購進(jìn)原料正好全部用完,那么能生產(chǎn)“紀(jì)念章”和“冬奧印”各多少枚?解析解析設(shè)能生產(chǎn)“紀(jì)念章”x枚,生產(chǎn)“冬奧印”y枚.根據(jù)題意,得解得答:能生產(chǎn)“紀(jì)念章”2000枚,生產(chǎn)“冬奧印”2400枚.4520000,31030000.xyxy2000,2400.xy考點二一元二次方程考點二一元二次方程1.(2016北京豐臺一模,16)小明同學(xué)用配方法推導(dǎo)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式時,對于b2-4ac0的情況,他是這樣做的:由于a0,所以方程ax2+bx+c=0可變形為x2+x=-,第一步x2+x+=-+,第二步=,第三步b2-4ac0,x+=,第四步x=.第五步小明的解法從第步開始出現(xiàn)錯誤;這一步的運算依據(jù)應(yīng)是.bacaba22baca22ba22bxa2244baca2ba242baca242bbaca 答案答案四;平方根的定義解析解析一個正數(shù)有兩個平方根,且它們互為相反數(shù),所以由平方根的定義知第四步是錯誤的.2.(2018北京海淀一模,20)已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(2m-3)x+m2+1=0.(1)若m是方程的一個實數(shù)根,求m的值;(2)若m為負(fù)數(shù),判斷方程根的情況.解析解析(1)m是方程的一個實數(shù)根,m2-(2m-3)m+m2+1=0,m=-.(2)=-(2m-3)2-4(m2+1)=-12m+5.m0,=-12m+50.此方程有兩個不相等的實數(shù)根.133.(2018北京朝陽一模,20)已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(k+1)x+k=0.(1)求證:方程總有兩個實數(shù)根;(2)若該方程有一個根是正數(shù),求k的取值范圍.解析解析(1)證明:依題意,得=(k+1)2-4k=(k-1)2,(k-1)20,方程總有兩個實數(shù)根.(2)由求根公式,得x1=-1,x2=-k.方程有一個根是正數(shù),-k0,k0,m2.(2)m0.m2.(2)m為正整數(shù),且m0,m0且m1,排除B,C,D.故選A.2.(2017北京朝陽一模,6)九章算術(shù)是我國古代的數(shù)學(xué)名著,書中的“折竹抵地”問題:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺.問折者高幾何?意思是:一根竹子,原高一丈(一丈=10尺),一陣風(fēng)將竹子折斷,其竹梢恰好抵地,抵地處離竹子底部3尺遠(yuǎn),問折斷處離地面的高度是多少?設(shè)折斷后離地面的高度為x尺,則可列方程為()A.x2-3=(10-x)2B.x2-32=(10-x)2C.x2+3=(10-x)2D.x2+32=(10-x)2答案答案D由題意可知,折斷的部分為直角三角形的斜邊,所以可列方程為x2+32=(10-x)2.故選D.二、填空題(每小題3分,共18分)3.(2018北京順義一模,11)把方程x2-3=2x用配方法化為(x+m)2=n的形式,則m=,n=.答案答案-1;4解析解析x2-3=2x,整理得x2-2x-3=0,即x2-2x+1-1-3=0,配方得(x-1)2=4.(x+m)2=n,m=-1,n=4.4.(2018北京西城一模,12)從杭州東站到北京南站,原來最快的一趟高鐵G20次約用5h到達(dá).從2018年4月10日起,全國鐵路開始實施新的列車運行圖,并啟用了“京杭高鐵復(fù)興號”,它的運行速度比原來的G20次的運行速度快35km/h,約用4.5h到達(dá).如果在相同的路線上,杭州東站到北京南站的距離不變,求“京杭高鐵復(fù)興號”的運行速度.設(shè)“京杭高鐵復(fù)興號”的運行速度為xkm/h,依題意,可列方程為.答案答案5(x-35)=4.5x解析解析復(fù)興號的速度為xkm/h,時間為4.5h,則路程為4.5xkm;G20次的速度為(x-35)km/h,時間為5h,則路程為5(x-35)km.因為路程相等,所以可列方程為5(x-35)=4.5x.思路分析思路分析需要借助路程相等來表示等量關(guān)系.5.(2018北京豐臺一模,14)營養(yǎng)學(xué)家對初中學(xué)生進(jìn)行了一項調(diào)查:甲組學(xué)生每天正常進(jìn)餐,乙組學(xué)生每天除正常進(jìn)餐外,每人還增加600mL牛奶.一年后營養(yǎng)學(xué)家統(tǒng)計發(fā)現(xiàn):乙組學(xué)生平均身高的增長值比甲組學(xué)生平均身高的增長值多2.01cm,甲組學(xué)生平均身高的增長值比乙組學(xué)生平均身高的增長值的75%少0.34cm.設(shè)甲、乙兩組學(xué)生平均身高的增長值分別為xcm、ycm,依題意,可列方程組為.答案答案2.0175%0.34yxxy解析解析由乙組學(xué)生平均身高的增長值比甲組學(xué)生平均身高的增長值多2.01cm,可列方程y=x+2.01,由甲組學(xué)生平均身高的增長值比乙組學(xué)生平均身高的增長值的75%少0.34cm,可列方程x=75%y-0.34,則可列方程組為2.01,75%0.34.yxxy6.(2017北京豐臺一模,15)眾所周知,中華詩詞博大精深,集大量的情景情感于短短數(shù)十字之間,或豪放,或婉約,或思民生疾苦,或抒發(fā)己身豪情逸致,文化價值極高.而數(shù)學(xué)與古詩詞更是有著密切的聯(lián)系.古詩中,五言絕句是四句詩,每句都是五個字;七言絕句是四句詩,每句都是七個字.有一本詩集,其中五言絕句比七言絕句多13首,總字?jǐn)?shù)卻反而少了20個字.問兩種詩各多少首?設(shè)七言絕句有x首,根據(jù)題意,可列方程為.答案答案28x-20(x+13)=20解析解析七言絕句有x首,則五言絕句有(x+13)首.五言絕句每首有45個字,七言絕句每首有47個字,根據(jù)五言絕句比七言絕句字?jǐn)?shù)少了20個字,可列方程為28x-20(x+13)=20.7.(2016北京朝陽一模,14)孫子算經(jīng)是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一,其中記載的“蕩杯問題”很有趣.孫子算經(jīng)記載“今有婦人河上蕩杯.津吏問曰:杯何以多?婦人曰:家有客.津吏曰:客幾何?婦人曰:二人共飯,三人共羹,四人共肉,凡用杯六十五.不知客幾何?”譯文:“2人同吃一碗飯,3人同吃一碗羹,4人同吃一碗肉,共用65個碗,問有多少客人?”設(shè)共有客人x人,可列方程為.答案答案x+x+x=65121314解析解析由兩人同吃一碗飯知共有x個碗盛飯,同理有x,x,由共65個碗可知和為65,則可列方程為x+x+x=65.1213141213148.(2016北京順義二模,13)小林、小芳和小亮三人玩飛鏢游戲,各投5支飛鏢,規(guī)定在同一圓環(huán)內(nèi)得分相同,中靶和得分情況如圖,則小亮的得分是.答案答案21分解析解析由題意可設(shè),投中內(nèi)環(huán)得x分,投中外環(huán)得y分,所以可列方程組為解得所以小亮的得分是53+32=21分.2319,423,xyxy5,3.xy思路分析思路分析先列方程組求出投中內(nèi)環(huán)和外環(huán)的得分情況,再計算小亮的得分.三、解答題(共56分)9.(2018北京東城一模,20)已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(m+3)x+m+2=0.(1)求證:無論實數(shù)m取何值,方程總有兩個實數(shù)根;(2)若方程有一個根的平方等于4,求m的值.解析解析(1)證明:=-(m+3)2-4(m+2)=(m+1)2,(m+1)20,無論實數(shù)m取何值,方程總有兩個實數(shù)根.(2)由求根公式得x1=1,x2=m+2,方程有一個根的平方等于4,(m+2)2=4.解得m=-4或m=0.10.(2018北京西城一模,20)已知關(guān)于x的方程mx2+(3-m)x-3=0(m為實數(shù),m0).(1)求證:此方程總有兩個實數(shù)根;(2)如果此方程的兩個實數(shù)根都為正整數(shù),求整數(shù)m的值.解析解析(1)證明:m0,方程mx2+(3-m)x-3=0為一元二次方程.依題意,得=(3-m)2+12m=(m+3)2.無論m取何實數(shù),總有(m+3)20,此方程總有兩個實數(shù)根.(2)由求根公式,得x1=1,x2=-(m0).方程的兩個實數(shù)根都為正整數(shù),整數(shù)m的值為-1或-3.3m11.(2018北京石景山一模,20)關(guān)于x的一元二次方程mx2+(3m-2)x-6=0.(1)當(dāng)m為何值時,方程有兩個不相等的實數(shù)根?(2)當(dāng)m為何整數(shù)時,此方程的兩個根都為負(fù)整數(shù)?解析解析(1)方程為一元二次方程,m0.=(3m-2)2+24m=(3m+2)20,當(dāng)m0且m-時,方程有兩個不相等的實數(shù)根.(2)解方程mx2+(3m-2)x-6=0,得x1=,x2=-3.m為整數(shù),且方程的兩個根均為負(fù)整數(shù),m=-1或m=-2.即m=-1或m=-2時,此方程的兩個根都為負(fù)整數(shù).232m12.(2018北京順義一模,20)已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(m-1)x+2m-6=0.(1)求證:方程總有兩個實數(shù)根;(2)若方程有一個根是負(fù)數(shù),求m的取值范圍.解析解析(1)證明:=-(m-1)2-4(2m-6)=m2-2m+1-8m+24=m2-10m+25=(m-5)20,方程總有兩個實數(shù)根.(2)由求根公式得x1=m-3,x2=2.有一個根是負(fù)數(shù),m-30,mx2,若x1=2x2,求m的值.解析解析(1)=(-6m)2-4(9m2-9)=36m2-36m2+36=360,方程有兩個不相等的實數(shù)根.(2)由求根公式得x1,2=3m3,3m+33m-3,x1=3m+3,x2=3m-3,3m+3=2(3m-3),m=3.6362m662m14.(2017北京門頭溝一模,22)學(xué)完二元一次方程組的應(yīng)用之后,老師寫出了一個方程組如下:要求把這個方程組賦予實際情境.小軍說出了一個情境:學(xué)校有兩個課外小組,書法組和美術(shù)組,其中書法組的人數(shù)的二倍比美術(shù)組多5人,書法組平均每人完成了4幅書法作品,美術(shù)組平均每人完成了3幅美術(shù)作品,兩個小組共完成了40幅作品,問書法組和美術(shù)組各有多少人?小明通過驗證后發(fā)現(xiàn)小軍賦予的情境有問題,請找出問題在哪.25,4340.xyxy解析解析通過解方程組得由于人數(shù)只能是非負(fù)整數(shù),所以小軍不能以人數(shù)為未知數(shù)進(jìn)行情境創(chuàng)設(shè).5.5,6.xy15.(2017北京東城一模,22)在某場CBA比賽中,某位運動員的技術(shù)統(tǒng)計如下表所示:注:(1)表中出手投籃次數(shù)和投中次數(shù)均不包括罰球;(2)總得分=兩分球得分+三分球得分+罰球得分.根據(jù)以上信息,求本場比賽中該運動員投中兩分球和三分球各幾個.技術(shù)上場時間(分鐘)出手投籃(次)投中(次)罰球得分(分)籃板(個)助攻(次)個人總得分(分)數(shù)據(jù)38271163433解析解析設(shè)本場比賽中該運動員投中兩分球x個,三分球y個.依題意有解得答:本場比賽中該運動員投中兩分球6個,三分球5個.23633,11.xyxy6,5.xy16.(2016北京東城二模,20)為迎接“五一勞動節(jié)”,某超市開展促銷活動,決定對A,B兩種商品進(jìn)行打折出售.打折前,買6件A商品和3件B商品需要108元,買3件A商品和4件B商品需要94元.問:打折后,若買5件A商品和4件B商品僅需86元,比打折前節(jié)省了多少元錢?解析解析設(shè)打折前一件A商品的價格為x元,一件B商品的價格為y元.依據(jù)題意,得解得所以510+416-86=28(元).答:比打折前節(jié)省了28元.63108,3494.xyxy10,16.xy17.(2017北京豐臺一模,20)已知關(guān)于x的一元二次方程3x2-kx+k-4=0.(1)判斷方程根的情況;(2)若此方程有一個整數(shù)根,請選擇一個合適的k值,并求出此時方程的根.解析解析(1)=(-k)2-12(k-4)=k2-12k+48=(k-6)2+120,方程有兩個不等的實數(shù)根.(2)當(dāng)k=4時,=16,方程為3x2-4x=0,x1=0,x2=;或當(dāng)k=8時,=16,方程為3x2-8x+4=0,x1=2,x2=.432318.(2017北京懷柔二模,23)小明遇到這樣一個問題:已知:=1.求證:b2-4ac0.經(jīng)過思考,小明的證明過程如下:=1,b-c=a.a-b+c=0.接下來,小明想:若把x=-1代入一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),恰好得到a-b+c=0.這說明一元二次方程ax2+bx+c=0有根,且一個根是x=-1.所以,根據(jù)一元二次方程根的判別式的知識易證b2-4ac0.根據(jù)上面的解題經(jīng)驗,小明模仿上面的題目自己編了一道類似的題目:已知:=-2.求證:b24ac.請你參考上面的方法,寫出小明所編題目的證明過程.bcabca4acb證明證明=-2,4a+c=-2b.4a+2b+c=0.x=2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的一個根.b2-4ac0,b24ac.4acb