高考數(shù)學 第二章 第十節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用課件 理

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1、第十節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用1.1.三種函數(shù)模型性質(zhì)比較三種函數(shù)模型性質(zhì)比較y=ay=ax x(a1)(a1)y=logy=loga ax(a1)x(a1)y=xy=xn n(n0)(n0)在在(0,+)(0,+)上的單調(diào)性上的單調(diào)性單調(diào)單調(diào)_函數(shù)函數(shù)單調(diào)單調(diào)_函數(shù)函數(shù)單調(diào)單調(diào)_函數(shù)函數(shù)增長速度增長速度越來越越來越_越來越越來越_相對平穩(wěn)相對平穩(wěn)圖象的圖象的變化變化隨隨x x值增大值增大, ,圖象與圖象與_軸軸接近平行接近平行隨隨x x值增大值增大, ,圖象與圖象與x x軸軸接近接近_隨隨n n值變化值變化而不同而不同增增增增增增快快慢慢y y平行平行【即時應(yīng)用即時應(yīng)用】(1)(1)思考思考: :

2、對于直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長三種增長模型，對于直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長三種增長模型，你作為老板，希望公司的利潤和員工獎金按何種模型增長你作為老板，希望公司的利潤和員工獎金按何種模型增長? ?提示提示: :公司的利潤選擇直線上升或指數(shù)模型增長公司的利潤選擇直線上升或指數(shù)模型增長, ,而員工獎金選而員工獎金選擇對數(shù)模型增長擇對數(shù)模型增長. .(2)(2)當當x x越來越大時，下列四個函數(shù)中，增長速度最快的是越來越大時，下列四個函數(shù)中，增長速度最快的是_._.y=2y=2x x, , y=xy=x1010, , y=lgx, y=lgx, y=10 xy=10 x2 2【解析解析】由函數(shù)圖象

3、知，由函數(shù)圖象知，y=2y=2x x的增長速度最快的增長速度最快. .答案答案: :(3)(3)函數(shù)函數(shù)y=2y=2x x與與y=xy=x2 2的圖象的交點個數(shù)是的圖象的交點個數(shù)是_._.【解析解析】由由y=2y=2x x與與y=xy=x2 2的圖象知有的圖象知有3 3個交點個交點. .答案答案: :3 3(4)(4)當當2 2x x4 4時時,2,2x x,x,x2 2,log,log2 2x x的大小關(guān)系是的大小關(guān)系是_._.【解析解析】在同一平面直角坐標系中在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)畫出函數(shù)y=logy=log2 2x,y=xx,y=x2 2,y=2,y=2x x的圖象的圖象, ,在

4、區(qū)間在區(qū)間(2(2，4)4)內(nèi)從上往下依次是內(nèi)從上往下依次是y=xy=x2 2,y=2,y=2x x,y=log,y=log2 2x x的圖象，的圖象，所以所以x x2 22 2x xloglog2 2x.x.答案答案: : x x2 22 2x xloglog2 2x x2.2.常見的幾種函數(shù)模型常見的幾種函數(shù)模型(1)(1)直線模型直線模型: :一次函數(shù)模型一次函數(shù)模型 _(k0),_(k0),圖象增長特點是直圖象增長特點是直線式上升線式上升(x(x的系數(shù)的系數(shù)k k0),0),通過圖象可以直觀地認識它通過圖象可以直觀地認識它, ,特例是特例是正比例函數(shù)模型正比例函數(shù)模型y=kx(ky=k

5、x(k0).0).(2)(2)反比例函數(shù)模型反比例函數(shù)模型: _(k: _(k0)0)型型, ,增長特點是增長特點是y y隨隨x x的增大而的增大而減小減小. .y=kx+by=kx+bkyx(3)(3)指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型:y=ab:y=abx x+c(b+c(b0,b1,a0)0,b1,a0)，其增長特點，其增長特點是隨著自變量的增大是隨著自變量的增大, ,函數(shù)值增大的速度越來越快函數(shù)值增大的速度越來越快( (底數(shù)底數(shù)b b1,a1,a0)0)，常形象地稱為指數(shù)爆炸，常形象地稱為指數(shù)爆炸. .(4)(4)對數(shù)函數(shù)模型，即對數(shù)函數(shù)模型，即y=mlogy=mloga ax+n(ax+n(a

6、0,a1,m0)0,a1,m0)型，增長型，增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢( (底數(shù)底數(shù)a a1,m1,m0).0).(5)(5)冪函數(shù)模型冪函數(shù)模型, ,即即y=axy=axn n+b(a0)+b(a0)型，其中最常見的是二次型，其中最常見的是二次函數(shù)模型函數(shù)模型: _(a0): _(a0)，其特點是隨著自變量的增，其特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值先減小，后增大大，函數(shù)值先減小，后增大(a(a0).0).y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(6)(6)分段函數(shù)模型：分段函數(shù)模型：y= ,y= ,其特點是每一段自變量其

7、特點是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同變化所遵循的規(guī)律不同. .可以先將其當作幾個問題，將各段的可以先將其當作幾個問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的取值范圍不同取值范圍不同. . 1122nnfx ,xDfx ,xDfxxD，【即時應(yīng)用即時應(yīng)用】(1)(1)據(jù)報道，全球變暖使北冰洋冬季冰雪覆蓋面積在最近據(jù)報道，全球變暖使北冰洋冬季冰雪覆蓋面積在最近5050年年內(nèi)減少了內(nèi)減少了5%5%，如果按此速度，設(shè)，如果按此速度，設(shè)20112011年的冬季冰雪覆蓋面積為年的冬季冰雪覆蓋面積為m m，從，從20112011

8、年起，經(jīng)過年起，經(jīng)過x x年后，北冰洋冬季冰雪覆蓋面積年后，北冰洋冬季冰雪覆蓋面積y y與與x x的的函數(shù)關(guān)系式是函數(shù)關(guān)系式是_._.(2)(2)某公司為了適應(yīng)市場需求對產(chǎn)品結(jié)構(gòu)進行了重大調(diào)整，調(diào)某公司為了適應(yīng)市場需求對產(chǎn)品結(jié)構(gòu)進行了重大調(diào)整，調(diào)整后初期利潤增長迅速，后期增長越來越慢，若要建立恰當?shù)恼蟪跗诶麧櫾鲩L迅速，后期增長越來越慢，若要建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型來反映該公司調(diào)整后利潤函數(shù)模型來反映該公司調(diào)整后利潤y y與時間與時間x x的關(guān)系，可選用以的關(guān)系，可選用以下四種函數(shù)模型中的下四種函數(shù)模型中的_._.一次函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)型函數(shù)，對數(shù)型函數(shù)一次函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)型函數(shù)，對數(shù)型函數(shù).

9、 .(3)(3)某種電熱水器的水箱盛滿水是某種電熱水器的水箱盛滿水是200 L200 L，加熱到一定溫度，即，加熱到一定溫度，即可用來洗浴可用來洗浴. .洗浴時，已知每分鐘放水洗浴時，已知每分鐘放水34 L34 L，若放水，若放水t t分鐘時，分鐘時，同時自動注水總量為同時自動注水總量為2t2t2 2 L. L.當水箱內(nèi)的水量達到最少時，放水當水箱內(nèi)的水量達到最少時，放水程序自動停止，現(xiàn)假定每人洗浴用水量為程序自動停止，現(xiàn)假定每人洗浴用水量為65 L65 L，則該熱水器一，則該熱水器一次至多可供次至多可供_人洗浴人洗浴. .【解析解析】(1)(1)設(shè)每年的冰雪覆蓋面積與上一年的比為設(shè)每年的冰雪

10、覆蓋面積與上一年的比為a,a,則由題則由題意得意得1-0.05=a1-0.05=a5050. .a= a= y=( )y=( )x xm= m,xNm= m,xN* *. .(2)(2)根據(jù)實際情況得根據(jù)實際情況得, ,對數(shù)函數(shù)與公司調(diào)整后利潤對數(shù)函數(shù)與公司調(diào)整后利潤y y與時間與時間x x的關(guān)的關(guān)系相吻合系相吻合. .1500.951500.95x500.95(3)(3)在放水程序自動停止前在放水程序自動停止前, ,水箱中的水量為水箱中的水量為y=2ty=2t2 2-34t+200=2(t-8.5)-34t+200=2(t-8.5)2 2+55.5+55.5，由二次函數(shù)的性質(zhì)得經(jīng)過，由二次函

11、數(shù)的性質(zhì)得經(jīng)過8.5 min8.5 min，放水停止，放水停止, ,共出水共出水34348.5=289(L)8.5=289(L)，289289654.45.654.45.故至多可供故至多可供4 4人洗浴人洗浴. .答案：答案：(1)y= m,xN(1)y= m,xN* * (2)(2)(3)4 (3)4 x500.95熱點考向熱點考向 1 1 一次函數(shù)與二次函數(shù)模型一次函數(shù)與二次函數(shù)模型【方法點睛方法點睛】利用已知函數(shù)模型解決實際問題的步驟利用已知函數(shù)模型解決實際問題的步驟若題目給出了含參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，或可確定其函數(shù)模型的圖若題目給出了含參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，或可確定其函數(shù)模型的圖象象, ,求解

12、時先用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式中相關(guān)參數(shù)的值求解時先用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式中相關(guān)參數(shù)的值, ,再再用求得的函數(shù)解析式解決實際問題用求得的函數(shù)解析式解決實際問題, ,對于已知函數(shù)解析式的可對于已知函數(shù)解析式的可以直接利用函數(shù)相關(guān)性質(zhì)解決實際問題以直接利用函數(shù)相關(guān)性質(zhì)解決實際問題. .【提醒提醒】解函數(shù)應(yīng)用題常見的錯誤：解函數(shù)應(yīng)用題常見的錯誤：(1)(1)不會將實際問題抽象轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型或轉(zhuǎn)化不全面；不會將實際問題抽象轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型或轉(zhuǎn)化不全面；(2)(2)在求解過程中忽視實際問題對變量參數(shù)的限制條件在求解過程中忽視實際問題對變量參數(shù)的限制條件. . 【例例1 1】(1)(1)某產(chǎn)品的總成本某

13、產(chǎn)品的總成本y(y(萬元萬元) )與產(chǎn)量與產(chǎn)量x(x(臺臺) )之間的函數(shù)關(guān)之間的函數(shù)關(guān)系式是系式是y=3 000+20 x-0.1xy=3 000+20 x-0.1x2 2(0 x240,xN)(0 x240,xN)，若每臺產(chǎn)品的售，若每臺產(chǎn)品的售價為價為2525萬元，則生產(chǎn)者不虧本時萬元，則生產(chǎn)者不虧本時( (銷售收入不小于總成本銷售收入不小于總成本) )的最的最低產(chǎn)量是低產(chǎn)量是( )( )(A)100(A)100臺臺 (B)120(B)120臺臺(C)150(C)150臺臺 (D)180(D)180臺臺(2)(2012(2)(2012廈門模擬廈門模擬) )某省兩相近重要城市之間人員交流頻

14、繁，某省兩相近重要城市之間人員交流頻繁，為了緩解交通壓力，特修一條專用鐵路，用一列火車作為交通為了緩解交通壓力，特修一條專用鐵路，用一列火車作為交通車，已知該車每次拖車，已知該車每次拖4 4節(jié)車廂，一日能來回節(jié)車廂，一日能來回1616次，如果每次拖次，如果每次拖7 7節(jié)車廂，則每日能來回節(jié)車廂，則每日能來回1010次次. .若每日來回的次數(shù)是車頭每次拖掛車廂節(jié)數(shù)的一次函數(shù)，求若每日來回的次數(shù)是車頭每次拖掛車廂節(jié)數(shù)的一次函數(shù)，求此一次函數(shù)解析式；此一次函數(shù)解析式；在的條件下，每節(jié)車廂能載乘客在的條件下，每節(jié)車廂能載乘客110110人，問這列火車每天人，問這列火車每天來回多少次才能使營運人數(shù)最多？

15、并求出每天最多營運人數(shù)來回多少次才能使營運人數(shù)最多？并求出每天最多營運人數(shù). .【解題指南解題指南】(1)(1)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及實際意義，求解一元結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及實際意義，求解一元二次不等式即可二次不等式即可. .(2)(2)理解題意，用待定系數(shù)法求理解題意，用待定系數(shù)法求y=kx+b;y=kx+b;轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最大值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最大值. .【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)(1)選選C.C.要使生產(chǎn)者不虧本，要使生產(chǎn)者不虧本，則有則有3 000+20 x-0.1x3 000+20 x-0.1x2 225x,25x,解上式得：解上式得：x-200 x-200或或x150,x150,又又

16、0 x240,xN0 x240,xN，x x的最小值為的最小值為150.150.(2)(2)設(shè)每日來回設(shè)每日來回y y次，每次掛次，每次掛x x節(jié)車廂，節(jié)車廂，由題意由題意y=kx+b,k0,y=kx+b,k0,由由x=4x=4時時y=16y=16，x=7x=7時時y=10y=10得下列方程組：得下列方程組： ，解得：，解得：k=-2,b=24.k=-2,b=24.y=-2x+24.y=-2x+24.164kb107kb由題意知，每日掛車廂最多時，營運人數(shù)最多，設(shè)每日營運由題意知，每日掛車廂最多時，營運人數(shù)最多，設(shè)每日營運S S節(jié)車廂，節(jié)車廂，則則S=xy=x(-2x+24)=-2xS=xy=

17、x(-2x+24)=-2x2 2+24x=-2(x-6)+24x=-2(x-6)2 2+72.+72.所以當所以當x=6x=6時，時，S Smaxmax=72=72，此時，此時y=12,y=12,則每日最多營運人數(shù)為則每日最多營運人數(shù)為11011072=7 920(72=7 920(人人).).答：這列火車每天來回答：這列火車每天來回1212次，才能使營運人數(shù)最多次，才能使營運人數(shù)最多. .每天最多每天最多營運人數(shù)為營運人數(shù)為7 920. 7 920. 【反思反思感悟感悟】1.1.在現(xiàn)實生活中，很多問題的兩變量之間的關(guān)在現(xiàn)實生活中，很多問題的兩變量之間的關(guān)系是一次函數(shù)模型，其增長特點是直線上升

18、系是一次函數(shù)模型，其增長特點是直線上升( (自變量的系數(shù)大自變量的系數(shù)大于于0)0)或直線下降或直線下降( (自變量的系數(shù)小于自變量的系數(shù)小于0).0).2.2.二次函數(shù)的應(yīng)用主要有以下方面二次函數(shù)的應(yīng)用主要有以下方面(1)(1)利用二次函數(shù)關(guān)系式或圖象求最值利用二次函數(shù)關(guān)系式或圖象求最值. .(2)(2)利用二次函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值或范圍利用二次函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值或范圍. .(3)(3)二次函數(shù)如果是分段表示，則應(yīng)注意分段區(qū)間端點值的應(yīng)二次函數(shù)如果是分段表示，則應(yīng)注意分段區(qū)間端點值的應(yīng)用用. .(4)(4)利用二次函數(shù)對應(yīng)方程根的分布求參數(shù)范圍利用二次函數(shù)對應(yīng)方程根的分布求參數(shù)范圍. .【

19、變式訓練變式訓練】若一根蠟燭長若一根蠟燭長20 cm20 cm，點燃后每小時燃燒，點燃后每小時燃燒5 cm,5 cm,則則燃燒剩下的高度燃燒剩下的高度h(cm)h(cm)與燃燒時間與燃燒時間t(t(小時小時) )的函數(shù)關(guān)系用圖象表的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為示為( )( )【解析解析】選選B.B.依題設(shè)可知，蠟燭高度依題設(shè)可知，蠟燭高度h h與燃燒時間與燃燒時間t t之間構(gòu)成一之間構(gòu)成一次函數(shù)關(guān)系，又次函數(shù)關(guān)系，又函數(shù)圖象過點函數(shù)圖象過點(0(0，20)20)、(4(4，0)0)兩點，且該兩點，且該圖象為一條線段，圖象為一條線段，選選B.B.熱點考向熱點考向 2 2 分段函數(shù)模型分段函數(shù)模型【方法點

20、睛方法點睛】1.1.解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟( (四步八字四步八字) )(1)(1)審題：深刻理解題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，審題：深刻理解題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學模型初步選擇數(shù)學模型; ;(2)(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應(yīng)的數(shù)學模型；號語言，利用數(shù)學知識，建立相應(yīng)的數(shù)學模型；(3)(3)求模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結(jié)論；求模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結(jié)論；(4)(4)還原：回扣題目本身，將數(shù)學問題還原為實際問題的意義，還原：回扣題目本身，將

21、數(shù)學問題還原為實際問題的意義，給出結(jié)論給出結(jié)論. .2.2.分段函數(shù)在現(xiàn)實生活中的體現(xiàn)分段函數(shù)在現(xiàn)實生活中的體現(xiàn)在現(xiàn)實生活中，很多問題的兩變量之間的關(guān)系，不能用同一個在現(xiàn)實生活中，很多問題的兩變量之間的關(guān)系，不能用同一個關(guān)系式給出，而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成分段函數(shù)關(guān)系式給出，而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成分段函數(shù). .如出租如出租車票價與路程之間的關(guān)系，就是分段函數(shù)車票價與路程之間的關(guān)系，就是分段函數(shù). .【提醒提醒】形如形如f(x)=x+ (af(x)=x+ (a0,x0,x0)0)的對勾分段函數(shù)模型在現(xiàn)的對勾分段函數(shù)模型在現(xiàn)實生活中有廣泛的應(yīng)用，常利用基本不等式求最值，但要注意實生活中有廣泛

22、的應(yīng)用，常利用基本不等式求最值，但要注意成立的條件，當?shù)忍柌怀闪r，采用函數(shù)的單調(diào)性來解決成立的條件，當?shù)忍柌怀闪r，采用函數(shù)的單調(diào)性來解決. . ax【例例2 2】(2013(2013福州模擬福州模擬) )提高過江大橋的車輛通行能力可改提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況善整個城市的交通狀況. .在一般情況下，大橋上的車流速度在一般情況下，大橋上的車流速度v(v(單位：千米單位：千米/ /小時小時) )是車流密度是車流密度x(x(單位：輛單位：輛/ /千米千米) )的函數(shù)的函數(shù). .當當橋上的車流密度達到橋上的車流密度達到200200輛輛/ /千米時，造成堵塞，此時車流速度千米

23、時，造成堵塞，此時車流速度為為0 0；當車流密度不超過；當車流密度不超過2020輛輛/ /千米時，車流速度為千米時，車流速度為6060千米千米/ /小小時，研究表明，當時，研究表明，當20 x20020 x200時，車流速度時，車流速度v v是車流密度是車流密度x x的一的一次函數(shù)次函數(shù). .(1)(1)當當0 x2000 x200時，求函數(shù)時，求函數(shù)v(x)v(x)的表達式的表達式; ;(2)(2)當車流密度當車流密度x x為多大時，車流量為多大時，車流量( (單位時間內(nèi)通過橋上某觀單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛測點的車輛數(shù)，單位：輛/ /每小時每小時)f(x)=xv(x)f(

24、x)=xv(x)可以達到最大，可以達到最大，并求最大值并求最大值( (精確到精確到1 1輛輛/ /小時小時). ). 【解題指南解題指南】(1)(1)由車流密度不超過由車流密度不超過2020輛輛/ /千米時，車流速度為千米時，車流速度為6060千米千米/ /小時，可得小時，可得0 x200 x20時，時，v(x)=60v(x)=60；又；又20 x20020 x200時，時，車流速度車流速度v v是車流密度是車流密度x x的一次函數(shù)，設(shè)的一次函數(shù)，設(shè)v(x)=ax+bv(x)=ax+b，利用，利用x=200 x=200時時v=0v=0及及x=20 x=20時時v=60v=60可求出可求出a,b

25、a,b，據(jù)此可求，據(jù)此可求v(x)v(x)的表達的表達式式.(2)f(x).(2)f(x)是關(guān)于是關(guān)于x x的分段函數(shù)，求出每段的最大值，再比較的分段函數(shù)，求出每段的最大值，再比較可得可得f(x)f(x)的最大值的最大值. .【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)(1)由題意：當由題意：當0 x200 x20時，時，v(x)=60v(x)=60；當；當20 x20020 x200時，設(shè)時，設(shè)v(x)=ax+bv(x)=ax+b，由已知得，由已知得 ，解得，解得 . .故函數(shù)故函數(shù)v(x)v(x)的表達式為的表達式為v(x)=v(x)=200ab020ab601a3200b3 60,0 x20,1200 x

26、 , 20 x200.3(2)(2)依題意并由依題意并由(1)(1)可得可得f(x)= f(x)= 當當0 x200 x20時，時，f(x)f(x)為增函數(shù)，故當為增函數(shù)，故當x=20 x=20時，其最大值為時，其最大值為606020=1 20020=1 200；當當2020 x200 x200時，時，f(x)= x(200-x)f(x)= x(200-x) ，當且僅當，當且僅當x=200-xx=200-x，即，即x=100 x=100時，時，等號成立等號成立. .60 x,0 x20,1x 200 x , 20 x200.3132x200 x110 000323所以，當所以，當x=100 x

27、=100時，時，f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(20,200(20,200上取得最大值上取得最大值 . .綜上，當綜上，當x=100 x=100時，時，f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間0,2000,200上取得最大值上取得最大值 3 3333 333，即當車流密度為，即當車流密度為100100輛輛/ /千米時，車流量可以千米時，車流量可以達到最大，最大值約為達到最大，最大值約為3 3333 333輛輛/ /小時小時. .10 000310 0003【反思反思感悟感悟】建立函數(shù)模型解決實際問題的過程用框圖表示建立函數(shù)模型解決實際問題的過程用框圖表示如圖：如圖：【變式訓練變式訓練】某地發(fā)生特大地震和海嘯

28、，使當?shù)氐淖詠硭艿侥车匕l(fā)生特大地震和海嘯，使當?shù)氐淖詠硭艿搅宋廴荆巢块T對水質(zhì)檢測后，決定往水中投放一種藥劑來凈了污染，某部門對水質(zhì)檢測后，決定往水中投放一種藥劑來凈化水質(zhì)化水質(zhì). .已知每投放質(zhì)量為已知每投放質(zhì)量為m m的藥劑后，經(jīng)過的藥劑后，經(jīng)過x x天該藥劑在水中天該藥劑在水中釋放的濃度釋放的濃度y(y(毫克毫克/ /升升) )滿足滿足y=mf(x)y=mf(x)，其中，其中 當藥劑在水中釋放的濃度不低于當藥劑在水中釋放的濃度不低于4(4(毫克毫克/ /升升) )時稱為有效凈化；當藥劑在水中釋放的濃度不低于時稱為有效凈化；當藥劑在水中釋放的濃度不低于4(4(毫克毫克/ /升升) )且

29、不高于且不高于10(10(毫克毫克/ /升升) )時稱為最佳凈化時稱為最佳凈化. . x2(0 x4)4f x,6(x4)x2(1)(1)如果投放的藥劑質(zhì)量為如果投放的藥劑質(zhì)量為m=4m=4，試問自來水達到有效凈化一共，試問自來水達到有效凈化一共可持續(xù)幾天？可持續(xù)幾天？(2)(2)如果投放的藥劑質(zhì)量為如果投放的藥劑質(zhì)量為m m，為了使在，為了使在7 7天天( (從投放藥劑算起包從投放藥劑算起包括括7 7天天) )之內(nèi)的自來水達到最佳凈化，試確定該投放的藥劑質(zhì)量之內(nèi)的自來水達到最佳凈化，試確定該投放的藥劑質(zhì)量m m的值的值. .【解析解析】(1)(1)當當m=4m=4時，時，y=4f(x)= y

30、=4f(x)= 當藥劑在水中釋放的濃度不低于當藥劑在水中釋放的濃度不低于4(4(毫克毫克/ /升升) )時稱為有效凈化時稱為有效凈化. .當當0 0 x4x4時，時，y=x+84y=x+84，解得，解得x=4,x=4,當當x x4 4時，時，y= 4y= 4，解得，解得4 4x8.x8.故自來水達到有效凈化一共可持續(xù)故自來水達到有效凈化一共可持續(xù)5 5天天. .x8(0 x4)24(x4)x224x2(2)(2)為了使在為了使在7 7天天( (從投放藥劑算起包括從投放藥劑算起包括7 7天天) )之內(nèi)的自來水達到之內(nèi)的自來水達到最佳凈化最佳凈化, ,即前即前4 4天和后天和后3 3天的自來水達到

31、最佳凈化天的自來水達到最佳凈化. .當當0 0 x4x4時，時，4m( +2)104m( +2)10在在0 0 x4x4上恒成立上恒成立, ,得得 在在0 0 x4x4上恒成立，上恒成立，2m ,2m ,當當4 4x7x7時，時，4 104 10在在4 4x7x7上恒成立，上恒成立，同理得同理得m= ,m= ,即投放的藥劑質(zhì)量即投放的藥劑質(zhì)量m m的值為的值為 . .x416mx840mx81036mx2103103【變式備選變式備選】據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測: :發(fā)生于發(fā)生于M M地的沙塵暴一直向正南方向移地的沙塵暴一直向正南方向移動動, ,其移動速度其移動速度v(km/h)

32、v(km/h)與時間與時間t(h)t(h)的的函數(shù)圖象如圖所示函數(shù)圖象如圖所示, ,過線段過線段OCOC上一點上一點T(t,0)T(t,0)作橫軸的垂線作橫軸的垂線l, ,梯形梯形OABCOABC在直線在直線l左側(cè)部分的面積即為左側(cè)部分的面積即為t(h)t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km).s(km).(1)(1)當當t=4t=4時時, ,求求s s的值的值; ;(2)(2)將將s s隨隨t t變化的規(guī)律用數(shù)學關(guān)系式表示出來變化的規(guī)律用數(shù)學關(guān)系式表示出來; ;(3)(3)若若N N城位于城位于M M地正南方向地正南方向, ,且距且距M M地地650 km,650 km,試

33、判斷這場沙塵暴試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到是否會侵襲到N N城城, ,如果會如果會, ,在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到到N N城城? ?如果不會如果不會, ,請說明理由請說明理由. .【解析解析】(1)(1)由圖象可知由圖象可知: :當當t=4t=4時時,v=3,v=34=12,4=12,s= s= 4 412=24(km).12=24(km).(2)(2)當當0t100t10時時,s= ,s= t t3t= t3t= t2 2, ,當當1010t20t20時，時，s= s= 101030+30(t-10)=30t-150;30+30(t-10)=30t-150

34、;當當2020t35t35時，時，s= s= 101030+1030+1030+(t-20)30+(t-20)30- 30- (t-(t-20)20)2(t-20)=-t2(t-20)=-t2 2+70t-550.+70t-550.綜上，可知綜上，可知s=s=223t ,t0,10 ,230t150,t(10,20 ,t70t550,t(20,35 .121232121212(3)t(3)t0,100,10時時,s,smaxmax= = 10102 2=150=150650,650,t(10,20t(10,20時，時，s smaxmax=30=3020-150=45020-150=450650

35、,650,當當t(20,35t(20,35時，令時，令-t-t2 2+70t-550=650.+70t-550=650.解得解得t t1 1=30,t=30,t2 2=40.20=40.20t35,t=30.t35,t=30.沙塵暴發(fā)生沙塵暴發(fā)生30 h30 h后將侵襲到后將侵襲到N N城城. .32熱點考向熱點考向 3 3 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型【方法點睛方法點睛】指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用是高考的一個主要內(nèi)容，常與增長率相結(jié)指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用是高考的一個主要內(nèi)容，常與增長率相結(jié)合進行考查合進行考查. .在實際問題中人口增長、銀行利率、細胞分

36、裂等在實際問題中人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題可以用指數(shù)函數(shù)模型來表示增長問題可以用指數(shù)函數(shù)模型來表示. .通?？杀硎緸橥ǔ？杀硎緸閥=a(1+p)y=a(1+p)x x( (其中其中a a為原來的基礎(chǔ)數(shù)，為原來的基礎(chǔ)數(shù)，p p為增長率，為增長率，x x為時間為時間) )的的形式形式. . 【例例3 3】(1)(1)某種動物繁殖量某種動物繁殖量y(y(只只) )與時間與時間x(x(年年) )的關(guān)系為的關(guān)系為y=alogy=alog3 3(x+1)(x+1)，設(shè)這種動物第，設(shè)這種動物第2 2年有年有100100只，到第只，到第8 8年它們將發(fā)年它們將發(fā)展到展到( )( )(A)200(A

37、)200只只 (B)300(B)300只只(C)400(C)400只只 (D)500(D)500只只(2)(2012(2)(2012泉州模擬泉州模擬) )為了預(yù)防流感為了預(yù)防流感, ,某學校對教室采用藥熏消某學校對教室采用藥熏消毒法進行消毒毒法進行消毒. .已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量含藥量y(y(毫克毫克) )與時間與時間t(t(小時小時) )成正比成正比; ;藥物釋放完畢后，藥物釋放完畢后，y y與與t t的函數(shù)關(guān)系式為的函數(shù)關(guān)系式為y= (ay= (a為常數(shù)為常數(shù)) )，如圖所示，根據(jù)圖中提，如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，求從藥物

38、釋放開始，每立方米空氣中的含藥量供的信息，求從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y(y(毫毫克克) )與時間與時間t(t(小時小時) )之間的函數(shù)關(guān)系式為之間的函數(shù)關(guān)系式為_._.t a1()16【解題指南解題指南】(1)(1)先利用對數(shù)函數(shù)模型求得參數(shù)先利用對數(shù)函數(shù)模型求得參數(shù)a a，再代入求值，再代入求值. .(2)(2)結(jié)合圖象通過特殊點用待定系數(shù)法求出關(guān)系式結(jié)合圖象通過特殊點用待定系數(shù)法求出關(guān)系式. .【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)(1)選選A.A.由題意知，當由題意知，當x=2x=2時，時，y=100,y=100,即即100=alog100=alog3 3(2+1)(2+1)，解得，解

39、得a=100,a=100,當當x=8x=8時，時，y=100logy=100log3 3(8+1)=200(8+1)=200(只只).).(2)(2)藥物釋放過程中藥物釋放過程中, ,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(y(毫克毫克) )與與時間時間t(t(小時小時) )成正比成正比, ,則設(shè)函數(shù)則設(shè)函數(shù)y=kt(k0),y=kt(k0),將點將點(0.1,1)(0.1,1)代入可代入可得得k=10,k=10,則則y=10t;y=10t;將點將點(0.1,1)(0.1,1)代入代入y= ,y= ,得得a= .a= .則所求關(guān)系式為則所求關(guān)系式為y= .y= .答案答案: :

40、y=y=t a1()161101t10110t,0t1011(),t1610 1t10110t,0t1011(),t1610 【互動探究互動探究】本例本例(2)(2)中題干不變中題干不變, ,若據(jù)測定若據(jù)測定, ,當空氣中每立方當空氣中每立方米的含藥量降低到米的含藥量降低到0.250.25毫克以下時毫克以下時, ,學生方可進教室學生方可進教室, ,那么從藥那么從藥物釋放開始物釋放開始, ,至少需要經(jīng)過至少需要經(jīng)過_小時后小時后, ,學生才能回到教室學生才能回到教室. .【解析解析】由本例由本例(2)(2)知知, ,令令 =0.25= ,=0.25= ,得得t= =0.6.t= =0.6.即從藥

41、物釋放開始即從藥物釋放開始, ,至少需要經(jīng)過至少需要經(jīng)過0.60.6小時后小時后, ,學生才能回到教學生才能回到教室室. .答案答案: :0.60.61t101()16121()16610【反思反思感悟感悟】1.1.解決這類已給出數(shù)學模型的實際問題解決這類已給出數(shù)學模型的實際問題, ,關(guān)鍵關(guān)鍵是從實際問題分析出其經(jīng)過的特殊點或滿足的特殊情況是從實際問題分析出其經(jīng)過的特殊點或滿足的特殊情況, ,從而從而代入求得其解析式代入求得其解析式. .2.2.與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題，經(jīng)常涉及物價、路程、產(chǎn)值、環(huán)保等與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題，經(jīng)常涉及物價、路程、產(chǎn)值、環(huán)保等實際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價的最優(yōu)

42、化問題實際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價的最優(yōu)化問題. .解答這類問題的關(guān)鍵是確切建立相關(guān)函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函解答這類問題的關(guān)鍵是確切建立相關(guān)函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)、方程和不等式的有關(guān)知識加以綜合解答數(shù)、方程和不等式的有關(guān)知識加以綜合解答. .【變式備選變式備選】已知某物體的溫度已知某物體的溫度(單位單位: :攝氏度攝氏度) )隨時間隨時間t(t(單單位位: :分鐘分鐘) )的變化規(guī)律是的變化規(guī)律是:=m2:=m2t t+2+21-t1-t(t0(t0，并且，并且m m0).0).(1)(1)如果如果m=2,m=2,求經(jīng)過多少時間求經(jīng)過多少時間, ,物體的溫度為物體的溫度為5 5攝氏

43、度攝氏度; ;(2)(2)若物體的溫度總不低于若物體的溫度總不低于2 2攝氏度攝氏度, ,求求m m的取值范圍的取值范圍. .【解析解析】(1)(1)若若m=2,m=2,則則=2=22 2t t+2+21-t1-t=2(2=2(2t t+ )(t0),+ )(t0),當當=5=5時，時，2 2t t+ = ,+ = ,令令x=2x=2t t, ,則則x1 ,x1 ,則則x+ = ,x+ = ,即即2x2x2 2-5x+2=0,-5x+2=0,解得解得x=2x=2或或x= (x= (舍去舍去),),此時此時t=1.t=1.所以經(jīng)過所以經(jīng)過1 1分鐘，物體的溫度為分鐘，物體的溫度為5 5攝氏度攝氏

44、度. .t12t12521x5212(2)(2)物體的溫度總不低于物體的溫度總不低于2 2攝氏度，即攝氏度，即22恒成立，恒成立，亦亦m m2 2t t+ 2+ 2恒成立恒成立. .亦即亦即m2( - )m2( - )恒成立恒成立. .令令y= y= ，則，則0 0y1,y1,m2(y-ym2(y-y2 2),),由于由于y-yy-y2 2 ,m . ,m .因此，當物體的溫度總不低于因此，當物體的溫度總不低于2 2攝氏度時，攝氏度時，m m的取值范圍是的取值范圍是 ,+). ,+). t22t122t12t121412121.(20131.(2013莆田模擬莆田模擬) )小孟進了一批水果，如

45、果他以每千克小孟進了一批水果，如果他以每千克1.21.2元的價格出售元的價格出售, ,那他就會賠那他就會賠4 4元；如果他以每千克元；如果他以每千克1.51.5元的價格元的價格出售出售, ,一共可賺一共可賺8 8元元. .現(xiàn)在小孟想將這批水果盡快出手，以不賠現(xiàn)在小孟想將這批水果盡快出手，以不賠不賺的價格賣出，那么每千克水果應(yīng)定價為不賺的價格賣出，那么每千克水果應(yīng)定價為( )( )(A)1.2(A)1.2元元 (B)1.3(B)1.3元元(C)1.4(C)1.4元元 (D)1.45 (D)1.45元元【解析解析】選選B.B.設(shè)水果的成本價為設(shè)水果的成本價為x x元元/ /千克千克, ,共有共有a

46、 a千克，由題千克，由題意知意知 解得解得x=1.3,x=1.3,則每千克水果應(yīng)定價則每千克水果應(yīng)定價1.31.3元，故選元，故選B.B.x1.2 a4,1.5x a8,2.(20132.(2013寧德模擬寧德模擬) )某市原來居民用電價格為某市原來居民用電價格為0.520.52元元/(kWh)/(kWh)，換裝分時電表后，峰時段換裝分時電表后，峰時段( (早上八點到晚上九點早上八點到晚上九點) )的電價的電價0.550.55元元/(kWh)/(kWh)，谷時段，谷時段( (晚上九點到次日早上八點晚上九點到次日早上八點) )的電價為的電價為0.350.35元元/(kWh)/(kWh)，對于一個

47、平均每月用電量為，對于一個平均每月用電量為200 kWh200 kWh的家的家庭，換裝分時電表后，每月節(jié)省的電費不少于原來電費的庭，換裝分時電表后，每月節(jié)省的電費不少于原來電費的10%10%，則這個家庭每月在峰時段的平均用電量至多為則這個家庭每月在峰時段的平均用電量至多為( )( )(A)110 kWh(A)110 kWh (B)114 kWh(B)114 kWh(C)118 kWh(C)118 kWh (D)120 kWh(D)120 kWh【解析解析】選選C.C.設(shè)在峰時段的平均用電量為設(shè)在峰時段的平均用電量為x kWx kWh,h,由題意由題意知知,0.52,0.52200-200-0.

48、55x+0.35(200-x)0.55x+0.35(200-x)0.520.5220020010%,10%,解解得得x118,x118,故選故選C.C.3.(20133.(2013廈門模擬廈門模擬) )某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤潤( (單位：萬元單位：萬元) )分別為分別為L L1 1=5.06x-0.15x=5.06x-0.15x2 2和和L L2 2=2x,=2x,其中其中x x為銷售量為銷售量( (單位：輛單位：輛) )，若該公司在這兩地共銷售，若該公司在這兩地共銷售1515輛汽車，則能獲得的輛汽車，則能獲得的最大利潤為最大利潤為( )(

49、)(A)45.606(A)45.606萬元萬元 (B)45.6(B)45.6萬元萬元(C)45.56(C)45.56萬元萬元 (D)45.51 (D)45.51萬元萬元【解析解析】選選B.B.設(shè)在甲地銷售設(shè)在甲地銷售x x輛輛, ,則在乙地銷售則在乙地銷售(15-x)(15-x)輛，輛，0 x15.0 x15.從而獲得的最大利潤為從而獲得的最大利潤為y=5.06x-0.15xy=5.06x-0.15x2 2+2(15-x)=+2(15-x)=-0.15x-0.15x2 2+3.06x+30(0 x15).+3.06x+30(0 x15).當當x=10 x=10時時,y,ymaxmax=45.6

50、 =45.6 萬元萬元, ,故選故選B.B.4.(20124.(2012漳州模擬漳州模擬) )生活經(jīng)驗告訴我們，當水注進容器生活經(jīng)驗告訴我們，當水注進容器( (設(shè)單設(shè)單位時間內(nèi)進水量相同位時間內(nèi)進水量相同) )時，水的高度隨著時間的變化而變化，時，水的高度隨著時間的變化而變化，在如圖中請選擇與容器相匹配的圖象在如圖中請選擇與容器相匹配的圖象(A)(A)對應(yīng)對應(yīng)_；(B)(B)對應(yīng)對應(yīng)_；(C)(C)對應(yīng)對應(yīng)_；(D)(D)對應(yīng)對應(yīng)_【解析解析】A A容器下粗上細，水高度的變化先慢后快容器下粗上細，水高度的變化先慢后快, ,故與故與(4)(4)對對應(yīng)；應(yīng)；B B容器為球形，水高度變化為快容器為球形，水高度變化為快慢慢快快, ,應(yīng)與應(yīng)與(1)(1)對應(yīng)；對應(yīng)；C C、D D容器都是柱形的，水高度的變化速度都應(yīng)是直線形，但容器都是柱形的，水高度的變化速度都應(yīng)是直線形，但C C容器細，容器細，D D容器粗，故水高度的變化為：容器粗，故水高度的變化為：C C容器快容器快, ,與與(3)(3)對應(yīng)，對應(yīng)，D D容器慢容器慢, ,與與(2)(2)對應(yīng)對應(yīng). .答案答案: :(4) (1) (3) (2)(4) (1) (3) (2)