定義與命題(一)教案.doc

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教育教師備課手冊(cè) 教師姓名 學(xué)生姓名 填寫時(shí)間 2012/3/14 學(xué)科 數(shù)學(xué) 年級(jí) 八年級(jí) 上課時(shí)間 18:00—20:00 課時(shí)計(jì)劃 2課時(shí) 教學(xué)目標(biāo) 教學(xué)內(nèi)容 個(gè)性化學(xué)習(xí)問題解決 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 教 學(xué) 過 程 定義與命題（一） 教學(xué)目標(biāo) 1、體會(huì)在生活中對(duì)一個(gè)名詞或術(shù)語下定義的重要性，了解定義的含義； 2、了解命題的含義；了解命題的2要素：判斷和陳述； 3、了解命題的結(jié)構(gòu)，能分清楚一個(gè)命題的條件（題設(shè)）和結(jié)論，會(huì)把一個(gè)命題寫成“如果…，那么…”的形式； 教學(xué)重難點(diǎn) 本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是命題的概念。正確敘述命題的條件（題設(shè)）和結(jié)論，改寫成“如果…那么…”形式，是本節(jié)課的難點(diǎn)。 主要教學(xué)過程 一 、請(qǐng)說出下列名詞的定義： （1）無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。 （2）直角三角形：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形 （3）一次函數(shù)：一般地，形如y＝kx＋b（k、b都是常數(shù)且k≠0）叫做一次函數(shù)。 （4）壓強(qiáng)：單位面積所受的壓力叫做壓強(qiáng)。 二、說一說：你還學(xué)過哪些定義？ 一般地，對(duì)某一件事情作出正確或不正確的判斷的句子叫做命題。 三、練一練：下列句子中，哪些是命題？哪些不是命題？ （1）對(duì)頂角相等； （2）畫一個(gè)角等于已知角； （3）兩直線平行，同位角相等； （4）a、b兩條直線平行嗎？ （5）高個(gè)的李明明。 （6）玫瑰花是動(dòng)物。 （7）若a2＝4，求a的值。 （8）若a2＝b2，則a＝b。 例題解析 例1 指出下列命題的條件和結(jié)論，并改寫成“如果……那么……”的形式： （1）三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等； 條件是：兩個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)相等；結(jié)論是：這兩個(gè)三角形全等 改寫成：如果兩個(gè)三角形有三條邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等。 （2）在同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊； 條件是：同一個(gè)三角形中的兩個(gè)角相等；結(jié)論是：這兩個(gè)角所對(duì)的兩條邊相等 改寫成：如果在同一個(gè)三角形中，有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等。 （3）對(duì)頂角相等。 條件是：兩個(gè)角是對(duì)頂角；結(jié)論是：這兩個(gè)角相等。 改寫成：如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等。 (4)同角的余角相等； 條件是：兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角；結(jié)論是：這兩個(gè)角相等。 改寫成：如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角，那么這兩個(gè)角相等。 (5)三角形的內(nèi)角和等于180； 條件是：三個(gè)角是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角；結(jié)論是：這三個(gè)角的和等于180。 改寫成：如果三個(gè)角是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，那么這三個(gè)角的和等于180。 (6)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等． 條件是：一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上；結(jié)論是：這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等。 改寫成：如果一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上，那么這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等。 題后小結(jié)：找出命題的條件和結(jié)論是本節(jié)的難點(diǎn)，因?yàn)槊}在敘述時(shí)要求通順和簡練，把命題中的有些詞或句子省略了，在改寫是注意把時(shí)要把省略的詞或句子添加上去. 例2、下列語句中，哪些是命題，哪些不是命題? (1)若aAC，則∠C>∠B嗎? (4)兩點(diǎn)之間線段最短； (5)解方程； (6)1＋2≠3。 練習(xí) 1、指出下列命題的條件和結(jié)論，并改寫“如果……那么……”的形式： （1）兩條邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等； 如果兩個(gè)三角形有兩條邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等。 （2）直角三角形兩個(gè)銳角互余。 如果兩個(gè)角是一個(gè)直角三角形的兩個(gè)銳角，那么這兩個(gè)角互余。 2、觀察下面四組圖形，找出每一組圖形的共同特征，并對(duì)類似于這樣的圖形下一個(gè)定義。 3、在數(shù)學(xué)運(yùn)算中，除了加、減、乘、除等運(yùn)算外，還可以定義新的運(yùn)算。如定義一種“星”運(yùn)算，“*”是它的運(yùn)算符號(hào)，其運(yùn)算法則是： 于是： 按以上定義，填空：_____________；__________ 請(qǐng)你參照以上方法，也定義一種新運(yùn)算，并舉幾個(gè)運(yùn)算的例子。 三、總結(jié)回顧，反思內(nèi)化 三個(gè)內(nèi)容： 定義與命題（二） 教學(xué)目標(biāo) 1、理解真命題、假命題、公理和定理的概念； 2、會(huì)在簡單情況下判斷一個(gè)命題的真假，會(huì)區(qū)分定理、公理和命題； 3、通過對(duì)真假命題的判斷，培養(yǎng)學(xué)生樹立科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)方法。 重點(diǎn)與難點(diǎn) 本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是判斷一個(gè)命題的真假是本節(jié)的重點(diǎn)。 難點(diǎn)是正確認(rèn)識(shí)公理、定理、命題（真命題）和定義的區(qū)別。 教學(xué)流程 一、復(fù)習(xí)舊知，鞏固基礎(chǔ)： 1、判斷下列句子中，哪些是命題？哪些不是命題？ （1）同角的余角相等。 （2）在直線AB上任取一點(diǎn)C。 （3）相等的角是對(duì)頂角。 （4）全等的兩個(gè)三角形的面積相等。 （5）不相交的兩條直線叫做平行線。 （6）所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)。 一般地，對(duì)某一件事情作出正確或不正確的判斷的句子叫做命題。命題由可看做由題設(shè)(或條件)和結(jié)論兩部分組成. 2、得出真命題、假命題的概念： 正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題。 二、合作學(xué)習(xí)、鞏固思考： １、復(fù)習(xí)命題的概念，思考下列命題的條件是什么？結(jié)論是什么？ （1）邊長為a（a＞0）的等邊三角形的面積為。 （2）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。 （3）對(duì)于任何實(shí)數(shù)ｘ，ｘ２?。迹??！? 在上述命題中，哪些正確？哪些不正確？你的理由是什么？ 在這里，（1）對(duì)于學(xué)生來說有一定的難度，雖然在教學(xué)中以前曾提到過三角形及等邊三角形的面積計(jì)算，但時(shí)隔較長，學(xué)生的記憶也不太清楚，有10個(gè)人能記住，已經(jīng)不錯(cuò)了，因此需要對(duì)學(xué)生進(jìn)行一定的解釋。 2、概括判斷一個(gè)命題是真命題，還是假命題的思路。 要判斷一個(gè)命題是假命題，只需要舉出一個(gè)符合命題條件，但不符合命題的結(jié)論的例子來推翻它就可以了；但要判斷一個(gè)命題是真命題，則要經(jīng)過論證，甚至于計(jì)算的方法才能得到 3、以學(xué)生同桌為單位進(jìn)行操練，一人負(fù)責(zé)說命題，然后另一個(gè)人來回答是真命題還是假命題，并要有適當(dāng)?shù)睦碛桑缓蠓催^來。（當(dāng)遇到有不能解決的問題，或產(chǎn)生爭論的時(shí)候，可以請(qǐng)老師裁決。） 4、當(dāng)堂演練：判斷下列命題是真命題還是假命題，并說明理由。 （1）x=1是方程x2-2x-3=0 的解。 （2）x=2是方程 的解。 （3）如圖，若∠1=∠2，則∠３=∠４。 （4）一個(gè)圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換，像和原圖形全等。 （5）三角形的任何一個(gè)外角大于和它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角。 5、鞏固提高 (1)已知∠1和∠2如圖，則∠1＞∠2； (2)三角形的兩邊之和大于第三邊； (3)如圖，若∠B=∠C，則△ABC是等腰三角形； (4)會(huì)飛的動(dòng)物是鳥。 重視反例的構(gòu)建與反例的作用的解釋：具備命題的條件但不具備命題的結(jié)論的實(shí)例，可以用來判斷命題的錯(cuò)誤性。利用反例可證明一個(gè)命 題是錯(cuò)誤的。 三、講述公理和定理的定義 1、公理：人類經(jīng)過長期實(shí)踐后公認(rèn)為正確的命題，作為判斷其他命題的依據(jù)。這樣公認(rèn)為正確的命題叫做公理。 例如：“兩點(diǎn)之間線段最短?！薄耙粭l直線截兩條平行所得的同位角相等”，“兩點(diǎn)就可以確定一條直線?！薄斑^直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行?！薄叭切蔚娜鹊姆椒ǎ篠AS ASA SSS”。然后提問學(xué)生：你所學(xué)過的還有那些公理 2、定理：用推理的方法判斷為正確的命題叫做定理。定理也可以作為判斷其他命題真假的依據(jù)。 3、舉例：前面學(xué)過的，用推理的方法得到的那 些用黑體字表述的圖形的性質(zhì)都可以作為定理。 三角形任何兩邊的和大于第三邊； 兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行； 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等； 定理和公理都可以作為判斷其他命題真假的依據(jù)； 4、請(qǐng)用學(xué)過的公理或定理說明下面這個(gè)命題的正確性：“等腰三角形底邊上的高線、頂角的角平分線互相重合“ 5、判一判 所有的命題都是公理。所有的真命題都是定理 。 所有的定理是真命題。所有的公理是真命題 。 6、揮灑自如 1、下列的命題中，哪些是真命題?哪些是假命題?請(qǐng)說明理由： (1)對(duì)頂角相等； (2)在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行； (3)三條直線兩兩相交，必有三個(gè)交點(diǎn)； (4)若兩個(gè)三角形的兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形全等； (5)”-a”是負(fù)數(shù). 2、如圖，若∠1+∠2=180，則a∥b.用推理的方法說明它是一個(gè)真命題. 3、X=３是方程解，這是真命題還是假命題？ 4、考考你！ （1）“兩點(diǎn)之間，線段最短”這個(gè)語句是（ ） A、定理 B、公理 C、定義 D、只是命題 （2）“同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線”這個(gè)語句是（ ） A、定理 B、公理 C、定義 D、只是命題 （3）下列命題中，屬于定義的是（ ） A、兩點(diǎn)確定一條直線 B、同角的余角相等 C、兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 D、點(diǎn)到直線的距離是該點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度 （4）下列句子中，是定理的是（ ），是公理的是（ ），是定義的是（ ）。 A、若a=b，b=c，則a=c； B、對(duì)頂角相等 C、全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等 D、有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形 E、兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等 新課程的教學(xué)告訴我們，在學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，要對(duì)學(xué)生進(jìn)行合理的評(píng)價(jià)，這就是要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平，更要關(guān)注它們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)自我，建立信心。 證明 教學(xué)目標(biāo) 1、了解證明的含義。 2、體驗(yàn)、理解證明的必要性和推理過程中要步步有據(jù)。 3、了解證明的表達(dá)格式，會(huì)按規(guī)定格式證明簡單命題。 4、通過證明步驟中由命題畫出圖形，寫出已知、求證的過程，繼續(xù)訓(xùn)練學(xué)生由幾何語句正確畫出幾何圖形的能力。 重點(diǎn)與難點(diǎn) 本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是證明的含義和表述格式。難點(diǎn)是本節(jié)教學(xué)的難點(diǎn)是按規(guī)定格式表述證明的過程。 教學(xué)過程 一、新課引入 在實(shí)驗(yàn)幾何中，常讓學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)和歸納得出結(jié)論。而這里結(jié)合教材中的“合作學(xué)習(xí)”的內(nèi)容，并進(jìn)行一定的補(bǔ)充（如圖），增加學(xué)生的感官感受。使學(xué)生感受到憑實(shí)驗(yàn)、觀察和歸納得出的結(jié)論不一定正確，使學(xué)生感受到直觀是重要的，但有時(shí)也會(huì)欺騙人，這時(shí)就需要通過邏輯推理來判斷從而讓學(xué)生理解證明的必要性。 在實(shí)驗(yàn)向論證過渡中，學(xué)生們已經(jīng)經(jīng)歷了探索圖形性質(zhì)的過程，并且發(fā)現(xiàn)了圖形的很多性質(zhì)，憑實(shí)驗(yàn)、觀察和歸納得出的結(jié)論不一定正確。但是，在強(qiáng)調(diào)證明的必要性時(shí)，不要否定實(shí)驗(yàn)、歸納的重要性。在數(shù)學(xué)上，要判斷一個(gè)命題是否正確，需要經(jīng)過證明，但要發(fā)現(xiàn)一個(gè)真理，實(shí)驗(yàn)、觀察和歸納始終是一條重要的途徑。 例1、證明命題“如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，且方向相同，那么這兩個(gè)角相等”是真命題。 分析：根據(jù)需要畫出圖形，用幾何語言描述題中的已知條件、以及要證明的結(jié)論（求證）。證明過程的具體表述（略） 注意：證明過程中的每一步推理都要有依據(jù)，依據(jù)作為推理的理由，可以寫在每一步后的括號(hào)內(nèi). 證明命題的步驟： 一、畫出命題的圖形。先根據(jù)命題的題設(shè)即已知條件，畫出圖形，再把命題的結(jié)論即求證的內(nèi)容在圖上標(biāo)出。還要根據(jù)證明的需要，在圖上標(biāo)出必要的字母或符號(hào)，以便于敘述或推理過程的表達(dá)。 二、結(jié)合圖形寫出已知、求證。把命題的題設(shè)化為幾何符號(hào)的語言寫在已知中，命題的結(jié)論轉(zhuǎn)化為幾何符號(hào)的語言寫在求證中。 三、經(jīng)過分析，找出由已知推得求證的途徑，寫出推理的過程。 在以上第二個(gè)步驟中，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言是教學(xué)中的難點(diǎn)，要注意在練習(xí)中加強(qiáng)輔導(dǎo)，第三步由學(xué)生獨(dú)立完成有困難，要逐步培養(yǎng)訓(xùn)練，現(xiàn)階段暫不要求學(xué)生獨(dú)立完成。但也可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)挠?xùn)練。 要說明一個(gè)命題是假命題，通?？梢耘e出一個(gè)例子，使之具備命題的條件，而不具備命題的結(jié)論，這種例子稱為反例(counter example)。 例題解析 鋪墊：如圖，BC⊥ AC于點(diǎn)C，CD⊥AB于點(diǎn)D， ∠EBC=∠A，求證：BE∥CD 證明：∵BC⊥AC( ) ∴ (垂直的定義) ∵ (已知) ∴∠A+∠ACD=90（　　　　　　　　　） ∴　　　　　　?。ㄍ堑挠嘟窍嗟龋? 又∵∠EBC=∠A（ ） ∴∠ EBC=∠BCD， ∴BE∥CD（ ） 例2、已知：如圖，AC與BD相交于點(diǎn)O，AO=CO，BO=DO。求證： AB∥CD 。 六、小結(jié)梳理： 1、歸納出本節(jié)課的知識(shí)結(jié)構(gòu)： 2、證明的含義 3、真命題證明的步驟和格式： 證明命題的一般步驟： (1)理解題意：分清命題的條件(已知)，結(jié)論(求證)； (2)根據(jù)題意，畫出圖形； (3)結(jié)合圖形，用符號(hào)語言寫出“已知”和“求證”； (4)分析題意，探索證明思路(由“因”導(dǎo)“果”，執(zhí)“果”索“因”.)； (5)依據(jù)思路，運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)語言條理清晰地寫出證明過程； (6)檢查表達(dá)過程是否正確，完善. 4、思考、探索：假命題的判斷如何說理、證明？ 反例與證明 教學(xué)目標(biāo) 1、理解反例的意義和作用。 2、掌握在簡單情況下利用反例證明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的。 重點(diǎn)與難點(diǎn) 本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)用反例證明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的。難點(diǎn)是如何構(gòu)造一個(gè)反例去證明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的。 教學(xué)過程 一、知識(shí)回顧 1、一般的，判斷一件事情的句子叫做命題，命題分為真命題與假命題。 2、說明一個(gè)命題是假命題，通常只用找出一個(gè)反例，但要說明一個(gè)命題是真命題，就必須用推理的方法，而不能光憑一個(gè)例子。 3、判斷下列命題的真假 （1）有一個(gè)角是45的直角三角形是等腰直角三角形。真命題 （2）素?cái)?shù)不可能是偶數(shù)。假命題 （3）黃皮膚和黑皮膚的人都是中國人。假命題 （4）有兩個(gè)外角(不同頂點(diǎn))是鈍角的三角形是銳角三角形。假命題 （5）若y(1-y)=0，則y=0。假命題 二、新課新授 對(duì)比引例：1、對(duì)于命題“三線兩兩相交，必有三個(gè)交點(diǎn)”你認(rèn)為是假命題還是真命題？可以采用什么方法加以證明？ 如:。 2、請(qǐng)用反例證明命題“相等的角是對(duì)頂角” 是假命題。 如： 或 或 等。 小結(jié)：假命題的證明是利用反例來說明。反例必須是具備命題的條件，卻不具備命題的結(jié)論，從而說明命題錯(cuò)誤。說明一個(gè)命題是真命題，就必須用推理的方法，而不能光憑一個(gè)例子。這樣，教會(huì)學(xué)生構(gòu)造反例的方法。 明確：①用反例來證明一個(gè)命題是假命題，也就是如果要否定的命題為“A→B”，那么反例就是指“滿足A，而非B”的具體例子。 ②反例的作用只能說明命題是一個(gè)假命題，不能用來說明一個(gè)命題是真命題，也不能由次得到相反的命題。 例題講解 例1、請(qǐng)判斷以下命題的真假： ①若ab＜0，則a＞0，b＜0。 ②兩條直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn)。 ③如果n是整數(shù)，那么2n 是偶數(shù)。 ④若兩個(gè)角不是對(duì)頂角，則它們不相等。 ⑤直角是平角的一半。 例2、判斷下列數(shù)學(xué)命題的真假，并給出證明： (1) 若2x+y=0，則x=y=0； (2) 有一條邊、兩個(gè)角相等的兩個(gè)三角形全等。 （3）兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。 例題小結(jié)：如果要證明或判斷一個(gè)命題是假命題，那么我們只要舉出一個(gè)符合題設(shè)而不符合結(jié)論的例子就可以了。這稱為舉“反例”。能舉反例說明一個(gè)命題是假命題，反例不在于多，只要能找到一個(gè)說明即可。 三、實(shí)踐應(yīng)用，知識(shí)遷移 （一）填空： 1、利用_舉反例_可以判定一個(gè)命題是假命題。 2、反例必須要具備__命題的條件_，卻不具備_命題的結(jié)論__，從而說明命題是錯(cuò)誤的。 （二）選擇： 以下可以用來證明命題“水這種物質(zhì)是液體”是假命題的反例是( ) (A)河水 (B)礦泉水 (C)蒸汽 (D)開水 （三）學(xué)以致用： 1、判斷命題“若x+y=0，則x=1，y=-1”的真假，并給以證明。 2、舉反例說明命題“一個(gè)角的余角不小于這個(gè)角的補(bǔ)角”是假命題。 3、以下可以用來證明命題“素?cái)?shù)不可能是偶數(shù)”是假命題的反例是( ) (A) 2 (B) 3 (C) 11 (D) 31 4、“互補(bǔ)的兩個(gè)角，必定一個(gè)是銳角，一個(gè)是鈍角”這一命題是假命題，你可以舉的反例是：_____________________。 5、用反例證明下列命題是假命題： (1) 若x(1-x)=0，則x=0； (2) 三角形一邊上的中線等于這條邊的一半； (3) 相等的角是對(duì)頂角； 6、判斷下列命題的真假，并給出證明。 （1）水作為一種物質(zhì)是液體； （2）任何三條線段都能組成一個(gè)三角形； （3）有一個(gè)角是60的三角形是等邊三角形。 7、補(bǔ)充練習(xí)： 用反例證明下列命題是假命題： （1）若x≠1，則分式有意義. （2）若∠1與∠2是同位角，∠2與∠3也是同位角，那么∠1與∠3是同位角. （3）任何偶數(shù)都是4的倍數(shù)。 （4）一元二次方程x2+bx+c=0(c<0)必定有實(shí)數(shù)根； 四、歸納總結(jié)： 1、如何去判斷一個(gè)命題是假命題 2、怎么樣的反例才可以證明一個(gè)命題是假命題判斷命題的真假。 運(yùn)用反例證明假命題. 反例必須具備命題的條件，卻不具備命題的結(jié)論，從而說明命題是錯(cuò)誤的。 說明一個(gè)命題是假命題，通常只用找出反例，但要說明一個(gè)命題是真命題，就必須用推理的方法，而不能光憑一個(gè)例子。 五、探索與思考； 判斷命題 “一角和夾這角的一邊對(duì)應(yīng)相等，且這邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等” 是真命題，還是假命題？請(qǐng)給出證明。 反證法 教學(xué)目標(biāo) 1、理解反證法的含義與原理，掌握反證法的一般步驟； 2、會(huì)用反證法證明簡單的代數(shù)命題和幾何命題； 3、使學(xué)生逐步樹立“正難則反”和“轉(zhuǎn)換思維”的意識(shí)。 4、初步會(huì)綜合運(yùn)用命題、證明以及相關(guān)知識(shí)解決簡單的實(shí)際問題。 5、了解定理“在同一平面內(nèi)，如果一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么和另一條也相交”“在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”。 重點(diǎn)與難點(diǎn) 本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是反證法的含義和步驟及運(yùn)用反證法的意識(shí)及反證中的“歸謬”。而課本“合作學(xué)習(xí)”要求用兩種方法完成平行線的傳遞性的證明，有較高難度，是本節(jié)教學(xué)的難點(diǎn)。 教學(xué)過程 一、情境導(dǎo)入 故事引入“反證法”：——路邊苦李 王戎7歲時(shí)，與小伙伴們外出游玩，看到路邊的李樹上結(jié)滿了果子。小伙伴們紛紛去摘取果子，只有王戎站在原地不動(dòng)。 王戎回答說：“樹在道邊而多子，此必苦李?！? 小伙伴摘取一個(gè)嘗了一下果然是苦李。 王戎是怎樣知道李子是苦的呢?他運(yùn)用了怎樣的推理方法? 我們不得不佩服王戎，小小年紀(jì)就具備了反證法的思維。反證法是數(shù)學(xué)中常用的一種方法。人們?cè)谔角竽骋粏栴}的解決方法而正面求解又比較困難時(shí)，常常采用從反面考慮的策略，往往能達(dá)到柳暗花明又一村的境界。你能總結(jié)出以上這種證明方法的步驟嗎? 假設(shè)李子不是苦的，即李子是甜的，那么這長在人來人往的大路邊的李子會(huì)不會(huì)被過路人摘去解渴呢？那么，樹上的李子還會(huì)這么多嗎？這與事實(shí)矛盾嗎？說明李子是甜的這個(gè)假設(shè)是錯(cuò)的還是對(duì)的？所以，李子是苦的。其思維過程的表述如下圖： 這就是反證法： 在證明一個(gè)命題時(shí)，有時(shí)先假設(shè)命題不成立，從這樣的假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理得出和已知條件矛盾，或者與定義，公理，定理等矛盾，從而得出假設(shè)命題不成立是錯(cuò)誤的，即所求證的命題正確。這種證明方法叫做反證法。 二、探究新知 （一）整體感知 用反證法證明命題實(shí)際上是這樣一個(gè)思維過程：我們假定“結(jié)論不成立”，結(jié)論一不成立就會(huì)出毛病，這個(gè)毛病是通過與已知條件矛盾，與公理或定理矛盾的方法暴露出來的。這個(gè)毛病是怎么造成的呢？推理沒有錯(cuò)誤，已知條件，公理或定理沒有錯(cuò)誤，這樣一來，唯一有錯(cuò)誤的地方就是一開始的假定。既然“結(jié)論不成立”有錯(cuò)誤，就肯定結(jié)論必然成立了。概括地說就是要利用“結(jié)論的反面不成立”的證明來證明結(jié)論成立。 你能說出下列結(jié)論的反面嗎? 1、a⊥b； 2、d是正數(shù)； 3、a≥0； 4、 a∥b。 （二）師生互動(dòng) 1、用反證法證明(填空)：在三角形的內(nèi)角中，至少有一個(gè)角大于或等于60 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的內(nèi)角（如圖）； 求證：∠A，∠B，∠C中至少有一個(gè)角大于或等于60。 證明：假設(shè)所求的結(jié)論不成立，即 ∠A＜60，∠B＜60，∠C＜60，則∠A+∠B+∠C＜180 這與“三角形的內(nèi)角和為180”相矛盾 所以假設(shè)不成立，所求證的結(jié)論成立 2、例、求證：在同一平面內(nèi)，如果一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么和另一條也相交。 已知：（如圖）直線a，b，c在同一平面內(nèi)，且a∥b，c與a相交于點(diǎn)P，求證：c與b相交。 3、根據(jù)上述解答，歸納反證法證題的步驟。 ①假定結(jié)論不成立（即結(jié)論的反面成立）；②從假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件，經(jīng)過推理論證，推出與已知條件或定義、定理、公理相矛盾；③由矛盾判定假設(shè)不正確；④肯定命題的結(jié)論成立。 使學(xué)生再次明確：用反證法證題的基本思路及步驟。 4、例、求證：在同一平面內(nèi)，如果一條直線和兩條平行直線中的一條平行，那么和另一條也平行。 已知：（如圖）直線a，b，c在同一平面內(nèi)，且a∥b，a∥c 求證：b∥c （平行線傳遞性）定理：在同一平面內(nèi)，如果一條直線和兩條平行直線中的一條平行，那么和另一條也平行 在運(yùn)用反證法的過程，往往要仔細(xì)分析結(jié)論的反面，特別要注意語句的轉(zhuǎn)換及表達(dá)。 方法總結(jié)：——證明一個(gè)命題是真命題有哪些方法? 三、學(xué)以致用，完善新知： 1、已知：如圖，直線l與a，b，c都相交，且a∥c，b∥c，求證：∠1=∠2 用直接法證明 反證法證明： 2、鏈接生活 反證法的思想也時(shí)常體現(xiàn)在人們的日常交流中，下面是有關(guān)的一個(gè)例子： 媽媽：小華，聽說鄰居小芳全家這幾天下在外出旅游。 小華：不可能，我上午還在學(xué)校碰到了她和她媽媽呢! 上述對(duì)話中，小華要告訴媽媽的命題是什么? （小芳全家沒外出旅游.） 他是如何推斷該命題的正確性的? 3、議一議：甲、乙、丙、丁、戊五人在運(yùn)動(dòng)會(huì)上分獲一百米、二百米、跳高、跳遠(yuǎn)和鉛球冠軍，有四個(gè)人猜測(cè)比賽結(jié)果： A說：乙獲鉛球冠軍，丁獲跳高冠軍； B說：甲獲百米冠軍，戊獲跳遠(yuǎn)冠軍； C說：丙獲跳遠(yuǎn)冠軍，丁獲二百米冠軍； D說：乙獲跳高冠軍，戊獲鉛球冠軍。 其中每個(gè)人都只說對(duì)一句，說錯(cuò)一句.你知道五人各獲哪項(xiàng)冠軍嗎？ 四、學(xué)習(xí)小結(jié)： 1、作知識(shí)總結(jié)，學(xué)習(xí)了反證法證題的思路與步驟。 2、在直接法無法證明或很難證明的情況選用反證法。 反證法的步驟： （1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立。 （2）從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，通過推理論證，得出矛盾。 （3）由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。 1、反證法： （1）反設(shè)（即假設(shè)）p則q（原命題）反設(shè)p且非q。 （2）可能出現(xiàn)三種情況：①導(dǎo)出非p為真——與題設(shè)矛盾。②導(dǎo)出q為真——與反設(shè)中“非q“矛盾。③導(dǎo)出一個(gè)恒假命題——與公理、定理矛盾。 2、用反證法證題時(shí)，應(yīng)注意的事項(xiàng):（1）周密考察原命題結(jié)論的否定事項(xiàng)，防止否定不當(dāng)或有所遺漏；（2）推理過程必須完整，否則不能說明命題的真?zhèn)涡?；?）在推理過程中，要充分使用已知條件，否則推不出矛盾，或者不能斷定推出的結(jié)果是錯(cuò)誤的。 五、課后作業(yè)：1、配套作業(yè)本A(1)組必做。2、書本作業(yè)題．3、課外活動(dòng)：收集反證法在生活中應(yīng)用的例子，在班上交流。 課堂練習(xí) 一、解答題 A B C D H 1.（本題7分）已知如圖，在△ABC中，CH是外角∠ACD的角平分線，BH是∠ABC的平分線, ∠A=58.求∠H的度數(shù). 2.（本題10分）如圖（1）：已知等腰直角三角形ABC中,∠ACB=,直線經(jīng)過點(diǎn)C,AD⊥,BE⊥,垂足分別為D、E。 (1)證明ΔACD≌ΔCBE；（5分） L E D C B A 圖2 (2)如圖2，當(dāng)直線經(jīng)過ΔABC內(nèi)部時(shí),其他條件不變,（1）中的結(jié)論還成立嗎?如果成立,請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由。（5分） E C B D L A 圖1 3．（6分）閱讀理解題： （1）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，且AD=BC． 求證：∠BAC=90． 證明：∵AD=BC，BD=CD=BC， ∴AD=BD=DC， ∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD， ∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180， ∴∠BAD+∠CAD=90，即∠BAC=90． （2）此題實(shí)際上是直角三角形的另一個(gè)判定定理，請(qǐng)你用文字語言敘述出來． （3）直線運(yùn)用這個(gè)結(jié)論解答題目：一個(gè)三角形一邊長為2，這邊上的中線長為1，另兩邊之和為1+，求這個(gè)三角形的面積． P F E C B A 4、如圖在ΔABC中AB=AC,∠BAC=900,直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn),兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F ⑴求證：AE=CF（6分） ⑵是否還有其他結(jié)論，不要求證明（至少2個(gè)，4分） 5．將兩塊全等的含30角的三角尺如圖(1)擺放在一起，它們的較短直角邊長為3． (1) 將△ECD沿直線l向左平移到圖(2)的位置，使E點(diǎn)落在AB上，則CC′=______； (2) 將△ECD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖(3)的位置，使點(diǎn)E落在AB上，則△ECD繞點(diǎn) C旋轉(zhuǎn)的度數(shù)=______； D (1) (2) 第23題圖 A C B E 4 3 8 7 6 4 5 8 7 6 l D’ E’′′′′′′′′′′′ A C B E D l (3) l D’ F’ A C B E D (4) A C B E D l E’ C’ (3) 將△ECD沿直線AC翻折到圖(4)的位置，ED′與AB相交于點(diǎn)F，求證AF=FD′． A C B P 6、如圖，已知點(diǎn)P為∠ABC的任意一點(diǎn)，求證∠BPC > ∠BAC. E B A C 7、如圖，在ΔABC中，∠ACB=90，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，觀察直線AD與線段CE，你能寫出它們的關(guān)系嗎？利用所學(xué)的知識(shí)，證明你的觀察結(jié)果。 8、如圖，在ΔABC中，BD、CE相交于點(diǎn)F，在以下幾個(gè)條件中選擇若干個(gè)條件作為題設(shè)，另一個(gè)條件作為結(jié)論，組合成一個(gè)真命題，并寫出證明。 ①∠A中=α，②BD、CE分別是∠ABC、∠ACB的平分線；③BD、CE是ΔABC的兩條高； A F B C D ④∠BFC=900-α ⑤∠BFC=1800-α Page 20 of 20 Xuezhi Education All Rights Reserved