《方程的根與函數(shù)的零點》教學(xué)設(shè)計

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《方程的根與函數(shù)的零點》教學(xué)設(shè)計 引言：本節(jié)課選自《普通高中課程標準實驗教課書數(shù)學(xué)I必修本（A版）》第三章第一節(jié)第一課時．通過對二次函數(shù)的圖象的研究判斷一元二次方程根的存在性以及根的個數(shù)建立一元二次方程的根與相應(yīng)的二次函數(shù)的零點的聯(lián)系，然后由特殊到一般，將其推廣到一般方程與相應(yīng)的函數(shù)的情形． 案例描述： 一、學(xué)情分析 程度差異性：中低等程度的學(xué)生占大多數(shù)，程度較高與程度很差的學(xué)生占少數(shù)． 知識、心理、能力儲備：學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，現(xiàn)在基本會畫簡單函數(shù)的圖象，也會通過圖象去研究理解函數(shù)的性質(zhì)，這就為學(xué)生理解函數(shù)的零點提供了幫助，初步的數(shù)形結(jié)合知識也足以讓學(xué)生直觀理解函數(shù)零點的存在性，因此從學(xué)生熟悉的二次函數(shù)的圖象入手介紹函數(shù)的零點，從認知規(guī)律上講，應(yīng)該是容易理解的．再者一元二次方程是初中的重要內(nèi)容，學(xué)生應(yīng)該有較好的基礎(chǔ)對于它根的個數(shù)以及存在性學(xué)生比較熟悉，學(xué)生理解起來沒有多大問題．這也為我們歸納函數(shù)的零點與方程的根聯(lián)系提供了知識基礎(chǔ)．但是學(xué)生對其他函數(shù)的圖象與性質(zhì)認識不深（比如三次函數(shù)），對于高次方程還不熟悉，我們?nèi)狈Ω囝愋偷睦?，讓學(xué)生從特殊到一般歸納出函數(shù)與方程的內(nèi)在聯(lián)系，因此理解函數(shù)的零點、函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系應(yīng)該是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點．加之函數(shù)零點的存在性的判定方法的表示抽象難懂．因此在教學(xué)中應(yīng)加強師生互動，盡多的給學(xué)生動手的機會，讓學(xué)生在實踐中體驗二者的聯(lián)系，并充分提供不同類型的二次函數(shù)和相應(yīng)的一元二次方程讓學(xué)生研討，從而直觀地歸納、總結(jié)、分析出二者的聯(lián)系． 二、設(shè)計思想 教學(xué)理念：培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，學(xué)會嚴密思考，并從中找到樂趣． 教學(xué)原則：注重各個層面的學(xué)生． 教學(xué)方法：三學(xué)一導(dǎo)． 三、教學(xué)目標 1.知識與技能： ①理解函數(shù)（結(jié)合二次函數(shù)）零點的概念，領(lǐng)會函數(shù)零點與相應(yīng)方程的關(guān)系，掌握零點存在的判定條件； ②培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力； ③培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力． 2.過程與方法： ①通過觀察二次函數(shù)圖象，并計算函數(shù)在區(qū)間端點上的函數(shù)值之積的特點，找到連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點的判斷方法； ②讓學(xué)生歸納整理本節(jié)所學(xué)知識． 3.情感、態(tài)度與價值觀： 在函數(shù)與方程的聯(lián)系中體驗數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想的意義和價值． 四、教學(xué)重點、難點 重點：函數(shù)零點與方程根之間的關(guān)系；連續(xù)函數(shù)在某區(qū)間上存在零點的判定方法． 難點：發(fā)現(xiàn)與理解方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系；探究發(fā)現(xiàn)函數(shù)存在零點的方法． 五、教學(xué)過程設(shè)計 1．指導(dǎo)學(xué)生進行課前學(xué)習(xí) 預(yù)習(xí)教材，完成以下習(xí)題： 1．零點：使 的實數(shù)． 2．方程有實數(shù)根函數(shù)的圖像與 有交點函數(shù)有 ． 3．函數(shù)零點存在結(jié)論： 如果函數(shù)的圖象在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在 ，使得 ，這個也就是方程的根． 4．已知某函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)有零點的區(qū)間大致是（ ）　 A．(0，0.5) B．(0.5，1) C．(1，1.5) D．(1.5，2) 5．已知有一個零點為2，則的值是___ _______． 2．指導(dǎo)學(xué)生進行課堂學(xué)習(xí) （1）方程的根與函數(shù)的零點以及零點存在性的探索 問題1：解方程（比賽）：①6x－1=0 ；②3x2＋6x－1=0 ． 再比賽解3x3＋6x－1=0 第三題學(xué)生無法解答，產(chǎn)生疑惑引入課題：教師介紹說一次方程、二次方程甚至三次方程、四次方程的解都可以通過系數(shù)的四則運算，乘方與開方等運算來表示，但高于四次的方程一般不能用公式求解，如3x5＋6x－1=0 緊接著介紹阿貝爾（挪威）定理（五次及高于五次的代數(shù)方程沒有一般的代數(shù)解法），伽羅瓦（法國）的近世代數(shù)理論，提出早在十三世紀的中國，秦九韶等數(shù)學(xué)家就提出了高次方程數(shù)值解的解法，振奮學(xué)生的民族自豪感，最后引出人們一直在研究方程的近似解方法二分法引入課題． 問題2：先來觀察幾個具體的一元二次方程的根及其相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象：如圖1 ①方程與函數(shù) ②方程與函數(shù) ③方程與函數(shù) 圖1 [師生互動] 師：教師引導(dǎo)學(xué)生解方程、畫函數(shù)圖象、分析方程的根與圖象和x軸交點坐標的關(guān)系，推廣到一般的方程和函數(shù)引出零點概念． 零點概念：對于函數(shù)y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f（x）（x∈D）的零點． 師：填表格 函數(shù) 函數(shù)的零點 方程的根 生：經(jīng)過獨立思考，填完表格 師提示：根據(jù)零點概念，提出問題，零點是點嗎？零點與函數(shù)方程的根有何關(guān)系？ 生：經(jīng)過觀察表格，得出第一個結(jié)論 師再問：根據(jù)概念，函數(shù)y＝f（x）的零點與函數(shù)y＝f（x）的圖象與x軸交點有什么關(guān)系 生：經(jīng)過觀察圖像與x軸交點完成解答，得出第二個結(jié)論 師：概括總結(jié)前兩個結(jié)論（請學(xué)生總結(jié)）． 1）概念：函數(shù)的零點并不是“點”，它不是以坐標的形式出現(xiàn),而是實數(shù)。例如函數(shù)的零點為x =-1,3 2）函數(shù)零點的意義：函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標． 3）方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點． 師：引導(dǎo)學(xué)生仔細體會上述結(jié)論． 再提出問題：如何并根據(jù)函數(shù)零點的意義求零點？ 生：可以解方程而得到（代數(shù)法）； 可以利用函數(shù)的圖象找出零點．（幾何法） 問題3：是不是所有的二次函數(shù)都有零點？ 師：僅提出問題，不須做任何提示． 生：根據(jù)函數(shù)零點的意義探索研究二次函數(shù)的零點情況，并進行交流，總結(jié)概括形成結(jié)論． 二次函數(shù)的零點：看△ １）△＞０，方程有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點． ２）△＝０，方程有兩相等實根（二重根），二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點． ３）△＜０，方程無實根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點，二次函數(shù)無零點． 第一階段設(shè)計意圖 本節(jié)的前半節(jié)一直以二次函數(shù)作為模本研究，此題是從特殊到一般的升華，也全面總結(jié)了二次函數(shù)零點情況，給學(xué)生一個清晰的解題思路，進而培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)能力． （2）零點存在性的探索 [師生互動] 師：要求生用連續(xù)不斷的幾條曲線連接如圖2中A、B兩點，觀察所畫曲線與直線l的相交情況，由兩個學(xué)生上臺板書： ．A a b l ．B 圖2 生：兩個學(xué)生畫出連接A、B兩點的幾條曲線后發(fā)現(xiàn)這些曲線必與直線l相交． 師：再用連續(xù)不斷的幾條函數(shù)曲線連接如圖A、B兩點，引導(dǎo)學(xué)生觀察所畫曲線與直線l的相交情況，說明連接A、B兩點的函數(shù)曲線交點必在區(qū)間 (a，b) 內(nèi)． 生：觀察下面函數(shù)f（x）＝0的圖象（如圖5）并回答： 圖5 ①區(qū)間[a，b]上______(有/無)零點；f（a）f（b）_____0（＜或＞）． ②區(qū)間[b，c]上______(有/無)零點；f（b）f（c）_____0（＜或＞）． ③區(qū)間[c，d]上______(有/無)零點；f（c）f（d）_____0（＜或＞）． 師：教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合函數(shù)圖象，分析函數(shù)在區(qū)間端點上的函數(shù)值的符號情況，與函數(shù)零點是否存在之間的關(guān)系． 生：根據(jù)函數(shù)零點的意義結(jié)合函數(shù)圖象，歸納得出函數(shù)零點存在的條件，并進行交流、評析總結(jié)概括形成結(jié)論． 一般地，我們有：如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線并且有f（a）f（b）<0，那么函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，即存在c ∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）＝0的根． 第二階段設(shè)計意圖： 教師引導(dǎo)學(xué)生探索歸納總結(jié)函數(shù)零點存在定理，培養(yǎng)歸納總結(jié)能力和邏輯思維． （3）例范研究 例1.已知函數(shù)f（x）=－3x5－6x＋1有如下對應(yīng)值表： x －2 －1.5 0 1 2 f（x） 109 44．17 1 －8 －107 函數(shù)y＝f（x）在哪幾個區(qū)間內(nèi)必有零點？為什么？ 探究1：如果函數(shù)y＝ f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）f（b）>0時，函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)沒有零點嗎? 探究2：如果函數(shù)y＝ f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有f（a）f（b）<0時，函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，但是否只一個零點？ 探究3：如果函數(shù)y＝ f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點時一定有f（a）f（b）<0 ？ 探究4：如果函數(shù)y＝ f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象不是一條連續(xù)不斷的曲線，函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點時一定有f（a）f（b）<0 ？ 圖3（反例） 師：總結(jié)兩個條件： 1）函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線； 2）在區(qū)間[a，b]上有f（a）f（b）<0． 一個結(jié)論：函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]內(nèi)單調(diào)則函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點． 補充：什么時候只有一個零點？ （觀察得出）函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]內(nèi)單調(diào)時只有一個零點． 例2．求函數(shù)的零點個數(shù)．問題： 1）你可以想到什么方法來判斷函數(shù)零點個數(shù)？ 2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性你能得該函數(shù)的單調(diào)性具有什么特性？ 第三階段設(shè)計意圖： 教師引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)零點存在定理，分析其中各條件的作用,應(yīng)用例1，例2加深對定理的理解 （4）練習(xí)嘗試(可根據(jù)時間和學(xué)生對知識的接受程度適當(dāng)調(diào)整) 1．求函數(shù)，并畫出它的大致圖象． 2．利用函數(shù)圖象判斷下列方程有沒有根，有幾個根： （1）；（2）； 3．利用函數(shù)的圖象，指出下列函數(shù)零點所在的大致區(qū)間： （1）；（2）； [師生互動] 師：多媒體演示；結(jié)合圖象考察零點所在的大致區(qū)間與個數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說明零點的個數(shù)；讓學(xué)生認識到函數(shù)的圖象及基本性質(zhì)（特別是單調(diào)性）在確定函數(shù)零點中的重要作用． 生：建議學(xué)生使用計算器求出函數(shù)的大致區(qū)間，培養(yǎng)學(xué)生的估算能力，也為下一節(jié)的用二分法求方程的近似解做準備． 第四階段設(shè)計意圖：利用練習(xí)鞏固新知識，加深理解，為用二分法求方程的近似解做準備． （5）探索研究(可根據(jù)時間和學(xué)生對知識的接受程度適當(dāng)調(diào)整) 討論：請大家給方程的一個解的大約范圍，看誰找得范圍更小？ [師生互動] 師：把學(xué)生分成小組共同探究，給學(xué)生足夠的自主學(xué)習(xí)時間，讓學(xué)生充分研究，發(fā)揮其主觀能動性．也可以讓各組把這幾個題做為小課題來研究，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)潛能和熱情．老師用多媒體演示，直觀地演示根的存在性及根存在的區(qū)間大小情況． 生：分組討論，各抒己見，在探究學(xué)習(xí)中得到數(shù)學(xué)能力的提高． 第五階段設(shè)計意圖： 一是為用二分法求方程的近似解做準備． 二是小組探究合作學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和探究意識，本組探究題目就是為了培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，此組題目具有較強的開放性，探究性，基本上可以達到上述目的． （6）課堂小結(jié)： ①零點概念； ②零點存在性的判斷； ③零點存在性定理的應(yīng)用注意點：零點個數(shù)判斷以及方程根所在區(qū)間． （7）作業(yè)回饋 教材P108習(xí)題3．1（A組）第1、2題； 思考：總結(jié)函數(shù)零點求法要注意的問題；思考可以用求函數(shù)零點的方法求方程的近似解嗎？ 3．指導(dǎo)學(xué)生進行課后學(xué)習(xí) 通過學(xué)生的作業(yè)反饋，重點輔導(dǎo)沒有落實的課標要求． 案例反思： 本設(shè)計根據(jù)“三學(xué)一導(dǎo)”的教學(xué)法，突出了學(xué)生的主體作用，有效激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣．同時也遵循了由淺入深、循序漸進的原則，從學(xué)生認為較簡單的一元二次方程與相應(yīng)的二次函數(shù)入手，由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應(yīng)的二次函數(shù)的零點的聯(lián)系，然后將其推廣到一般方程與相應(yīng)的函數(shù)的情形．