2022年高二下學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試卷（文科） 含解析(I)

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1、2022年高二下學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試卷（文科） 含解析(I) 　 一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1．在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)的直角坐標(biāo)是（　?。? A． B． C． D． 2．某高校甲、乙、丙、丁四個(gè)專業(yè)分別有150、150、400、300名學(xué)生，為了解學(xué)生的就業(yè)傾向，用分層抽樣的方法從該校這四個(gè)專業(yè)共抽取40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，應(yīng)在丙專業(yè)抽取的學(xué)生人數(shù)為（　?。? A．6 B．12 C．18 D．16 3．命題“?x∈R，x3﹣2x+1=0”的否定是（　?。? A．?x∈R，x3﹣2x

2、+1≠0 B．不存在x∈R，x3﹣2x+1≠0 C．?x∈R，x3﹣2x+1=0 D．?x∈R，x3﹣2x+1≠0 4．若a、b為空間兩條不同的直線，α、β為空間兩個(gè)不同的平面，則直線a⊥平面α的一個(gè)充分不必要條件是（　?。? A．a(chǎn)∥β且α⊥β B．a(chǎn)?β且α⊥β C．a(chǎn)⊥b且b∥α D．a(chǎn)⊥β且α∥β 5．直線3x+4y+10=0和圓的位置關(guān)系是（　　） A．相切 B．相離 C．相交但不過圓心 D．相交且過圓心 6．已知命題p：x2﹣2x﹣3≥0；命題q：0＜x＜4．若q是假命題，p∨q是真命題，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為（　?。? A．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞） B．（﹣∞，﹣1

3、]∪[3，+∞） C．[﹣1，0]∪[3，4] D．（﹣∞，0]∪[3，+∞） 7．執(zhí)行題圖的程序框圖，則輸出的結(jié)果為（　?。? A．66 B．64 C．62 D．60 8．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（　?。? A． B． C．8 D．4 9．如圖，在半徑為的圓O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P，PA=PB=2，PD=1，則圓心O到弦CD的距離為（　?。? A．5 B． C． D．4 10．如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C在圓O上，延長BC到D使BC=CD，過C作圓O的切線交AD于E．若AB=6，ED=2，則BC=（　?。? A． B． C． D．4 11．

4、已知點(diǎn)P為雙曲線的右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若，且△PF1F2的面積為2ac（c為雙曲線的半焦距），則雙曲線的離心率為（　?。? A． +1 B． +1 C． +1 D． +1 12．設(shè)f（x）是R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x≠0時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　?。? A．0 B．1 C．2 D．3 　 二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上） 13．已知復(fù)數(shù)z=，則它的共軛復(fù)數(shù)=　　　　　　． 14．經(jīng)調(diào)查某地若干戶家庭的年收入x（萬元）和年飲食支出y（萬元）具有線性相關(guān)關(guān)系，并得到y(tǒng)關(guān)于x的線性回歸直線方程： =0.254x+0.321，由回歸直線方程可知，

5、家庭年收入每增加l萬元，年飲食支出平均增加　　　　　　萬元． 15．球O的球面上有三點(diǎn)A，B，C，且BC=3，∠BAC=30°，過A，B，C三點(diǎn)作球O的截面，球心O到截面的距離為4，則該球的體積為　　　　　?。? 16．如圖，半徑為5cm的圓形紙板內(nèi)有一個(gè)相同圓心的半徑為1cm的小圓區(qū)域，現(xiàn)將半徑為1cm的一枚硬幣拋到此紙板上，使整塊硬幣隨機(jī)完全落在紙板內(nèi)，則硬幣與小圓無公共點(diǎn)的概率為　　　　　?。? 　 三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立坐標(biāo)系．已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（，

6、），直線的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ﹣）=a，且點(diǎn)A在直線上． （1）求a的值及直線的直角坐標(biāo)方程； （2）圓C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），試判斷直線與圓的位置關(guān)系． 18．某市為增強(qiáng)市民的環(huán)境保護(hù)意識(shí)，面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者．現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機(jī)抽取100名按年齡分組：第1組[20，25），第2組[25，30），第3組[30，35），第4組[35，40），第5組[40，45]，得到的頻率分布直方圖如圖所示． （1）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參廣場(chǎng)的宣傳活動(dòng)，應(yīng)從第3，4，5組各抽取多少名志愿者？ （2）在（1）的條件下，該縣決定在這6名志愿者中隨機(jī)抽取

7、2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗(yàn)，求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率． 19．如圖，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD． （Ⅰ）證明PQ⊥平面DCQ； （Ⅱ）求棱錐Q﹣ABCD的體積與棱錐P﹣DCQ的體積的比值． 20．已知橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，且過點(diǎn)（2，）． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓上，且對(duì)角線AC、BD過原點(diǎn)O，若kAC?kBD=﹣， （i） 求?的最值． （ii） 求證：四邊形ABCD的面積為定值． 21．已知函數(shù)f（x）=alnx+x2（a為實(shí)常數(shù)）． （1）當(dāng)a=﹣4時(shí)，求

8、函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值及相應(yīng)的x值； （2）當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，討論方程f（x）=0根的個(gè)數(shù)． （3）若a＞0，且對(duì)任意的x1，x2∈[1，e]，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 　 [選修4-1：幾何證明選講] 22．如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，AB=AC，AD⊥AB，AD交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F在DA的延長線上，AF=AE．求證： （1）BF是圓O的切線； （2）BE2=AE?DF． 　 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1．在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐

9、標(biāo)系中，點(diǎn)的直角坐標(biāo)是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程． 【分析】由極值坐標(biāo)點(diǎn)（ρ，θ）的直角坐標(biāo)，將M點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求得答案． 【解答】解：在坐標(biāo)點(diǎn)的直角坐標(biāo)，解得：， ∴M（1，）， 故答案選：B． 　 2．某高校甲、乙、丙、丁四個(gè)專業(yè)分別有150、150、400、300名學(xué)生，為了解學(xué)生的就業(yè)傾向，用分層抽樣的方法從該校這四個(gè)專業(yè)共抽取40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，應(yīng)在丙專業(yè)抽取的學(xué)生人數(shù)為（　?。? A．6 B．12 C．18 D．16 【考點(diǎn)】分層抽樣方法． 【分析】根據(jù)四個(gè)專業(yè)各有的人數(shù)，得到本校的總?cè)藬?shù)，根據(jù)要抽取的人數(shù)，得到每個(gè)個(gè)體被抽到

10、的概率，利用丙專業(yè)的人數(shù)乘以每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，得到丙專業(yè)要抽取的人數(shù)． 【解答】解：∵高校甲、乙、丙、丁四個(gè)專業(yè)分別有150、150、400、300名學(xué)生 ∴本校共有學(xué)生150+150+400+300=1000， ∵用分層抽樣的方法從該校這四個(gè)專業(yè)共抽取40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查 ∴每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是=， ∵丙專業(yè)有400人， ∴要抽取400×=16 故選D． 　 3．命題“?x∈R，x3﹣2x+1=0”的否定是（　?。? A．?x∈R，x3﹣2x+1≠0 B．不存在x∈R，x3﹣2x+1≠0 C．?x∈R，x3﹣2x+1=0 D．?x∈R，x3﹣2x+1≠0 【考點(diǎn)】命

11、題的否定． 【分析】因?yàn)樘胤Q命題“?x∈R，x3﹣2x+1=0”，它的否定：?x∈R，x3﹣2x+1≠0即可得答案 【解答】解：“?x∈R，x3﹣2x+1=0”屬于特稱命題，它的否定為全稱命題， 從而答案為：?x∈R，x3﹣2x+1≠0． 故選D． 　 4．若a、b為空間兩條不同的直線，α、β為空間兩個(gè)不同的平面，則直線a⊥平面α的一個(gè)充分不必要條件是（　?。? A．a(chǎn)∥β且α⊥β B．a(chǎn)?β且α⊥β C．a(chǎn)⊥b且b∥α D．a(chǎn)⊥β且α∥β 【考點(diǎn)】平面的基本性質(zhì)及推論；必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 【分析】若a⊥β且α∥β，則有a⊥α，反之不成立，于是，“a⊥β且α∥

12、β”是“a⊥α”成立的充分不必要條件． 【解答】解：若a⊥β且α∥β，則有a⊥α， 反之不成立， 于是，“a⊥β且α∥β”是“a⊥α”成立的充分不必要條件， 故選D． 　 5．直線3x+4y+10=0和圓的位置關(guān)系是（　　） A．相切 B．相離 C．相交但不過圓心 D．相交且過圓心 【考點(diǎn)】圓的參數(shù)方程． 【分析】求出圓的普通方程，得出圓心和半徑，計(jì)算圓心到直線的距離，比較距離與半徑的關(guān)系得出結(jié)論． 【解答】解：圓的普通方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2=25， ∴圓的圓心為（2，1），半徑r=5． 圓心到直線的距離d==4． ∵0＜d＜r， ∴直線與圓相交但不過圓

13、心． 故選：C． 　 6．已知命題p：x2﹣2x﹣3≥0；命題q：0＜x＜4．若q是假命題，p∨q是真命題，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為（　?。? A．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） C．[﹣1，0]∪[3，4] D．（﹣∞，0]∪[3，+∞） 【考點(diǎn)】復(fù)合命題的真假． 【分析】解出命題p．由q是假命題，p∨q是真命題，可得p是真命題，即可得出． 【解答】解：命題p：x2﹣2x﹣3≥0，解得x≥3或x≤﹣1； 命題q：0＜x＜4． 由q是假命題，p∨q是真命題， 可得p是真命題，∴， 解得x≥4或x≤﹣1． 則實(shí)數(shù)x的取值范圍為（﹣∞，﹣1]∪[4

14、，+∞）． 故選：A． 　 7．執(zhí)行題圖的程序框圖，則輸出的結(jié)果為（　?。? A．66 B．64 C．62 D．60 【考點(diǎn)】程序框圖． 【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加S=21+22+23+24+25的值，并輸出． 【解答】解：分析程序中各變量、各語句的作用， 再根據(jù)流程圖所示的順序，可知： 該程序的作用是： 累加S=21+22+23+24+25的值， ∵S=21+22+23+24+25=62． 故選C． 　 8．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（　?。? A． B． C．8 D．4 【

15、考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積． 【分析】根據(jù)三視圖得出幾何體為放倒的直三棱柱，底面為正視圖，高為2，即可求出該幾何體的表面積． 【解答】解：根據(jù)三視圖得出幾何體為放倒的直三棱柱，底面為正視圖，高為2， ∴該幾何體的表面積為+2×2×2+2×=12+4， 故選：A． 　 9．如圖，在半徑為的圓O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P，PA=PB=2，PD=1，則圓心O到弦CD的距離為（　?。? A．5 B． C． D．4 【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段． 【分析】首先利用相交弦定理求出CD的長，再利用勾股定理求出圓心O到弦CD的距離，注意計(jì)算的正確率． 【解答】解：由相交弦定理得，AP×PB

16、=CP×PD， ∴2×2=CP?1， 解得：CP=4，又PD=1， ∴CD=5， 又⊙O的半徑為， 則圓心O到弦CD的距離為d==． 故選：B． 　 10．如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C在圓O上，延長BC到D使BC=CD，過C作圓O的切線交AD于E．若AB=6，ED=2，則BC=（　?。? A． B． C． D．4 【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段． 【分析】由已知條件推導(dǎo)出△ABC∽△CDE，從而BC2=AB?DE=12，由此能求出BC的值． 【解答】解：∵AB是圓O的直徑，∴∠ACB=90°．即AC⊥BD． 又∵BC=CD，∴AB=AD，∴∠D=∠ABC，∠EAC=∠B

17、AC． ∵CE與⊙O相切于點(diǎn)C，∴∠ACE=∠ABC．∴∠AEC=∠ACB=90°． ∴△CED∽△ACB． ∴， 又CD=BC， ∴BC==2． 故選：B． 　 11．已知點(diǎn)P為雙曲線的右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若，且△PF1F2的面積為2ac（c為雙曲線的半焦距），則雙曲線的離心率為（　?。? A． +1 B． +1 C． +1 D． +1 【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)；向量在幾何中的應(yīng)用． 【分析】先由得出△F1PF2是直角三角形得△PF1F2的面積，再把等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為用a，c來表示即可求雙曲線C的離心率． 【解答】解：先由得出： △F1PF2是直角

18、三角形， △PF1F2的面積=b2cot45°=2ac 從而得c2﹣2ac﹣a2=0，即e2﹣2e﹣1=0， 解之得e=1±， ∵e＞1，∴e=1+． 故選：A． 　 12．設(shè)f（x）是R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x≠0時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　?。? A．0 B．1 C．2 D．3 【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理． 【分析】由題意可得，x≠0，因而 g（x）的零點(diǎn)跟 xg（x）的非零零點(diǎn)是完全一樣的．當(dāng)x＞0時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)可得xg（x）在（0，+∞）上是遞增函數(shù)，xg（x）＞1恒成立，可得xg（x）在（0，+∞）上無零點(diǎn)．同理可得xg（x）在（﹣∞，0

19、）上也無零點(diǎn)，從而得出結(jié)論． 【解答】解：由于函數(shù)g（x）=f（x）+，可得x≠0， 因而 g（x）的零點(diǎn)跟 xg（x）的非零零點(diǎn)是完全一樣的， 故我們考慮 xg（x）=xf（x）+1 的零點(diǎn)． 由于當(dāng)x≠0時(shí)，， ①當(dāng)x＞0時(shí)，（x?g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（）＞0， 所以，在（0，+∞）上，函數(shù)x?g（x）單調(diào)遞增函數(shù)． 又∵ [xf（x）+1]=1， ∴在（0，+∞）上， 函數(shù) x?g（x）=xf（x）+1＞1恒成立， 因此，在（0，+∞）上，函數(shù) x?g（x）=xf（x）+1 沒有零點(diǎn)． ②當(dāng)x＜0時(shí)，由于（x?g（x））′=（

20、xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（）＜0， 故函數(shù) x?g（x）在（﹣∞，0）上是遞減函數(shù)，函數(shù) x?g（x）=xf（x）+1＞1恒成立， 故函數(shù) x?g（x）在（﹣∞，0）上無零點(diǎn)． 綜上可得，函數(shù)g（x）=f（x）+在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0， 故選：A． 　 二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上） 13．已知復(fù)數(shù)z=，則它的共軛復(fù)數(shù)=　﹣2﹣i?。? 【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算． 【分析】直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z，則它的共軛復(fù)數(shù)可求． 【解答】解：z==， 則它的共軛復(fù)數(shù)=﹣2﹣i． 故答案為：﹣2﹣i． 　 14．經(jīng)調(diào)查某

21、地若干戶家庭的年收入x（萬元）和年飲食支出y（萬元）具有線性相關(guān)關(guān)系，并得到y(tǒng)關(guān)于x的線性回歸直線方程： =0.254x+0.321，由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加l萬元，年飲食支出平均增加　0.254　萬元． 【考點(diǎn)】回歸分析的初步應(yīng)用． 【分析】寫出當(dāng)自變量增加1時(shí)的預(yù)報(bào)值，用這個(gè)預(yù)報(bào)值去減去自變量x對(duì)應(yīng)的值，即可得到家庭年收入每增加 1萬元，年飲食支出平均增加的數(shù)字． 【解答】解：∵y關(guān)于x的線性回歸直線方程： =0.254x+0.321① ∴年收入增加l萬元時(shí)，年飲食支出y=0.254（x+1）+0.321② ②﹣①可得：年飲食支出平均增加0.254萬元 故答案為：0

22、.254 　 15．球O的球面上有三點(diǎn)A，B，C，且BC=3，∠BAC=30°，過A，B，C三點(diǎn)作球O的截面，球心O到截面的距離為4，則該球的體積為　　． 【考點(diǎn)】球的體積和表面積． 【分析】根據(jù)正弦定理，求出△ABC的外接圓半徑r，進(jìn)而根據(jù)球心O到截面的距離d=4，結(jié)合R=求出球的半徑，代入球的體積公式，可得答案． 【解答】解：∵△ABC中BC=3，∠BAC=30°， ∴△ABC的外接圓半徑r滿足： 2r==6． 故r=3． 又∵球心O到截面的距離d=4， ∴球的半徑R==5． 故球的體積V==， 故答案為： 　 16．如圖，半徑為5cm的圓形紙板內(nèi)有一個(gè)相同圓心

23、的半徑為1cm的小圓區(qū)域，現(xiàn)將半徑為1cm的一枚硬幣拋到此紙板上，使整塊硬幣隨機(jī)完全落在紙板內(nèi)，則硬幣與小圓無公共點(diǎn)的概率為　?。? 【考點(diǎn)】幾何概型． 【分析】由題意可得，硬幣要落在紙板內(nèi)，硬幣圓心距離紙板圓心的距離應(yīng)該小于7．硬幣與小圓無公共點(diǎn)，硬幣圓心距離小圓圓心要大于2，先求出硬幣落在紙板上的面積，然后再求解硬幣落下后與小圓沒交點(diǎn)的區(qū)域的面積，代入古典概率的計(jì)算公式可求． 【解答】解：記“硬幣落下后與小圓無公共點(diǎn)”為事件A 硬幣要落在紙板內(nèi)，硬幣圓心距離紙板圓心的距離應(yīng)該小于4，其面積為16π 無公共點(diǎn)也就意味著，硬幣的圓心與紙板的圓心相距超過2cm 以紙板的圓心為圓心，

24、作一個(gè)半徑2cm的圓，硬幣的圓心在此圓外面，則硬幣與半徑為1cm的小圓無公共點(diǎn)，此半徑為2的圓面積是4π 所以有公共點(diǎn)的概率為=，無公共點(diǎn)的概率為P（A）=1﹣=． 故答案為：． 　 三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立坐標(biāo)系．已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（，），直線的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ﹣）=a，且點(diǎn)A在直線上． （1）求a的值及直線的直角坐標(biāo)方程； （2）圓C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），試判斷直線與圓的位置關(guān)系． 【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標(biāo)方程．

25、【分析】（1）運(yùn)用代入法，可得a的值；再由兩角差的余弦公式和直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的關(guān)系，即可得到直角坐標(biāo)方程； （2）求得圓的普通方程，求得圓的圓心和半徑，由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可判斷直線和圓的位置關(guān)系． 【解答】解：（1）由點(diǎn)A（，）在直線ρcos（θ﹣）=a上，可得a=cos0=， 所以直線的方程可化為ρcosθ+ρsinθ=2， 從而直線的直角坐標(biāo)方程為x+y﹣2=0， （2）由已知得圓C的直角坐標(biāo)方程為（x﹣1）2+y2=1， 所以圓心為（1，0），半徑r=1， ∴圓心到直線的距離d==＜1， 所以直線與圓相交． 　 18．某市為增強(qiáng)市民的環(huán)境保護(hù)意識(shí)，面向全市征召

26、義務(wù)宣傳志愿者．現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機(jī)抽取100名按年齡分組：第1組[20，25），第2組[25，30），第3組[30，35），第4組[35，40），第5組[40，45]，得到的頻率分布直方圖如圖所示． （1）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參廣場(chǎng)的宣傳活動(dòng)，應(yīng)從第3，4，5組各抽取多少名志愿者？ （2）在（1）的條件下，該縣決定在這6名志愿者中隨機(jī)抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗(yàn)，求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率． 【考點(diǎn)】頻率分布直方圖；古典概型及其概率計(jì)算公式． 【分析】（1）先分別求出這3組的人數(shù)，再利用分層抽樣的方法即可得出答案； （2）利用古典概型

27、的概率計(jì)算公式、互斥事件及相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式即可得出． 【解答】解：（1）第3，4，5組中的人數(shù)分別為0.06×5×100=30，0.04×5×100=20，0.02×5×100=10． 從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者，應(yīng)從第3，4，5組各抽取人數(shù)為，， =1； （2）設(shè)“第4組至少有一名志愿者被抽中”為事件A，則P（A）==． 　 19．如圖，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD． （Ⅰ）證明PQ⊥平面DCQ； （Ⅱ）求棱錐Q﹣ABCD的體積與棱錐P﹣DCQ的體積的比值． 【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；棱柱、棱

28、錐、棱臺(tái)的體積． 【分析】（Ⅰ）利用線面垂直的判定定理證明本題是解決本題的關(guān)鍵，要在平面中尋找與已知直線垂直的兩條相交直線，進(jìn)行線面關(guān)系的互相轉(zhuǎn)化； （Ⅱ）利用體積的計(jì)算方法將本題中的體積計(jì)算出來是解決本題的關(guān)鍵，掌握好錐體的體積計(jì)算公式． 【解答】解：（I）由條件知PDAQ為直角梯形， 因?yàn)镼A⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交線為AD 又四邊形ABCD為正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC 在直角梯形PDAQ中可得，則PQ⊥DQ，又DQ∩DC=D， 所以PQ⊥平面DCQ； （Ⅱ）設(shè)AB=a， 由題設(shè)知AQ為棱錐Q﹣ABCD的高，所以棱

29、錐Q一ABCD的體積 由（Ⅰ）知PQ為棱錐P﹣DCQ的高而PQ=．△DCQ的面積為． 所以棱錐P﹣DCQ的體積 故棱錐Q﹣ABCD的體積與棱錐P﹣DCQ的體積的比值為1：l． 　 20．已知橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，且過點(diǎn)（2，）． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓上，且對(duì)角線AC、BD過原點(diǎn)O，若kAC?kBD=﹣， （i） 求?的最值． （ii） 求證：四邊形ABCD的面積為定值． 【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；三角形的面積公式；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【分析】（1）把點(diǎn)代入橢圓的方程，得到，由離心率，再由a2=

30、b2+c2， 聯(lián)立即可得到a2、b2、c2； （2）（i）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)kAC=k，由kAC?kBD=﹣=﹣，可得． 把直線AC、BD的方程分別與橢圓的方程聯(lián)立解得點(diǎn)A，B，的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積即可得到關(guān)于k的表達(dá)式，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出最值； （ii）由橢圓的對(duì)稱性可知S四邊形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB，得到=4，代入計(jì)算即可證明． 【解答】解：（1）由題意可得，解得， ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）（i）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），不妨設(shè)x1＞0，x2＞0． 設(shè)kAC=k，∵kAC?kBD=﹣=﹣，∴

31、． 可得直線AC、BD的方程分別為y=kx，． 聯(lián)立，． 解得，． ∴=x1x2+y1y2===2，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)． 可知：當(dāng)x1＞0，x2＞0時(shí)，有最大值2． 當(dāng)x1＜0，x2＜0．有最小值﹣2． ii）由橢圓的對(duì)稱性可知S四邊形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB． ∴=4=4=4 =4==128， ∴四邊形ABCD的面積=為定值． 　 21．已知函數(shù)f（x）=alnx+x2（a為實(shí)常數(shù)）． （1）當(dāng)a=﹣4時(shí)，求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值及相應(yīng)的x值； （2）當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，討論方程f（x）=0根的個(gè)數(shù)． （3）若a＞0，

32、且對(duì)任意的x1，x2∈[1，e]，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷；不等式的證明． 【分析】（1）把a(bǔ)=﹣4代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)把給出的定義[1，e]分段，判出在各段內(nèi)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)在[1，e]上的最大值及相應(yīng)的x值； （2）把原函數(shù)f（x）=alnx+x2求導(dǎo)，分a≥0和a＜0討論打哦函數(shù)的單調(diào)性，特別是當(dāng)a＜0時(shí)，求出函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值及端點(diǎn)處的函數(shù)值，然后根據(jù)最小值和F（e）的值的符號(hào)討論在x∈[1，e]時(shí)，方程f（x）=0根的個(gè)數(shù)； （3）a＞0判出函數(shù)f（x）=aln

33、x+x2在[1，e]上為增函數(shù)，在規(guī)定x1＜x2后把轉(zhuǎn)化為f（x2）+＜f（x1）+，構(gòu)造輔助函數(shù)G（x）=f（x）+，由該輔助函數(shù)是減函數(shù)得其導(dǎo)函數(shù)小于等于0恒成立，分離a后利用函數(shù)單調(diào)性求a的范圍． 【解答】解：（1）當(dāng)a=﹣4時(shí)，f（x）=﹣4lnx+x2，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）． ． 當(dāng)x∈時(shí)，f′（x）0， 所以函數(shù)f（x）在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)， 由f（1）=﹣4ln1+12=1，f（e）=﹣4lne+e2=e2﹣4， 所以函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值為e2﹣4，相應(yīng)的x值為e； （2）由f（x）=alnx+x2，得． 若a≥0，則在[1，e]上f′（

34、x）＞0，函數(shù)f（x）=alnx+x2在[1，e]上為增函數(shù)， 由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的個(gè)數(shù)是0； 若a＜0，由f′（x）=0，得x=（舍），或x=． 若，即﹣2≤a＜0，f（x）=alnx+x2在[1，e]上為增函數(shù)， 由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的個(gè)數(shù)是0； 若，即a≤﹣2e2，f（x）=alnx+x2在[1，e]上為減函數(shù)， 由f（1）=1，f（e）=alne+e2=e2+a≤﹣e2＜0， 所以方程f（x）=0在[1，e]上有1個(gè)實(shí)數(shù)根； 若，即﹣2e2＜a＜﹣2， f（x）在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)， 由f（1）=1＞0，f（e）=

35、e2+a． =． 當(dāng)，即﹣2e＜a＜﹣2時(shí)，，方程f（x）=0在[1，e]上的根的個(gè)數(shù)是0． 當(dāng)a=﹣2e時(shí)，方程f（x）=0在[1，e]上的根的個(gè)數(shù)是1． 當(dāng)﹣e2≤a＜﹣2e時(shí)，，f（e）=a+e2≥0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的個(gè)數(shù)是2． 當(dāng)﹣2e2＜a＜﹣e2時(shí)，，f（e）=a+e2＜0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的個(gè)數(shù)是1； （3）若a＞0，由（2）知函數(shù)f（x）=alnx+x2在[1，e]上為增函數(shù)， 不妨設(shè)x1＜x2，則變?yōu)閒（x2）+＜f（x1）+，由此說明函數(shù)G（x）=f（x）+在[1，e]單調(diào)遞減，所以G′（x）=≤0對(duì)x∈[1，e]恒成立，

36、即a對(duì)x∈[1，e]恒成立， 而在[1，e]單調(diào)遞減，所以a． 所以，滿足a＞0，且對(duì)任意的x1，x2∈[1，e]，都有成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍不存在． 　 [選修4-1：幾何證明選講] 22．如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，AB=AC，AD⊥AB，AD交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F在DA的延長線上，AF=AE．求證： （1）BF是圓O的切線； （2）BE2=AE?DF． 【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段；圓的切線的判定定理的證明． 【分析】（1）連接BD，證明BF是⊙O的切線，只需證明∠FBD=90°； （2）由切割線定理可得BF2=AF?DF，利用AF=AE，BE=BF，可得結(jié)論． 【解答】證明：（1）連接BD，則 ∵AD⊥AB， ∴BD是⊙O的直徑， ∵AF=AE， ∴∠FBA=∠EBA， ∵AB=AC， ∴∠FBA=∠C， ∵∠C=∠D，∠D+∠ABD=90°， ∴∠FBA+∠ABD=90°，即∠FBD=90°， ∴BF是⊙O的切線； （2）由切割線定理可得BF2=AF?DF， ∵AF=AE，BE=BF， ∴BE2=AE?DF． 　 xx9月5日