2022年高二上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試卷（文科） 含解析(I)

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1、2022年高二上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試卷（文科） 含解析(I) 　 一、選擇題（每小題5分，共60分） 1．命題：“?x∈R，cos2x≤cos2x”的否定為（　?。? A．?x∈R，cos2x＞cos2x B．?x∈R，cos2x＞cos2x C．?x∈R，cos2x＜cos2x D．?x∈R，cos2x≤cos2x 2．如圖為幾何體的三視圖，根據(jù)三視圖可以判斷這個幾何體為（　　） A．圓錐 B．三棱錐 C．三棱柱 D．三棱臺 3．若橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，則雙曲線﹣=1的漸近線方程為（　　） A．y=±x B．y=±2x C．y=±4x D．y=±x 4．函

2、數(shù)y=f（x）的圖象在點P（5，f（5））處的切線方程是y=﹣x+8，則f（5）+f′（5）=（　?。? A． B．1 C．2 D．0 5．直線xcosα+y+2=0的傾斜角范圍是（　　） A．[，）∪（，] B．[0，]∪[，π） C．[0，] D．[，] 6．已知直線l、m，平面α、β，則下列命題中： ①若α∥β，l?α，則l∥β； ②若α∥β，l⊥α，則l⊥β； ③若l∥α，m?α，則l∥m； ④若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，則m⊥β． 其中，真命題有（　?。? A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 7．已知F是拋物線y2=x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，|AF|

3、+|BF|=3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為（　?。? A． B．1 C． D． 8．已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線與拋物線y=x2+1相切，則該雙曲線的離心率為（　?。? A． B．2 C． D． 9．函數(shù)y=ax3+bx2取得極大值和極小值時的x的值分別為0和，則（　?。? A．a(chǎn)﹣2b=0 B．2a﹣b=0 C．2a+b=0 D．a(chǎn)+2b=0 10．若函數(shù)f（x）=x3﹣3bx+3b在（0，1）內(nèi)有極小值，則（　?。? A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜ 11．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：的兩個焦點，點P在C上，且=0，若拋物線y2=16x的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線

4、C的一個焦點，則|||的值等于（　?。? A．2 B．6 C．14 D．16 12．設(shè)函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（﹣1）=0，當(dāng)x＞0時，xf′（x）﹣f（x）＜0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（　?。? A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞） 　 二、填空題（每小題5分共20分） 13．曲線y=ex+x在點（0，1）處的切線方程為　?。? 14．已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示（單位：m），則該四棱錐的體積為 　　m3 15．若

5、直線y=x+b與曲線恰有一個公共點，則實數(shù)b的取值范圍為　?。? 16．橢圓Γ： =1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c，若直線y=與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF1F2=2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于　　． 　 三、解答題 17．已知四棱錐A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F(xiàn)為AD的中點． （Ⅰ）求證：EF∥面ABC； （Ⅱ）求四棱錐A﹣BCDE的體積． 18．設(shè)f（x）=2x3+ax2+bx+1的導(dǎo)數(shù)為f′（x），若函數(shù)y=f′（x）的圖象關(guān)于直線x=﹣對稱，且f′（1）=0 （Ⅰ）求實數(shù)a，b的值

6、 （Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值． 19．橢圓的離心率為，右焦點到直線的距離為，過M（0，﹣1）的直線l交橢圓于A，B兩點． （Ⅰ） 求橢圓的方程； （Ⅱ） 若直線l交x軸于N，，求直線l的方程． 20．已知函數(shù)f（x）=lnx﹣． （1）當(dāng)a=﹣3時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間； （2）若函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值為，求實數(shù)a的值． 21．在三棱錐S﹣ABC中，△ABC是邊長為2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分別為AB、SB的中點． （1）證明：AC⊥SB； （2）求三棱錐B﹣CMN的體積． 22．已知橢圓+=1（a＞b＞0）的左右焦點

7、分別為F1和F2，由4個點M（﹣a，b）、N（a，b）、F2和F1組成了一個高為，面積為3的等腰梯形． （1）求橢圓的方程； （2）過點F1的直線和橢圓交于兩點A、B，求△F2AB面積的最大值． 　 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（每小題5分，共60分） 1．命題：“?x∈R，cos2x≤cos2x”的否定為（　?。? A．?x∈R，cos2x＞cos2x B．?x∈R，cos2x＞cos2x C．?x∈R，cos2x＜cos2x D．?x∈R，cos2x≤cos2x 【考點】命題的否定． 【分析】本題中的命題是一個全稱命題，其否定是一個特稱命題，按命題否定的規(guī)則寫

8、出即可 【解答】解：∵命題：“?x∈R，cos2x≤cos2x”是一個全稱命題 ∴它的否定是“?x∈R，cos2x＞cos2x” 故選B 　 2．如圖為幾何體的三視圖，根據(jù)三視圖可以判斷這個幾何體為（　?。? A．圓錐 B．三棱錐 C．三棱柱 D．三棱臺 【考點】由三視圖求面積、體積． 【分析】如圖：該幾何體的正視圖與俯視圖均為矩形，側(cè)視圖為三角形，易得出該幾何體的形狀． 【解答】解：該幾何體的正視圖為矩形，俯視圖亦為矩形，側(cè)視圖是一個三角形， 則可得出該幾何體為三棱柱（橫放著的）． 故選C． 　 3．若橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，則雙曲線﹣=1的漸近線方程

9、為（　　） A．y=±x B．y=±2x C．y=±4x D．y=±x 【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)． 【分析】運用橢圓的離心率公式可得a，b的關(guān)系，再由雙曲線的漸近線方程，即可得到． 【解答】解：橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為， 則=， 即有=， 則雙曲線﹣=1的漸近線方程為y=x， 即有y=±x． 故選A． 　 4．函數(shù)y=f（x）的圖象在點P（5，f（5））處的切線方程是y=﹣x+8，則f（5）+f′（5）=（　　） A． B．1 C．2 D．0 【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程． 【分析】利用切線方程，計算f（5）、f′（5）的值，即可求得結(jié)論． 【

10、解答】解：將x=5代入切線方程y=﹣x+8，可得y=3，即f（5）=3 ∵f′（5）=﹣1 ∴f（5）+f′（5）=3﹣1=2 故選C． 　 5．直線xcosα+y+2=0的傾斜角范圍是（　　） A．[，）∪（，] B．[0，]∪[，π） C．[0，] D．[，] 【考點】直線的傾斜角． 【分析】本題考查的知識點是直線的斜率與傾斜角之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，由直線的方程xcosα+y+2=0，我們不難得到直線的斜率的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，不得得到斜率的取值范圍，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，進(jìn)一步可以得到傾斜角的取值范圍． 【解答】解：設(shè)直線的傾斜角為θ， 則tanθ=﹣cosα．

11、 又﹣1≤cosα≤1， ∴﹣≤tanθ≤． ∴θ∈[0，]∪[，π）． 故選B 　 6．已知直線l、m，平面α、β，則下列命題中： ①若α∥β，l?α，則l∥β； ②若α∥β，l⊥α，則l⊥β； ③若l∥α，m?α，則l∥m； ④若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，則m⊥β． 其中，真命題有（　?。? A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 【考點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系． 【分析】①若α∥β，l?α，則l∥β，由線面平行的定義進(jìn)行判斷； ②若α∥β，l⊥α，則l⊥β，由線面垂直的判定定理進(jìn)行判斷； ③若l∥α，m?α，則l∥m，由線面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行判斷

12、； ④若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，則m⊥β，由線面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行判斷． 【解答】解：①若α∥β，l?α，則l∥β 是真命題，由α∥β，l?α知l與β沒有公共點，由定義即； ②若α∥β，l⊥α，則l⊥β是真命題，因為兩平行平面中的一個垂直于一條直線，另一個也必垂直于這條直線； ③若l∥α，m?α，則l∥m 是假命題，因為l∥α，m?α 兩直線的關(guān)系可以是平行，也可以是異面； ④若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，則m⊥β，是假命題，由面面垂直的性質(zhì)定理知只有當(dāng)m?α?xí)r，結(jié)論者正確的，題設(shè)條件不能保證這一點． 綜上①②正確，③④錯誤 故選 C． 　 7．已知F是拋物線y2

13、=x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，|AF|+|BF|=3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為（　?。? A． B．1 C． D． 【考點】拋物線的簡單性質(zhì)． 【分析】根據(jù)拋物線的方程求出準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，列出方程求出A，B的中點橫坐標(biāo)，求出線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離． 【解答】解：∵F是拋物線y2=x的焦點， F（）準(zhǔn)線方程x=， 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）， 根據(jù)拋物線的定義拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離|AF|=，|BF|=， ∴|AF|+|BF|==3 解得， ∴線段AB的中點橫坐標(biāo)為， ∴線段AB

14、的中點到y(tǒng)軸的距離為． 故選C． 　 8．已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線與拋物線y=x2+1相切，則該雙曲線的離心率為（　　） A． B．2 C． D． 【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題． 【分析】先求出漸近線方程，代入拋物線方程，根據(jù)判別式等于0，找到a和b的關(guān)系，從而推斷出a和c的關(guān)系，答案可得． 【解答】解：由題雙曲線的一條漸近線方程為， 代入拋物線方程整理得ax2﹣bx+a=0， 因漸近線與拋物線相切，所以b2﹣4a2=0， 即， 故選擇C． 　 9．函數(shù)y=ax3+bx2取得極大值和極小值時的x的值分別為0和，則（　　） A．

15、a﹣2b=0 B．2a﹣b=0 C．2a+b=0 D．a(chǎn)+2b=0 【考點】函數(shù)在某點取得極值的條件． 【分析】由函數(shù)極值的性質(zhì)可知，極值點處的導(dǎo)數(shù)為零，且左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，據(jù)此可以列出關(guān)于a，b的方程（組），再進(jìn)行判斷． 【解答】解：設(shè)f（x）=ax3+bx2（a≠0）， 則f′（x）=3ax2+2bx， 由已知得且a＞0，即 化簡得a+2b=0． 故選D 　 10．若函數(shù)f（x）=x3﹣3bx+3b在（0，1）內(nèi)有極小值，則（　　） A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜ 【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值． 【分析】先對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)等于

16、0，由題意知在（0，1）內(nèi)必有根，從而得到b的范圍． 【解答】解：因為函數(shù)在（0，1）內(nèi)有極小值，所以極值點在（0，1）上． 令f'（x）=3x2﹣3b=0，得x2=b，顯然b＞0， ∴x=±． 又∵x∈（0，1），∴0＜＜1．∴0＜b＜1． 故選A． 　 11．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：的兩個焦點，點P在C上，且=0，若拋物線y2=16x的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線C的一個焦點，則|||的值等于（　?。? A．2 B．6 C．14 D．16 【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)；拋物線的簡單性質(zhì)． 【分析】求得拋物線的準(zhǔn)線方程x=﹣4，可得雙曲線的c=4，由向量垂直的條件和勾股定理，可得PF12+P

17、F22=F1F22=4c2=64，①由雙曲線的定義可得|PF1﹣PF2|=2a=6，②，運用平方相減即可得到所求值． 【解答】解：拋物線y2=16x的準(zhǔn)線為x=﹣4， 由題意可得雙曲線的一個焦點為（﹣4，0）， 即有c=4， 由=0可得PF1⊥PF2， 由勾股定理可得，PF12+PF22=F1F22=4c2=64，① 由雙曲線的定義可得|PF1﹣PF2|=2a=6，② ①﹣②2，可得2PF1?PF2=28， 即有|||的值等于14． 故選：C． 　 12．設(shè)函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（﹣1）=0，當(dāng)x＞0時，xf′（x）﹣f（x）＜0，則使得f（

18、x）＞0成立的x的取值范圍是（　?。? A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞） 【考點】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系． 【分析】由已知當(dāng)x＞0時總有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判斷函數(shù)g（x）=為減函數(shù)，由已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可證明g（x）為（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性和奇偶性，模擬g（x）的圖象，而不等式f（x）＞0等價于x?g（x）＞0，數(shù)形結(jié)合解不等式組即可． 【解答】解：設(shè)g（x）=，則g（x）的導(dǎo)數(shù)為：g′（x）=， ∵當(dāng)x

19、＞0時總有xf′（x）＜f（x）成立， 即當(dāng)x＞0時，g′（x）恒小于0， ∴當(dāng)x＞0時，函數(shù)g（x）=為減函數(shù)， 又∵g（﹣x）====g（x）， ∴函數(shù)g（x）為定義域上的偶函數(shù) 又∵g（﹣1）==0， ∴函數(shù)g（x）的圖象性質(zhì)類似如圖： 數(shù)形結(jié)合可得，不等式f（x）＞0?x?g（x）＞0 ?或， ?0＜x＜1或x＜﹣1． 故選：A． 　 二、填空題（每小題5分共20分） 13．曲線y=ex+x在點（0，1）處的切線方程為　y=2x+1?。? 【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程． 【分析】欲求在點（0，1）處的切線的方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)

20、求出在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決． 【解答】解：∵y=ex+x， ∴y′=ex+1， ∴曲線y=ex+x在點（0，1）處的切線的斜率為：k=2， ∴曲線y=ex+x在點（0，1）處的切線的方程為：y﹣1=2x，即y=2x+1． 故答案為：y=2x+1． 　 14．已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示（單位：m），則該四棱錐的體積為 　2　m3 【考點】由三視圖求面積、體積． 【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐，進(jìn)而可得答案． 【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是

21、一個以俯視圖為底面的四棱錐， 棱錐的底面是底為2，高為1的平行四邊形，故底面面積S=2×1=2m2， 棱錐的高h(yuǎn)=3m， 故體積V==2m3， 故答案為：2 　 15．若直線y=x+b與曲線恰有一個公共點，則實數(shù)b的取值范圍為　（﹣1，1]∪{﹣}　． 【考點】直線與圓的位置關(guān)系． 【分析】曲線表示以原點O（0，0）為圓心、半徑等于1的半圓，數(shù)形結(jié)合求得當(dāng)直線y=x+b與曲線恰有一個公共點，則實數(shù)b的取值范圍． 【解答】解：曲線即 x2+y2=1 （x≥0），表示以原點O（0，0）為圓心、半徑等于1的半圓（位于y軸及y軸右側(cè)的部分）， 如圖：當(dāng)直線經(jīng)過點A（0，﹣1）時，求

22、得b=﹣1； 當(dāng)直線經(jīng)過點C（0，1）時，求得b=1； 當(dāng)直線和圓相切時，由圓心到直線的距離等于半徑可得=1，求得b=（舍去），或 b=﹣， 數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)直線y=x+b與曲線恰有一個公共點，則實數(shù)b的取值范圍為（﹣1，1]∪{﹣}， 故答案為：（﹣1，1]∪{﹣}． 　 16．橢圓Γ： =1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c，若直線y=與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF1F2=2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于　　． 【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的簡單性質(zhì)． 【分析】由直線可知斜率為，可得直線的傾斜角α=60°．又直線與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF1

23、F2=2∠MF2F1，可得，進(jìn)而． 設(shè)|MF2|=m，|MF1|=n，利用勾股定理、橢圓的定義及其邊角關(guān)系可得，解出a，c即可． 【解答】解：如圖所示， 由直線可知傾斜角α與斜率有關(guān)系=tanα，∴α=60°． 又橢圓Γ的一個交點滿足∠MF1F2=2∠MF2F1，∴，∴． 設(shè)|MF2|=m，|MF1|=n，則，解得． ∴該橢圓的離心率e=． 故答案為． 　 三、解答題 17．已知四棱錐A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F(xiàn)為AD的中點． （Ⅰ）求證：EF∥面ABC； （Ⅱ）求四棱錐A﹣BCDE的體積． 【考點】棱

24、柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定． 【分析】（Ⅰ）取AC中點G，連結(jié)FG、BG，推導(dǎo)出EF∥BG，由此能證明EF∥面ABC． （Ⅱ）連結(jié)EC，VA﹣BCDE=VE﹣ABC+VE﹣ADC，由此能求出四棱錐A﹣BCDE的體積． 【解答】證明：（Ⅰ）取AC中點G，連結(jié)FG、BG， ∵F，G分別是AD，AC的中點 ∴FG∥CD，且FG=DC=1． ∵BE∥CD∴FG與BE平行且相等 ∴EF∥BG． ∵EF?面ABC，BG?面ABC， ∴EF∥面ABC． 解：（Ⅱ）連結(jié)EC，該四棱錐分為兩個三棱錐E﹣ABC和E﹣ADC． ∴四棱錐A﹣BCDE的體積VA﹣BCDE=VE﹣A

25、BC+VE﹣ADC==． 　 18．設(shè)f（x）=2x3+ax2+bx+1的導(dǎo)數(shù)為f′（x），若函數(shù)y=f′（x）的圖象關(guān)于直線x=﹣對稱，且f′（1）=0 （Ⅰ）求實數(shù)a，b的值 （Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值． 【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】（Ⅰ）先對f（x）求導(dǎo)，f（x）的導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù)，由對稱性可求得a，再由f′（1）=0即可求出b （Ⅱ）對f（x）求導(dǎo)，分別令f′（x）大于0和小于0，即可解出f（x）的單調(diào)區(qū)間，繼而確定極值． 【解答】解：（Ⅰ）因f（x）=2x3+ax2+bx+1，故f′（x）=6x2+2ax+b 從而f′（x）=6y=f

26、′（x）關(guān)于直線x=﹣對稱， 從而由條件可知﹣=﹣，解得a=3 又由于f′（x）=0，即6+2a+b=0，解得b=﹣12 （Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3+3x2﹣12x+1 f′（x）=6x2+6x﹣12=6（x﹣1）（x+2） 令f′（x）=0，得x=1或x=﹣2 當(dāng)x∈（﹣∞，﹣2）時，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上是增函數(shù)； 當(dāng)x∈（﹣2，1）時，f′（x）＜0，f（x）在（﹣2，1）上是減函數(shù)； 當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)． 從而f（x）在x=﹣2處取到極大值f（﹣2）=21，在x=1處取到極小值f（1）=﹣6

27、． 　 19．橢圓的離心率為，右焦點到直線的距離為，過M（0，﹣1）的直線l交橢圓于A，B兩點． （Ⅰ） 求橢圓的方程； （Ⅱ） 若直線l交x軸于N，，求直線l的方程． 【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；向量在幾何中的應(yīng)用；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【分析】（Ⅰ）根據(jù)右焦點到直線的距離為，可得，利用橢圓的離心率為，可得，從而可得，，故可求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)A （x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0），利用，可得x2﹣x0，y2），設(shè)直線l的方程為y=kx﹣1（k≠0）．與橢圓方程聯(lián)立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1﹣8k2=0，由此即可求得直線l的方程． 【解答】解

28、：（Ⅰ）設(shè)右焦點為（c，0）（c＞0） ∵右焦點到直線的距離為， ∴ ∴ ∵橢圓的離心率為， ∴ ∴ ∴ ∴橢圓的方程為； （Ⅱ）設(shè)A （x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0） ∵， ∴x2﹣x0，y2） ∴① 易知直線斜率不存在時或斜率為0時①不成立 于是設(shè)直線l的方程為y=kx﹣1（k≠0）． 與橢圓方程聯(lián)立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1﹣8k2=0② ∴③④ 由①③可得，代入④整理可得：8k4+k2﹣9=0 ∴k2=1 此時②為5y2+2y﹣7=0，判別式大于0 ∴直線l的方程為y=±x﹣1 　 20．已知函數(shù)f（x）=lnx

29、﹣． （1）當(dāng)a=﹣3時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間； （2）若函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值為，求實數(shù)a的值． 【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值． 【分析】（1）要求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間，即求導(dǎo)函數(shù)值大于等于0的區(qū)間，我們根據(jù)求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的定義域，即可得到答案． （2）由（1）中函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的解析式，我們對a的取值進(jìn)行分析討論，求出對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并分析函數(shù)f（x）在[1，e]上何時取最小值，分析后即可得到答案． 【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣，∴函數(shù)的定義域為（0，+∞） 且f'（x）=+=， a=﹣3

30、時：f′（x）= 令f′（x）＞0，解得：x＞3， 故f（x）在（3，+∞）遞增； （2）由（1）可知，f'（x）=， ①若a≥﹣1，則x+a≥0，則f'（x）≥0恒成立， 函數(shù)f（x）在[1，e]上為增函數(shù) ∴f（x）的最小值為：f（1）=﹣a=，此時a=﹣（舍去） ②若a≤﹣e，則f'（x）≤0恒成立， 函數(shù)f（x）在[1，e]上為減函數(shù) ∴f（x）的最小值為：f（e）=1﹣=， 此時a=﹣（舍去） ③若﹣e＜a＜﹣1，當(dāng)1＜x＜﹣a時，則f'（x）＜0， 當(dāng)﹣a＜x＜e時，f'（x）＞0， ∴f（x）的最小值為：f（﹣a）=ln（﹣a）+1=， 此時a=﹣，

31、 綜上所述：a=﹣． 　 21．在三棱錐S﹣ABC中，△ABC是邊長為2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分別為AB、SB的中點． （1）證明：AC⊥SB； （2）求三棱錐B﹣CMN的體積． 【考點】直線與平面垂直的性質(zhì)． 【分析】（1）取AC 中點D，連接SD，DB，證明AC⊥平面SDB，由線面垂直的性質(zhì)可得AC⊥SB； （2）由VB﹣CMN=VN﹣CMB，即可求得三棱錐B﹣CMN的體積． 【解答】（1）證明：取AC中點D，連接SD，DB． 因為SA=SC，AB=BC，所以AC⊥SD且AC⊥BD， 因為SD∩BD=D，所以AC⊥平面SDB．

32、又SB?平面SDB，所以AC⊥SB； （2）解：因為AC⊥平面SDB，AC?平面ABC，所以平面SDC⊥平面ABC． 過N作NE⊥BD于E，則NE⊥平面ABC， 因為平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，所以SD⊥平面ABC． 又因為NE⊥平面ABC，所以NE∥SD． 由于SN=NB，所以NE=SD= 所以S△CMB=CM?BM= 所以VB﹣CMN=VN﹣CMB=S△CMB?NE== 　 22．已知橢圓+=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1和F2，由4個點M（﹣a，b）、N（a，b）、F2和F1組成了一個高為，面積為3的等腰梯形． （1）求橢圓的方程； （2）過點F1

33、的直線和橢圓交于兩點A、B，求△F2AB面積的最大值． 【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【分析】解：（1）由題意知b=， =3，即a+c=3①，又a2=3+c2②，聯(lián)立①②解得a，c，； （2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），過點F1的直線方程為x=ky﹣1，代入橢圓方程消掉x得y的二次方程，△F2AB的面積S==|y1﹣y2|=，由韋達(dá)定理代入面積表達(dá)式變?yōu)閗的函數(shù)，適當(dāng)變形借助函數(shù)單調(diào)性即可求得S的最大值； 【解答】解：（1）由題意知b=， =3，所以a+c=3①， 又a2=b2+c2，即a2=3+c2②， 聯(lián)立①②解得a=2，c=1， 所以橢圓方程為：； （2）由（1）知F1（﹣1，0）， 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），過點F1的直線方程為x=ky﹣1， 由得（3k2+4）y2﹣6ky﹣9=0，△＞0成立， 且，， △F2AB的面積S==|y1﹣y2|= ==12=， 又k2≥0，所以遞增， 所以9+1+6=16， 所以≤=3，當(dāng)且僅當(dāng)k=0時取得等號， 所以△F2AB面積的最大值為3． 　 xx2月6日