2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科） 含解析(I)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科） 含解析(I) 　 一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1．已知集合M={x|y=ln（1﹣x）}，集合N={y|y=ex，x∈R（e為自然對數(shù)的底數(shù)）}，則M∩N=（　?。? A．{x|x＜1} B．{x|x＞1} C．{x|0＜x＜1} D．? 2．若復(fù)數(shù)z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是純虛數(shù)，則tanθ的值為（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 3．設(shè)平面α與平面β相交于直線l，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且b⊥l，則“a⊥b”是“α⊥β”的（　?。? A．充分

2、不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 4．若f（x）為偶函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，+∞）時，f（x）=，則不等式f（x﹣1）＜1的解集為（　?。? A．{x|0＜x＜2} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|0＜x＜1} D．{x|﹣2＜x＜2} 5．《九章算術(shù)》商功章有題：一圓柱形谷倉，高1丈3尺，容納米xx斛（1丈=10尺，斛為容積單位，1斛≈1.62立方尺，π≈3），則圓柱底面周長約為（　?。? A．1丈3尺 B．5丈4尺 C．9丈2尺 D．48丈6尺 6．設(shè)點(diǎn)O是邊長為1的正△ABC的中心（如圖所示），則（+）?（+）=（　?。? A． B．﹣

3、C．﹣ D． 7．現(xiàn)有5人參加抽獎活動，每人依次從裝有5張獎票（其中3張為中獎票）的箱子中不放回地隨機(jī)抽取一張，直到3張中獎票都被抽出時活動結(jié)束，則活動恰好在第4人抽完結(jié)束的概率為（　　） A． B． C． D． 8．設(shè)實數(shù)x，y滿足約束條件，已知z=2x+y的最大值是7，最小值是﹣26，則實數(shù)a的值為（　?。? A．6 B．﹣6 C．﹣1 D．1 9．如圖，把圓周長為1的圓的圓心C放在y軸上，頂點(diǎn)A（0，1），一動點(diǎn)M從A開始逆時針繞圓運(yùn)動一周，記=x，直線AM與x軸交于點(diǎn)N（t，0），則函數(shù)t=f（x）的圖象大致為（　?。? A． B． C． D． 10．一個幾何體的三視圖如

4、圖所示，該幾何體的體積為（　?。? A． B． C． D． 11．已知F是雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，O是雙曲線C的中心，直線y=x是雙曲線C的一條漸近線，以線段OF為邊作正三角形AOF，若點(diǎn)A在雙曲線C上，則m的值為（　?。? A．3+2 B．3﹣2 C．3+ D．3﹣ 12．設(shè)函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d有兩個極值點(diǎn)x1，x2，若點(diǎn)P（x1，f（x1））為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Q（x2，f（x2））在圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上運(yùn)動時，則函數(shù)f（x）圖象的切線斜率的最大值為（　?。? A．3+ B．2+ C．2+ D．3+ 　 二、填空題：本大題共4小

5、題，每小題5分． 13．已知函數(shù)y=f（x+1）﹣1（x∈R）是奇函數(shù)，則f（1）=　　　　　　． 14．在二項式（+2x）n的展開式中，前3項的二項式系數(shù)之和等于79，則展開式中x4的系數(shù)為　　　　　?。? 15．已知直線l1：x+2y=a+2和直線l2：2x﹣y=2a﹣1分別與圓（x﹣a）2+（y﹣1）2=16相交于A，B和C，D，則四邊形ABCD的內(nèi)切圓的面積為　　　　　?。? 16．在四邊形ABCD中，AB=7，AC=6，，CD=6sin∠DAC，則BD的最大值為　　　　　?。? 　 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17．已知數(shù)列{an}中，a1=1，a2

6、=3，其前n項和為Sn，且當(dāng)n≥2時，an+1Sn﹣1﹣anSn=0． （1）求證：數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式； （2）令bn=，記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求Tn． 18．某班級舉辦知識競賽活動，現(xiàn)將初賽答卷成績（得分均為整數(shù)，滿分為100分）進(jìn)行統(tǒng)計，制成如下頻率分布表： （1）填充頻率分布表中的空格（在解答中直接寫出對應(yīng)空格序號的答案）； （2）決賽規(guī)則如下：為每位參加決賽的選手準(zhǔn)備4道判斷題，選手對其依次口答，答對兩道就終止答題，并獲得一等獎，若題目答完仍然只答對1道，則獲得二等獎．某同學(xué)進(jìn)入決賽，每道題答對的概率p的值恰好與頻率分布表中不少于80

7、分的頻率的值相同． （1）求該同學(xué)恰好答滿4道題而獲得一等獎的概率； （2）設(shè)該同學(xué)答題個數(shù)為X，求X的分布列及X的數(shù)學(xué)期望． 序號 分組（分?jǐn)?shù)段） 頻數(shù)（人數(shù)） 頻率 1 [60，70） 8 0.16 2 [70，80） 22 a 3 [80，90） 14 0.28 4 [90，100） b c 合計 d 1 19．某工廠欲加工一件藝術(shù)品，需要用到三棱錐形狀的坯材，工人將如圖所示的長方體ABCD﹣EFGH材料切割成三棱錐H﹣ACF． （Ⅰ）若點(diǎn)M，N，K分別是棱HA，HC，HF的中點(diǎn)，點(diǎn)G是NK上的任意一點(diǎn)，求證：MG∥平面ACF；

8、 （Ⅱ）已知原長方體材料中，AB=2m，AD=3m，DH=1m，根據(jù)藝術(shù)品加工需要，工程師必須求出該三棱錐的高． （i） 甲工程師先求出AH所在直線與平面ACF所成的角θ，再根據(jù)公式h=AH?sinθ求出三棱錐H﹣ACF的高．請你根據(jù)甲工程師的思路，求該三棱錐的高． （ii）乙工程師設(shè)計了一個求三棱錐的高度的程序，其框圖如圖所示，則運(yùn)行該程序時乙工程師應(yīng)輸入的t的值是多少？（請直接寫出t的值，不要求寫出演算或推證的過程）． 20．已知三點(diǎn)O（0，0），A（﹣2，1），B（2，1），曲線C上任意一點(diǎn)M（x，y）滿足|+|=?（+）+2． （1）求曲線C的方程； （2）動點(diǎn)Q（x0，y0

9、）（﹣2＜x0＜2）在曲線C上，曲線C在點(diǎn)Q處的切線為直線l：是否存在定點(diǎn)P（0，t）（t＜0），使得l與PA，PB都相交，交點(diǎn)分別為D，E，且△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)？若存在，求t的值．若不存在，說明理由． 21．已知函數(shù)f（x）=aln（x+b），g（x）=aex﹣1（其中a≠0，b＞0），且函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A（0，f（0））處的切線與函數(shù)g（x）的圖象在點(diǎn)B（0，g（0））處的切線重合． （1）求實數(shù)a，b的值； （2）記函數(shù)φ（x）=xf（x﹣1），是否存在最小的正常數(shù)m，使得當(dāng)t＞m時，對于任意正實數(shù)x，不等式φ（t+x）＜φ（t）?ex恒成立？給出你的結(jié)論，并

10、說明結(jié)論的合理性． 　 [選修4-1：幾何證明選講] 22．如圖，已知AB=AC，圓O是△ABC的外接圓，CD⊥AB，CE是圓O的直徑．過點(diǎn)B作圓O的切線交AC的延長線于點(diǎn)F． （Ⅰ）求證：AB?CB=CD?CE； （Ⅱ）若，，求△ABC的面積． 　 [選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 23．已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲線C的左焦點(diǎn)F在直線l上． （Ⅰ）若直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)．求|FA|?|FB|的值； （Ⅱ）設(shè)曲線C的內(nèi)接矩形的周長為P，求P

11、的最大值． 　 [選修4-5：不等式選講] 24．已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|2x﹣1|（a∈R）． （l）當(dāng)a=1，求不等式f（x）≥2的解集； （2）若f（x）≤2x的解集包含[，1]，求a的取值范圍． 　 xx重慶一中高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科） 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1．已知集合M={x|y=ln（1﹣x）}，集合N={y|y=ex，x∈R（e為自然對數(shù)的底數(shù)）}，則M∩N=（　?。? A．{x|x＜1} B．{x|x＞1} C．{x|0＜x＜1} D

12、．? 【考點(diǎn)】對數(shù)函數(shù)的定義域；交集及其運(yùn)算． 【分析】分別求出M、N的范圍，在求交集． 【解答】解：∵集合M={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}， N={y|y=ex，x∈R（e為自然對數(shù)的底數(shù)）}={y|y＞0}， ∴M∩N={x|0＜x＜1}， 故選C． 　 2．若復(fù)數(shù)z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是純虛數(shù)，則tanθ的值為（　?。? A． B．﹣ C． D．﹣ 【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念． 【分析】復(fù)數(shù)z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是純虛數(shù)，可得sinθ﹣=0，cosθ﹣≠0，可得cosθ，即可得出． 【解答】解：∵復(fù)數(shù)z=sinθ﹣+

13、（cosθ﹣）i是純虛數(shù)， ∴sinθ﹣=0，cosθ﹣≠0， ∴cosθ=﹣． 則tanθ==﹣． 故選：B． 　 3．設(shè)平面α與平面β相交于直線l，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且b⊥l，則“a⊥b”是“α⊥β”的（　?。? C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 【分析】分析題可知：在題目的前提下，由“a⊥b”不能推得“α⊥β”，由面面垂直的性質(zhì)定理可由“α⊥β”推出“a⊥b”，從而可得答案． 【解答】解：由題意可得α∩β=l，a?α，b?β，若再滿足a⊥b，則不能推得α⊥β； 但若滿足α⊥β，由面面垂直的性質(zhì)定理可

14、得a⊥b 故“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分條件． 故選B 　 4．若f（x）為偶函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，+∞）時，f（x）=，則不等式f（x﹣1）＜1的解集為（　?。? A．{x|0＜x＜2} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|0＜x＜1} D．{x|﹣2＜x＜2} 【考點(diǎn)】其他不等式的解法． 【分析】由條件利用函數(shù)的單調(diào)性以及圖象的對稱性可得﹣1＜x﹣1＜1，由此求得x的范圍． 【解答】解：∵f（x）為偶函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，+∞）時，f（x）=， 故f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，在（﹣∞，0]上單調(diào)遞減． 則由不等式f（x﹣1）＜1，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得|x﹣1|＜1

15、，即﹣1＜x﹣1＜1，求得0＜x＜2， 故選：A． 　 5．《九章算術(shù)》商功章有題：一圓柱形谷倉，高1丈3尺，容納米xx斛（1丈=10尺，斛為容積單位，1斛≈1.62立方尺，π≈3），則圓柱底面周長約為（　?。? A．1丈3尺 B．5丈4尺 C．9丈2尺 D．48丈6尺 【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）． 【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，由題意和圓柱的體積公式列出方程，求出r，由圓的周長公式求出圓柱底面周長． 【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r， 由題意得，πr2×13=xx×1.62，解得r≈9（尺）， 所以圓柱底面周長c=2πr≈54（尺）=5丈4尺， 故選：B． 　

16、6．設(shè)點(diǎn)O是邊長為1的正△ABC的中心（如圖所示），則（+）?（+）=（　　） A． B．﹣ C．﹣ D． 【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算． 【分析】根據(jù)三角形的重心的性質(zhì)及向量加法平行四邊形法則、向量數(shù)乘的幾何意義便可得出，，從而根據(jù)條件進(jìn)行向量數(shù)量積的運(yùn)算即可求出的值． 【解答】解：根據(jù)重心的性質(zhì)，， =； 又； ∴= = = =． 故選C． 　 7．現(xiàn)有5人參加抽獎活動，每人依次從裝有5張獎票（其中3張為中獎票）的箱子中不放回地隨機(jī)抽取一張，直到3張中獎票都被抽出時活動結(jié)束，則活動恰好在第4人抽完結(jié)束的概率為（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】古典概型

17、及其概率計算公式． 【分析】分別計算獎票的所有排列情況和第四次活動結(jié)束的抽取方法即可． 【解答】解：將5張獎票不放回地依次取出共有A=120種不同的取法， 若活動恰好在第四次抽獎結(jié)束，則前三次共抽到2張中獎票，第四次抽到最后一張中獎票．共有3AA=36種取法， ∴P==． 故選：C． 　 8．設(shè)實數(shù)x，y滿足約束條件，已知z=2x+y的最大值是7，最小值是﹣26，則實數(shù)a的值為（　?。? A．6 B．﹣6 C．﹣1 D．1 【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃． 【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求得a值．

18、 【解答】解：先作出對應(yīng)的平面區(qū)域如圖， ∵z=2x+y的最大值是7，最小值是﹣26， ∴作出2x+y=7和2x+y=﹣26的圖象， 由圖象知2x+y=7與x+y﹣4=0相交于C， 2x+y=﹣26與3x﹣2y+4=0相交于B， 由得，即C（3，1）， 由得，即B（﹣8，﹣10）， ∵B，C同時在直線x﹣ay﹣2=0上， ∴得，得a=1， 故選：D． 　 9．如圖，把圓周長為1的圓的圓心C放在y軸上，頂點(diǎn)A（0，1），一動點(diǎn)M從A開始逆時針繞圓運(yùn)動一周，記=x，直線AM與x軸交于點(diǎn)N（t，0），則函數(shù)t=f（x）的圖象大致為（　?。? A． B． C． D．

19、【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象． 【分析】根據(jù)動點(diǎn)移動過程的規(guī)律，利用單調(diào)性進(jìn)行排除即可得到結(jié)論． 【解答】解：當(dāng)x由0→時，t從﹣∞→0，且單調(diào)遞增， 由→1時，t從0→+∞，且單調(diào)遞增， ∴排除A，B，C， 故選：D． 　 10．一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為（　　） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積． 【分析】根據(jù)三視圖知該幾何體是四棱錐，且是棱長為2的正方體一部分，畫出直觀圖，由正方體的性質(zhì)、分割法、柱體和椎體的體積公式求出該幾何體的體積． 【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖得：該幾何體是四棱錐M﹣PSQN， 且四棱錐是棱長為2的正方體的一

20、部分， 直觀圖如圖所示：由正方體的性質(zhì)得， 所以該四棱錐的體積為： V=V三棱柱﹣V三棱錐=×22×2﹣××22×2 =， 故選A． 　 11．已知F是雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，O是雙曲線C的中心，直線y=x是雙曲線C的一條漸近線，以線段OF為邊作正三角形AOF，若點(diǎn)A在雙曲線C上，則m的值為（　　） A．3+2 B．3﹣2 C．3+ D．3﹣ 【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)． 【分析】根據(jù)正三角形的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)求出，m=，A（c， c），將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程可得到關(guān)于m的方程，進(jìn)行求解即可． 【解答】解：∵F（c，0）是雙曲線C：﹣=1（

21、a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，直線y=是雙曲線C的一條漸近線， 又雙曲線C的一條漸近線為y=x， ∴m=， 又點(diǎn)A在雙曲線C上，△AOF為正三角形， ∴A（c， c）， ∴﹣=1，又c2=a2+b2， ∴﹣=1， 即+m﹣﹣=1， ∴m2﹣6m﹣3=0，又m＞0， ∴m=3+2． 故選：A． 　 12．設(shè)函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d有兩個極值點(diǎn)x1，x2，若點(diǎn)P（x1，f（x1））為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Q（x2，f（x2））在圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上運(yùn)動時，則函數(shù)f（x）圖象的切線斜率的最大值為（　?。? A．3+ B．2+ C．2+ D．3+ 【考點(diǎn)】利

22、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值． 【分析】先求出c=0，d=0，得到x2=﹣＞0，f（x2）=＞0，判斷出a＜0，b＞0，得到kmax=，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值，從而求出k的最大值即可． 【解答】解：f′（x）=3ax2+2bx+c，若點(diǎn)P（x1，f（x1））為坐標(biāo)原點(diǎn)， 則f′（0）=0，f（0）=0，故c=0，d=0， ∴f′（x）=3ax2+2bx=0，解得：x2=﹣， ∴f（x2）=，又Q（x2，f（x2））在圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上， ∴x2=﹣＞0，f（x2）=＞0，∴a＜0，b＞0， ∴kmax=﹣=， 而表示⊙C上的點(diǎn)Q與原點(diǎn)連線的斜率， 由，

23、得：（1+k2）x2﹣（6k+4）x+12=0， 得：△=0，解得：k=， ∴的最大值是2+， ∴kmax=3+， 故選：D． 　 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分． 13．已知函數(shù)y=f（x+1）﹣1（x∈R）是奇函數(shù)，則f（1）=　1?。? 【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)． 【分析】直接利用函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)求解即可． 【解答】解：函數(shù)y=f（x+1）﹣1（x∈R）是奇函數(shù)，可知x=0時，y=0， 可得0=f（1）﹣1， 則f（1）=1． 故答案為：1． 　 14．在二項式（+2x）n的展開式中，前3項的二項式系數(shù)之和等于79，則展開式中x4的系數(shù)為　?。? 【

24、考點(diǎn)】二項式系數(shù)的性質(zhì)． 【分析】由=79，化簡解出n=12．再利用二項式定理的通項公式即可得出． 【解答】解：∵=79， 化為n2+n﹣156=0，n∈N*． 解得n=12． ∴的展開式中的通項公式Tr+1==22r﹣12xr， 令r=4，則展開式中x4的系數(shù)==． 故答案為：． 　 15．已知直線l1：x+2y=a+2和直線l2：2x﹣y=2a﹣1分別與圓（x﹣a）2+（y﹣1）2=16相交于A，B和C，D，則四邊形ABCD的內(nèi)切圓的面積為　8π?。? 【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系． 【分析】由直線方程判斷出兩條直線垂直，聯(lián)立后求出交點(diǎn)坐標(biāo)后可得：交點(diǎn)是圓心，求出四邊形A

25、BCD的邊長和形狀，再求出內(nèi)切圓的半徑和面積． 【解答】解：由題意得直線l1：x+2y=a+2和直線l2：2x﹣y=2a﹣1，則互相垂直， 由得，， ∴直線l1和直線l2交于點(diǎn)（a，1）， ∵圓（x﹣a）2+（y﹣1）2=16的圓心是（a，1）， ∴四邊形ABCD是正方形，且邊長是， 則四邊形ABCD的內(nèi)切圓半徑是2， ∴內(nèi)切圓的面積S==8π， 故答案為：8π． 　 16．在四邊形ABCD中，AB=7，AC=6，，CD=6sin∠DAC，則BD的最大值為　8?。? 【考點(diǎn)】正弦定理． 【分析】由CD=6sin∠DAC，可得CD⊥AD．點(diǎn)D在以AC為直徑的圓上（去掉A，B

26、，C）．可得：當(dāng)BD經(jīng)過AC的中點(diǎn)O時取最大值，利用余弦定理可得：OB，可得BD的最大值=OB+AC． 【解答】解：由CD=6sin∠DAC，可得CD⊥AD． ∴點(diǎn)D在以AC為直徑的圓上（去掉A，B，C）． ∴當(dāng)BD經(jīng)過AC的中點(diǎn)O時取最大值， OB2=32+72﹣2×3×7cos∠BAC=25， 解得OB=5， ∴BD的最大值=5+AC=8． 故答案為：8． 　 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17．已知數(shù)列{an}中，a1=1，a2=3，其前n項和為Sn，且當(dāng)n≥2時，an+1Sn﹣1﹣anSn=0． （1）求證：數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列，并求數(shù)列

27、{an}的通項公式； （2）令bn=，記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求Tn． 【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等比數(shù)列的通項公式． 【分析】（1）利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項公式即可證明． （2）當(dāng)n≥2時，bn==，又．利用“裂項求和”方法即可得出． 【解答】（1）證明：當(dāng)n≥2時，an+1Sn﹣1﹣anSn=0． ∴， ∴， 又由S1=1≠0，S2=4≠0， 可推知對一切正整數(shù)n均有Sn≠0，則數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列，公比q==4，首項為1． ∴． 當(dāng)n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=3×4n﹣2，又a1=S1=1， ∴an=． （2）解：當(dāng)n≥2時，bn===，又． ∴，

28、 則， 當(dāng)n≥2時，bn=， 則， n=1時也成立． 綜上：． 　 18．某班級舉辦知識競賽活動，現(xiàn)將初賽答卷成績（得分均為整數(shù)，滿分為100分）進(jìn)行統(tǒng)計，制成如下頻率分布表： （1）填充頻率分布表中的空格（在解答中直接寫出對應(yīng)空格序號的答案）； （2）決賽規(guī)則如下：為每位參加決賽的選手準(zhǔn)備4道判斷題，選手對其依次口答，答對兩道就終止答題，并獲得一等獎，若題目答完仍然只答對1道，則獲得二等獎．某同學(xué)進(jìn)入決賽，每道題答對的概率p的值恰好與頻率分布表中不少于80分的頻率的值相同． （1）求該同學(xué)恰好答滿4道題而獲得一等獎的概率； （2）設(shè)該同學(xué)答題個數(shù)為X，求X的分布列及X的

29、數(shù)學(xué)期望． 序號 分組（分?jǐn)?shù)段） 頻數(shù)（人數(shù)） 頻率 1 [60，70） 8 0.16 2 [70，80） 22 a 3 [80，90） 14 0.28 4 [90，100） b c 合計 d 1 【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；離散型隨機(jī)變量及其分布列． 【分析】（1）由頻率分布表的性質(zhì)和頻率=能求出結(jié)果． （2）（1）先求出p=0.4，由此能求出該同學(xué)恰好答滿4道題而獲得一等獎的概率． （2）該同學(xué)答題個數(shù)為2，3，4，即X=2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）． 【

30、解答】解：（1）由頻率分布表的性質(zhì)得： d==50，a==0.44，b=50﹣8﹣22﹣14=6，c==0.12．… （2）由（1）得p=0.4… （1）… （2）該同學(xué)答題個數(shù)為2，3，4，即X=2，3，4， ， … ∴X的分布列為： X 2 3 4 P 0.16 0.192 0.648 E（X）=2×0.16+3×0.192+4×0.648=3.488… 　 19．某工廠欲加工一件藝術(shù)品，需要用到三棱錐形狀的坯材，工人將如圖所示的長方體ABCD﹣EFGH材料切割成三棱錐H﹣ACF． （Ⅰ）若點(diǎn)M，N，K分別是棱HA，HC，HF的中點(diǎn)，點(diǎn)G是NK上的

31、任意一點(diǎn)，求證：MG∥平面ACF； （Ⅱ）已知原長方體材料中，AB=2m，AD=3m，DH=1m，根據(jù)藝術(shù)品加工需要，工程師必須求出該三棱錐的高． （i） 甲工程師先求出AH所在直線與平面ACF所成的角θ，再根據(jù)公式h=AH?sinθ求出三棱錐H﹣ACF的高．請你根據(jù)甲工程師的思路，求該三棱錐的高． （ii）乙工程師設(shè)計了一個求三棱錐的高度的程序，其框圖如圖所示，則運(yùn)行該程序時乙工程師應(yīng)輸入的t的值是多少？（請直接寫出t的值，不要求寫出演算或推證的過程）． 【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計算；程序框圖；直線與平面平行的判定． 【分析】（Ⅰ）證法一：利用線面平行的判定證明MK∥平面ACF，

32、MN∥平面ACF，從而可得平面MNK∥平面ACF，利用面面平行的性質(zhì)可得MG∥平面ACF；證法二：利用線面平行的判定證明MG∥平面ACF； （Ⅱ）（i）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACF的一個法向量，求出AH所在直線與平面ACF所成的角θ，再根據(jù)公式h=AH?sinθ求出三棱錐H﹣ACF的高 （ii）t=2． 【解答】（Ⅰ）證法一：∵HM=MA，HN=NC，HK=KF， ∴MK∥AF，MN∥AC．∵M(jìn)K?平面ACF，AF?平面ACF， ∴MK∥平面ACF， 同理可證MN∥平面ACF，… ∵M(jìn)N，MK?平面MNK，且MK∩MN=M， ∴平面MNK∥平面ACF，… 又MG?平面M

33、NK，故MG∥平面ACF．… 證法二：連HG并延長交FC于T，連接AT． ∵HN=NC，HK=KF， ∴KN∥FC，則HG=GT， 又∵HM=MA，∴MG∥AT，…∵M(jìn)G?平面ACF，AT?平面ACF， ∴MG∥平面ACF．… （Ⅱ）解：（i）如圖，分別以DA，DC，DH所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．則有A（3，0，0），C（0，2，0），F(xiàn)（3，2，1），H（0，0，1）．…，． 設(shè)平面ACF的一個法向量， 則有，解得， 令y=3，則，… ∴，… ∴三棱錐H﹣ACF的高為．… （ii）t=2．… 　 20．已知三點(diǎn)O（0，0），A（﹣

34、2，1），B（2，1），曲線C上任意一點(diǎn)M（x，y）滿足|+|=?（+）+2． （1）求曲線C的方程； （2）動點(diǎn)Q（x0，y0）（﹣2＜x0＜2）在曲線C上，曲線C在點(diǎn)Q處的切線為直線l：是否存在定點(diǎn)P（0，t）（t＜0），使得l與PA，PB都相交，交點(diǎn)分別為D，E，且△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)？若存在，求t的值．若不存在，說明理由． 【考點(diǎn)】圓錐曲線的軌跡問題；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程． 【分析】（1）用坐標(biāo)表示，，從而可得+，可求|+|，利用向量的數(shù)量積，結(jié)合M（x，y）滿足|+|=?（+）+2，可得曲線C的方程； （2）假設(shè)存在點(diǎn)P（0，t）（t＜0），滿足條件

35、，則直線PA的方程是y=，直線PB的方程是y= 分類討論：①當(dāng)﹣1＜t＜0時，l∥PA，不符合題意；②當(dāng)t≤﹣1時，，，分別聯(lián)立方程組，解得D，E的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可得△QAB與△PDE的面積之比，利用其為常數(shù)，即可求得結(jié)論． 【解答】解：（1）由=（﹣2﹣x，1﹣y），=（2﹣x，1﹣y）可得+=（﹣2x，2﹣2y）， ∴|+|=， ?（+）+2=（x，y）?（0，2）+2=2y+2． 由題意可得=2y+2，化簡可得 x2=4y． （2）假設(shè)存在點(diǎn)P（0，t）（t＜0），滿足條件，則直線PA的方程是y=，直線PB的方程是y= ∵﹣2＜x0＜2，∴ ①當(dāng)﹣1＜t＜0時，，存在x0∈（

36、﹣2，2），使得 ∴l(xiāng)∥PA，∴當(dāng)﹣1＜t＜0時，不符合題意； ②當(dāng)t≤﹣1時，，， ∴l(xiāng)與直線PA，PB一定相交，分別聯(lián)立方程組 ，，解得D，E的橫坐標(biāo)分別是， ∴ ∵|FP|=﹣ ∴= ∵ ∴=× ∵x0∈（﹣2，2），△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù) ∴，解得t=﹣1， ∴△QAB與△PDE的面積之比是2． 　 21．已知函數(shù)f（x）=aln（x+b），g（x）=aex﹣1（其中a≠0，b＞0），且函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A（0，f（0））處的切線與函數(shù)g（x）的圖象在點(diǎn)B（0，g（0））處的切線重合． （1）求實數(shù)a，b的值； （2）記函數(shù)φ（x）=xf

37、（x﹣1），是否存在最小的正常數(shù)m，使得當(dāng)t＞m時，對于任意正實數(shù)x，不等式φ（t+x）＜φ（t）?ex恒成立？給出你的結(jié)論，并說明結(jié)論的合理性． 【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值． 【分析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和方程；求得g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和方程，由切線重合，可得方程，解得a，b； （2）等價變形可構(gòu)造函數(shù)，則問題就是求m（t+x）＜m（t）恒成立．求出m（x）的導(dǎo)數(shù)，令h（x）=lnx+1﹣xlnx，求出導(dǎo)數(shù)，單調(diào)區(qū)間，運(yùn)用零點(diǎn)存在定理可得h（x）的零點(diǎn)以及m（x）的單調(diào)性和最值，結(jié)合單調(diào)性，即可判斷存在． 【解答

38、】解：（1）∵f（x）=aln（x+b），導(dǎo)數(shù)， 則f（x）在點(diǎn)A（0，alnb）處切線的斜率，切點(diǎn)A（0，alnb）， 則f（x）在點(diǎn)A（0，alnb）處切線方程為， 又g（x）=aex﹣1，∴g'（x）=aex， 則g（x）在點(diǎn)B（0，a﹣1）處切線的斜率k=g'（0）=a，切點(diǎn)B（0，a﹣1）， 則g（x）在點(diǎn)B（0，a﹣1）處切線方程為y=ax+a﹣1， 由，解得a=1，b=1； （2）， 構(gòu)造函數(shù)，則問題就是求m（t+x）＜m（t）恒成立．，令h（x）=lnx+1﹣xlnx， 則，顯然h'（x）是減函數(shù)，又h'（1）=0， 所以h（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（

39、1，+∞）上是減函數(shù)， 而， h（1）=ln1+1﹣ln1=1＞0，h（e）=lne+1﹣elne=1+1﹣e=2﹣e＜0， 所以函數(shù)h（x）=lnx+1﹣xlnx在區(qū)間（0，1）和（1，+∞）上各有一個零點(diǎn)， 令為x1和x2（x1＜x2），并且有在區(qū)間（0，x1）和（x2，+∞）上，h（x）＜0， 即m'（x）＜0；在區(qū)間（x1，x2）上，h（x）＞0，即m'（x）＞0， 從而可知函數(shù)m（x）在區(qū)間（0，x1）和（x2，+∞）上單調(diào)遞減， 在區(qū)間（x1，x2）上單調(diào)遞增．m（1）=0，當(dāng)0＜x＜1時，m（x）＜0； 當(dāng)x＞1時，m（x）＞0， 還有m（x2）是函數(shù)的極大值，

40、也是最大值，題目要找的m=x2， 理由：當(dāng)t＞x2時，對于任意非零正數(shù)x，t+x＞t＞x2， 而m（x）在（x2，+∞）上單調(diào)遞減， 所以m（t+x）＜m（t）一定恒成立，即題目要求的不等式恒成立； 當(dāng)0＜t＜x2時，取x=x2﹣t，顯然m（t+x）=m（x2）＞m（t）， 題目要求的不等式不恒成立，說明m不能比x2??； 綜合可知，題目所要求的最小的正常數(shù)m就是x2， 即存在最小正常數(shù)m=x2，當(dāng)t＞m時，對于任意正實數(shù)x， 不等式m（t+x）＜m（t）?ex恒成立． 　 [選修4-1：幾何證明選講] 22．如圖，已知AB=AC，圓O是△ABC的外接圓，CD⊥AB，CE是

41、圓O的直徑．過點(diǎn)B作圓O的切線交AC的延長線于點(diǎn)F． （Ⅰ）求證：AB?CB=CD?CE； （Ⅱ）若，，求△ABC的面積． 【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段． 【分析】（Ⅰ）連接AE，證明Rt△CBD∽Rt△CEA，結(jié)合AB=AC，即可證明：AB?CB=CD?CE； （Ⅱ）證明△ABF～△BCF，可得AC=CF，利用切割線定理有FA?FC=FB2，求出AC，即可求△ABC的面積． 【解答】證明：（Ⅰ）連接AE，∵CE是直徑，∴∠CAE=90°， 又CD⊥AB，∴∠CDB=90°， ∵∠CBD=∠CEA，故Rt△CBD∽Rt△CEA，… ∴，∴AC?CB=CD?CE 又AB=A

42、C，∴AB?CB=CD?CE．… （Ⅱ）∵FB是⊙O的切線，∴∠CBF=∠CAB． ∴在△ABF和△BCF中，，∴△ABF～△BCF， ∴，∴FA=2AB=2AC，∴AC=CF… 設(shè)AC=x，則根據(jù)切割線定理有FA?FC=FB2 ∴x?2x=8，∴x=2， ∴．… 　 [選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 23．已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲線C的左焦點(diǎn)F在直線l上． （Ⅰ）若直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)．求|FA|?|FB|的值； （Ⅱ）設(shè)曲線C的內(nèi)接

43、矩形的周長為P，求P的最大值． 【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程． 【分析】（I）求出曲線C的普通方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程利用根與系數(shù)的關(guān)系和參數(shù)的幾何意義得出； （II）設(shè)矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則根據(jù)x，y的關(guān)系消元得出P關(guān)于x（或y）的函數(shù)，求出此函數(shù)的最大值． 【解答】解：（I）曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+3y2=12，即． ∴曲線C的左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（﹣2，0）． ∵F（﹣2，0）在直線l上， ∴直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）． 將直線l的參數(shù)方程代入x2+3y2=12得：t2﹣2t﹣2=0， ∴|FA|?|FB

44、|=|t1t2|=2． （II）設(shè)曲線C的內(nèi)接矩形的第一象限內(nèi)的頂點(diǎn)為M（x，y）（0，0＜y＜2）， 則x2+3y2=12，∴x=． ∴P=4x+4y=4+4y． 令f（y）=4+4y，則f′（y）=． 令f′（y）=0得y=1， 當(dāng)0＜y＜1時，f′（y）＞0，當(dāng)1＜y＜2時，f′（y）＜0． ∴當(dāng)y=1時，f（y）取得最大值16． ∴P的最大值為16． 　 [選修4-5：不等式選講] 24．已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|2x﹣1|（a∈R）． （l）當(dāng)a=1，求不等式f（x）≥2的解集； （2）若f（x）≤2x的解集包含[，1]，求a的取值范圍． 【考點(diǎn)】絕

45、對值不等式的解法． 【分析】對第（1）問，利用零點(diǎn)分段法，令|x+1|=0，|2x﹣1|=0，獲得分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，最后取各部分解集的并集即可； 對第（2）問，不等式f（x）≤2x的解集包含[，1]，等價于f（x）≤2x在[，1]內(nèi)恒成立，由此去掉一個絕對值符號，再探究f（x）≤2x的解集與區(qū)間[，1]的關(guān)系． 【解答】解：（1）當(dāng)a=1時，由f（x）≥2，得|x+1|+|2x﹣1|≥2， ①當(dāng)x≥時，原不等式可化為（x+1）+（2x﹣1）≥2，得x≥， ∴x≥； ②當(dāng)﹣1≤x＜時，原不等式可化為（x+1）﹣（2x﹣1）≥2，得x≤0， ∴﹣1≤x≤0； ③當(dāng)x＜﹣1時，原不等式可化為﹣（x+1）﹣（2x﹣1）≥2，得x≤， ∴x＜﹣1． 綜上知，原不等式的解集為{x|x≤0，或}． （2）不等式f（x）≤2x的解集包含[，1]，等價于f（x）≤2x在[，1]內(nèi)恒成立， 從而原不等式可化為|x+a|+（2x﹣1）≤2x，即|x+a|≤1， ∴當(dāng)x∈[，1]時，﹣a﹣1≤x≤﹣a+1恒成立， ∴，解得， 故a的取值范圍是[﹣]． 　 xx9月4日